2022-2023学年重庆市沙坪坝区南开中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年重庆市沙坪坝区南开中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题（本大题共11小题，共44.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. ( )
A. B. C. D.
2. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 不一定相等的一组是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
4. 如图，该几何体的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
5. 若，则下列不等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
6. 如图所示，反比例函数图象上有一点，过点作轴垂线交轴于点，连，若，则( )
A.
B.
C.
D.
7. 如图，菱形中，，点从点出发，沿折线方向移动，移动到点停止在形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是( )
A. 直角三角形等边三角形等腰三角形直角三角形
B. 直角三角形等腰三角形直角三角形等边三角形
C. 直角三角形等边三角形直角三角形等腰三角形
D. 等腰三角形等边三角形直角三角形等腰三角形
8. 如图，在正方形中，点，点分别是对角线，上的点，连接，，，若，且，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
9. 如图，是的切线，为切点，连接交于点，延长交于点，连接若，且，则的长度是( )
A.
B.
C.
D.
10. 如果关于的分式方程有整数解，且二次函数的图象与轴有交点，那么符合条件的所有整数的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
11. 已知正整数，，，满足，且，关于这个四元方程下列说法正确的个数是( )
，，，是该四元方程的一组解；
连续的四个偶数一定是该四元方程的解：
若，则该四元方程有组解；
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
12. ．
13. 矩形中，，以为圆心，为半径作圆弧交于点，且为边的中点，以为直径的圆交弧于点，则阴影部分面积 ．
14. 某轨道列车共有节车厢，乘客从任意一节车厢上车的机会均等某天甲、乙两位乘客同时乘同一轨道列车，则甲和乙分别在相邻车厢的概率 ．
15. 如果一个三位数满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个三位数为“互异数”将“互异数”的个位数字去掉，得到一个两位数，将其与的个位数字的差记为，将的十位数字与个位数字的差记为已知一个三位正整数其中、都是整数，且，是“互异数”，为整数且能被整除，则满足条件的“互异数”的最大值 ．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
计算：
；
．
17. 本小题分
如图所示，是等腰三角形，若，且．
基本作图不写作法，保留作图痕迹：作出的垂直平分线，分别交，于点和点，连接：
在问所作图中，当时，请求出的度数，完成下列填空．
解：垂直平分

设

．
在中，，即：


18. 本小题分
甲，乙两个小区各有户居民，为了解两个小区月份用户使用燃气量情况，分别从中随机抽取户进行调查，并对数据进行整理、描述和分析下面给出部分信息．
甲小区用气量频数分布直方图如图所示数据分成组：，，，，
甲小区用气量的数据在这一组的是：
，，，，，，，，，，，；且甲小区用气量数据的众数也在这一组．
甲，乙两小区用气量的平均数、中位数、众数如表：
小区 平均数 中位数 众数
甲
乙
根据图表信息，回答下列问题：
表中 ， ；
每户每月用气量超过立方米将实行提价收费，则每户每月用气量在立方米及以内的户数越多则视为该小区居民节约意识越好，请根据以上信息，判断哪个小区的居民节约意识好，并说明理由；
估计甲小区中用气量超过立方米的户数．
19. 本小题分
在一次数学研究性学习中，小敏将两个全等的直角三角形纸片和拼在一起，使点与点重合，点与点重合如图，其中，，，并进行如下研究活动，将图中的纸片沿方向平移，连结，如图，当点与点重合时停止平移．
图中的四边形是平行四边形吗？请说明理由．
当纸片平移到某一位置时，小敏发现四边形为矩形如图，求的长．
20. 本小题分
如图是某货站传送货物的平面示意图为了提高传送过程的安全性工人师傅欲减少传送带与地面的夹角，使其由改为，已知原传送带长为米参考数据：，
求新传送带的长度；
如果需要在货物着地点的正前方留出米的通道，试判断距离点米的货物是否需要挪走并说明理由．
21. 本小题分
学校计划利用一片空地建一个长方形自行车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为米，在与墙平行的一面开一个米宽的门已知现有的木板材料可新建的总长为米，且全部用于除墙外其墙余三面木板外墙的修建．
