2022-2023学年北师大版七年级数学下册同步课件4.1 认识三角形（第三课时）(共28张PPT)

(共28张PPT)
4.1 认识三角形
第三课时 三角形中线、角平分线、高
第四章 三角形
三角形的分类：
1）按 分：分为 三角形、 三角形、 三角形。
2）按 分：分为 三角形、 三角形。
注意：等边三角形是特殊的等腰三角形。
三角形三边之间的关系：
1）两边之和 第三边，
2）两边之差 第三边 。
角
锐角
钝角
直角
边
三边都不相等
等腰
大于
小于
学习目标
1）通过画图与观察的实践过程，认识三角形的中线、角平分线、高。
2）画三角形中线、角平分线、高。
3）理解三角形三条中线、三条角平分线、三条高所在直线交于一点。
重点
画三角形中线、角平分线、高。
难点
解决与三角形中线、角平分线、高有关的计算。
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线。
如图，AE是BC边上的中线.
A
B
C
E
探究： ABE与 AEC的面积有怎样的关系？
E
A
B
C
D
△ABE的面积= BE×AD
△AEC的面积= EC×AD
故△ABE和△AEC的面积相等
三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两个面积相等的三角形。
三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心.
在下图中，如果AE=ED=DC，则BE、BD分别是_________、_________的中线，说出图中面积相等的三角形？
△ABD △BCE
1）△ABD和△BCE;
2）△ABE和△BED和△BDC;
如图，△ABC的面积为12cm2，点D在BC边上，E是AD的中点，则△BCE的面积是（ ）
A．4cm2 B．6cm2 C．8cm2 D．6cm2
【解析】
∵E是AD的中点，
∴S△BDE=S△ABD，S△DEC=S△ADC，
∴△BCE的面积=S△BDE+S△DEC=×（S△ABD+S△ADC）=×S△ABC=6，
故选B．
（用表格表示变量之间的关系）
如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，E，F分别是AD，BE的中点，连结CE，CF，若S△CEF＝5，则△ABC的面积为（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
【详解】
解：根据等底同高的三角形面积相等，可得
∵F是BE的中点，S△CFE＝S△CFB＝5，
∴S△CEB＝S△CEF+S△CBF＝10，
∵E是AD的中点，∴S△AEB＝S△DBE，S△AEC＝S△DEC，
∵S△CEB＝S△BDE+S△CDE ∴S△BDE+S△CDE＝10
∴S△AEB+S△AEC＝10 ∴S△ABC＝S△BDE+S△CDE+S△AEB+S△AEC＝20
故选：B．
A
D
B
C
在ΔABC中,CD是中线，已知BC-AC=5cm，ΔDBC的周长为25cm，求ΔADC的周长.
解：∵ ΔDBC的周长为25cm
∴BD+BC+DC=25
∵在ΔABC中,CD是中线 ∴AD=BD
∴ΔADC的周长为:
AD+DC+AC=BD+DC+AC=BD+DC+BC-5=25-5=20cm
在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗 你能通过折纸的方法得到它吗 还有其它方法吗
在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，
这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.
1
2
A
B
C
D
∠1=∠2=_____∠BAC
三角形的三条角平分线交于同一点.
三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？
1)三角形的角平分线是一条线段 ；
2_角的平分线是一条射线。
1.如图（1），AD，BE，CF是ΔABC的三条中线，则AB=2 ，BD= ，
AE= 。
2.如图（2）， AD，BE，CF是ΔABC的三条角平分线，则∠1= , ∠3= , ∠ACB=2 。
AF
CD
AC
∠2
∠ABC
∠4
解：∵AD是△ABC的角平分线， ∠BAC＝68°，
∴∠DAC＝∠BAD＝34°.
又∵在△ABD中，∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，
∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD
＝180°－40°－34°＝106°.
