18.2.3 正方形-2022+-2023学年八年级数学下册同步教学课件（人教版）31张PPT
文档属性
| 名称 | 18.2.3 正方形-2022+-2023学年八年级数学下册同步教学课件（人教版）31张PPT |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-04-03 09:52:56 | ||
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文档简介
(共31张PPT)
人教版 八下
第十八章 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形
18.2.3 正方形
学习目标
1.探索并证明正方形的性质和判定条件，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.(重点、难点)
2.会应用正方形的性质和判定条件解决相关证明及计算问题.（难点）
课前导入
探索新知
巩固练习
课堂小结
01
02
03
04
01
课前导入
课前导入
除了矩形和菱形外，还有什么特殊的平行四边形吗？
正方形有什么性质？
02
探索新知
正方形
正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角.因此，正方形既是矩形，又是菱形.
正方形
正方形也是矩形，所以它具有矩形的性质，四个角相等，对角线相等.
正方形
正方形也是菱形，所以正方形也具有菱形的性质，即正方形的四条边相等，对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.
正方形
是轴对称图形，有4条对称轴
正方形是轴对称图形吗？有几条对称轴？
正方形的性质
总结：
正方形的四个角都是直角；
正方形的四条边都相等；
正方形的对角线相等，并且互相垂直平分；
正方形是轴对称图形，它有四条对称轴.
正方形的判定
思考 如何判定一个四边形是正方形呢？
猜想：有一组邻边相等的矩形是正方形.
对角线互相垂直的矩形是正方形.
正方形的判定
已知：如图,在矩形ABCD中, AB=AD
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴ AB=CD,AD=BC.
∵AB=AD,
∴ AD=AB=BC=CD,
∴四边形ABCD是正方形.
有一组邻边相等的矩形是正方形.
正方形的判定
猜想：有一个角是直角的菱形是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
正方形的判定
已知：如图,在菱形ABCD中, ∠ADC=90°
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形,
∴∠DAB=∠ABC，∠BCD=∠ADC
∵ ∠ADC=90°
∴ ∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC= 90°
∴四边形ABCD是正方形.
有一个角是直角的菱形是正方形.
正方形的判定
总结：
1.先证它是矩形，再证它有一组邻边相等或者对角线互相垂直；
2.先证它是菱形，再证它有一个角为直角或者对角线相等.
正方形的判定
例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O。
求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形。
正方形的判定
证明：∵四边形ABCD是正方形。
∴AC＝BD，AC⊥BD，
OA＝OB＝OC＝OD，
∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，并△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
正方形、菱形、矩形、平行四边形之间的关系
四边形
平行四边形
菱形
矩形
正方形
正方形
03
巩固练习
巩固练习
1、（1）把一个长方形纸片如图那样折一下，就可以裁出一个正方形纸片，为什么？
解：由折叠可知：
∠B＝∠D＝90°，∠DAB＝90°，
∴四边形ABCD是矩形.
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形.
巩固练习
（2）如果是一个长方形木板，如何从中裁出一个最大的正方形木板呢？
解：在长方形木块较长的一边上截取一段等于较短的一条边长，即可得到最大的正方形木板。
巩固练习
2.如图，四边形ABCD是一块正方形场地，小华和小芳在AB边上取定了一点E，测量知EC=30m，EB=10m.这块场地的面积和对角线长分别是多少？
巩固练习
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°.
在Rt△BEC中，
连接AC，在Rt△ABC中，∠B=90°，
AB=BC=20 （m），
AC= = =40（m）
S正方形ABCD=BC2 = （20 ）2=800（m2）
巩固练习
3.满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？
（1）对角线互相垂直且相等的平行四边形.（ ）
（2）对角线互相垂直的矩形.（ ）
（3）对角线相等的菱形.（ ）
（4）对角线互相垂直平分且相等的四边形.（ ）
是
是
是
是
巩固练习
4.如图，E，F，M，N分别是正方形ABCD四条边上的点， 且AE=BF=CM=DN.试判断四边形EFMN是什么图形？并证明你的结论.
解：四边形EFMN是正方形.
证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，
∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
又∵ AE=BF=CM=DN，
巩固练习
∴AN=DM=CF=BE，
∴△AEN ≌ △BFE ≌ △CMF≌△DNM，
∴EN=NM=MF=FE，
∴四边形EFMN为菱形.
∵∠BFE+∠BEF=90°，
∴∠BEF+∠AEN=90°。
∴∠NEF=90°，
∴四边形EFMN为正方形.
巩固练习
5.如图，在四边形ABCD中, AB=BC , 对角线BD平 ABC , P是BD上一点,过点P作PM AD , PN CD , 垂足分别为M、N.若 ADC=90 ,求证：四边形MPND是正方形.
C
A
B
D
P
M
N
巩固练习
证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABP=∠CBP.
又∵AB = BC,BD=BD，
∴△ABD≌△CBD (SAS).
∴∠ADB=∠CDB.
∵PM⊥AD,PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°.
又∵∠ADC=90°，
∴四边形NPMD是矩形.
∵∠ADB=∠CDB，
∴∠ADB=∠CDB=45°.
∴∠MPD=∠NPD=45°.
∴DM=PM,DN=PN.∴四边形NPMD是正方形.
04
课堂小结
课堂小结
正方形的性质：
正方形的四个角都是直角；
正方形的四条边都相等；
正方形的对角线相等，并且互相垂直平分；
正方形是轴对称图形，它有四条对称轴.
