与圆有关的位置关系
图片预览
文档简介
与圆有关的位置关系
重点、难点：
1. 重点：
（1）点与圆、直线与圆位置关系的判断。
（2）三角形外接圆的性质。
（3）切线的识别及切线性质的应用。
（4）切线长定理。
（5）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
（6）两圆相交、相切的性质和判定。
（7）圆和圆的位置关系。
2. 难点：
（1）直线与圆相切的性质和判定。
（2）切线的判定方法：切线的性质。
（3）要充分发挥基本图形在证、解题中的作用，正确恰当地根据基本规律来添加辅助线。
①两圆相交，可作公共弦。
②两圆相切，可作公切线。
③有半圆，可作整圆；有直径，可作直径所对的圆周角。
④圆与圆要心连心，即作连心线。
【知识纵览】
1. 点与圆的位置关系
点与圆的位置关系分为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种情况，这三种情况，与点到圆心的距离（d）、圆的半径（r）之间有着紧密的联系。也就是说：点与圆的位置关系，不仅可以用图形来表现，还可以由数量关系来表示，其对应关系可简明地表示如下：
图形（点与圆）的位置关系 数量（d与r）的大小关系
点在圆内 d＜r
点在圆上 d＝r
点在圆外 d＞r
2. 直线与圆的位置关系的性质与判定
设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表：
位置关系 相离 相切 相交
图形
公共点个数 0 1 2
数量关系 d＞r d＝r d＜r
3. 三角形内心与外心的区别
图形 名称 确定方法 性质
外心（三角形外接圆的圆心） 三角形三边垂直平分线的交点 ①OA＝OB＝OC；②外心不一定在三角形的内部
内心（三角形内切圆的圆心） 三角形三个内角的平分线的交点 ①OD＝OE＝OF；②OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB
4. 两圆的位置关系、数量关系及识别方法
设两圆的半径分别为R和r，圆心距（圆心间的距离）为d。
位置关系 图形 公共点个数 R、r与d的关系
外离 0
外切 1
相交 2
内切 1
内含 0
上表中，两圆内含时，如果d＝0，则两圆同心，这是内含的一种特殊情况。
【典型例题】
例1. ⊙O的半径为2.5，动点P到定点O的距离为2，动点Q到P点距离为1。问：P点、Q点和⊙O是什么位置关系？为什么？
解：∵PO＝2＜2.5
∴P点在⊙O内部
Q点和O点的距离较复杂，如下图，需分类讨论。
当Q点在OP延长线上时，则Q点和O点距离最大，最大距离为。
当Q点在OP上时，则Q点和O点距离最小，最小距离为。
当Q点处在点和点时，则，如上图所示。
综上所述，Q点既可能在⊙O上，也可能在⊙O外，或在⊙O内。
例2. 在平面直角坐标系xOy中，当以点O'（4，3）为圆心的圆分别满足下列条件时，求其半径r的取值范围。
（1）与坐标轴有惟一交点。
（2）与坐标轴有两个交点。
（3）与坐标轴有三个交点。
（4）与坐标轴有四个交点。
解：如下图，由题意，圆心O'到x轴的距离，到y轴的距离。
（1）∵⊙O'与坐标轴有惟一公共点
∴只可能与x轴有惟一公共点
（2）由条件知，⊙O'与x轴相交，但与y轴无公共点
（3）∵⊙O'与坐标轴有三个交点
∴⊙O'与x轴必相交且与y轴必有公共点
若⊙O'与y轴有惟一公共点，则r＝4
若⊙O'与y轴有两个公共点，则其中一个公共点必为原点，故r＝5。
∴所求r的值为r＝4或r＝5
（4）∵⊙O'与坐标轴有四个交点
∴⊙O'与两坐标轴都相交，且不过原点
∴r＞4且r≠5
例3. 如图所示，已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B。OC平行于弦AD，试说明：DC是⊙O的切线。
解：连结OD
因为OA＝OD，所以∠1＝∠2
又因为AD∥OC，所以∠1＝∠3，∠2＝∠4
因此∠3＝∠4
而OB＝OD，OC公共，于是将△OBC沿OC翻折可与△ODC重合
所以∠ODC＝∠OBC
又BC是⊙O的切线，所以∠OBC＝90°
从而∠ODC＝90°，OD⊥DC，故DC是⊙O的切线
例4. 如图所示，已知AB、AC分别是⊙O的直径和弦，D为劣弧上一点，DE⊥AB于点H，交⊙O于E，交AC于点F，P为ED延长线上一点。
（1）当△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切，请说明理由；
（2）当点D在劣弧上的什么位置时，才能使。
精析与解答：（1）如图所示，当△PCF为等腰三角形，PC＝PF时，PC与⊙O相切
连结OC，当PC＝PF时，∠PCF＝∠PFC
∵DE⊥AB，∴∠1＋∠AFH＝90°
∴∠1＋∠PFC＝90°，即∠1＋∠PCF＝90°
又∵OA＝OC，∴∠1＝∠2
