7.4.1二项分布专项练习解析版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知随机变量，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二项分布的方差和期望公式，列方程即可解出的值，进而可求.
【详解】由二项分布的方差和期望公式可得：
，解得，则．
故选：C
2．若随机变量，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】根据，求出，然后根据期望的性质求解.
【详解】因为，所以，所以.
故选：D.
【点睛】本题主要考查随机变量的计算，明确随机变量期望的性质是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
3．已知随机变量X服从二项分布.若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由随机变量X服从二项分布B（n，p），结合期望及方差的公式运算即可得解．
【详解】由随机变量X服从二项分布B(n,p).
又E(X)=2, ，
所以np=2，np(1 p)= ，
解得：p=，
故选：C.
【点睛】本题考查二项分布与n次独立重复试验的模型，运用二项分布的期望及方差的公式运算即可求解，属于基础题.
4．一头猪服用某药品后被治愈的概率是90%，则服用这种药的5头猪中恰有3头被治愈的概率为（ ）
A．0.93 B．1－(1－0.9)3
C．×0.93×0.12 D．×0.13×0.92
【答案】C
【分析】利用二项分布的概率公式，即得解
【详解】由题意，5头猪中被治愈的猪的头数服从二项分布，即
故5头猪中恰有3头被治愈的概率为×0.93×0.12
故选：C
5．把27粒种子分别种在9个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种.假定每个坑至多补种1次，每补种一个坑需12元，用X表示补种费用，则X的数学期望为（ ）
A．3元 B．4元 C．12元 D．24元
【答案】B
【分析】由题设易得9个坑需要补种的个数，利用二项分布的期望公式求，进而求X的数学期望.
【详解】每个坑需要补种的概率为，故9个坑需要补种的个数，
所以，故补种费用元.
故选：B
6．“锦里开芳宴，兰缸艳早年.”元宵节是中国非常重要的传统节日，某班级准备进行“元宵福气到”抽奖活动福袋中装有标号分别为1， 2， 3， 4， 5的五个相同小球，从袋中一次性摸出三个小球，若号码之和是3的倍数，则获奖.若有5名同学参与此次活动，则恰好3人获奖的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出抽一次获奖的概率，设5人中获奖人数为，则，然后由二项分布的概率公式计算概率．
【详解】每次抽奖中，总情况数为种，获奖的共有这4种，所以，设5人中获奖人数为，则，
所以，
故选：C.
7．若X～B（20，0.3），则（ ）
A．E（X）＝3 B．P（X≥1）＝1﹣0.320
C．D（X）＝4 D．P（X＝10）
【答案】D
【分析】根据二项分布的均值，方差以及概率公式求解即可.
【详解】因为，所以，
故选：D
【点睛】本题主要考查了二项分布的均值，方差以及概率公式，属于中档题.
8．某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是，且，若此人通过的科目数的方差是，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】由已知得此人通过的科目数，根据二项分布的方差公式建立方程可求得，再运用二项分布的期望公式计算可得答案.
【详解】解：因为他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是，所以此人通过的科目数，
又此人通过的科目数的方差是，所以，解得（舍去），
所以，
故选：C.
二、多选题
9．若随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据二项分布的性质进行逐一求解判断即可.
【详解】A，，故A正确；
B，，故B错误；
C，，故C正确；
D，，故D错误.
故选：AC.
10．一口袋中有大小和质地相同的4个红球和2个白球，则下列结论正确的是（ ）
A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是
B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两个白球的概率为
C．从中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了红球，则第二次再次取到红球的概率为
D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为
【答案】ABD
【分析】对选项A，根据古典概型公式即可判断A正确，对选项B，根据二项分布即可判断B正确，对选项C，根据条件概率即可判断C错误，对选项D，利用二项分布即可判断D正确。
【详解】对选项A,从中任取3球，恰有一个白球的概率是，故A正确；
对选项B，从中有放回的取球6次，每次任取一球，
则取到白球的个数，
故恰好有两个白球的概率为；
对选项C，从中不放回的取球2次，每次任取1球，记A为“第一次取到红球”，
B为“第二次取到红球”，则所求概率为，故C错误。
对选项D，从中有放回的取球3次，每次任取一球，则取到红球的个数，
至少有一次取到红球的概率为，故D正确。
故选：ABD
11．高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗打子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子．如此继续下去．直到滚到底版的一个格子内为止．现从入口放进一个白球，则（ ）
A．小球从起点到第③个格子一共跳6次
B．小球从起点到第③个格子一共跳7次
C．小球落在第③个格子的概率为
D．小球落在第③个格子的概率为
【答案】BC
【分析】落在第③个格子的情况是下落过程中的次碰撞中，次向左，次向右，由此能求出其落在第③个格子的概率.