正方形的判定：
先证它是矩形，再证它有一组邻边相等或者对角线互相垂直；
先证它是菱形，再证它有一个角为直角或者对角线相等.
人教版 八下
第十八章 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形
18.2.3 正方形
学习目标
1.探索并证明正方形的性质和判定条件，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.(重点、难点)
2.会应用正方形的性质和判定条件解决相关证明及计算问题.（难点）
课前导入
探索新知
巩固练习
课堂小结
01
02
03
04
01
课前导入
课前导入
除了矩形和菱形外，还有什么特殊的平行四边形吗？
正方形有什么性质？
02
探索新知
正方形
正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角.因此，正方形既是矩形，又是菱形.
正方形
正方形也是矩形，所以它具有矩形的性质，四个角相等，对角线相等.
正方形
正方形也是菱形，所以正方形也具有菱形的性质，即正方形的四条边相等，对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.
正方形
是轴对称图形，有4条对称轴
正方形是轴对称图形吗？有几条对称轴？
正方形的性质
总结：
正方形的四个角都是直角；
正方形的四条边都相等；
正方形的对角线相等，并且互相垂直平分；
正方形是轴对称图形，它有四条对称轴.
正方形的判定
思考 如何判定一个四边形是正方形呢？
猜想：有一组邻边相等的矩形是正方形.
对角线互相垂直的矩形是正方形.
正方形的判定
已知：如图,在矩形ABCD中, AB=AD
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴ AB=CD,AD=BC.
∵AB=AD,
∴ AD=AB=BC=CD,
∴四边形ABCD是正方形.
有一组邻边相等的矩形是正方形.
正方形的判定
猜想：有一个角是直角的菱形是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
正方形的判定
已知：如图,在菱形ABCD中, ∠ADC=90°
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形,
∴∠DAB=∠ABC，∠BCD=∠ADC
∵ ∠ADC=90°
∴ ∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC= 90°
∴四边形ABCD是正方形.
有一个角是直角的菱形是正方形.
正方形的判定
总结：
1.先证它是矩形，再证它有一组邻边相等或者对角线互相垂直；
2.先证它是菱形，再证它有一个角为直角或者对角线相等.
正方形的判定
例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O。
求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形。
正方形的判定
证明：∵四边形ABCD是正方形。
∴AC＝BD，AC⊥BD，
OA＝OB＝OC＝OD，
∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，并△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
正方形、菱形、矩形、平行四边形之间的关系
四边形
平行四边形
菱形
矩形
正方形
正方形
03
巩固练习
巩固练习
1、（1）把一个长方形纸片如图那样折一下，就可以裁出一个正方形纸片，为什么？
解：由折叠可知：
∠B＝∠D＝90°，∠DAB＝90°，
∴四边形ABCD是矩形.
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形.
巩固练习
（2）如果是一个长方形木板，如何从中裁出一个最大的正方形木板呢？
解：在长方形木块较长的一边上截取一段等于较短的一条边长，即可得到最大的正方形木板。
巩固练习
2.如图，四边形ABCD是一块正方形场地，小华和小芳在AB边上取定了一点E，测量知EC=30m，EB=10m.这块场地的面积和对角线长分别是多少？
巩固练习
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°.
在Rt△BEC中，
连接AC，在Rt△ABC中，∠B=90°，
AB=BC=20 （m），
AC= = =40（m）
S正方形ABCD=BC2 = （20 ）2=800（m2）
巩固练习
3.满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？
（1）对角线互相垂直且相等的平行四边形.（ ）
（2）对角线互相垂直的矩形.（ ）
（3）对角线相等的菱形.（ ）
（4）对角线互相垂直平分且相等的四边形.（ ）
是
是
是
是
巩固练习
4.如图，E，F，M，N分别是正方形ABCD四条边上的点， 且AE=BF=CM=DN.试判断四边形EFMN是什么图形？并证明你的结论.
解：四边形EFMN是正方形.
证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，
∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
又∵ AE=BF=CM=DN，
巩固练习
∴AN=DM=CF=BE，
∴△AEN ≌ △BFE ≌ △CMF≌△DNM，
∴EN=NM=MF=FE，
∴四边形EFMN为菱形.
∵∠BFE+∠BEF=90°，
∴∠BEF+∠AEN=90°。
∴∠NEF=90°，
∴四边形EFMN为正方形.
巩固练习
5.如图，在四边形ABCD中, AB=BC , 对角线BD平 ABC , P是BD上一点,过点P作PM AD , PN CD , 垂足分别为M、N.若 ADC=90 ,求证：四边形MPND是正方形.
C
A
B
D
P
M
N
巩固练习
证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABP=∠CBP.
又∵AB = BC,BD=BD，
∴△ABD≌△CBD (SAS).
∴∠ADB=∠CDB.
∵PM⊥AD,PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°.
又∵∠ADC=90°，
∴四边形NPMD是矩形.
∵∠ADB=∠CDB，
∴∠ADB=∠CDB=45°.
∴∠MPD=∠NPD=45°.
∴DM=PM,DN=PN.∴四边形NPMD是正方形.
04
课堂小结
课堂小结
正方形的性质：
正方形的四个角都是直角；
正方形的四条边都相等；
正方形的对角线相等，并且互相垂直平分；
正方形是轴对称图形，它有四条对称轴.
正方形的判定：
先证它是矩形，再证它有一组邻边相等或者对角线互相垂直；
先证它是菱形，再证它有一个角为直角或者对角线相等.