浠水县2022-2023学年高二下学期期中质量检测
数学试卷
考试时间：2023年4月1日 试卷满分150分
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）
1．在等比数列中，，公比，则与的等比中项是（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
2. 函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列数值排序正确的是（ ）
B.
C.
D.
3．若前项和为的等差数列满足，则（ ）
A．46 B．48 C．50 D．52
4．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年．在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中（如图），记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为，……，第行的第3个数字为则（ ）
A. 165 B. 120 C. 220 D. 96
A，B，C，D，E，F六人站一排，A，B相邻，C，D不相邻，E不站两端的不同站法种数为（ ）
A．48 B．96 C．144 D．288
6. 中国空间站（China Space Station）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“”字形架构，我国成功将中国空间站建设毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段．假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舲中每个舱中都有2人，则不同的安排方法有（ ）
A．72种 B．90种 C．360种 D．540种
7. 已知，其中为展开式中项的系数，．给出下列命题：
① ② ③是的最大项
其中正确命题是个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8. 已知函数恒有零点，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9．下列说法正确的是（ ）
A．等差数列的前项和为，则，，成等差数列
B．数列的通项公式为，要使数列的前项和最大，则的值只能为13
C．等差数列的前项和记为，若，，则当且仅当时，
D．正数等比数列前项积为，若，则
10．已知，下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
11．下列说法正确的是（ ）
A．可表示为
B．6个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手15次
C．若把英文“”的字母顺序写错，则可能出现的错误共有59种
D．将4名医护人员安排到呼吸、感染两个科室，要求每个科室至少1人，则共18种不同的安排方法
12. 已知函数f(x )在R上可导，其导函数为f ′(x )，若f(x)满足：(x－1)[f ′(x)－f (x)]＞0，f(2－x)＝f (x)·e2－2 x，则下列判断一定不正确的是( )
A．f (1)＜f (0) B．f (2)＞e2f (0) C．f (3)＞e 3 f (0) D．f (4)＜e4f (0)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．的展开式中，的系数为______（用数字作答）．
14．由于受到疫情影响，某校决定实施学生佩戴口罩 间隔而坐的策略.已知一排有9个座位，每两名同学之间至少间隔1个空位.若一排要坐4名同学，则不同的坐法有___________种.
15．“康托尔尘埃”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其过程如下：在一个单位正方形中，首先，将正方形等分成9个边长为的小正方形，保留靠角的4个小正方形，记4个小正方形面积之和为：然后，将剩余的4个小正方形分别继续9等分，分别保留靠角的4个小正方形，记16个小正方形面积之和为；…；操作过程不断进行下去，以至无穷，保留的图形称为康托尔尘埃.若，则操作次数的最小值为____________.
16. 对任意，不等式恒成立，则实数a的最小值为________．
四、解答题（本题共6小题，共70分.）
17．（10分）（1）已知函数, 求解集；
（2）设曲线在点（0，e）处的切线与直线垂直，求的值.
18．（12分）已知二项式的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240．求：
(1) n的值；
(2)展开式中x项的系数；
(3)展开式中所有含x的有理项．
19．（12分）已知正项数列中，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前n项和．
20.（12分） 如图所示，某风景区在一个直径AB为400m的半圆形花园中设计一条观光路线，在点A与圆弧上一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿圆弧BC的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注:小路及绿化带的宽度忽略不计）
（1）设（弧度），将绿化带总长度表示为的函数；
（2）试确定的值，使得绿化带总长度最大，并求最大值．
21．（12分）已知等比数列的公比为4，且，，成等差数列，又数列满足，，且数列的前n项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)若对任意，恒成立，求m的最小值．
22.（12分） 已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若当时，，求实数a的取值范围；
（3）设，证明：．浠水县2023年春高二年级数学期中卷答案
1. D 2. B 3. C 4. A 5. B 6. B 7. C 8. B 9. AD 10. AD 11. BC 12. ABD
13. 14. 360 15. 3 16.
1.【详解】因为，所以与的等比中项是，选：D.
2.【详解】过点作切线，过点作切线，连接，得到直线，由图可知，的斜率的斜率的斜率，
即(2)(3)，
即(3)(3)(2)(2)，故选：B．
3.【详解】由，有，根据等差数量性质可知，
所以，故，所以，所以. 故选：C.