∴∠2＋∠PCF＝90°，即PC与⊙O相切于点C
（2）当D为劣弧中点时，
连结AE，∵D为中点，∴∠3＝∠4
又∠ADF＝∠EDA，∴△ADF∽△EDA
，即
例5. 如下图，AB是半圆⊙O的直径，C为半圆上一点，CD切⊙O于点C，AD⊥CD于点D，⊙C以CD为半径。
求证：AB是⊙C的切线。
分析：要证AB是⊙C的切线，就是要证点C到AB的距离CE＝CD。即要证△ACD和△ACE全等。
证明：过点C作CE⊥AB于点E，连结AC、BC、OC
∵CD是⊙O的切线，AB是⊙O的直径
∴CD⊥OC，AC⊥BC
在△ACD和△ACE中
∴△ACD≌△ACE
∴CE＝CD
∴AB是⊙C的切线
例6. 如下图，设⊙I与△ABC的三边AB、BC、AC分别相切于点F、D、E，连结BI、CI、ED、FD。若∠A＝60°，则∠BIC＝_________，∠EDF＝_________。
分析：本题所求的两个角分别是⊙I的圆心角和圆周角。如果考虑用圆心角等性质来求。但条件不足，所以只能用三角形的内心性质及三角形的内角和定理来求。
解：连结IE、IF
∵⊙I是△ABC的内切圆
∵⊙I分别切AB、AC于F、E
∴IF⊥AB，IE⊥AC
∴∠AFI＋∠AEI＝180°
∴∠A＋∠EIF＝180°
例7. 如图所示，⊙O半径为R，CD为⊙O直径，以D为圆心。r为半径的圆与⊙O相交于A、B，BD的延长线交⊙D于E点。
求证：
证明：本题中的⊙O经过⊙D的圆心，是一种特殊相交，则连接AD。可知AD即为⊙O的弦，又为⊙D的半径，两圆相交可作公共弦，连接AB，对R、r进行选择，然后用三点定形找到共边型的相似三角形。
连结AD、AB、OA、AC
又∵∠C＝∠B
∴∠AOD＝∠ADE
∵△AOD与△ADE都是等腰三角形且顶角相等
∴它们的底角也相等，即∠ADO＝∠DAE
∴△AOD∽△ADE
（相似三角形对应边成比例）
即
例8. 已知：如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm，AB为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s速度运动。P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，求：
（1）t分别为何值时，四边形PQCD为平行四边形？等腰梯形？
（2）当t分别为何值时，直线PQ与⊙O相切？相交？相离？
精析与解答：（1）四边形PQCD为平行四边形时，只要PD＝CQ即可；四边形PQCD为等腰梯形时，则要PQ＝CD，PD≠QC
当QC＝PD时，有，解得t＝6
∴当t＝6s时，四边形PQCD为平行四边形
过P、D分别作BC的垂线交BC于E、F（如图甲所示），则由等腰梯形的性质可知EF＝PD，QE＝FC＝2，QC－PD＝4
，解得t＝7
∴当t＝7时得四边形PQCD为等腰梯形
甲
（2）讨论动直线PQ与⊙O的位置关系，关键是要抓住直线PQ与⊙O相切时的情况计算出t的值，加以分析推理可以得出PQ与⊙O相交、相离时t的值。
设运动t s时，直线PQ与⊙O相切于点G，过P作PH⊥BC，垂足为H（如图乙所示）
乙
∴PH＝AB，BH＝AP
即PH＝8，HQ＝26－4t
由切线长定理，得：
由勾股定理，得：
即
得，解得
∵t＝0时，PQ与⊙O相交，当时，Q点运动到B点，P点尚未运动到点D，但也停止运动，此时PQ直线与⊙O相交
或8s时，直线PQ与⊙O相切；
当或时，直线PQ与⊙O相交；
当时，直线PQ与⊙O相离。
例9. 如图甲所示，施工工地的水平面上，有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起，则其最高点到地面的距离是多少？
甲
精析与解答：如图乙所示，连结
乙
设⊙与⊙外切于点A，则
在中，
∴最高点C到水平面的距离
例10. 如图所示，两等圆⊙和⊙相交于A、B两点，且两圆互过圆心，过B作任一直线，分别交⊙、⊙于C、D两点，连结AC、AD。
（1）试猜想△ACD的形状，并给出说明。
（2）若已知条件中两圆不一定互相过圆心，试猜想三角形的形状是怎样的？说明你的结论成立的理由。
（3）若⊙，⊙是两个不相等的圆，半径分别为R和r。那么（2）中的猜想还成立吗？若成立，说明理由；若不成立，那么AC和AD的长与两圆半径有什么关系？说明理由。
精析与解答：（1）△ACD为等边三角形
理由：因为两圆是等圆，且互相过圆心，连结
则
所以
所以∠ADB＝∠ACB＝60°
所以△ACD为等边三角形
（2）△ACD为等腰三角形
理由：因为两圆是等圆，连结
则
所以
所以∠ADB＝∠ACB
所以△ACD为等腰三角形
（3）不成立，此时
如图所示，分别作⊙、⊙的直径AE和AF分别交两圆于E、F点，连结CE、DF、AB，则∠ACE＝∠ADF＝90°
∴△ACE∽△ADF
【模拟试题】（答题时间：80分钟）
