2022-2023学年第二学期第一次质量检测高一数学
时间：120分钟 满分：150分
一 单项选择题 （每题5分，共8道小题，共计40分）
1. 已知集合或，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据补集和交集定义直接求解即可.
【详解】，.
故选：C.
2. 命题“，”的否定为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.
【详解】解：因为，是全称量词命题，
所以其否定为存在量词命题，即，，
故选：D
3. 已知函数的定义域为[0，2]，则的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的定义域为[0，2]，可知道使有意义的满足,再结合分母不为0，即可解出答案.
【详解】函数的定义域是[0，2]，要使函数有意义,需使有意义且 .所以 解得
故答案为：C.
【点睛】本题考查函数的定义域，属于基础题.
隐函数的定义域问题需掌握两点：
①定义域都是的取值范围.②同一个对应法则下，括号内的取值范围是一样的.
4. 下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论.
【详解】因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．
5. 已知函数，则函数图像是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由可知 图像与的图像关于轴对称，由 的图像即可得出结果.
【详解】因为，所以 图像与的图像关于轴对称，
由解析式，作出的图像如图
.
从而可得图像为D选项.
故选：D.
6. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案.
【详解】解：如图，连接，
因为是的中点，
所以，
又，所以三点共线，
即，
又，
所以，
则，故，
所以.
故选：B.
7. 若函数且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据解析式及满足的不等式，可知函数是上的增函数，由分段函数单调性的性质，结合指数函数与一次函数单调性的性质，即可得关于的不等式组，解不等式组即可求得的取值范围.
【详解】函数满足对任意的实数都有，
所以函数是上的增函数，
则由指数函数与一次函数单调性可知应满足，
解得，
所以数的取值范围为，
故选：A
【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数的取值范围，在满足各段函数单调性的情况下，还需满足整个定义域内的单调性，属于中档题.
8. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，，，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为
A. B. 8 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意，，利用基本不等式，即可得出结论．
【详解】由题意，
，
当且仅当，即时等号成立，
∴此三角形面积的最大值为，故选A．
【点睛】本题考查面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．
二 多项选择题 （每题5分，共4道小题，共计20分）
9. 下列叙述中不正确的是（ ）
A. 若，则“不等式恒成立”的充要条件是“”；
B. 若，则“”的充要条件是“”；
C. “”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件；
D. “”是“”的充分不必要条件.
【答案】AB
【解析】
【分析】利用特殊值可验证AB；由根的分布求出的范围可判断C；解出不等式可判断D.
【详解】当时，若，则恒成立，故A不正确；
当时，“”推不出 “” ，故B不正确；
当 “方程有一个正根和一个负根”时“”， “”推出“”成立，反之不成立，故C正确；
由 得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确.
故选：AB.
10. 已知函数的最小正周期为π，则（ ）
A.
B. 函数为奇函数
C. 函数在上单调递减
D. 直线是图象的一条对称轴
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据三角函数性质逐项分析判断.
【详解】对A：由题意可得：，解得，A正确；
故，
对B：，故函数为奇函数，B正确；
对C：令，解得，
故函数的递减区间为，
令，且，则函数在上单调递减，在上单调递增，C错误；
对D：为最大值，故直线是图象的一条对称轴，D正确.
故选：ABD.
11. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ）
A. 的值域为
B. 的定义域为
C.
D. 任意一个非零有理数， 对任意恒成立
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式和函数的性质逐一判断可得选项.
【详解】因为函数，所以的值城为，故A不正确；
因为函数，所以的定义城为，故B正确；
因为，所以，故C正确；
对于任意一个非零有理数，若x是有理数，则x+T是有理数；若x是无理数，则x+T是无理数，根据函数的解析式，任取一个不为零的有理数T，都有对任意恒成立，故D正确，
故选：BCD.
12. 若定义在上的奇函数满足，在区间上，有，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图象关于点成中心对称
B. 函数的图象关于直线成轴对称
C. 在区间上，为减函数
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据对称性，周期性的定义可得关于成轴对称，关于成中心对称，以为周期的周期函数，再由题意可得函数在区间上单调递增，即可判断；
【详解】解：因为是定义在上的奇函数，所以，
又，即关于对称，故B不正确；
所以，即，
所以，
所以是以为周期的周期函数，
因为在区间上，有，
所以在上单调递增，
因为，即，
所以的图象关于点成中心对称，故A正确；
因为关于成轴对称，关于成中心对称，且在上单调递增，
所以在上单调递减，故C正确；
因为，故D错误；
故选：AC
三 填空题（每题5分，共 4道小题，共计20分）
13. 已知扇形的周长是8，圆心角为2，则扇形的弧长为______．
【答案】4
【解析】
【分析】设出扇形半径，直接利用弧长公式，求出扇形的弧长．
【详解】设扇形所在圆半径为r，依题意，扇形的弧长l=2r，因此，即，解得，
所以，即扇形的弧长为4.