在△ABC中,∠BAC=68°，∠B=40°，AD是△ABC的一条角平分线，
求∠ADB的度数。
A
B
D
C
你还记得 “过直线外一点画已知直线的垂线” 吗
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
放
靠
推
画
过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗
分析：即过点A点做已知对边BC的垂线。
B
A
C
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
O
过三角形的一个顶点做它对边的垂线，顶点和垂足所连接的线段，叫做三角形这边的高，简称三角形的高。
三角形高的特点：
1）一端是顶点
2）与底边垂直
3）是一条线段
画锐角三角形三边的高
O
A
B
C
D
E
F
1）这三条高之间有怎样的位置关系？
2）剪一个锐角三角形，你能通过其他
方法做出三角形的高吗？
在三角形内相交于一点。
对折。作法：使折痕过顶点，且所过顶点的对边边缘重合
在纸上画出一个直角三角形.
1)你能画出这个三角形的三条高吗
2)它们之间有怎样的位置关系？
直角三角形的三条高交于直角顶点.
A
C
D
●
B
D
A
B
C
E
F
●
O
三条高不相交，三条高所在的延长线相交。
而且有两条高在三角形外。
画钝角三角形三边的高
1）钝角三角形有什么特点？
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
高在三角形内部的数量
高之间是否相交
高所在的直线是否相交
三条高所在直线的交点的位置
3
1
1
相交
相交
相交
相交
不相交
相交
三角形内部
直角顶点
三角形外部
如图，以为高的三角形有（ ）
A．9个 B．10个 C．11个 D．12个
【详解】
解：以CE为高的三角形就是以C为一个顶点，再从B，F，E，D，A中任意选两个点组成，
∴4+3+2+1=10（个）．
∴以CE为高的三角形有10个．
故选：B．
如图，BD是△ABC的高，EF∥AC，EF交BD于G，下列说法正确的有（　　）
①BG是△EBF的高；②CD是△BGC的高；③DG是△AGC的高；④AD是△ABG的高．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【详解】
解：∵BD是△ABC的高，
∴BD⊥AC，
∴∠BDC=∠BDA=90 ，
∴DG是△AGC的高，CD是△BGC的高，AD是△ABG的高；
∵EF∥AC，
∴BG⊥EF，
∴BG是△EBF的高，
∴正确的有①②③④．
故选D.
已知：钝角△ABC，请画出△ABC的角平分线BD，AB边上的中线和AC边上的高，并用字母表示．
如图，AC⊥BC，AC=3，BC=4，AB=5，则点C到AB的距离为_______.
【详解】
解：过C作CD⊥AB于D，则CD的长是点C到直线AB的距离，
∵AC⊥BC，
∴∠C=90°，
∵AC=3，BC=4，AB=5，
∴×3×4=×5×CD，
∴CD=2.4，故答案为2.4．
【详解】
1）∵∠BAC=90°，AD是边BC上的高，
∴AB AC=BC AD，
∴AD= =4.8（cm），
即AD的长度为4.8cm；
如图所示，已知AD，AE分别是△ADC和△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°．
试求：（1）AD的长；
【详解】
∵∠BAC=90°，AD是边BC上的高，
∴AB AC=BC AD，
∴AD= =4.8（cm），
即AD的长度为4.8cm；
（2）如图，∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，AB=6cm，AC=8cm，
∴S△ABC=AB AC=×6×8=24（cm2）．
又∵AE是边BC的中线，
∴BE=EC，
∴BE AD=EC AD，即S△ABE=S△AEC，
∴S△ABE=S△ABC=12（cm2）．
∴△ABE的面积是12cm2．
（3）∵AE为BC边上的中线，
∴BE=CE，
∴△ACE的周长-△ABE的周长=AC+AE+CE-（AB+BE+AE）=AC-AB=8-6=2（cm），
即△ACE和△ABE的周长的差是2cm．
如图所示，已知AD，AE分别是△ADC和△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°．
试求：（2）△ABE的面积；
（2）如图，∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，AB=6cm，AC=8cm，
∴S△ABC=AB AC=×6×8=24（cm2）．
又∵AE是边BC的中线，∴BE=EC，
∴BE AD=EC AD，即S△ABE=S△AEC，
∴S△ABE=S△ABC=12（cm2）．
∴△ABE的面积是12cm2．
如图所示，已知AD，AE分别是△ADC和△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°．
试求：（3）△ACE和△ABE的周长的差；
（3）∵AE为BC边上的中线，
∴BE=CE，
∴△ACE的周长-△ABE的周长=AC+AE+CE-（AB+BE+AE）=AC-AB=8-6=2（cm），
即△ACE和△ABE的周长的差是2cm．