山东省菏泽市定陶区明德学校（山大附中实验学校）2022-2023学年高一下学期3月第一次阶段性考试数学试题（PDF版含答案）

高一第二学期第一次阶段性考试
数学试题
使用日期 2023.3
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.设 z 1 i ，则 z （ ）
1 i
A. 0 B. 1 C. 1 D. 2
2

2．已知向量 a与b的方向相反，b 2,3 ， a 2 13，则 a （ ）
6,4 B． 4,6 C． 4, 6 D． 6, 4
A.
3．在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a 2,b 3 ,B=60°,则 A=（ ）
A.45° B.135° C.45°或 135° D.60°或 120°
4．若 e1,e2 是平面内一组不共线的向量,则下列四组向量中,不能作为平面内所有向量的一组基底
的是 （ ）
A.e1与e1 e2 B.e1 2e2与2e1 e2 C.e1 2e2与e1 2e2 D.e1 e2与e2 e1
5.已知三角形的边长分别为 1, 2, 5,则它的最大内角的度数是（ ）
A.90° B.120° C.135° D.150°

6．在△ABC 中，已知D为 AC上一点，若 AD 2DC，则BD （ ）
1 2 1 2 2 1 BC BA BC BA BC BA 2 BC 1

A． B． C． D． BA
3 3 3 3 3 3 3 3
7.如图,从无人机 A上测得正前方的峡谷的两岸 B,C 的俯角分别为 75°,30°,若无人机的高度
AD 是15 3 1 ,则此时峡谷的宽度 BC 是（ ）
A.30
B.30 3 1
C.60
D.60 3 1
8.在平面四边形 ABCD中， BAD 30 , ABC 75 ， ADC 105 ， AB 2， AD 3 .若点 E为

线段CD上的动点，则 AE BE的最小值为（ ）
1 3 1 3 1 3 1 3
A． B． C． D．
2 4 2 4 2 4 2 4
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0 分.
z 1 i9．已知复数 ，则下列选项正确的是（ ）
i
A．z 的虚部为 1 B． z 2
C． z2 为纯虚数 D． z 在复平面内对应的点位于第一象限
10、对于 ABC，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A．若sin 2A sin 2B，则 ABC为等腰三角形
B．若 A B，则 sin A sin B
C．若a 8，b 10， B 60 ，则符合条件的 ABC有两个
D．若 sin2 A sin2 B sin2 C，则 ABC是钝角三角形
11.在△ABC 中，角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c，已知 b c : (c a) : (a b) 4 :5 : 6，下列结论
正确的是（ ）

A． sinA : sinB : sinC 7 :5:3 B． AB AC 0
7 3
C．若 c 6，则△ABC 的面积是15 3 D．若b c 8，则△ABC 的外接圆半径是
3
π
12.在△ABC 中，内角A，B，C所对的边分别为 a，b，c， ABC ，内角 B的平分线交 AC于点D3
且BD 3，则下列结论正确的是（ ）
1 1
A． 1 B．b的最小值是 2a c
C．a 3c的最小值是 4 3 D．△ABC 的面积最小值是 3
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分．

13. 已知向量 a ,b满足 | a | 1， | b | 2， | a b | 3则 | a b | _______

14．已知 ABC的面积为3 3，AB 2， A ，则边BC的长为 ______ .
3
5π
15．如图所示，向量OA与OB的夹角为 ，向量OP与OB π的夹角为 ， OA OP 2， OB 4，
6 6

若OP mOA nOB，（m，n R ），则mn ______．
16.古希腊数学家托勒密于公元 150 年在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸
四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知 AC，BD 为圆的内接四边形 ABCD 的两条对角
线，且 sin ABD : sin ADB : sin BCD 2 : 3 : 4 2，若 AC BC ·CD ，则实数 的最小值为_________．
四、解答题：本大题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10 分）已知向量a与b， a 1,0 ，b 2,1 .

（1）设 2a b与b的夹角为 ，求cos 的值；

（2）若向量 ka b与 a kb互相平行，求 k的值.
18.（12 分） 已知复数 1 = 1 2 ， 2 = 3 + 4 ， 为虚数单位．
(1)若复数 1 + 2在复平面上对应的点在第四象限，求实数 的取值范围；
= (2) 1若 ，求 的共轭复数．2
19.（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(一 1，2),B(1,1),记OA a,OB b.
(1)设 a在b上的投影向量为 e ( e是与b同向的单位向量),求 的值;
(2)若四边形 OABC 为平行四边形,求 点 C的坐标.

20（. 12分）在△ABC中，角 A,B,C的对边分别为 a,b,c．已知向量m 1, 3 ，n sin A,1 cos A ，且m / /n．
(1)求角A的大小；
(2)若 c 5，△ABC 的面积 S 5 3，，求 sin 2B的值．
21.（12 分）已知△ABC 的角 A，B，C对边分别为 a，b，c，A 为锐角，b cos A a cos B c 3cos A 1 .
(1)求 cos A；
(2)若a 2，求 AB AC的最大值.
22. （12 分）如图，已知两条公路 AB，AC 的交汇点 A处有一学校，现拟在两条公路之间的区域内建
一工厂 P，在两公路旁 M，N（异于点 A）处设两个销售点，且满足 A PMN 75 ，MN 6 2
（千米）， PM 2 3（千米），设 AMN .
（1）试用 表示 AM，并写出 的范围；
（2）当 为多大时，工厂产生的噪声对学校的影响最小（即工厂与学校的距离最远）.
高一第二学期第一次阶段性考试数学答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C C A D C D C B AC BD ACD ABD
3 3
13. 7 14.2 7 15. 2 16. 2
8.根据题意，连接 EA,EB，取 AB中点为 F，作图如下：
2 2 EA EB EA EA EB
2 2 2
EB EF FB EF 1
AE BE 2 2 ，
2
在三角形 ADF中，由余弦定理可得：DF 4 2 3 cos30 1，即DF 1，