一. 选择题（每小题4分，共24分）
1. 下列语句不正确的是（ ）
A. 过一点可以作无数个圆
B. 过两点可以作一个圆
C. 过任意三点都可以作一个圆
D. 过任意四个点不一定能作圆
2. ⊙O的直径是8cm，直径和⊙O相交，圆心O到直线的距离是d，则d应满足（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图所示，P是⊙O外一点，自P点向⊙O引切线PA，PB，切点为A，B，CD切⊙O于E，交PA，PB于C，D，若PA＝20，则△PCD的周长为（ ）
A. 20 B. 30 C. D. 40
4. 设△ABC的内切圆的半径为2，△ABC的周长为4，则△ABC的面积为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
5. 两圆半径分别为5和3，d为圆心距，当时，两圆的位置关系是（ ）
A. 外切 B. 内切 C. 外离 D. 相交
6. 如图所示，AB，AC与⊙O相切于点B，C，∠A＝50°，点P是圆上异于B，C的一动点，则∠BPC的度数是（ ）
A. 65° B. 115° C. 65°或115° D. 130°和50°
二. 填空题（每小题2分，共12分）
7. 如图所示，AB是⊙O的直径，AB＝AC，AC是⊙O的切线，A是切点，则∠B＝____________。
8. 如图所示，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝30°，则∠CAB＝__________。
9. △ABC的内切圆⊙O与AC，AB，BC分别相切于点D，E，F，且AB＝4，BC＝8，AC＝6，则AE＝_________，BF＝_________，CD＝_________。
10. 如图所示，已知⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∠B＝50°，∠C＝40°，则∠DOF＝_________，∠DEF＝_________。
11. ⊙O的半径为3cm，若⊙O'与⊙O外切时，圆心距为10cm，则⊙O'与⊙O内切时，圆心距为_________cm。
12. 如图所示，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，，若以C为圆心，CB为半径的圆交AB于P，则AP＝__________。
三. 综合题（每小题6分，共24分）
13. 如图所示，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，且DB＝BO，过点A作弦AC，使∠CAB＝30°，连结DC，DC是⊙O的切线吗？为什么？
14. 如图所示，AC为⊙O的直径，PA，PB是⊙O的切线，OP交AB于点E，交于点F，∠CAB＝30°，AC＝8cm。求：
（1）∠APB的度数；
（2）OP的长；
（3）PE的长；
（4）△ABP的面积。
15. 如图所示，⊙O为△ABC的内切圆，连结OB，OC。
（1）当∠B＝80°，∠C＝30°时，求∠BOC；
（2）当∠A＝70°时，求∠BOC；
（3）当∠A＝α时，求∠BOC。
16. 如图所示，AB是⊙O的直径，BE是⊙O的切线，切点为B，点C为射线BE上一动点（点C与点B不重合），且弦AD平行于OC。
（1）求证CD是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，试问：当动点C在射线BE上运动到什么位置时，有？证明你的结论。
四. 开放与交流（共10分）
17. 如图所示，在直角坐标系内，以点M（2，0）为圆心，3为半径作⊙M。
（1）分别画出①当；②当；③当时的图形，并判断直线与⊙M的位置关系；
（2）试判断直线与⊙M相交和k，b的取值是否有关，请说明理由，得出结论。
五. 思考与探究（每小题6分，共12分）
18. 如图所示，AB是半圆O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动（不与点M重合），点Q在半圆O上运动，且总保持PQ＝PO，过点Q作半圆O的切线交BA的延长线于点C。
（1）∠QPA＝60°时，请你对△QCP的形状作出猜想，并给予证明；
（2）当QP⊥AB时，△QCP的形状是___________三角形；
（3）由（1），（2）得出的结论，请进一步猜想当点P在线段AM上运动到任何位置时，△QCP一定是__________三角形。
19. 如下图（1）所示，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点。
（1）判断AP与BP的关系，并说明理由；
（2）当弦AB向上平移分别与小圆交于点C，D时，如下图（2）所示，判断AC与BD的关系，并说明理由。