4.【详解】由题意得，，则，故选：A
5.【详解】第一步，先排A、B共种排法，将排好的A、B作为一个整体，记为G；第二步，（1）先将C，D，G，F排成一排，再在产生的3个空位中选择一个排E共有种排法， （2）先将C、D捆绑在一起记为H，然后将H、G、F排成一排，最后在2个空位中选一个排E，共有种排法，（3）将C，D，G，F，E排成一排，且C，D不相邻，E不站两端的排法有；综上，满足条件的不同排法共有种. 故选：B
6.【详解】先把6名航天员分成三组，每组2人，有种方法；再把这三组分配到三舱中，每舱一组有种方法. 所以名航天员的安排方案共有种.故选：B.
7.【详解】
，所以，
所以,,所以①正确;
,所以②错误；
假设最大，所以，
解之得是的最大项.所以③正确.故选：C
8.【详解】函数的定义域为，求导得：，令，，则，即在上单调递增，，因此，当时，，当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，于是得当时，，函数的值域是，而函数恒有零点，当且仅当，解得，所以实数k取值范围是.故选：B
9.【详解】对于选项A，等差数列的性质，若为等差数列，则，， ，成等差数列.故选项A正确；对于选项B，∵数列的通项公式，∴，
，∴数列是首项为24，公差为－2的等差数列，
∴，∴要使此数列的前项和最大，则的值为12或13，故选项B错误；对于选项C，∵为等差数列，，∴，即，∵，∴，，∴，，∴当时，.故选项C错误；对于选项D，∵正数等比数列前项积为，，，D正确. 选：AD.
【详解】因为，令，则，令，则，所以，故B错误；
令，则，故C错误：令，则，所以，通项为，所以，故A正确；
令，则，
令，得，故D正确. 故选：AD
11.【详解】因为，故A错误；因为6人两两握手，共握（次），故B正确；先在5个位置中选出3个位置，对进行全排列，剩下两个位置将放入即可，
故有：（种），而正确的共有1种，所以可能出现的错误共有（种），故C正确；因为，当按3，1分组时，先选1人单独一组，剩下3人为一组，再将两组分配到两个不同科室中：共（种）分法，当按2，2分组，在4人中选出2人到呼吸科，剩下2人自动去感染科，故有：（种）分法，故共有（种）安排方法，故D错误．故选：BC
12.【详解】 构造F(x)＝，则F′(x)＝＝，导函数f′(x)满足(x－1)[f′(x)－f(x)]＞0，则x＞1时F′(x)＞0，F(x)在[1，＋∞)上单调递增．当x＜1时F′(x)＜0，F(x)在(－∞，1]上单调递减．又由f(2－x)＝f(x)e2－2x F(2－x)＝F(x) F(x)关于x＝1对称，从而F(3)＞F(0)即＞，∴f(3)＞e3f(0)，故选ABD
13.【详解】由，设的展开式的通项为，的展开式的通项为，分别令，，可得含的项分别为，，所以的系数为．故答案为：.
14.【详解】先排5张空椅子，然后将4名同学进行插空，共有种不同的坐法.
【详解】是边长为的4个正方形的面积之和，故；是边长为的个正方形的面积之和，故；以此类推得：，从而，所以，函数关于单调递减，且时，，时，，故最小值取3. 故答案为：3.
16.【详解】令，则为增函数，由，得，即恒成立，令，则，易得，所以实数a的最小值为．
17.【详解】（1）由题可得 ， 由可得 或，
又因为，故不等式的解集为；
（2）由题可得 ，依题意：，所以.
【详解】(1)由已知，，或（舍） ，∴．
(2)设展开式的第项为．令，得，则含x项的系数为．
(3)由（2）可知，令，则有，2，4，所以有理项为第1项，第3项，第5项．
19.【详解】（1）当时，，解得，
由当时，，得当时，，两式相减得，即，又，所以，
又适合上式，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以；
（2），则，，
两式相减得，所以.
20.【详解】（1）连接OC，BC，如图，由AB是半圆直径得，而，，则，，则圆弧BC长为，所以(m)，.
（2）由（1）知，，，求导得：，
当时，，当时，，即在上单调递增，在上单调递减，则当时，(m)，所以时，绿化带总长度最大，最大值为.
21.【详解】（1）若，，成等差数列，则，即，解得，故.
（2）当时，由（1）可得：，
故，
∵，即，令，即，
可得，故原题意等价于对任意，恒成立，∵的对称轴为，数列为递减数列，且，故当时，取到最大值，则，故m的最小值.
22.【详解】（1）的定义域为，求导得：，当时，，当时，，即函数在上递减，在上递增，所以函数的递减区间是，递增区间是.
（2）当时，，令，则，
当时，，当时，，即函数在上递增，在上递减，
当时，，则有，所以实数a的取值范围是.
（3）依题意，，
同理，，而，即有，
由（2）知，当且时，，于是得，，
因此，，，即有，则，所以
关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.
