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【北师大版七年级数学（下）单元测试卷】
第五章 生活中的轴对称
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．下列图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，对称轴条数最少的是（ ）
A．正五边形 B．正方形
C．等边三角形 D．圆
3．如图，已知，不一定能使的条件是（ ）．
A． B．
C． D．点与点关于所在的直线对称
4．如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（ ）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
5．如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在点的位置，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，平分交于点D，若的面积为4，则的面积是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝7cm，则△DBE的周长是（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
8．如图，CD是AB的垂直平分线，若AC=1.6cm,BD=2.3cm,则四边形ABCD的周长是【 】
A．3.9cm B．7.8cm C．4cm D．4.6cm
9．如图，锐角三角形中，直线为的中垂线，直线为的角平分线，与相交于点．若，则是（ ）
A． B． C． D．
10．若一个三角形的最小内角为60°，则下列判断中：（1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是等腰三角形；（3）这个三角形是等边三角形；（4）形状不能确定；（5）不存在这样的三角形．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二.填空题：（每小题3分共15分）
11．如图，已知△ABC是等边三角形，AD是中线，E在AC上，AE=AD，则∠EDC= ______ ．
12．在中，，则__________．
13．如图，等边的边长为，.分别是.上的点，将沿直线折叠，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为__．
14．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为_____度．
15．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边ABC和等边CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP．其中正确的有________．（填序号）
三.解答题：（共55分）
16．(6分)如图，D为的边的延长线上一点，过D作，垂足为F，交于E，且．求证：是等腰三角形．
17．(8分)如图，E.F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE=AF，CE.BF交于点P．
（1）求证：CE=BF；
（2）求∠BPC的度数．
18．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB．
（1）求∠CAD的度数；
（2）延长AC至E，使CE=AC，求证：DA=DE．
19．(7分)如图，在中，，是边上的中点，于点，于点．求证：．
20．(8分)如图，在正方形网格上有一个．
（1）画出关于直线的对称图形（不写画法）；
（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求的面积．
21．(9分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B.C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE与AC交于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝_____°，∠DEC＝_____°；当点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变______（填”大”或”小”）；
（2）当DC＝AB＝2时，△ABD与△DCE是否全等？请说明理由：
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
22．(9分)我们已学习了角平分线的概念，那么你会用这一知识解决有关问题吗？
(1)如图①所示，将长方形笔记本的一张活页纸的一角折叠，使该角的顶点A落在点A′处，BC为折痕．若∠ABC＝55°，求∠A′BD的度数；
(2)在(1)的条件下，如果将它的另一个角也斜折过去，并使BD边与BA′重合，点D落在点D′处，折痕为BE，如图②所示，求∠D′BE和∠CBE的度数；
(3)若改变图②中∠ABC的大小，则BA′的位置也随之改变，那么(2)中∠CBE的大小会不会改变？请说明理由．
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【北师大版七年级数学（下）单元测试卷】
第五章 生活中的轴对称
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．下列图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
解：A.是轴对称图形，故本选项符合题意；
B.不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C.不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D.不是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：A．
2．下列图形中，对称轴条数最少的是（ ）
A．正五边形 B．正方形
C．等边三角形 D．圆
解：正五边形有五条对称轴；
正方形由四条对称轴；
等边三角形有三条对称轴；
圆有无数条对称轴；
∴对称轴最少的是等边三角形，
故选：C．
3．如图，已知，不一定能使的条件是（ ）．
A． B．
C． D．点与点关于所在的直线对称
解：由题意和图，可知：；
A.，利用可证，不符合题意；
B.，利用可证，不符合题意；
C.，不能证明，符合题意；
D.点与点关于所在的直线对称，可知，利用可证，不符合题意；
故选C．
4．如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（ ）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点P，
∵2022÷6=337，
∴当点P第2022次碰到矩形的边时为第337个循环组的最后一次反弹，
∴第2022次碰到矩形的边时的点为图中的点P，
故选：A．
5．如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在点的位置，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
解：由题意可知，，
，
，
由翻折可知，，
，
故选：B．
6．如图，在中，平分交于点D，若的面积为4，则的面积是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
解：过分别作，垂足分别为：，
∵平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选C．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝7cm，则△DBE的周长是（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
解∵在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE⊥AB于E，
∴CD=ED，∠ADC=∠ADE，
∴AE=AC，
∵AC=BC，
∴BC=AE，
∴△DBE的周长是：BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AE+BE=AB=7cm．
故选 B．
8．如图，CD是AB的垂直平分线，若AC=1.6cm,BD=2.3cm,则四边形ABCD的周长是【 】
A．3.9cm B．7.8cm C．4cm D．4.6cm
解因为CD是AB的垂直平分线，所以CA=CB，DB=DA.