六. 回顾与预测（第20～23小题各3分，第24小题6分，共18分）
20. （2003·南京）阅读下面材料，然后回答问题。
对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖。
对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖。
例如：如下图所示，图（1）中的三角形被一个圆所覆盖，图（2）中的四边形被两个圆所覆盖。
（1）边长为1 cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是_________cm；
（2）边长为1 cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是__________ cm；
（3）长为2cm，宽为1cm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是_________ cm，这两个圆的圆心距是__________ cm。
21. （2004·重庆）某人用如下方法测一钢管的内径：将一小段钢管竖直放在平台上，向内放入两个半径为5 cm的钢球，测得上面的一个钢球顶部高DC＝16 cm（钢管轴截面如下图所示），则钢管的内直径AD长为___________ cm。
22. （2004·兰州）如下图所示，圆A的半径为r，圆O的半径为4r，圆A从圆上所示位置出发绕圆O作无滑动的滚动，要使圆A的圆心返回到原来的位置，圆A滚动的圈数是____________。
23. （2004·海口）如下图所示，已知∠AOB＝30°，M为OB边上一点，以M为圆心，2 cm为半径作⊙M，若点M在OB边上运动，则当OM＝________ cm时，⊙M与⊙A相切。
24. （2004·南京）如下图（1）所示，在矩形ABCD中，AB＝20 cm，BC＝4 cm，点P从A开始沿折线A—B—C—D以4 cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以1 cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动。设运动时间为t（s）。
（1）t为何值时，四边形APQD为矩形？
（2）如下图（2）所示，如果⊙P和⊙Q的半径都是2 cm，那么t为何值时，⊙P和⊙O外切？
【试题答案】
1. C 2. C 3. D
4. B 5. D 6. C
7. 45° 8. 15° 9. 1；3；5
10. 90°；45° 11. 4
12.
13. 解：DC是⊙O的切线。
理由是：如下图所示，连结CO
∵∠CAB＝30°，CO＝AO
∴∠ACO＝30°，∠COD＝60°
∵CO＝BO，∴BC＝OB
∵DB＝BO，∴DB＝OB＝BC
∴△COD为直角三角形，∠OCD＝90°
∴DC是⊙O的切线
14. （1）∠APB＝60°
（2）OP＝8 cm
（3）PE＝6 cm
（4）
15. （1）125°；（2）125°；（3）
16. （1）提示：如下图所示，欲证CD是⊙O的切线。由于CD与⊙O的公共点是D，故只要连结OD，再证OD⊥DC即可。
（2）解：如上图所示，当时，有
这是因为：BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°
又
∵AD∥OC，∴∠A＝∠3＝45°
又∵OA＝OD，∴∠1＝∠A＝45°
∴∠AOD＝90°
17. 提示：（1）图略。①相交；②相交；③相交。
（2）略
18. （1）解：△QCP是等边三角形。证明过程如下：
连结OQ，则CQ⊥OQ
∵PQ＝PO，∠QPC＝60°
∴∠POQ＝∠PQO＝30°
∴△QPC是等边三角形
（2）等腰直角
（3）等腰
19. 解：（1）AP＝BP
理由是：连结OP
∵AB切小⊙O于点P，∴OP⊥AB
又AB是大圆的弦，∴AP＝BP
（2）AC＝BD
理由是：过点O作OG⊥AB于点G
可知
20. （1）；（2）；（3）
21. 18
22. 4
23. 4
24. 解：（1）由题意知，当AP＝DQ，AP∥DQ，∠A＝90°时，四边形APQD为矩形
此时，，∴t＝4（s）
∴t为4 s时，四边形APQD为矩形
（2）当PQ＝4时，⊙P与⊙Q外切
①如果点P在AB上运动，只有当四边形APQD为矩形时，PQ＝4，由（1）得t＝4 s。
②如果点P在BC上运动，此时t≥5，则CQ≥5，PQ≥CQ≥5＞4，∴⊙P与⊙Q外离。
③如果点P在CD上运动，且点P在点Q的右侧，可得CQ＝t，
当时，⊙P与⊙Q外切，此时
④如果点P在CD上运动，且点P在点Q的左侧，当时，⊙P与⊙Q外切。此时
∵点P从A开始沿折线A—B—C—D移动到D需要11 s，点Q从C开始沿CD边移动到D需要20 s，而