【详解】从入口放进一个白球，
则落在第③个格子的情况是下落过程中的次碰撞中，次向左，次向右
而向左或向右的概率均为，
则向右的次数服从二项分布，
小球落在第③个格子的概率
故选：BC.
12．为了防止受到核污染的产品影响民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元.已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利元，则下列说法正确的是（ ）
A．该产品能销售的概率为
B．若表示一箱产品中可以销售的件数，则
C．若表示一箱产品中可以销售的件数，则
D．
【答案】ABD
【分析】根据题意先求出该产品能销售的概率，从而选项A可判断，由题意可得可判断选项B，根据独立重复事件的概率问题可判断C，D选项.
【详解】选项A. 该产品能销售的概率为,故选项A正确.
选项B. 由A 可得每件产品能销售的概率为
一箱中有4件产品，记一箱产品获利元，则，故选项B正确.
选项C. 由题意，不选项C不正确.
选项D. 由题意，即4件产品中有2件能销售，有2件产品不能销售.
所以,故选项D正确.
故选：ABD
三、填空题
13．已知随机变量，且，若，则___________.
【答案】1.6
【分析】直接利用期望公式，转化求解，然后求解方差即可.
【详解】解：随机变量，且，若，
可得，解得，
所以.
故答案为：1.6.
14．已知随机变量，若，，则___________.
【答案】
【分析】根据二项分布的期望和方差公式，即可求解.
【详解】由条件可知，解得：，.
故答案为：
15．如果，其中，______时，最大.（注：是整数）
【答案】或
【分析】根据题意可得，，1，2，…，，由最大，则有，从而可得答案.
【详解】解：∵，其中，
∴，，1，2，…，，
∵，
得，
∴，
∴当是整数时，或时，最大.
故答案为：或.
16．在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，金陵中学高二某小组的学生表现优异，发现的正确结论得到老师和同学们的一致好评．设随机变量，记，，1，2，…，n．在研究的最大值时，该小组同学发现：若为正整数，则时，，此时这两项概率均为最大值；若为非整数，当k取的整数部分，则是唯一的最大值．以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数，当投掷到第35次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行65次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1一共出现的次数为______的概率最大．
【答案】15或16
【分析】根据二项分布的知识，结合题目所给条件进行计算，从而求得正确答案.
【详解】继续再进行65次投掷实验，出现点数为1的次数X服从二项分布，
由，结合题中的结论可知，当或时概率最大．
即后面65次中出现11或10次点数1的概率最大，加上前面35次中的5次．
所以出现15或16次的概率最大．
故答案为：15或16
四、解答题
17．将一枚质地均匀的硬币重复抛掷4次，随机变量X表示“正面朝上”出现的次数．求：
(1)求X的分布列；
(2)求．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据二项分布即可求解概率以及分布列.（2）由二项分布的期望公式即可求解.
【详解】（1）由题意，抛一枚均匀的硬币，正反面朝上的概率均为，
所以将一枚均匀的硬币重复抛掷4次，正面朝上的次数，故
即 , , ,
, ；
X的分布列如下:
0 1 2 3 4
（2）,
18．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.
(1)求乙至多击中目标2次的概率；
(2)记甲击中目标的次数为Z，求Z的分布列、数学期望和标准差．
【答案】（1）；
（2）
，.
【分析】（1）先求出乙击中目标3次的概率，再用对立事件求概率公式进行求解；（2）得出，求出Z的可能取值与分布列，求出期望与标准差.
【详解】（1）甲、乙两人射击命中的次数服从二项分布，故乙至多击中目标2次的概率为.
（2），
P(Z＝0)＝；
P(Z＝1)＝；
P(Z＝2)＝；
P(Z＝3)＝.
Z的分布列如下表：
Z 0 1 2 3
P
E(Z)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，
D(Z)＝×＋×＋×＋×＝，
∴＝.
19．核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性.多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中各个样本再逐个化验：若混合样本呈阴性，则该组各个样本均为阴性.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为.现用两种方案对4例疑似病例进行核酸检测.
（1）方案一：4例逐个化验，设检测结果呈阳性的人数为X，求X的概率分布列；
（2）方案二：4例平均分成两组化验，设需要检测的次数为Y，求Y的概率分布列.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【分析】（1）方案一：4例逐个化验，检测结果呈阳性的人数，分别求得各个频率，即可得答案.
（2）方案二：4人平均分成两组，若呈阴性，则检验次数为1，其概率为，若呈阳性，则检验次数为3，概率为，则Y可取2,4,6，分别求得各个概率，即可得答案.
