7.4二项分布与超几何分布专项练习解析版
一、单选题
1．有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先把取一次取得次品的概率算出来，再根据离散型随机变量的概率即可算出．
【详解】因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为．从中取3次，为取得次品的次数，则,
,选择D答案．
【点睛】本题考查离散型随机变量的概率,解题时要注意二项分布公式的灵活运用.属于基础题．
2．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子4次，设表示向上一面出现6点的次数，则的数学期望的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先确定抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1次，向上一面出现6点的概率，再根据二项分布数学期望公式求得结果.
【详解】抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1次，向上一面出现6点的概率为
故选：D
【点睛】本题考查二项分布数学期望公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
3．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗亭，假设在3个交通岗亭遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇到红灯次数的期望为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由二项分布的期望公式即可求解.
【详解】设此人上班途中遇红灯的次数为，
由题意可知：服从二项分布，即
.
故选：B．
4．同时抛掷三枚硬币，则抛掷一次时出现两枚正面一枚反面的概率为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二项分布的概率公式求解.
【详解】每枚硬币正面向上的概率都等于，
故恰好有两枚正面向上的概率为：.
故选B.
【点睛】本题考查二项分布.本题也可根据古典概型概率计算公式求解.
5．考察下列两个问题：①已知随机变量，且，，记；②甲、乙、丙三人随机到某3个景点去旅游，每人只去一个景点，设A表示“甲、乙、丙所去的景点互不相同”，表示“有一个景点仅甲一人去旅游”，记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二项分布的期望公式和方差公式求得，从而可求得，再根据条件概率公式求得，即可得出答案.
【详解】解：由，解得，
则，
又，所以.
故选：C.
6．为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工，若某节假日每位员工休假的概率均为，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家店铺无人休假，则从无人休假的店铺调剂1人到员工全部休假的店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业.则两家店铺该节假日能正常营业的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设两家店铺都不能正常营业为事件，然后由题意求出4人休假的概率和3人休假的概率，从而可求出，再根据对立事件的概率公式可求得答案
【详解】设两家店铺都不能正常营业为事件，
由题意可知有4人休假的概率为，
有3人休假的概率为，
所以两家店铺都不能正常营业的概率
，
所以两家店铺该节假日能正常营业的概率为.
故选：D
7．设随机变量X，Y满足：，，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据二项分布的性质及方差的运算性质计算得出结果.
【详解】因为，
则，
又，
所以，
故选：B
8．现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为.某检验员从该生产线上随机抽检个零件，设其中优等品零件的个数为.若，，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由求出的范围，再由方差公式求出值．
【详解】∵，∴，化简得，即，又，解得或，∴，故选C．
【点睛】本题考查概率公式与方差公式，掌握这两个公式是解题的关键，本题属于基础题．
二、多选题
9．若随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据二项分布的性质进行逐一求解判断即可.
【详解】A，，故A正确；
B，，故B错误；
C，，故C正确；
D，，故D错误.
故选：AC.
10．在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A． B．随机变量X服从二项分布
C．随机变量X服从超几何分布 D．
【答案】ACD
【分析】由题意知随机变量服从超几何分布，利用超几何分布的性质直接判断各选项即可．
【详解】解：由题意知随机变量服从超几何分布，故错误，正确；
的取值分别为0，1，2，3，4，则，，
，，，
，
故，正确．
故选：．
11．为了响应国家发展足球的战略，哈六中在秋季运动会中，安排了足球射门比赛.规定每名同学有5次射门机会，踢进一球得10分，没踢进一球得分.小明参加比赛且没有放弃任何一次射门机会，每次踢进的概率为，每次射门相互独立.记为小明的得分总和，记为小明踢进球的个数，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】由题可知，，进而可求，，，，即得.
【详解】由题可知，则，
∴，故A正确；
∴
，故B正确；
∴，故C正确；
∴，故D错误.
故选：ABC
12．若随机变量服从两点分布，其中，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】求出,即得解.
