高一3月月考数学试卷
答案和解析
【答案】
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8. 9. 10. 11. 12.
13.
(2，0)
14.
15.
16.
17.
解：(1)因为＝(1,0)，＝(2,1)，
所以＋3＝(1,0)＋(6,3)＝(7,3)．
(2)k－＝(k－2，－1)，＋3＝(7,3)，
因为k－与＋3平行，
所以3(k－2)＋7＝0，解得k＝－，
所以k－＝，＋3＝(7,3)，
即k＝－时，k－与＋3平行，方向相反．
18.
（1）解：由题意，
则|+2|=
=
=
==.
（2）解：∵||=，
∴，
∴，
得，
化简，
解得或（舍去），
即.
19.
解：（1）由余弦定理及已知得cosB==.
（2）因为A，B为三角形内角，
所以sinA===，
sinB===.
又因为a=8,
所以由正弦定理得b===7，
又因为cosA==．
所以c2-2c-15=0，解得c=5 （c=-3舍）．
所以S△ABC=bcsinA=．
20.
解：（1）∵，
，
∴，
∵，
∴．
（2）设，
∴==,
∵，
∴
又，且不共线．
所以由平面向量基本定理知：，
∴.
21.
解：如图所示，设所需时间为t小时，
则AB＝10t，CB＝10t，
在△ABC中，根据余弦定理，则有AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°，
可得(10t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos 120°.
整理得2t2－t－1＝0，
解得t＝1或t＝－(舍去)，
所以舰艇需1小时靠近渔船，
此时AB＝10，BC＝10.
在△ABC中，由正弦定理得，
∴sin∠CAB＝.
∴∠CAB＝30°.
所以舰艇航向为北偏东75°.
22.
解：(1) 由条件，
可得：，即，
化简可得：，
因为c=1，
所以；
(2) 因为D为中点，
所以，
设，则，
又，
所以，
化简可得：
解得或，
又，
所以，则，
所以的面积为；
(3) 设，，
因为的面积为面积的一半，
所以，
设，则
又共线，所以设，
则
所以，解得：，
所以，
又，
所以=
==，
又，
所以化简可得==，
又，所以，
所以，则，
所以，
所以，当时等号成立，
所以的最小值为2.
【解析】
1. 【分析】
本题考查了平面向量的应用问题，解题时应熟练地掌握向量共线的概念，向量相等与单位向量等知识，属于基础题．
由题逐一求证即可求解．
【解答】
中，与是共线时，，，，四点不一定共线，判定A错误，
中，，中，若，则不成立，B错误，
中，零向量的方向不确定，因此人们规定它可以与任何向量平行，则C错误，
中，两个相等向量的模是一定相等的，D正确．
故选D．
2. 【分析】
本题考查平面向量的加法运算以及相等向量的概念，属于基础题．
首先，，所以会有，继而可以得知，且，由此即可得到结果．
【解答】
解：由，又，
得，即，且，
所以四边形的一组对边平行且相等，
故为平行四边形．
故选D．
3. 【分析】
本题考查平面向量运算法则、共线向量的性质，属于基础题．
由，，三点共线，得，为实数，由此能求出实数．
【解答】
解：，，三点共线，
，为实数，
，，，
，
，
解得，．
故选C．
4. 【分析】
本题考查平面的坐标运算，属于基础题．
设，则有，根据向量的相等，得到，的方程组，解得，的值，即可得到答案．
【解答】
解：设，则有，
所以，
即所以
所以点坐标为
故选D．
5. 【分析】
本题考查向量的模、夹角，向量共线、垂直的判定以及向量的坐标运算，属于基础题．
根据向量的模判断，计算的坐标判断，利用向量夹角公式计算，利用是否等于判断即可．
【解答】
解：因为故A错误
因为，，所以，所以与不共线，故B错误
因为，，
所以
因为，所以，故C错误
因为，，所以，
所以，故D正确．
故选D．
6. 【分析】
本题考查了平面向量的坐标运算及共线的性质，属简单题．
由平面向量的坐标运算及共线的性质得：因为，所以，解得，得解．
【解答】
解：因为向量，，
所以，
又，
所以，
解得，
故选：．
7. 【分析】
本题考查余弦定理、正弦定理，考查两角和与差的三角函数公式，考查计算能力，是中档题．
利用余弦定理求出，得出的余弦值，利用求出的值．
【解答】
解：在中，，，，
由余弦定理得，
所以．
由正弦定理得．
由知为锐角，故，
所以．
故选B．
8. 【分析】
本题考查了数学文化，正弦定理，三角形面积计算，属于中档题．
由正弦定理得三角形三边之比，由周长求出三边，代入公式即可．
【解答】
解：，即，
由正弦定理得．
又的周长为，
可得，，．
的面积为
．
故选A．
9. 【分析】
本题考查平面向量的坐标运算，以及相等向量．
由题意可得点的坐标，进而可得向量的坐标，由向量相等可得，的值，可得答案．
【解答】
解：点在第一象限内，，且，
点的横坐标为，纵坐标，
故，
而，，
则
由，，
，
故选A．
10. 【分析】
根据平面向量共线的坐标表示求出，再利用基本不等式求出的最小值．