【详解】（1）方案一例逐个化验，检测结果呈阳性的人数，
所以，
所以X的分布列为
0 1 2 3 4
（2）方案二：4例平均分成两组化验，每一组两个样本检测，
若呈阴性，则检验次数为1，概率为
若呈阳性，则检验次数为3，概率为
所以的分布列为
2 4 6
20．盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数，其中是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．
(1)求事件“在一次试验中，得到的数为虚数”的概率与事件 “在四次试验中，至少有两次得到虚数” 的概率；
(2)在两次试验中，记两次得到的数分别为，求随机变量的分布列与数学期望
【答案】(1)；
(2)见解析.
【分析】（1）根据卡片上分别标有数，其中是虚数单位可求，四次试验中得到虚数的次数服从二项分布，利用对立事件的概率公式可求；
（2）列表确定随机变量的取值，求出相应的概率，可得分布列与数学期望．
【详解】（1）∵卡片上分别标有数，其中是虚数单位，
∴，
设在四次试验中得到虚数的次数为，则
∴；
（2）的可能取值如下表所示：
2
1 1 2 2
1 1 2 2
2 2 4 4
2 2 2 4 4
由表可知，,
，，，
∴随机变量的分布列为
1 2 4
∴.
21．山竹，原产于马鲁古，具有清热泻火、生津止渴的功效，其含有丰富的蛋白质与脂类，对体弱、营养不良的人群都有很好的调养作用，因此被誉为夏季的“水果之王”，受到广大市民的喜爱．现将某水果经销商近一周内山竹的销售情况统计如下表所示：
采购数量（单位：箱）
采购人数 100 100 50 200 50
（1）根据表格中数据，完善频率分布直方图；
（2）求近一周内采购量在286箱以下（含286箱）的人数以及采购数量的平均值；
（3）以频率估计概率，若从所有采购者中随机抽取4人，记采购量不低于260箱的采购人数为，求的分布列以及数学期望．
【答案】（1）直方图见解析；（2）270；（3）分布列见解析，.
【分析】（1）求出各组频率，得出频率除以组距值，即可完善频率分布直方图；
（2）根据频率分布直方图即可列式求解；
（3）可知，求出概率，即可得出分布列和期望值.
【详解】（1）依题意，转化频率分布表如下所示：
采购数量（单位：箱）
采购人数 100 100 50 200 50
频率 0.2 0.2 0.1 0.4 0.1
频率/组距 0.010 0.010 0.005 0.020 0.005
完善频率分布直方图如图所示：
（2）采购量在286箱以下（含286）的频率为；
故采购量在286箱以下（含286）的人数为；
所求平均值为；
（3）依题意，，则，
，，
，，
故的分布列为：
0 1 2 3 4
故．
【点睛】本题考查频率分布直方图、样本的数字特征、离散型随机变量的分布列以及数学期望，考查考生直观想象、数学建模、数学运算、逻辑推理的核心素养．
22．对一批产品的内径进行抽查，已知被抽查的产品的数量为200，所得内径大小统计如表所示：
内径(mm) [20,22) [22,24) [24,26) [26,28) [28,30) [30,32) [32,34]
产品个数 4 28 36 60 46 20 6
（Ⅰ）以频率估计概率，若从所有的这批产品中随机抽取3个，记内径在的产品个数为X，X的分布列及数学期望；
（Ⅱ）已知被抽查的产品是由甲、乙两类机器生产，根据如下表所示的相关统计数据，是否有的把握认为生产产品的机器种类与产品的内径大小具有相关性．
内径小于28mm 内径不小于28mm 总计
甲机器生产 32
乙机器生产 60
总计
参考公式：，（其中为样本容量）．
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】（Ⅰ）分布列见解析，；（Ⅱ）没有.