故答案为：4
14. 设函数，不等式的解集为，若对任意恒成立，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据不等式的解集求得，得到，再把对任意，恒成立，结合二次函数的性质，转化为恒成立，即可求解.
【详解】由函数，且不等式的解集为，
即是方程两个实数根，
可得，解得，所以，
又由，且，
当时，函数取得最大值，最大值为，
因为对任意恒成立，即恒成立，
解得或，所以实数的取值范围为.
故答案为：.
15. 已知条件，，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】设，，则，再对分两种情况讨论得解.
【详解】记，，
因为p是q的充分条件，所以.
当时，，即，符合题意；
当时，，由可得，所以，即.
综上所述，实数的k的取值范围是．
故答案为：．
16. 已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的最小正周期得到，利用对称轴得到，然后代入计算即可求解.
【详解】因为函数的最小正周期为，
所以，又因为直线是函数的一条对称轴，所以，解得：，因为，所以，
则函数，所以，
故答案为：.
四 解答题（共6道小题，共计70分，写清楚必要的演算步骤和解题过程）
17. 已知函数
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）若，求的最小值及取得最小值时对应的的取值.
【答案】（1）最小正周期为；
（2），.
【解析】
【分析】（1）根据正弦型三角函数的最小正周期与单调区间求法计算直接得出答案；
（2）根据正弦型三角函数的在区间上最值的求法直接得出答案.
【小问1详解】
，
的最小正周期为；
由，得：，
单调递增区间为：
【小问2详解】
，
，
，
即：，此时.
18. 已知函数，．
（1）若关于的不等式在实数集上恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式．
【答案】（1）
（2）当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为
【解析】
【分析】（1）对进行分类讨论，根据一元二次不等式的性质即可求解.
（2）化简问题得出，对分三类讨论，利用一元二次不等式的性质即可求解.
【小问1详解】
依题意，在实数集上恒成立．
①当时，，成立；
②当时，要使原不等式恒成立，
则，解得．
综上所述，实数的取值范围是．
【小问2详解】
不等式，
等价于，
即．
①当时，解原不等式可得或；
②当时，不等式整理为，解得；
③当时，方程的两根为，，
（i）当时，因为，解原不等式得；
（ii）当时，因为，原不等式的解集为；
（iii）当时，因为，解原不等式得，
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为
19. 近年我国新能源汽车的产销量高速增长，某地区2019年底新能源汽车保有量为1500辆，2020年底新能源汽车保有量为2250辆，2021年底新能源汽车保有量为3375辆．
（1）根据以上数据，设从2019年底起经过x年后新能源汽车保有量为y辆，试从①(且)；②两种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势（不必说明理由），求出新能源汽车保有量y关于x的函数关系式；
（2）2019年底该地区传统能源汽车保有量为50000辆，预计每年传统能源汽车保有量下降2%，假设每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．
（参考数据:，，）
【答案】（1）应选函数模型是(且)；
（2）2028年底
【解析】
【分析】（1）由于增长趋势知，增长快，应选函数模型是(且)，由待定系数法即可求得函数关系式；
（2）设从2019年底起经过x年后传统能源汽车保有量为y辆，得出关系式，再得出新能源超过传统能源汽车的不等式，化简求解即可得到结果．
【小问1详解】
根据该地区新能源汽车保有量的增长趋势知，应选函数模型是(且)，
由题意得，得，所以，
【小问2详解】
设从2019年底起经过x年后传统能源汽车保有量为y辆，
则有，
设从2019年底起经过x年后新能源汽车的数量将超过传统能源汽车，
则有，
化简得，
解得，
故从2019年底起经过9年后，即2028年底新能源汽车的数量将超过传统能源汽车．
20. 已知二次函数满足且．
（1）求的解析式；
（2）若方程，时有唯一一个零点，且不是重根，求取值范围；
（3）当时，不等式恒成立，求实数的范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）设，，得到，代入函数计算得到，得到解析式.
（2）令，只需，解不等式并验证得到答案.
（3）设，确定函数的单调性，计算最值得到答案.
【小问1详解】
设，则由，．
，即， ，即，
的解析式为．
【小问2详解】
令，则，，
由在上有唯一零点且不是重根，
只需，，解得，
经检验时，方程在上有唯一解；
时，方程在上有唯一解，
故实数的取值范围为．
【小问3详解】
在上恒成立，即在上恒成立．
设，其图象对称轴为直线，
所以在上单调递减．
故只需，即，解得，
21. 已知函数为奇函数．
（1）求实数的值；
（2）判断并证明函数的单调性；
（3）若存在，使得函数在区间上的值域为，求实数的取值范围．
【答案】（1）1；（2）增函数，证明见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据函数奇函数的定义和条件，求出k的值之后再验证是否满足函数的定义域关于原点对称即可；
（2）根据函数的单调性和对数函数的单调性即可证明；
（3）假设存在，使得函数在区间上的值域为，由 在上递增，程在上有两个不等实根，可得的不等式组，解不等式即可得到实数的取值范围，即可得到判断存在性.