∴当t为4 s，时，⊙P与⊙Q外切。
重点、难点：
1. 重点：
（1）点与圆、直线与圆位置关系的判断。
（2）三角形外接圆的性质。
（3）切线的识别及切线性质的应用。
（4）切线长定理。
（5）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
（6）两圆相交、相切的性质和判定。
（7）圆和圆的位置关系。
2. 难点：
（1）直线与圆相切的性质和判定。
（2）切线的判定方法：切线的性质。
（3）要充分发挥基本图形在证、解题中的作用，正确恰当地根据基本规律来添加辅助线。
①两圆相交，可作公共弦。
②两圆相切，可作公切线。
③有半圆，可作整圆；有直径，可作直径所对的圆周角。
④圆与圆要心连心，即作连心线。
【知识纵览】
1. 点与圆的位置关系
点与圆的位置关系分为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种情况，这三种情况，与点到圆心的距离（d）、圆的半径（r）之间有着紧密的联系。也就是说：点与圆的位置关系，不仅可以用图形来表现，还可以由数量关系来表示，其对应关系可简明地表示如下：
图形（点与圆）的位置关系 数量（d与r）的大小关系
点在圆内 d＜r
点在圆上 d＝r
点在圆外 d＞r
2. 直线与圆的位置关系的性质与判定
设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表：
位置关系 相离 相切 相交
图形
公共点个数 0 1 2
数量关系 d＞r d＝r d＜r
3. 三角形内心与外心的区别
图形 名称 确定方法 性质
外心（三角形外接圆的圆心） 三角形三边垂直平分线的交点 ①OA＝OB＝OC；②外心不一定在三角形的内部
内心（三角形内切圆的圆心） 三角形三个内角的平分线的交点 ①OD＝OE＝OF；②OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB
4. 两圆的位置关系、数量关系及识别方法
设两圆的半径分别为R和r，圆心距（圆心间的距离）为d。
位置关系 图形 公共点个数 R、r与d的关系
外离 0
外切 1
相交 2
内切 1
内含 0
上表中，两圆内含时，如果d＝0，则两圆同心，这是内含的一种特殊情况。
【典型例题】
例1. ⊙O的半径为2.5，动点P到定点O的距离为2，动点Q到P点距离为1。问：P点、Q点和⊙O是什么位置关系？为什么？
解：∵PO＝2＜2.5
∴P点在⊙O内部
Q点和O点的距离较复杂，如下图，需分类讨论。
当Q点在OP延长线上时，则Q点和O点距离最大，最大距离为。
当Q点在OP上时，则Q点和O点距离最小，最小距离为。
当Q点处在点和点时，则，如上图所示。
综上所述，Q点既可能在⊙O上，也可能在⊙O外，或在⊙O内。
例2. 在平面直角坐标系xOy中，当以点O'（4，3）为圆心的圆分别满足下列条件时，求其半径r的取值范围。
（1）与坐标轴有惟一交点。
（2）与坐标轴有两个交点。
（3）与坐标轴有三个交点。
（4）与坐标轴有四个交点。
解：如下图，由题意，圆心O'到x轴的距离，到y轴的距离。
（1）∵⊙O'与坐标轴有惟一公共点
∴只可能与x轴有惟一公共点
（2）由条件知，⊙O'与x轴相交，但与y轴无公共点
（3）∵⊙O'与坐标轴有三个交点
∴⊙O'与x轴必相交且与y轴必有公共点
若⊙O'与y轴有惟一公共点，则r＝4
若⊙O'与y轴有两个公共点，则其中一个公共点必为原点，故r＝5。
∴所求r的值为r＝4或r＝5
（4）∵⊙O'与坐标轴有四个交点
∴⊙O'与两坐标轴都相交，且不过原点
∴r＞4且r≠5
例3. 如图所示，已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B。OC平行于弦AD，试说明：DC是⊙O的切线。
解：连结OD
因为OA＝OD，所以∠1＝∠2
又因为AD∥OC，所以∠1＝∠3，∠2＝∠4
因此∠3＝∠4
而OB＝OD，OC公共，于是将△OBC沿OC翻折可与△ODC重合
所以∠ODC＝∠OBC
又BC是⊙O的切线，所以∠OBC＝90°
从而∠ODC＝90°，OD⊥DC，故DC是⊙O的切线
例4. 如图所示，已知AB、AC分别是⊙O的直径和弦，D为劣弧上一点，DE⊥AB于点H，交⊙O于E，交AC于点F，P为ED延长线上一点。
（1）当△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切，请说明理由；
（2）当点D在劣弧上的什么位置时，才能使。
精析与解答：（1）如图所示，当△PCF为等腰三角形，PC＝PF时，PC与⊙O相切
连结OC，当PC＝PF时，∠PCF＝∠PFC
∵DE⊥AB，∴∠1＋∠AFH＝90°
∴∠1＋∠PFC＝90°，即∠1＋∠PCF＝90°
又∵OA＝OC，∴∠1＝∠2
