吉林省实验繁荣高级中学2022-2023学年高一下学期3月第一次月考数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 吉林省实验繁荣高级中学2022-2023学年高一下学期3月第一次月考数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 478.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-04-01 23:52:21 | ||
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文档简介
吉林省实验繁荣高级中学
2022—2023学年度下学期高一年级第一次月考试题
数学
第Ⅰ卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．已知向量，，若与同向共线，则（ ）
A．3 B． C．或3 D．0或3
3．在中，角A、B、C对的边分别为a、b、c．若，，，则角C等于（ ）
A．90° B．120° C．60° D．45°
4．在中，“”是“是锐角三角形”（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想．某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下．为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求．该同学取端点绘制了，测得，，，，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算的值（ ）
A． B． C． D．
6．已知，为单位向量，当向量与的夹角等于150°时，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
7．若两个向量、的夹角是，是单位向量，，，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点T是半径为1的半圆弧上的动点，半圆的圆心为O，，则的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．4
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．若是直线l上的一个单位向量，这条直线上的向量，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C．与的夹角为 D．
10．设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点M、B、C三点共线
B．在中，若，则为等腰三角形
C．若点M是的重心，则
D．若且，则的面积是面积的
11．已知平面直角 坐标系中三个点，，，点D为线段AB上靠近A的三等分点，下列说法正确的是（ ）
A．是钝角三角形 B．
C． D．若四边形ABCE为平行四边形，则点E为
12．在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，外接圆半径为R，若，，则（ ）
A． B．
C．的取值范围为 D．周长的最大值为
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则______．
14．在静水中划船的速度为50m/min，水流的速度为25m/min，如果船从岸边出发，最终船垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进的方向与水流方向所成角是______．
15．已知平面向量，，若与垂直，则实数______．
16．已知对任意角，均有公式．设的内角A，B，C满足．面积S满足．记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则abc的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知点，．
（1）若C是线段AB的中点，求C点坐标；
（2）若直线AB上的点D满足，求D点坐标．
18．（12分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，
（1）若，求b；
（2）若，求b．
19．（12分）在中，，，，D是边BC上一点，，设，．
（1）试用，表示；
（2）求的值．
20．（12分）已知，，，O为坐标原点．
（1），求的值；
（2）若，且，求与的夹角．
21．（12分）在中，角A、B、C对的边分别为a、b、c．且．
（1）求角B的大小；
（2）求的取值范围；
（3）若，，P为AC边中点，求BP的长．
22．（12分）如图所示，在中，P在线段BC上，满足，O是线段AP的中点．
（1）过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，．
（i）求证为定值；
（ii）设的面积为，的面积为，求的最小值．
（2）若是边长为1的正三角形，且，……是线段BC的n等分点，，其中，n、，，求的值．
吉林省实验中学
2022—2023学年度下学期高一年级第一次月考——数学答案
一、单选题 二、多选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A B B C D D C BC BCD ABD ACD
三、填空题
13．4 14．120° 15． 16．
四、解答题
17．（10分）【答案】（1）设，又,，则，，∵C是线段AB的中点，∴，即，解得，∴
（2）设，又，，，，∵，
∴，解得，∴．
18．（12分）【答案】（1）由余弦定理，得，∴．
（2）由正弦定理，得，∵，∴或．
当时，，∴；当时，，∴．综上，或．
19．（12分）【答案】（1）∵D是边BC上一点，，∴，又∵，，，∴．
（2）∵，，，∴，．
20．（12分）【答案】（1），所以，平方得，．
（2），，又，所以，，，而，所以．即与的夹角为．
21．（12分）【答案】（1）由正弦定理及，得，即，化简得，故．又，故．
（2）由（1）知，，故．又，则，，故．
（3）∵，∴，∵，，∴∴．