本题考查了平面向量的共线定理和基本不等式的应用问题，属于中档题．
【解答】
解：因为向量，，且与共线，
所以，；
又因为，，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
故选：．
11. 【分析】
本题考查向量知识的运用，考查平面向量基本定理，考查学生的计算能力，属于中档题．
用，作为基底分别表示，根据平面向量基本定理，求出，，即可得到结论．
【解答】
解：由题意，由，
得，
，
所以
，
由同理可得，
，
根据平面向量基本定理，可得
，．
故选D．
12. 【分析】
本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用，作为解三角形的常用定理，应用熟练记忆这两个定理及其变式，属于基础题．
先根据三角形面积公式求得的值，利用正弦定理及题设中，可得，代入到余弦定理中求得．
【解答】
解：由已知可得：，解得：，
又，由正弦定理可得：，
由余弦定理：，
解得：，
．
故选D．
13. 【分析】
本题考查向量的坐标运算，属于基础题．
设出的坐标，利用已知条件求解即可．
【解答】
解：，设， 则 ．
解得即．
14. 【分析】
本题考查了向量的数量积和投影向量的概念及计算公式，属于基础题．
根据投影向量的计算公式即可得出结果．
【解答】
解：向量在方向上的投影向量为，
故答案为．
15. 【分析】
本题考查向量的数量积的坐标表示，同时考查二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．以为坐标原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，设，则，求得向量．，再由二次函数的最值求法，即可得到最小值．
【解答】
解：以为坐标原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，
设，则，
，
即有，
当时，取得最小值．
故答案为．
16. 【分析】
本题考查了正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，是中档题．
由正弦定理可得，再由余弦定理得出、，由三角形面积公式可得结果．
【解答】
解：，由正弦定理可得，
又，，
余弦定理得，
解得，，
．
17. 本题考查两个向量共线的性质，考查向量的坐标运算的能力等，属于基础题．
根据向量的坐标运算即可得到的坐标，
利用两向量平行的坐标运算，求出的值，并判断它们是同向还是反向．
18. 本题主要考查了向量的夹角与向量数量积的计算，属于基础题．
由题意求得的值，即可化简求解．
本题主要考查了向量的数量积，向量的夹角与向量的计算，属于基础题．
由题意可得化简求解即可．
19. 本题主要考查正余弦定理以及同角三角函数基本关系式，并涉及到三角形的面积公式和计算能力，属于基础题．
直接把等式变形即可求解；
先利用同角三角函数关系式求出角，的正弦值，再借助于正弦定理求出，代入已知条件求出，进而求出三角形的面积．
20. 本题考查的知识要点：向量的线性运算，平面向量基本定理，向量的加法和减法运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
直接利用向量的线性运算的应用和加减法的应用求出结果．
直接利用向量的线性运算和共线向量的充要条件的应用求出结果．
21. 本题考查解三角形的实际应用，
首先根据题意画出图形，利用舰艇靠近渔轮所需的时间与渔轮用的时间相同，利用正弦定理，余弦定理计算即可．
22. 本题考查函数的最值、正弦定理、三角形面积公式、向量的数量积、平面向量的基本定理及其应用，属于较难题．
利用正余弦定理化简已知式子为，化简可得，即可求出结果；
设，利用，求出，再求出，利用三角形的面积公式，即可求出结果；
设，，表示出，，求出，即可求出结果．高一 3 月月考数学试卷
试卷满分：150 分 考试时间： 120 分钟
一、单选题（本大题共 12 小题，共 60 分）
1. 下列命题中正确的是( )
A. 若 与 是共线向量，则 , , , 四点共线；
B. 若 // ， // ，则 // ；
C. 不相等的两个向量一定不平行；
D. 两个相等向量的模相等．
2. 在四边形 中， = + ，则一定有( )
A. 四边形 是矩形 B. 四边形 是菱形
C. 四边形 是正方形 D. 四边形 是平行四边形
3. 已知 1 ， 2 是不共线向量，A B = 2 1 + ， 2 B C = 1 + 3 ，C D 2 = 1 2 ，且 ，
， 三点共线，则实数 等于( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4. 已知□ 的三个顶点 ( 1, 2)， (3,1)， (0,2)，则顶点 的坐标为( )
A. (2, 3) B. ( 1,0) C. (4,5) D. ( 4, 1)
5. 设向量 = (0,2)， = (2,2)，则( )