【详解】解：依题意，
所以， .
所以， ，
所以AB选项正确，CD选项错误.
故选：AB
三、填空题
13．设随机变量服从二项分布，且，则 ， ；
【答案】8，0.2
【分析】根据随机变量符合二项分布，由二项分布的期望和方差的公式，及条件中所给的期望和方差的值，列出期望和方差的关系式，得到关于n和p的方程组，解方程组得到n，p的值．
【详解】解：∵随机变量X服从二项分布B（n，p），且E（X）＝1.6，D（X）＝1.28，
∴EX＝1.6＝np，①
Dξ＝1.28＝np（1﹣p），②
①与②相除可得1﹣p0.8，
∴p＝0.2，n8．
故答案为8；0.2
【点睛】本题考查二项分布与n次独立重复试验的模型，考查二项分布的期望和方差公式，本题解题的关键是通过列方程组和解方程组得到要求的变量，本题是一个基础题．
14．对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9545，至少要测量_____次（若，则）．
【答案】32
【解析】因为，得到，，要使误差在的概率不小于0.9545，
则，得到不等式计算即可.
【详解】根据正态曲线的对称性知：要使误差在的概率不小于0.9545，
则且，，
所以.
故答案为：32.
【点睛】本题是对正态分布的考查，关键点在于能从读出所需信息.
15．某同学通过计算机测试的概率为，他连续测试3次，且三次测试相互独立，其中恰有1次通过的概率为__________．
【答案】
【分析】利用二项分布概率公式求概率即可.
【详解】由题意得，根据相互独立事件发生的概率公式，
可得三次测试中，恰有1次通过的概率为.
故答案为：
16．设随机变量ξ服从二项分布 ，则等于__________
【答案】
【解析】将转化为求，即可得到答案；
【详解】，
故答案为：.
四、解答题
17．设随机变量，求．
【答案】8
【分析】由二项分布求期望的公式直接计算即可.
【详解】∵随机变量ξ服从二项分布，且，
∴.
18．已知一批豌豆种子的发芽率为0.9，假设每颗种子是否发芽相互独立.
（1）设10颗豌豆种子播种后发芽的种子数为X，求的概率（结果精确到0.1）及X的数学期望；
（2）试问每穴至少要播种几颗种子，才能确保每穴至少有1颗发芽的概率不低于0.999？
附：.
【答案】（1）0.2，9；（2）3颗.
【解析】（1）播种后发芽的种子数为随机变量，服从二项分布，进一步求出的概率及X的数学期望；
（2）找对立事件“各科种子都不发芽”，是相互独立的，然后再求“至少一颗发芽”的概率.
【详解】（1）依题意得，
则，
X的数学期望.
（2）设每穴至少要播种n颗种子，才能确保每穴至少有1颗发芽的概率不低于0.999，
则，
则，
解得，
故每穴至少要播种3颗种子，才能确保每穴至少有1颗发芽的概率不低于0.99.
【点睛】此题为基础题，考查二项分布及独立事件概率的求法.
19．手机是生活中必不可少的工具之一，为我们的学习 生活和工作带来极大便利.某机构为了解该地区手机的线下销售情况，对各种品牌手机的销售状况进行市场摸底得到调查数据如下表所示.
品牌 其他
市场占有率
每台利润/元 100 80 85 1000 70 200
该地区一家商场销售各种品牌的手机，以市场占有率当作此类品牌手机的售出概率进行计算.
（1）这家商场有一个优惠活动：每天抽取一个数字，且，规定若当天卖出的第台手机恰好是当天卖出的第1台品牌手机时，则此台品牌手机将打五折出售.为保证该活动每天的中奖概率小于，求的最小值；参考数据：
（2）这家商场中的一个手机专柜只销售品牌和两种手机，且品牌和的售出概率之比为，假设该专柜其中某天售出3台手机，其中品牌手机台，求的分布列和该手机专柜这天所获利润的数学期望.