22．（12分）【详解】（1）（i）根据题意，同理可得：，由（1）可知，所以，
因为E，O，F三点共线，所以，化简得，即为定值，且定值为3；
（ii）根据题意，，，
所以，由（i）可知，则，
所以，
易知，当时，有最小值，此时．
（2）根据题意可知，……是线段BC的2024等分点，所以
所以，
则．
2022—2023学年度下学期高一年级第一次月考试题
数学
第Ⅰ卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．已知向量，，若与同向共线，则（ ）
A．3 B． C．或3 D．0或3
3．在中，角A、B、C对的边分别为a、b、c．若，，，则角C等于（ ）
A．90° B．120° C．60° D．45°
4．在中，“”是“是锐角三角形”（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想．某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下．为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求．该同学取端点绘制了，测得，，，，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算的值（ ）
A． B． C． D．
6．已知，为单位向量，当向量与的夹角等于150°时，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
7．若两个向量、的夹角是，是单位向量，，，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点T是半径为1的半圆弧上的动点，半圆的圆心为O，，则的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．4
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．若是直线l上的一个单位向量，这条直线上的向量，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C．与的夹角为 D．
10．设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点M、B、C三点共线
B．在中，若，则为等腰三角形
C．若点M是的重心，则
D．若且，则的面积是面积的
11．已知平面直角 坐标系中三个点，，，点D为线段AB上靠近A的三等分点，下列说法正确的是（ ）
A．是钝角三角形 B．
C． D．若四边形ABCE为平行四边形，则点E为
12．在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，外接圆半径为R，若，，则（ ）
A． B．
C．的取值范围为 D．周长的最大值为
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则______．
14．在静水中划船的速度为50m/min，水流的速度为25m/min，如果船从岸边出发，最终船垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进的方向与水流方向所成角是______．
15．已知平面向量，，若与垂直，则实数______．
16．已知对任意角，均有公式．设的内角A，B，C满足．面积S满足．记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则abc的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知点，．
（1）若C是线段AB的中点，求C点坐标；
（2）若直线AB上的点D满足，求D点坐标．
18．（12分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，
（1）若，求b；
（2）若，求b．
19．（12分）在中，，，，D是边BC上一点，，设，．
（1）试用，表示；
（2）求的值．
20．（12分）已知，，，O为坐标原点．
（1），求的值；
（2）若，且，求与的夹角．
21．（12分）在中，角A、B、C对的边分别为a、b、c．且．
（1）求角B的大小；
（2）求的取值范围；
（3）若，，P为AC边中点，求BP的长．
22．（12分）如图所示，在中，P在线段BC上，满足，O是线段AP的中点．
（1）过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，．
（i）求证为定值；
（ii）设的面积为，的面积为，求的最小值．
（2）若是边长为1的正三角形，且，……是线段BC的n等分点，，其中，n、，，求的值．
吉林省实验中学
2022—2023学年度下学期高一年级第一次月考——数学答案
一、单选题 二、多选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A B B C D D C BC BCD ABD ACD
三、填空题
13．4 14．120° 15． 16．
四、解答题
17．（10分）【答案】（1）设，又,，则，，∵C是线段AB的中点，∴，即，解得，∴
（2）设，又，，，，∵，
∴，解得，∴．
18．（12分）【答案】（1）由余弦定理，得，∴．
（2）由正弦定理，得，∵，∴或．
当时，，∴；当时，，∴．综上，或．
19．（12分）【答案】（1）∵D是边BC上一点，，∴，又∵，，，∴．
（2）∵，，，∴，．
20．（12分）【答案】（1），所以，平方得，．
（2），，又，所以，，，而，所以．即与的夹角为．
21．（12分）【答案】（1）由正弦定理及，得，即，化简得，故．又，故．
（2）由（1）知，，故．又，则，，故．
（3）∵，∴，∵，，∴∴．
22．（12分）【详解】（1）（i）根据题意，同理可得：，由（1）可知，所以，
因为E，O，F三点共线，所以，化简得，即为定值，且定值为3；
（ii）根据题意，，，
所以，由（i）可知，则，
所以，
易知，当时，有最小值，此时．
（2）根据题意可知，……是线段BC的2024等分点，所以
所以，
则．
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