则 FDA FAD 30 ，故 FDE 75 FE DC
EF
，显然当且仅当 时， 取得最小值，
2
6 2 6 2 EF sin 75 DF 1 1 32 4
故 min 4 ，EF 1的最小值为 2 4 .
1 3
即 AE BE的最小值为 2 4 .
1
S S S ac sin
1
3a sin 1 3c sin
12.由题意得： △ABC △ABD △BCD， 2 3 2 6 2 6 ，
1 1
化简得 ac a c
1
，所以 a c ，故 A正确； ac a c 2 ac，当且仅当 a c
1 3
时取等号， ac 2 ac 4
S ABC acsin ABC ac 3
， ， 所以 2 4 ，当且仅当
a c 2时取等号，故 D正确；
b2 a2 c2 2ac cos ABC a2 c2 ac
a c 2 3ac ac 2 3ac 42 3 4 4
所以b 2，即b的最小值是 2，当且仅
当a c 2时取等号，故 B正确；
1 1
1
对于选项C：由 ac a c得： a c ，
a 3c (a 3c) (1 1) 1 a 3c a 3c 3 4 2 4 2 3
a c c a c a ，
1 1
1 a c a 1 3

a 3c 3
c a
c 1
当且仅当 ，即 3 时取等号，故 C错误；
16.【详解】根据圆内接四边形的性质知; BAD BCD ,sin BAD sin BCD ,
所以 sin ABD : sin ADB : sin BCD 2 : 3 : 4，即
sin ABD : sin ADB : sin BAD 2 :3: 4，
| AD | | AB | | BD |

在 BAD中， ABD ADB BAD ,故 | AD |:| AB |:| BD | 2 : 3 : 4，
由题意可知： | AC | | BD | | AB | |CD | | AD | | BC | ,
2
则 4 | AC | 3 |CD | 2 | BC |，所以16 | AC | 9 |CD |
2 4 | BC |2 12 |CD | | BC |，
故16 | AC |
2 9 |CD |2 4 | BC |2 12 |CD | | BC | 24 |CD | | BC |，
2
|CD | | BC | AC BC ·CD当且仅当 时等号取得，又 ，所以
24 3 3
16 BC ·CD 24 |CD | | BC |
，则 16 2 ，则实数 的最小值为 2 ，
2a b 5 (0,1),cos
17.（1） 5

ka b k 2,1 a kb 1 2k ,k k k 2 2k 1 0
（2） ， ，由题意可得， ，
2
整理可得， k 1 0，解可得， k 1.
18..解：(1)因为z1 + az2 = 1 2i + a 3 + 4i = 1 + 3a + 4a 2 i，
1 + 3a > 0 1 1 1 1
由题意可得： 4a 2 < 0，解得 < a < ，所以实数 a的取值范围为 , ；3 2 3 2
(2) z = z1 = 1 2i = (1 2i)(3 4i) = 5 10i由 = 1 2 i，
z2 3+4i (3+4i)(3 4i) 25 5 5
所以z = 1+ 2 i．
5 5
19.

m 1, 3 n sin A,1 cos A20.【详解】（1）因为 ， ，且m / /n，
2sin A π 1 0 sin A π 1
所以 3 sin A 1 cos A 0
6 ,即 ，于是有 6 2，
π π 5π π π
0 A π A A A
π

因为 ，所以 6 6 6 ，所以 6 6 ,解得 3 .
π
所以角A的大小为 3 .
A π 1 bc sin A 1 b 5 3 S 5 3 5 3（2）由（1）知， 3，因为 ，c 5，所以 2 2 2 ，解
2
b 4 a b
2 c2 2bc cos A 42 52 1 2 4 5 21
得 ，由余弦定理，得 2 ,解得a 21，
3
sin B b sin A
4
2 2 7
由正弦定理，得 a 21 7 ,
2

cosB 1 sin2 A 1 2 7 21
a b 7
7
因为 ，所以 A B . .
sin 2B 2sin B cosB 2 2 7 21 4 3
所以 7 7 7 .
b cos A a cos B c 3cos A 121.(1)解：因为 ，由正弦定理可得，
sin B cos A sin Acos B sinC 3cos A 1 sin A B sinC 3cos A 1 ，所以 ，所以
2
sinC sinC 3cos A 1 cos A ，因为sinC 0，所以3cos A 1 1，所以 3 .
a2 b2 c2 2bc cos A b2 c2 4 bc 4 b2 c2 4 4 bc
(2)解：由余弦定理， 3 ，即 3 ，
4
b2 c2 2bc b c bc 4 2bc又 ，当且仅当 时取等号，即 3 ，解得bc 6当且仅当b c

AB AC cbcos A 2 bc 4 uuur uuur
时取等号，所以 3 ，故 AB AC得最大值为 4.
MN AM

AMN AMN sin 75 sin 75 22.【详解】解：（1）因为 ，在 中，
MN 6 2 AM 4sin 75 0 105 因为 ，所以 ，
（2）在△APM 中， AP
2 AM 2 MP2 2AM MP cos AMP
16sin2 75 12 16 3 sin 75 cos 75
8 1 cos 2 150 8 3 sin 2 150 12
20 8 3 sin 2 150 cos 2 150
20 16sin 2 180 0 105
20 16sin 2 0 105 ，
当且仅当2 90 ，即 45 时， AP2取得最大值 36，即 AP取得最大值 6.
所以当 45 时，工厂产生的噪声对学校的影响最小.