长方形车棚与墙垂直的一面至少多少米？
如图按问的最小长度建好车棚，为了方便学生通行，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路如图中内部阴影区域，使得停放自行车的空白面积为平方米，那么小路的宽度是多少米？
22. 本小题分
如图，在矩形中，，，点是边上的动点，点从点出发，运动到点停止，是边上一动点，在运动过程中，始终保持，设，．
求出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
下表列出了部分点，先直接写出的值，然后在图中利用描点法画出此函数图象注意边界；
结合图象，指出、在运动过程中，当达到最大值时，的值是 ；并写出在整个运动过程中，点运动的总路程 ．
23. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接．
求抛物线的函数表达式；
如图，是线段上方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，在上取点，连接，其中，过点作轴交于点，求长度的最大值及此时点的坐标；
如图，在平面内，将抛物线沿直线斜向右上平移，当平移后的新抛物线经过时停止平移，此时得到新抛物线平移前后的抛物线交于点，为新抛物线上一点，点、为直线上的两个动点，直接写出所有使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．
24. 本小题分
如图，在中，．
如图，在内取点，连接，，将绕点逆时针旋转至，，连接，，，若，求的长；
如图，点为中点，点在的延长线上，连接交于点，，连接并延长至点，连接，若，，求证：；
如图，，点在的延长线上，连接，在上取点，，连接，，若，当取最小值时，直接写出的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
故选：．
根据负数的相反数是正数解答即可．
本题考查相反数等知识，掌握相反数的概念是解题的关键．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，的相反数数是．
2.【答案】
【解析】解：在数轴上表示不等式的解集如下：
故选：．
根据在数轴上表示不等式的解集的方法进行判断即可．
本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握在数轴上表示不等式解集的方法是正确判断的前提．
3.【答案】
【解析】解：：因为，所以选项一定相等；
：因为，所以选项一定相等；
：因为，所以选项一定相等；
：因为，所以与不一定相等．
故选：．
：根据加法交换律进行计算即可得出答案；
：根据整式的加法法则合并同类项进行计算即可得出答案；
：根据同底数幂乘法法则进行计算即可得出答案；
：根据乘法分配律进行计算即可得出答案．
本题主要考查了整式的运算，熟练掌握整式的运算法则进行计算是解决本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：从正面看，是一个矩形，矩形中间有一条纵向的虚线．
故选：．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单组合体三视图的形状是正确判断的前提．
5.【答案】
【解析】解：、，，
，
故A不符合题意；
B、，
，
故B不符合题意；
C、，
，
，
故C符合题意；
D、，
，
，
故D不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质，逐一判断即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
因为，
所以，
即，
因为反比例函数在第二象限，
所以，
故选：．
因为，所以，再根据反比例函数所在象限进行判断即可．
本题考查反比例函数图像面积与系数的几何关系，准确掌握图象在第一、三象限，图象在第二、四象限是解题的关键．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了菱形的性质，涉及到等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质．
把点从点出发，沿折线方向移动的整个过程，逐次考虑确定三角形的形状即可．
【解答】
解：，故菱形由两个等边三角形组合而成，
当时，此时为直角三角形；
当点到达点处时，此时为等边三角形；
当点在上且位于的中点时，则为直角三角形；
当点与点重合时，此时为等腰三角形，
故选：．
8.【答案】
【解析】解：如图所示：
四边形是正方形，对角线为、相交于点，
，，
，
，，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
故选：．
根据正方形的性质和，证明得到≌，从而得到，即可得到答案．
本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握正方形的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的性质是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：如图，连接．