【详解】（1）因为函数为奇函数，所以，
即对定义域内任意恒成立，所以，即，
显然，又当时，定义域关于原点对称．
所以为满足题意的值．
（2）结论：在，上均为增函数．
证明：由（1）知，其定义域为，
任取，不妨设，则
，
因为，又，
所以，所以，
即，所以在上为增函数．
同理，在上为增函数．
（3）由（2）知在上为增函数，
又因为函数在上的值域为，
所以，且，所以，
即是方程的两实根，
问题等价于方程在上有两个不等实根，
令，对称轴
则，
即，解得．
【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用以及函数和方程的转化以及一元二次方程在给定区间上解的问题，根据函数奇偶性和单调性的定义函数性质是解决本题的关键，考查学生分析问题与解决问题的能力，是难题.
22. 设，已知函数.
（1）若是奇函数，求的值；
（2）当时，证明：；
（3）设，若实数满足，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由于函数的定义域为，进而结合奇函数即可得；
（2）采用作差比较大小，整理化简得；
（3）令，，进而得，再结合题意即可得，再分和两种情况讨论，其中当时，结合（2）的结论得，等号不能同时成立.
【详解】解：（1）由题意，对任意，都有，
即，亦即，因此；
（2）证明：因为，，
.
所以，.
（3）设，则，
当时，；
当时，；
，，
所以.
由得，即.
①当时，，，所以；
②当时，由（2）知，
，等号不能同时成立.
综上可知.
【点睛】本题第二问解题的关键在于作差法比较大小，第三问在于换元法求得函数的值域，进而结合题意得，再结合第二问的结论分类讨论求解.考查换元思想和运算求解能力，是难题.2022-2023学年第二学期第一次质量检测高一数学
时间：120分钟 满分：150分
一 单项选择题 （每题5分，共8道小题，共计40分）
1 已知集合或，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 命题“，”的否定为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 已知函数的定义域为[0，2]，则的定义域为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数，则函数图像是（ ）
A. B.
C. D.
6. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A. B. C. D.
7. 若函数且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，，，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为
A. B. 8 C. D.
二 多项选择题 （每题5分，共4道小题，共计20分）
9. 下列叙述中不正确的是（ ）
A. 若，则“不等式恒成立”的充要条件是“”；
B. 若，则“”的充要条件是“”；
C. “”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件；
D. “”是“”的充分不必要条件.
10. 已知函数的最小正周期为π，则（ ）
A.
B. 函数为奇函数
C. 函数在上单调递减
D. 直线是图象的一条对称轴
11. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ）
A. 的值域为
B. 的定义域为
C.
D. 任意一个非零有理数， 对任意恒成立
12. 若定义在上的奇函数满足，在区间上，有，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图象关于点成中心对称
B. 函数的图象关于直线成轴对称
C. 在区间上，为减函数
D.
三 填空题（每题5分，共 4道小题，共计20分）
13. 已知扇形的周长是8，圆心角为2，则扇形的弧长为______．
14. 设函数，不等式的解集为，若对任意恒成立，则实数的取值范围为__________.
15. 已知条件，，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是_______．
16. 已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称，则__________.
四 解答题（共6道小题，共计70分，写清楚必要的演算步骤和解题过程）
17. 已知函数
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）若，求的最小值及取得最小值时对应的的取值.
18. 已知函数，．
（1）若关于的不等式在实数集上恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式．
19. 近年我国新能源汽车的产销量高速增长，某地区2019年底新能源汽车保有量为1500辆，2020年底新能源汽车保有量为2250辆，2021年底新能源汽车保有量为3375辆．
（1）根据以上数据，设从2019年底起经过x年后新能源汽车保有量为y辆，试从①(且)；②两种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势（不必说明理由），求出新能源汽车保有量y关于x的函数关系式；
（2）2019年底该地区传统能源汽车保有量为50000辆，预计每年传统能源汽车保有量下降2%，假设每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．
（参考数据:，，）
20. 已知二次函数满足且．
（1）求的解析式；
（2）若方程，时有唯一一个零点，且不是重根，求的取值范围；
（3）当时，不等式恒成立，求实数的范围．
21. 已知函数为奇函数．
（1）求实数的值；
（2）判断并证明函数的单调性；
（3）若存在，使得函数在区间上值域为，求实数的取值范围．
22 设，已知函数.
（1）若是奇函数，求值；
（2）当时，证明：；
（3）设，若实数满足，证明：.