∴∠2＋∠PCF＝90°，即PC与⊙O相切于点C
（2）当D为劣弧中点时，
连结AE，∵D为中点，∴∠3＝∠4
又∠ADF＝∠EDA，∴△ADF∽△EDA
，即
例5. 如下图，AB是半圆⊙O的直径，C为半圆上一点，CD切⊙O于点C，AD⊥CD于点D，⊙C以CD为半径。
求证：AB是⊙C的切线。
分析：要证AB是⊙C的切线，就是要证点C到AB的距离CE＝CD。即要证△ACD和△ACE全等。
证明：过点C作CE⊥AB于点E，连结AC、BC、OC
∵CD是⊙O的切线，AB是⊙O的直径
∴CD⊥OC，AC⊥BC
在△ACD和△ACE中
∴△ACD≌△ACE
∴CE＝CD
∴AB是⊙C的切线
例6. 如下图，设⊙I与△ABC的三边AB、BC、AC分别相切于点F、D、E，连结BI、CI、ED、FD。若∠A＝60°，则∠BIC＝_________，∠EDF＝_________。
分析：本题所求的两个角分别是⊙I的圆心角和圆周角。如果考虑用圆心角等性质来求。但条件不足，所以只能用三角形的内心性质及三角形的内角和定理来求。
解：连结IE、IF
∵⊙I是△ABC的内切圆
∵⊙I分别切AB、AC于F、E
∴IF⊥AB，IE⊥AC
∴∠AFI＋∠AEI＝180°
∴∠A＋∠EIF＝180°
例7. 如图所示，⊙O半径为R，CD为⊙O直径，以D为圆心。r为半径的圆与⊙O相交于A、B，BD的延长线交⊙D于E点。
求证：
证明：本题中的⊙O经过⊙D的圆心，是一种特殊相交，则连接AD。可知AD即为⊙O的弦，又为⊙D的半径，两圆相交可作公共弦，连接AB，对R、r进行选择，然后用三点定形找到共边型的相似三角形。
连结AD、AB、OA、AC
又∵∠C＝∠B
∴∠AOD＝∠ADE
∵△AOD与△ADE都是等腰三角形且顶角相等
∴它们的底角也相等，即∠ADO＝∠DAE
∴△AOD∽△ADE
（相似三角形对应边成比例）
即
例8. 已知：如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm，AB为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s速度运动。P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，求：
（1）t分别为何值时，四边形PQCD为平行四边形？等腰梯形？
（2）当t分别为何值时，直线PQ与⊙O相切？相交？相离？
精析与解答：（1）四边形PQCD为平行四边形时，只要PD＝CQ即可；四边形PQCD为等腰梯形时，则要PQ＝CD，PD≠QC
当QC＝PD时，有，解得t＝6
∴当t＝6s时，四边形PQCD为平行四边形
过P、D分别作BC的垂线交BC于E、F（如图甲所示），则由等腰梯形的性质可知EF＝PD，QE＝FC＝2，QC－PD＝4
，解得t＝7
∴当t＝7时得四边形PQCD为等腰梯形
甲
（2）讨论动直线PQ与⊙O的位置关系，关键是要抓住直线PQ与⊙O相切时的情况计算出t的值，加以分析推理可以得出PQ与⊙O相交、相离时t的值。
设运动t s时，直线PQ与⊙O相切于点G，过P作PH⊥BC，垂足为H（如图乙所示）
乙
∴PH＝AB，BH＝AP
即PH＝8，HQ＝26－4t
由切线长定理，得：
由勾股定理，得：
即
得，解得
∵t＝0时，PQ与⊙O相交，当时，Q点运动到B点，P点尚未运动到点D，但也停止运动，此时PQ直线与⊙O相交
或8s时，直线PQ与⊙O相切；
当或时，直线PQ与⊙O相交；
当时，直线PQ与⊙O相离。
例9. 如图甲所示，施工工地的水平面上，有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起，则其最高点到地面的距离是多少？
甲
精析与解答：如图乙所示，连结
乙
设⊙与⊙外切于点A，则
在中，
∴最高点C到水平面的距离
例10. 如图所示，两等圆⊙和⊙相交于A、B两点，且两圆互过圆心，过B作任一直线，分别交⊙、⊙于C、D两点，连结AC、AD。
（1）试猜想△ACD的形状，并给出说明。
（2）若已知条件中两圆不一定互相过圆心，试猜想三角形的形状是怎样的？说明你的结论成立的理由。
（3）若⊙，⊙是两个不相等的圆，半径分别为R和r。那么（2）中的猜想还成立吗？若成立，说明理由；若不成立，那么AC和AD的长与两圆半径有什么关系？说明理由。
精析与解答：（1）△ACD为等边三角形
理由：因为两圆是等圆，且互相过圆心，连结
则
所以
所以∠ADB＝∠ACB＝60°
所以△ACD为等边三角形
（2）△ACD为等腰三角形
理由：因为两圆是等圆，连结
则
所以
所以∠ADB＝∠ACB
所以△ACD为等腰三角形
（3）不成立，此时
如图所示，分别作⊙、⊙的直径AE和AF分别交两圆于E、F点，连结CE、DF、AB，则∠ACE＝∠ADF＝90°
∴△ACE∽△ADF
【模拟试题】（答题时间：80分钟）