A. | | = | | B. ( )//
C. 与 的夹角为 D.
3 ( ) ⊥
6. 设向量 = (1,1)， = (2, )，若 //( + 2 )，则实数 的值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 如图所示，位于 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的 处有一艘渔船
遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的
处的乙船，现乙船朝北偏东 的方向即沿直线 前往 处救援，则cos 等于 ( )
第 1 页，共 4 页
√21 21 3 21 21A. B. √ C. √ D. √
7 14 14 28
8. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问
题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，
其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边求面积的公式，这与古希腊的海
伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以
小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段
文字写成公式，即 1 2 2
2+ 2 2 2
= √ [ ( ) ]，现有周长为5 + √7的 满足
4 2
sin : sin : sin = 2: 3: √7，则用以上给出的公式求得 的面积为( )
3 3
A. √ B. √7 C. 2√7 D. 3
2
9. 在平面直角坐标系 中，已知 (1,0)， (0,1)， 为第一象限内一点，∠ = ，
4
且| | = 2，若 = + ，则 + 等于( )
A. 2√2 B. √2 C. 2 D. 4√2
4 1
10. 已知向量 = ( 3, )， = (2, 1)(其中 > 0， > 0)，若 与 共线，则 +
2
的最小值为( )
9 46
A. B. 3 C. D. 9
4 15
1
11. 如图，在△ 的边 、 上分别取点 、 ，使 = ,
1
= ， 与
3 2
交于点 ，若 = ， = ，则 的值为( )
8 3 1
A. B. C. D. 6
3 8 6
第 2 页，共 4 页
3
12. 在△ ABC中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知∠ = 30°，△ ABC的面积为 ，
2
且 ，则 的值为( )
A. 4 + 2√3 B. 4 2√3 C. √3 1 D. √3 + 1
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）
13. 已知点 (5, 6)，且 = ( 3,6)，则点 的坐标为________．
14. 已知| | = 2，| | = 10， 与 的夹角为120°，与 同向的单位向量为 ，则向量 在
向量 方向上的投影向量是 ．
15. 在△ ABC中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 = 2， = ，sinB = 2sinA，
3
则△ ABC的面积为__________．
16. 在矩形 中， = 2， = 1.边 上(包含 、 )上的动点 与 延长线上(包
含点 )的动点 满足| | = | |，则 的最小值为________．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
17. 已知 = (1,0)， = (2,1)．
(1)求 + 3 的坐标；
(2)当 为何实数时， 与 + 3 平行，平行时它们是同向还是反向？
18. (1)已知| | = 2，| | = 4， 与 的夹角为120 ，求| + 2 |的值；
(2)已知 与 的夹角为45 ，| | = 1，|2 | = √10，求| |；
19. 在△ 中， 2 + 2 = 2 + ．
(1)求cos 的值；
1
(2)若cos = , = 8，求 以及
7 △
的值．
第 3 页，共 4 页
20. 如图，已知在△ 中， 是 的中点， 是线段
的靠近点 的三等分点， 和 交于点 ，设 =
, = ．
(1)用 和 表示向量 , ．
(2)若 = ，求实数 的值．
21. 某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在 处获悉后，立即测出该
渔船在方位角为45°，距离为10 的 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，
以10 / 的速度向某小岛 靠拢，我海军舰艇立即以10√3 1 / 的速度前去
营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．
22. 如图，设△ 中角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 为 边上的中线，已
1
知 = 1且2 sin cos = sin sin + sin ， ．
4
(1)求 边的长度．
(2)求△ 的面积．
(3)设点 ， 分别为边 ， 上的动点，线段 交 于 ，且△ 的面积为△
面积的一半、求 · 的最小值．
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