【答案】（1）8；（2）答案见解析.
【分析】（1）卖出一台手机的概率，卖出一台其他手机的概率，结合独立重复事件的概率可列出不等式，解得即可；
（2）依题意可知，手机售出的概率，手机售出的概率，而的可能取值为0，1，2，3，然后利用独立重复事件计算概率的方式逐一求出每个的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．
【详解】解：（1）售出一台品牌手机的概率，
售出一台非品牌手机的概率，
由题意可得，即，
所以
故，
即的最小值为8.
（2）依题意可知，手机售出的概率，手机售出的概率，
的所有可能取值为，则可得，
所以，
故的分布列为
0 1 2 3
所以数学期望，
已知该专柜某天售出品牌手机台，则售出品牌手机台，
所以此专卖店当天所获利润的期望值为
元
20．为了解某市2021届高三学生备考情况，教研所计划在2020年11月、2021年1月和2021年4月分别进行三次质量检测考试，第一次质量检测考试（一检）结束后，教研所分析数据，将其中所有参加考试的理科生成绩数据绘制成了扇形统计图，分数在之间的理科学生成绩绘制成频率分布直方图，已知参加考试的理科生有12000人.
（1）如果按照上届高三理科生60%的二本率来估计一检的模拟二本线，请问一检考试的模拟二本线应该是多少；
（2）若甲同学每次质量检测考试，物理、化学、生物及格的概率分别为，，，请问甲同学参加三次质量检测考试，物理、化学、生物三科中至少2科及格的次数分布列及期望.
【答案】（1）458；（2）答案见解析.
【解析】（1）设二本线应为分，根据题意可知，左边的矩形面积之和为，可得出关于的等式，解出的值，即为所求；
（2）由题意可知，随机变量，根据二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望可求得.
【详解】（1）分以上的频率为：，
要达到60%的二本率，所以，之间频率为：
因为的频率总和为
所以模拟二本线应在之间，设为
则解得：；
（2）至少2科及格的概率
，，，1，2，3
0 1 2 3
.
【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：
（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；
（2）求出每一个随机变量取值的概率；
（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.
21．足球运动是深受人们喜爱的一项体育运动，其中守门员扑点球和传球是足球训练中的两个重要训练项目．
(1)假设发点球时，球员等可能地选择左、中、右三个方向射门，守门员等可能地选择左、中、右三个方向扑点球，且守门员方向判断正确时有的可能将球扑出球门外．在一次点球战中，求守门员在前三次点球中，把球扑出球门外的个数X的分布列和数学期望；
(2)某次传球训练中，教练员让甲、乙、丙、丁4名球员进行传接球训练，从甲开始传球，等可能地传给另外3人中的1人，接球者再等可能地传给另外3人中的1人，如此一直进行．假设每个球都能被接住，记第n次传球后球又回到甲脚下的概率为．求证：数列为等比数列，并求．
【答案】(1)分布列见解析；期望为
(2)证明见解析；
【分析】(1)根据二项分布可求解；
(2)根据题意有，再根据递推关系可求解.