一. 选择题（每小题4分，共24分）
1. 下列语句不正确的是（ ）
A. 过一点可以作无数个圆
B. 过两点可以作一个圆
C. 过任意三点都可以作一个圆
D. 过任意四个点不一定能作圆
2. ⊙O的直径是8cm，直径和⊙O相交，圆心O到直线的距离是d，则d应满足（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图所示，P是⊙O外一点，自P点向⊙O引切线PA，PB，切点为A，B，CD切⊙O于E，交PA，PB于C，D，若PA＝20，则△PCD的周长为（ ）
A. 20 B. 30 C. D. 40
4. 设△ABC的内切圆的半径为2，△ABC的周长为4，则△ABC的面积为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
5. 两圆半径分别为5和3，d为圆心距，当时，两圆的位置关系是（ ）
A. 外切 B. 内切 C. 外离 D. 相交
6. 如图所示，AB，AC与⊙O相切于点B，C，∠A＝50°，点P是圆上异于B，C的一动点，则∠BPC的度数是（ ）
A. 65° B. 115° C. 65°或115° D. 130°和50°
二. 填空题（每小题2分，共12分）
7. 如图所示，AB是⊙O的直径，AB＝AC，AC是⊙O的切线，A是切点，则∠B＝____________。
8. 如图所示，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝30°，则∠CAB＝__________。
9. △ABC的内切圆⊙O与AC，AB，BC分别相切于点D，E，F，且AB＝4，BC＝8，AC＝6，则AE＝_________，BF＝_________，CD＝_________。
10. 如图所示，已知⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∠B＝50°，∠C＝40°，则∠DOF＝_________，∠DEF＝_________。
11. ⊙O的半径为3cm，若⊙O'与⊙O外切时，圆心距为10cm，则⊙O'与⊙O内切时，圆心距为_________cm。
12. 如图所示，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，，若以C为圆心，CB为半径的圆交AB于P，则AP＝__________。
三. 综合题（每小题6分，共24分）
13. 如图所示，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，且DB＝BO，过点A作弦AC，使∠CAB＝30°，连结DC，DC是⊙O的切线吗？为什么？
14. 如图所示，AC为⊙O的直径，PA，PB是⊙O的切线，OP交AB于点E，交于点F，∠CAB＝30°，AC＝8cm。求：
（1）∠APB的度数；
（2）OP的长；
（3）PE的长；
（4）△ABP的面积。
15. 如图所示，⊙O为△ABC的内切圆，连结OB，OC。
（1）当∠B＝80°，∠C＝30°时，求∠BOC；
（2）当∠A＝70°时，求∠BOC；
（3）当∠A＝α时，求∠BOC。
16. 如图所示，AB是⊙O的直径，BE是⊙O的切线，切点为B，点C为射线BE上一动点（点C与点B不重合），且弦AD平行于OC。
（1）求证CD是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，试问：当动点C在射线BE上运动到什么位置时，有？证明你的结论。
四. 开放与交流（共10分）
17. 如图所示，在直角坐标系内，以点M（2，0）为圆心，3为半径作⊙M。
（1）分别画出①当；②当；③当时的图形，并判断直线与⊙M的位置关系；
（2）试判断直线与⊙M相交和k，b的取值是否有关，请说明理由，得出结论。
五. 思考与探究（每小题6分，共12分）
18. 如图所示，AB是半圆O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动（不与点M重合），点Q在半圆O上运动，且总保持PQ＝PO，过点Q作半圆O的切线交BA的延长线于点C。
（1）∠QPA＝60°时，请你对△QCP的形状作出猜想，并给予证明；
（2）当QP⊥AB时，△QCP的形状是___________三角形；
（3）由（1），（2）得出的结论，请进一步猜想当点P在线段AM上运动到任何位置时，△QCP一定是__________三角形。
19. 如下图（1）所示，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点。
（1）判断AP与BP的关系，并说明理由；
（2）当弦AB向上平移分别与小圆交于点C，D时，如下图（2）所示，判断AC与BD的关系，并说明理由。
