6.2.3 组合同步训练（含解析）

6.2.3 组合（同步训练）
一、选择题
1.(多选)下列问题是组合问题的是(　　)
A.从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法
B.有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法
C.某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，有多少种不同的结果
D.从10个里选3个人去开会，有多少种选法
2.从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有(　　)
A.60种 B.36种
C.10种 D.6种
3.(2022年驻马店期末)2021年第十四届全国运动会的吉祥物“朱朱”“熊熊”“羚羚”“金金”深受大家的喜欢．现有“朱朱”“熊熊”布偶各1个，“羚羚”“金金”布偶各2个，从这6个布偶中随机抽取2个，则这2个布偶不一样的概率是(　　)
A. B. C. D.
4.某校开设A类选修课3门，B类选修课5门，一位同学要从中选3门．若要求两类课程中各至少选1门，则不同的选法共有(　　)
A.15种 B.30种
C.45种 D.90种
5.以下四个问题，属于组合问题的是(　　)
A.从3个不同的小球中，取出2个排成一列
B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C.在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星
D.从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地
6.在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各数位之和为偶数的共有(　　)
A.36个 B.24个
C.18个 D.6个
7.某班级要从4名男生、2名女生中派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为(　　)
A.14 B.24
C.28 D.48
8.（多选）下列问题是组合问题的是(　　)
A.10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？
B.平面上有2 020个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？
C.集合{a1，a2，a3，…，an}的含有四个元素的子集有多少个？
D.从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？
二、填空题
9.下列问题属于组合问题的是________
①由1,2,3,4构成的双元素集合；
②由1,2,3构成的两位数的个数；
③由1,2,3构成的无重复数字的两位数的个数．
10.盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6的六个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是________(结果用最简分数表示)．
11.(2022年淄博一模)甲、乙、丙3家公司承包了6项工程，每家公司承包2项，则不同的承包方案有________种．
12.五个点中任何三点都不共线，则这五个点可以连成______条线段；如果是有向线段，共有______条．
三、解答题
13.判断下列问题是排列问题，还是组合问题．
(1)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？
(2)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？
(3)从a，b，c，d四名学生中选两名去完成同一份工作，有多少种不同的选法？
14.现有6名教师，其中4名男教师，2名女教师．
(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？
(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
15.某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？
参考答案及解析：
一、选择题
1.BCD　 解析：A与顺序有关，是排列问题，B，C，D均与顺序无关，是组合问题．
2.D　解析：甲必须参加，因此只要从除甲之外的4人(设为乙1，乙2，乙3，乙4)中选2人即可，有乙1乙2，乙1乙3，乙1乙4，乙2乙3，乙2乙4，乙3乙4，共6种不同的选法．
3.A　解析：从这些布偶中随机抽取2个，共有15种情况(例举略)，其中这2个布偶是同一种布偶的情况有2种，故所求概率p＝1－＝.故选A．
4.C 解析：分两类，A类选修课选1门，B选修课选2门，或者A类选修课选2门，B类选修课选1门．因此共有3×10＋3×5＝45种选法．
5.C 解析：只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题．
6.A 7.A
8.ABC 解析：组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此不是组合问题，A、B、C均是组合问题.
二、填空题
9.答案：①
10.答案：　 解析：从编号为1,2,3,4,5,6的六个球中任意取出两个球的方法有15种(例举略)．当两个球编号均为奇数时，得到的编号之积才为奇数，故取出的两个球的编号之积为奇数的方法有3种，则取出的两个球的编号之积为奇数的概率为＝，所以取出的两个球的编号之积为偶数的概率为1－＝.
11.答案：90　 解析：第一步，从6项工程选2项给甲公司，有15种选法(例举略)；第二步，从剩下的4项工程选2项给乙公司，有6种选法(例举略)；第三步，剩下的2项工程给丙公司．故不同的承包方案有15×6×1＝90(种)．
12.答案：10，20 解析：从五个点(设为A，B，C，D，E)中任取两个点恰好连成一条线段，这两个点没有顺序，所以是组合问题，连成的线段共有10条(AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE) .有向线段跟两个点的先后排列次序有关，所以是排列问题，排列数是A＝20.所以有向线段共有20条．
三、解答题
13.解：(1)当取出3个数字后，如果改变3个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题．
(2)取出3个数字之后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题．
(3)两名学生完成的是同一份工作，没有顺序，是组合问题．
14.解：(1)设4名男教师分别为“男1，男2，男3，男4”，2名女教师分别为“女1，女2”，则从中选2名的选法有“男1，男2；男1，男3；男1，男4；男1，女1；男1，女2；男2，男3；男2，男4；男2，女1；男2，女2；男3，男4；男3，女1；男3，女2；男4，女1；男4，女2；女1，女2”共15种．
(2)从4名男教师中选2名有“男1，男2；男1，男3；男1，男4；男2，男3；男2，男4；男3，男4”共6种，2名女教师只有1种选法，根据分布乘法计数原理，共有不同的选法6×1＝6(种)．
15.解：由题意得有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．
第一类：从只会英语的6人中选1人说英语有6种方法，则会日语的有2＋1＝3(种)．
此时共有6×3＝18(种)．
第二类：选既会英语又会日语的1人说英语有1种方法，此时选会日语的有2种．
故方法共有1×2＝2(种)．
所以由分类计数原理知，选法共有18＋2＝20(种)．