因为AC=1.6,BD=2.3，所以CB=1.6，DA=2.3.
则四边形ABCD的周长是：AC+CB+BD+DA=2（1.6+2.3）=7.8.
故选B.
9．如图，锐角三角形中，直线为的中垂线，直线为的角平分线，与相交于点．若，则是（ ）
A． B． C． D．
解：∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠CBP，
∵直线l是线段BC的垂直平分线，
∴BP=CP，
∴∠CBP=∠BCP，
∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∠A=60°，∠ACP=24°，
∴3∠ABP+24°+60°=180°，
解得：∠ABP=32°．故选：C．
10．若一个三角形的最小内角为60°，则下列判断中：（1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是等腰三角形；（3）这个三角形是等边三角形；（4）形状不能确定；（5）不存在这样的三角形．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：因为最小角为60度，则该三角形的最大角不能大于60度，否则不合题意，则可以得到其三个角均为60度，即是一个等边三角形，故（3）正确；
其最大角不大于90度，所以是锐角三角形，故（1）正确；
等边三角形是特殊的等腰三角形，故（2）正确；
这个图形是等边三角形，形状可以确定，故（4）错误；
存在这样的三角形，即等边三角形，故（5）错误；
所以前三项正确，即正确的有三个．
故选C．
二.填空题：（每小题3分共15分）
11．如图，已知△ABC是等边三角形，AD是中线，E在AC上，AE=AD，则∠EDC= ______ ．
解：∵AD是等边△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=∠BAC=×60°=30°，
∴∠ADC=90°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=（180°-∠CAD）=75°，
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°．
故答案为：15°．
12．在中，，则__________．
解∵AB＝AC, ∠A＝400，
∴∠B＝∠C＝700.
13．如图，等边的边长为，.分别是.上的点，将沿直线折叠，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为__．
解：等边的边长为，将沿直线折叠，点落在点处，
∴，，
∴阴影部分图形的周长为：
，
．
故答案为：．
14．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为_____度．
解：如图，连接.，
，为的平分线，
，
又，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
为的平分线，，
，
点在的垂直平分线上，
又是的垂直平分线，
点是的外心，
，
将沿在上，在上）折叠，点与点恰好重合，
，
，
在中，，
故答案为：108．
15．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边ABC和等边CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP．其中正确的有________．（填序号）
解：∵等边ABC和等边CDE，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴180°﹣∠ECD＝180°﹣∠ACB，
即∠ACD＝∠BCE，
在ACD与BCE中，
，
∴ACD≌BCE（SAS），
∴AD＝BE，故①小题正确；
∵ACD≌BCE（已证），
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠ACB＝∠ECD＝60°（已证），
∴∠BCQ＝180°﹣60°×2＝60°，
∴∠ACB＝∠BCQ＝60°，
在ACP与BCQ中，
，
∴ACP≌BCQ（ASA），
∴AP＝BQ，故③小题正确；PC＝QC，
∴PCQ是等边三角形，
∴∠CPQ＝60°，
∴∠ACB＝∠CPQ，
∴PQ∥AE，故②小题正确；
∵AD＝BE，AP＝BQ，
∴AD﹣AP＝BE﹣BQ，
即DP＝QE，
∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，
∴∠DQE≠∠CDE，故④小题错误．
综上所述，正确的是①②③．
故答案为：①②③．
三.解答题：（共55分）
16．(6分)如图，D为的边的延长线上一点，过D作，垂足为F，交于E，且．求证：是等腰三角形．
证明：∵BD=BE，
∴∠BDE=∠BED
又∵∠BED=∠CEF，
∴∠BDE=∠CEF
又∵DF⊥AC，
∴∠A+∠BDF=90°，∠C+∠CEF=90°，
∴∠A=∠C，
∴AB=BC（等角对等边），
∴△ABC是等腰三角形．
17．(8分)如图，E.F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE=AF，CE.BF交于点P．
（1）求证：CE=BF；
（2）求∠BPC的度数．