六. 回顾与预测（第20～23小题各3分，第24小题6分，共18分）
20. （2003·南京）阅读下面材料，然后回答问题。
对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖。
对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖。
例如：如下图所示，图（1）中的三角形被一个圆所覆盖，图（2）中的四边形被两个圆所覆盖。
（1）边长为1 cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是_________cm；
（2）边长为1 cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是__________ cm；
（3）长为2cm，宽为1cm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是_________ cm，这两个圆的圆心距是__________ cm。
21. （2004·重庆）某人用如下方法测一钢管的内径：将一小段钢管竖直放在平台上，向内放入两个半径为5 cm的钢球，测得上面的一个钢球顶部高DC＝16 cm（钢管轴截面如下图所示），则钢管的内直径AD长为___________ cm。
22. （2004·兰州）如下图所示，圆A的半径为r，圆O的半径为4r，圆A从圆上所示位置出发绕圆O作无滑动的滚动，要使圆A的圆心返回到原来的位置，圆A滚动的圈数是____________。
23. （2004·海口）如下图所示，已知∠AOB＝30°，M为OB边上一点，以M为圆心，2 cm为半径作⊙M，若点M在OB边上运动，则当OM＝________ cm时，⊙M与⊙A相切。
24. （2004·南京）如下图（1）所示，在矩形ABCD中，AB＝20 cm，BC＝4 cm，点P从A开始沿折线A—B—C—D以4 cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以1 cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动。设运动时间为t（s）。
（1）t为何值时，四边形APQD为矩形？
（2）如下图（2）所示，如果⊙P和⊙Q的半径都是2 cm，那么t为何值时，⊙P和⊙O外切？
【试题答案】
1. C 2. C 3. D
4. B 5. D 6. C
7. 45° 8. 15° 9. 1；3；5
10. 90°；45° 11. 4
12.
13. 解：DC是⊙O的切线。
理由是：如下图所示，连结CO
∵∠CAB＝30°，CO＝AO
∴∠ACO＝30°，∠COD＝60°
∵CO＝BO，∴BC＝OB
∵DB＝BO，∴DB＝OB＝BC
∴△COD为直角三角形，∠OCD＝90°
∴DC是⊙O的切线
14. （1）∠APB＝60°
（2）OP＝8 cm
（3）PE＝6 cm
（4）
15. （1）125°；（2）125°；（3）
16. （1）提示：如下图所示，欲证CD是⊙O的切线。由于CD与⊙O的公共点是D，故只要连结OD，再证OD⊥DC即可。
（2）解：如上图所示，当时，有
这是因为：BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°
又
∵AD∥OC，∴∠A＝∠3＝45°
又∵OA＝OD，∴∠1＝∠A＝45°
∴∠AOD＝90°
17. 提示：（1）图略。①相交；②相交；③相交。
（2）略
18. （1）解：△QCP是等边三角形。证明过程如下：
连结OQ，则CQ⊥OQ
∵PQ＝PO，∠QPC＝60°
∴∠POQ＝∠PQO＝30°
∴△QPC是等边三角形
（2）等腰直角
（3）等腰
19. 解：（1）AP＝BP
理由是：连结OP
∵AB切小⊙O于点P，∴OP⊥AB
又AB是大圆的弦，∴AP＝BP
（2）AC＝BD
理由是：过点O作OG⊥AB于点G
可知
20. （1）；（2）；（3）
21. 18
22. 4
23. 4
24. 解：（1）由题意知，当AP＝DQ，AP∥DQ，∠A＝90°时，四边形APQD为矩形
此时，，∴t＝4（s）
∴t为4 s时，四边形APQD为矩形
（2）当PQ＝4时，⊙P与⊙Q外切
①如果点P在AB上运动，只有当四边形APQD为矩形时，PQ＝4，由（1）得t＝4 s。
②如果点P在BC上运动，此时t≥5，则CQ≥5，PQ≥CQ≥5＞4，∴⊙P与⊙Q外离。
③如果点P在CD上运动，且点P在点Q的右侧，可得CQ＝t，
当时，⊙P与⊙Q外切，此时
④如果点P在CD上运动，且点P在点Q的左侧，当时，⊙P与⊙Q外切。此时
∵点P从A开始沿折线A—B—C—D移动到D需要11 s，点Q从C开始沿CD边移动到D需要20 s，而
∴当t为4 s，时，⊙P与⊙Q外切。