【分析】（Ⅰ）由频率分布表可知，任取1件产品，内径在[26，28)的概率，所以，根据二项分布的计算公式分别求出时的概率，列出分布列，再根据期望公式求出期望；（Ⅱ）首先依题意填写列联表，再求得的观测值，结合临界值表即可得出结论．
【详解】(I)任取1件产品，内径在[26，28)的概率，
故，
，
＝，
＝，
＝，
故X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
故；
（II）依题意，所得列联表如下所示
内径小于28mm 内径不小于28mm 总计
甲机器生产 68 32 100
乙机器生产 60 40 100
总计 128 72 200
的观测值为，
故没有99%的把握认为生产产品的机器种类与产品的内径大小具有相关性．
【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与期望的求法，独立性检验的基本思想及其应用．7.4.1二项分布专项练习
一、单选题
1．已知随机变量，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．若随机变量，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．已知随机变量X服从二项分布.若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．一头猪服用某药品后被治愈的概率是90%，则服用这种药的5头猪中恰有3头被治愈的概率为（ ）
A．0.93 B．1－(1－0.9)3
C．×0.93×0.12 D．×0.13×0.92
5．把27粒种子分别种在9个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种.假定每个坑至多补种1次，每补种一个坑需12元，用X表示补种费用，则X的数学期望为（ ）
A．3元 B．4元 C．12元 D．24元
6．“锦里开芳宴，兰缸艳早年.”元宵节是中国非常重要的传统节日，某班级准备进行“元宵福气到”抽奖活动福袋中装有标号分别为1， 2， 3， 4， 5的五个相同小球，从袋中一次性摸出三个小球，若号码之和是3的倍数，则获奖.若有5名同学参与此次活动，则恰好3人获奖的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．若X～B（20，0.3），则（ ）
A．E（X）＝3 B．P（X≥1）＝1﹣0.320
C．D（X）＝4 D．P（X＝10）
8．某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是，且，若此人通过的科目数的方差是，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多选题
9．若随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
10．一口袋中有大小和质地相同的4个红球和2个白球，则下列结论正确的是（ ）
A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是
B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两个白球的概率为
C．从中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了红球，则第二次再次取到红球的概率为
D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为
11．高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗打子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子．如此继续下去．直到滚到底版的一个格子内为止．现从入口放进一个白球，则（ ）
A．小球从起点到第③个格子一共跳6次
B．小球从起点到第③个格子一共跳7次
C．小球落在第③个格子的概率为
D．小球落在第③个格子的概率为
12．为了防止受到核污染的产品影响民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元.已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利元，则下列说法正确的是（ ）
A．该产品能销售的概率为
B．若表示一箱产品中可以销售的件数，则
C．若表示一箱产品中可以销售的件数，则
D．
三、填空题
13．已知随机变量，且，若，则___________.
14．已知随机变量，若，，则___________.
15．如果，其中，______时，最大.（注：是整数）
16．在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，金陵中学高二某小组的学生表现优异，发现的正确结论得到老师和同学们的一致好评．设随机变量，记，，1，2，…，n．在研究的最大值时，该小组同学发现：若为正整数，则时，，此时这两项概率均为最大值；若为非整数，当k取的整数部分，则是唯一的最大值．以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数，当投掷到第35次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行65次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1一共出现的次数为______的概率最大．
四、解答题
17．将一枚质地均匀的硬币重复抛掷4次，随机变量X表示“正面朝上”出现的次数．求：
(1)求X的分布列；
(2)求．
18．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.
(1)求乙至多击中目标2次的概率；
(2)记甲击中目标的次数为Z，求Z的分布列、数学期望和标准差．
19．核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性.多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中各个样本再逐个化验：若混合样本呈阴性，则该组各个样本均为阴性.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为.现用两种方案对4例疑似病例进行核酸检测.
（1）方案一：4例逐个化验，设检测结果呈阳性的人数为X，求X的概率分布列；
（2）方案二：4例平均分成两组化验，设需要检测的次数为Y，求Y的概率分布列.
20．盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数，其中是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．
(1)求事件“在一次试验中，得到的数为虚数”的概率与事件 “在四次试验中，至少有两次得到虚数” 的概率；
(2)在两次试验中，记两次得到的数分别为，求随机变量的分布列与数学期望
21．山竹，原产于马鲁古，具有清热泻火、生津止渴的功效，其含有丰富的蛋白质与脂类，对体弱、营养不良的人群都有很好的调养作用，因此被誉为夏季的“水果之王”，受到广大市民的喜爱．现将某水果经销商近一周内山竹的销售情况统计如下表所示：
采购数量（单位：箱）
采购人数 100 100 50 200 50
（1）根据表格中数据，完善频率分布直方图；
（2）求近一周内采购量在286箱以下（含286箱）的人数以及采购数量的平均值；
（3）以频率估计概率，若从所有采购者中随机抽取4人，记采购量不低于260箱的采购人数为，求的分布列以及数学期望．
22．对一批产品的内径进行抽查，已知被抽查的产品的数量为200，所得内径大小统计如表所示：
内径(mm) [20,22) [22,24) [24,26) [26,28) [28,30) [30,32) [32,34]
产品个数 4 28 36 60 46 20 6
（Ⅰ）以频率估计概率，若从所有的这批产品中随机抽取3个，记内径在的产品个数为X，X的分布列及数学期望；
（Ⅱ）已知被抽查的产品是由甲、乙两类机器生产，根据如下表所示的相关统计数据，是否有的把握认为生产产品的机器种类与产品的内径大小具有相关性．
内径小于28mm 内径不小于28mm 总计
甲机器生产 32
乙机器生产 60
总计
参考公式：，（其中为样本容量）．
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