【详解】（1）每个点球能被守门员扑出球门外的概率为，
由题知，
，，
，，
X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
∴．
（2）由已知第次传球后球又回到甲脚下的概率为，
∴时，
∴，
∴是首项为，公比为的等比数列，
∴，
∴．
22．2020年，在第七次全国人口普查过程中，普查员对管辖区域内普查对象是否在家、何时在家等情况并不了解，“敲门无人应”成了普查员在工作中面临的最大难题，而国家电网公司在“网上国网”APP中推出的“e普查”辅助工具成为人口普查的“得力助手”．使用“e普查”扫描管辖范围内居民电表，获取该户“用电码”，红、橙、绿三色分别表示近一个月未用电、间歇用电、正常用电，以精准识别空置户、“候鸟”户、正常户三类情况．下表通过“e普查”统计了某小区的情况：
用户用电情况 未用电 间歇用电 正常用电
显示颜色 红 橙 绿
用户情况 空置户 “候鸟”户 正常户
用户数量 75 150 225
若空置户不需要入户调查，普查员甲根据上面的数据，按照显示的橙、绿两色分层抽取该小区5户用户，进行入户核实情况，若普查员甲到每家“候鸟”户中调查一次成功的概率为，到每家正常户中调查一次成功的概率为，且各户之间调查一次是否成功相互独立．
（1）求普查员甲到这5户中调查一次成功4户的概率；
（2）设普查员甲到这5户中调查一次成功的户数为，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
【分析】（1）先根据分层抽样得“候鸟”户数为户，正常户数为户，再分“候鸟”户成功两户且正常户成功两户和“候鸟”户成功一户且正常户成功三户两种情况讨论求解即可；
（2）设普查员甲到这2户“候鸟”户中调查一次成功的户数为，到这3户正常户中调查一次成功的户数为，分别求出相应的概率分布列，再综合求解的概率分布列即可.
【详解】（1）由题意知，普查员甲抽取该小区5户用户中，“候鸟”户数为，正常户数为，
设A=“普查员甲到这5户中调查一次成功4户”，
则，
故普查员甲到这5户中调查一次成功4户的概率为.
（2）由题意，普查员甲到这2户“候鸟”户中调查一次成功的户数为，
则，可得的分布列如下：
0 1 2
普查员甲到这3户正常户中调查一次成功的户数为，则，
可得的分布列如下：
0 1 2 3
随机变量，的可能取值为0，1，2，3，4，5．
，，
，，
，，
则随机变量的分布列为：
0 1 2 3 4 5
所以数学期望．
【点睛】本题考查独立事件的概率，二项分布，独立事件的概率分布列，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于分别算出普查员甲到这2户“候鸟”户中调查一次成功的户数为和到这3户正常户中调查一次成功的户数为的概率分布列，再综合考虑求解即可.7.4二项分布与超几何分布专项练习
一、单选题
1．有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则
A． B． C． D．
2．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子4次，设表示向上一面出现6点的次数，则的数学期望的值为（ ）
A． B． C． D．
3．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗亭，假设在3个交通岗亭遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇到红灯次数的期望为（ ）
A． B． C． D．
4．同时抛掷三枚硬币，则抛掷一次时出现两枚正面一枚反面的概率为
A． B． C． D．
5．考察下列两个问题：①已知随机变量，且，，记；②甲、乙、丙三人随机到某3个景点去旅游，每人只去一个景点，设A表示“甲、乙、丙所去的景点互不相同”，表示“有一个景点仅甲一人去旅游”，记，则（ ）
A． B． C． D．
6．为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工，若某节假日每位员工休假的概率均为，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家店铺无人休假，则从无人休假的店铺调剂1人到员工全部休假的店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业.则两家店铺该节假日能正常营业的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．设随机变量X，Y满足：，，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为.某检验员从该生产线上随机抽检个零件，设其中优等品零件的个数为.若，，则
A． B． C． D．
二、多选题
9．若随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
10．在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A． B．随机变量X服从二项分布
C．随机变量X服从超几何分布 D．
11．为了响应国家发展足球的战略，哈六中在秋季运动会中，安排了足球射门比赛.规定每名同学有5次射门机会，踢进一球得10分，没踢进一球得分.小明参加比赛且没有放弃任何一次射门机会，每次踢进的概率为，每次射门相互独立.记为小明的得分总和，记为小明踢进球的个数，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．若随机变量服从两点分布，其中，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．设随机变量服从二项分布，且，则 ， ；
14．对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9545，至少要测量_____次（若，则）．
15．某同学通过计算机测试的概率为，他连续测试3次，且三次测试相互独立，其中恰有1次通过的概率为__________．
16．设随机变量ξ服从二项分布 ，则等于__________
四、解答题
17．设随机变量，求．
18．已知一批豌豆种子的发芽率为0.9，假设每颗种子是否发芽相互独立.