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB，∠A=∠EBC=60°，
∴在△BCE与△ABF中，
，
∴△BCE≌△ABF（SAS），
∴CE=BF；
（2）∵由（1）知△BCE≌△ABF，
∴∠BCE=∠ABF，
∴∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°，
∴∠BPC=180°﹣60°=120°．
即：∠BPC=120°．
18．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB．
（1）求∠CAD的度数；
（2）延长AC至E，使CE=AC，求证：DA=DE．
解（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°， ∴∠CAB=60°．
又∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD=∠CAB=30°，即∠CAD=30°；
（2）证明：∵∠ACD+∠ECD=180°，且∠ACD=90°，
∴∠ECD=90°，
∴∠ACD=∠ECD．
在△ACD与△ECD中，，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴DA=DE．
19．(7分)如图，在中，，是边上的中点，于点，于点．求证：．
证明：如图，连接．
，点是边上的中点，
平分，
.分别垂直.于点和．
．
20．(8分)如图，在正方形网格上有一个．
（1）画出关于直线的对称图形（不写画法）；
（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求的面积．
解：（1）如图所示：△DEF即为所求；
（2）△ABC的面积：4×5- ×4×1- ×5×3- ×4×1=20-2-7.5-2=8.5．
21．(9分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B.C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE与AC交于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝_____°，∠DEC＝_____°；当点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变______（填”大”或”小”）；
（2）当DC＝AB＝2时，△ABD与△DCE是否全等？请说明理由：
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
解：（1）∵∠B＝40°，∠ADB＝115°，AB＝AC，
∴∠BAD＝180°﹣40°﹣115°＝25°，∠C＝∠B＝40°；
∵∠ADE＝40°，∠ADB＝115°，
∴∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°．
∴∠DEC＝180°﹣40°﹣25°＝115°，
当点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小，
故答案为：25，115，小；
（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，理由如下：
理由：∵∠C＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
又∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
又∵AB＝DC＝2，
∴在△ABD和△DCE中，，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，理由如下：
∵当∠BDA＝110°时，∴∠ADC＝70°，
∵∠C＝40°，∴∠DAC＝70°，∴∠AED＝180°-70°-40°=70°，
∴∠AED＝∠DAC，∴AD=DE，∴△ADE是等腰三角形；
∵当∠BDA的度数为80°时，∴∠ADC＝100°，
∵∠C＝40°，∴∠DAC＝40°，∴∠DAC＝∠ADE，∴AE=DE，∴△ADE是等腰三角形．
综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形.
22．(9分)我们已学习了角平分线的概念，那么你会用这一知识解决有关问题吗？
(1)如图①所示，将长方形笔记本的一张活页纸的一角折叠，使该角的顶点A落在点A′处，BC为折痕．若∠ABC＝55°，求∠A′BD的度数；
(2)在(1)的条件下，如果将它的另一个角也斜折过去，并使BD边与BA′重合，点D落在点D′处，折痕为BE，如图②所示，求∠D′BE和∠CBE的度数；
(3)若改变图②中∠ABC的大小，则BA′的位置也随之改变，那么(2)中∠CBE的大小会不会改变？请说明理由．
解：(1)因为∠ABC＝55°，由折叠的性质，得∠A′BC＝∠ABC＝55°，
所以∠A′BD＝180°－∠ABC－∠A′BC＝180°－55°－55°＝70°.
(2)由(1)中的结论可知∠DBD′＝70°，由折叠的性质，得，
所以.
(3)不会改变．理由：由折叠的性质，得
，，
所以，
所以∠CBE的大小不会改变，为定值90°.
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