由圆周角定理可得，
，
，
，
，
．
是的切线，
，
．
．
故选：．
如图，连接由圆周角定理可得，等量代换可得，进而可得，根据切线的定义得出，利用勾股定理求出，则．
本题主要考查圆周角定理、切线的定义、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点，利用圆周角定理得出是解答本题的关键．
10.【答案】
【解析】解：二次函数的图象与轴有交点，
且，
解得：且，
解分式方程得，
分式方程有整数解，
或或或，且，
或或，
且，
，
符合条件的所有整数的个数为，
故选：．
先利用二次函数的图象与轴有交点得到的取值范围，解分式方程，结合的取值范围与题意求出所有符合条件的值即可得到答案．
本题主要考查了抛物线与轴的交点，分式方程的解，利用二次函数的图象与轴有交点，求得的取值范围是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：若，，，，
则有，
，且，
，，，是该四元方程的一组解，故说法正确；
设为正整数，则，，，，
则有
，
，
，且，
连续的四个偶数一定是该四元方程的一组解，故说法正确；
设为正整数，，，，，
则有，，
，且，
像中，，，，的排列也一定是该四元方程的解，
以内像中排列有，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，共组解；
由可知以内像中排列有，，，；，，，共组解；
同理由可变形得，，，排列的四个数也一定是该四元方程的解，所以，，，；，，，；，，，这组也是该四元方程的解；
若，则该四元方程有组解，故不正确．
故选：．
根据题目给出的条件和定义等式，分别代入计算判断即可．
本题考查了新定义问题，理解题意，熟练运用平方差公式是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
先化简绝对值和特殊角的三角函数值，然后再合并同类二次根式即可．
本题主要考查了绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式的运算，牢记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
13.【答案】
【解析】解：如图，连接、，
由题意可得：，，
是等边三角形，
，其中，，
，，
，
，
．
故答案为：．
连接、根据即可求值．
本题主要考查扇形面积的计算，把求不规则图形的面积通常转化为求规则图形的面积是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：把节车厢顺次记为、、、，画树状图如下图所示：
共有种等可能的结果，甲和乙分别在相邻车厢的结果有、、、、、共种，甲和乙分别在相邻车厢的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，甲和乙分别在相邻车厢的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
15.【答案】
【解析】解：，
当时，则，
的十位数为，个位为，
，
，，
，
为整数，
也为整数，
是“互异数”，
，
当，时，，
，而能被整除，符合题意，
，
当，时，，
，而能被整除，符合题意，
，不是“互异数”，不符题意，
当，时，，
，而能被整除，符合题意，
，是“互异数”，符合题意，
当时，则，
的十位数为，个位为，
，
，，
，
为整数，
也为整数，
是“互异数”，
，
当，时，，
，而能被整除，符合题意，
，
综上，满足条件的“互异数”的最大值是．
故答案为：．
由题意可得，然后分和两种情况分别求出，再进行列举求得、的值，进而求得的值即可．
本题主要考查了列代数式、整除等知识点，掌握分类讨论思想是关键．
16.【答案】解：
；
．
【解析】先进行平方运算，然后进行除法运算，最后合并同类项即可；
先算括号里面的，进行通分，然后合并同类项，最后进行分式乘法运算即可．
本题主要考查的是整式的运算，分式的混合运算，掌握混合运算的运算法则是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：如图，直线即为所求；
垂直平分，
，
设，
，
，
，
，
，
，
在中，，即：，
，
．
故答案为：；；；．
根据作已知线段的垂直平分线的作法解答，即可求解；
根据线段垂直平分线的性质可得，设，可得，再由，可得，从而得到，再由，可得，再由三角形内角和定理，即可求解．
本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握作已知线段的垂直平分线的作法，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：将抽取的户用气量从小到大排列，处在中间位置的两个数都是，因此中位数是，即，
出现的次数最多，因此众数是，即，
故答案为：，；
甲小区居民节约意识好，理由如下，
从平均数看，甲小区居民用气平均数比乙小区居民用气平均数小；
从中位数看，甲小区居民用气平均数比乙小区居民用气中位数小；
因此甲小区居民节约意识好；
由题意得：户，
答：甲小区中用气量超过立方米约户．
根据中位数、众数的定义进行计算即可；
根据中位数、众数以及平均数的定义进行判断即可；