（1）设10颗豌豆种子播种后发芽的种子数为X，求的概率（结果精确到0.1）及X的数学期望；
（2）试问每穴至少要播种几颗种子，才能确保每穴至少有1颗发芽的概率不低于0.999？
附：.
19．手机是生活中必不可少的工具之一，为我们的学习 生活和工作带来极大便利.某机构为了解该地区手机的线下销售情况，对各种品牌手机的销售状况进行市场摸底得到调查数据如下表所示.
品牌 其他
市场占有率
每台利润/元 100 80 85 1000 70 200
该地区一家商场销售各种品牌的手机，以市场占有率当作此类品牌手机的售出概率进行计算.
（1）这家商场有一个优惠活动：每天抽取一个数字，且，规定若当天卖出的第台手机恰好是当天卖出的第1台品牌手机时，则此台品牌手机将打五折出售.为保证该活动每天的中奖概率小于，求的最小值；参考数据：
（2）这家商场中的一个手机专柜只销售品牌和两种手机，且品牌和的售出概率之比为，假设该专柜其中某天售出3台手机，其中品牌手机台，求的分布列和该手机专柜这天所获利润的数学期望.
20．为了解某市2021届高三学生备考情况，教研所计划在2020年11月、2021年1月和2021年4月分别进行三次质量检测考试，第一次质量检测考试（一检）结束后，教研所分析数据，将其中所有参加考试的理科生成绩数据绘制成了扇形统计图，分数在之间的理科学生成绩绘制成频率分布直方图，已知参加考试的理科生有12000人.
（1）如果按照上届高三理科生60%的二本率来估计一检的模拟二本线，请问一检考试的模拟二本线应该是多少；
（2）若甲同学每次质量检测考试，物理、化学、生物及格的概率分别为，，，请问甲同学参加三次质量检测考试，物理、化学、生物三科中至少2科及格的次数分布列及期望.
21．足球运动是深受人们喜爱的一项体育运动，其中守门员扑点球和传球是足球训练中的两个重要训练项目．
(1)假设发点球时，球员等可能地选择左、中、右三个方向射门，守门员等可能地选择左、中、右三个方向扑点球，且守门员方向判断正确时有的可能将球扑出球门外．在一次点球战中，求守门员在前三次点球中，把球扑出球门外的个数X的分布列和数学期望；
(2)某次传球训练中，教练员让甲、乙、丙、丁4名球员进行传接球训练，从甲开始传球，等可能地传给另外3人中的1人，接球者再等可能地传给另外3人中的1人，如此一直进行．假设每个球都能被接住，记第n次传球后球又回到甲脚下的概率为．求证：数列为等比数列，并求．
22．2020年，在第七次全国人口普查过程中，普查员对管辖区域内普查对象是否在家、何时在家等情况并不了解，“敲门无人应”成了普查员在工作中面临的最大难题，而国家电网公司在“网上国网”APP中推出的“e普查”辅助工具成为人口普查的“得力助手”．使用“e普查”扫描管辖范围内居民电表，获取该户“用电码”，红、橙、绿三色分别表示近一个月未用电、间歇用电、正常用电，以精准识别空置户、“候鸟”户、正常户三类情况．下表通过“e普查”统计了某小区的情况：
用户用电情况 未用电 间歇用电 正常用电
显示颜色 红 橙 绿
用户情况 空置户 “候鸟”户 正常户
用户数量 75 150 225
若空置户不需要入户调查，普查员甲根据上面的数据，按照显示的橙、绿两色分层抽取该小区5户用户，进行入户核实情况，若普查员甲到每家“候鸟”户中调查一次成功的概率为，到每家正常户中调查一次成功的概率为，且各户之间调查一次是否成功相互独立．
（1）求普查员甲到这5户中调查一次成功4户的概率；
（2）设普查员甲到这5户中调查一次成功的户数为，求的分布列和数学期望．