求出用气量超过立方米的用户所占的百分比即可求出答案．
本题考查平均数、众数、中位数，掌握平均数、中位数、众数的意义和建设方法是解题的关键．
19.【答案】解：四边形是平行四边形．
证明：，
，，
，
四边形是平行四边形；
如图，连接交于点，
四边形为矩形，
，
设，则，
，
在中，，
，
解得：，
．
【解析】由全等三角形的性质得出，，则，可得出结论；
连接交于点，设，则，得出，由勾股定理列出方程，进而求解．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，平移的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
20.【答案】解：过作于点，如图所示，
在，米，
在，米；
答：的长度为米；
需要挪走，理由如下：
在，米，
在，米，
则米，
所以距离点米的货物需要挪走．
【解析】过作于点，先求出，进而在，求出即可；
先求出，然后求出，然后判断与的关系即可．
本题考查了坡度坡角问题，尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形．在两个直角三角形有公共直角边时，先求出公共边的长是解答此类题的基本思路．
21.【答案】解：设与墙垂直的一面为米，另一面则为米，
根据题意得：．
解得，
答：长方形车棚与墙垂直的一面至少米；
解：设小路的宽为米，根据题意得：，
整理得，
解得：舍去，，
答：小路的宽为米．
【解析】设与墙垂直的一面为米，然后可得另两面则为米，然后利用这堵墙的长度为米，列出不等式求解即可；
设小路的宽为米，利用去掉小路的面积为平米列出方程求解即可得到答案．
本题考查了一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，要结合图形求解．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决第问的关键．
22.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，点是边上的动点，点从点出发，运动到点停止，
，
与的函数关系式，自变量的取值范围；
当时，代入，得，
的值为，
画出图如图所示：
，
，
，
当时，，
当达到最大值时，的值是，
，
在整个运动过程中，点运动的总路程为，
故答案为：，．
根据一线三等角模型证明∽，根据相似三角形对应边成比例即可解答；
把代入所求的函数表达式即可，然后利用描点法画出图形即可；
把中求的函数表达式配方成顶点式即可解答．
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，二次函数的最值，根据题目的已知条件并结合图形去分析一线三等角模型是解题的关键．
23.【答案】解：抛物线与轴交于点，，
，解得：，
抛物线的解析式为．
，
，
，，
．
设直线的解析式为，
则，解得，
．
同理：直线的解析式为．
设点坐标为，
则，，
，，
，
当时，长度的有最大值，点．
，
如图：设平移后的解析式为，
当平移后的新抛物线经过时停止平移，得到新抛物线，
，解得：或舍弃，
平移后的新抛物线的解析式为，
联立，解得：，
．
如图：为平行四边形的一边时，
，
设直线的解析式为，则，解得：，
．
点在新抛物线上一点，
，解得：舍弃或，
点的坐标为；
如图：为平行四边形的对角线时，
设点的坐标为，
的中点坐标为，
同时为的中点，
点在直线上，
，化简得：，
点的坐标为：或．
【解析】直接运用待定系数法即可解答；
先求出点、的坐标，然后再运用待定系数法求得直线、的解析式，设点坐标为，则，，再表示出线段的表达式，然后根据二次函数的性质求最值即可解答；
由可得，设平移后的解析式为，再根据平移后的抛物线过点可求得，进而确定点坐标，然后分为边和为对角线两种情况解答即可．
本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、运用二次函数的性质求最值、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解答本题的关键．
24.【答案】解：过作垂直于的延长线于点，如图所示，
，
，
，，
≌，
，
，
，，
，
，，，
在中，，，，
；
取中点，连接、，与交于点，如图所示，
是中点，，
是的中位线，是的中位线，
，，
，
，，，
，，
，
≌，，，
，
，是等腰三角形，
，
是等边三角形，，
；
当取最小值时，即垂线段最短，所以于点，过作于点，
如图所示，设，，
，
，
，，
是等边三角形，
，，，
在中，，即，
，，
∽，，，，
结合得：，
解得，舍去；
，
，
．

【解析】先证明≌，从而得到，过作垂直于的延长线于点，由得到，从而得到和的值，然后在中用勾股定理求出，则即可；
取中点，连接、，由是中位线得到，由得到，，因为，则是中位线，，，从而证明≌，得到，因为，，得到是等边三角形，即即可；
当取最小值时，即于点时，垂线段最短，过作于点，在中，根据勾股定理列式，再根据∽列式结合起来算出，然后计算出，即可得到．
本题主要考查的是三角形综合内容，涉及勾股定理、全等三角形、等腰三角形、中位线性质等，熟练掌握中位线的灵活运用是解题的关键．
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