6.3.2 二项式系数的性质同步训练（含解析）

6.3.2 二项式系数的性质（同步训练）
一、选择题
1.在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项二项式系数相同的项是(　　)
A.第(n－k)项 B.第(n－k－1)项
C.第(n－k＋1)项 D.第(n－k＋2)项
2.设二项式的展开式中第5项是常数项，那么这个展开式中系数最大的项是(　　)
A.第9项 B.第8项
C.第9项和第10项 D.第8项和第9项
3.(2022年汕尾期末)已知的展开式中第2项和第6项的二项式系数相等，则的展开式中的常数项为(　　)
A.－240 B.240
C.－60 D.60
4.(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是(　　)
A.n，n＋1 B.n－1，n
C.n＋1，n＋2 D.n＋2，n＋3
5.已知(1＋2x)n的展开式中所有系数之和等于729，那么这个展开式中x3项的系数是(　　)
A．56 B．160
C．80 D．180
6.(1－x)13的展开式中系数最小的项为(　　)
A．第9项 B．第8项
C．第7项 D．第6项
7.已知(2x－1)n二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则C＋C＋C＋…＋C的值为(　　)
A.28 B.28－1
C.27 D.27－1
8.若(1＋x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5等于(　　)
A.0 B.0
C.31 D.32
9.(多选)(2022年龙岩期末)关于的展开式，下列结论正确的是(　　)
A.各项二项式系数之和为32 B.各项系数之和为－1
C.存在常数项 D.x3项的系数为80
二、填空题
10.若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________
11.(2022年威海期末)在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中含x3项的系数为________
12.已知的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，则展开式中二项式系数最大的项的系数为________
13.已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5=___________
三、解答题
14.(1)求1 99510除以8的余数；
(2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除．
15.已知n∈N*，求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除．
16.在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和；
(2)各项系数之和；
(3)所有奇数项系数之和．
参考答案及解析：
一、选择题
1.D　解析：第k项的二项式系数是C，由于C＝C，第(n－k＋2)项的二项式系数为C.故选D．
2.A　解析：因为展开式的第5项为T5＝C，所以令－4＝0，解得n＝16.所以展开式中系数最大的项是第9项．
3.D　解析：由已知可得，第2项和第6项的二项式系数相等，则C＝C，解得n＝6，则的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx6－r·＝C·(－2)rx6－3r，令6－3r＝0，解得r＝2，则展开式的常数项为C·(－2)2＝15×4＝60.故选D．
4.C
5.B　 解析：由条件知(1＋2)n＝729，∴n＝6，∴展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)r＝2rCxr，
令r＝3得23C＝160.
6.B 解析：展开式中共有14项，中间两项(第7、8项)的二项式系数最大．由于二项展开式中二项式的系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数．故系数最小的项为第8项，系数最大的项为第7项．
7.B
8.C 解析：令x＝0，则a0＝(1＋0)5＝1；
令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(1＋1)5＝32. ∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝32－1＝31.
9.ABD
二、填空题
10.答案:5　
解析：(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210，令(x＋3y)n中x＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.
11.答案:15　
解析：由题知n＝6，则Tr＋1＝C·x6－r·＝C·(－1)r·，
令6－＝3，得r＝2，所以展开式中x3的系数为C·(－1)2＝15.
12.答案：
13.答案：1
解析：令x＝1，得(2×1－1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1
三、解答题
14.(1)解：1 99510＝(8×249＋3)10.∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数，∴1 99510除以8的余数与310除以8的余数相同．又∵310＝95＝(8＋1)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数，∴310除以8的余数为1，即1 99510除以8的余数也为1.
(2)证明：32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9＝C8n＋1＋C8n＋…＋C－8n－9
＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82＋(n＋1)×8＋1－8n－9
即 32n＋2－8n－9＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82 ①
①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除．
15.证明：1＋2＋22＋…＋25n－1＝＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1
＝31n＋C×31n－1＋…＋C×31＋1－1＝31×(31n－1＋C×31n－2＋…＋C)
显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除．
16.解：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9
(1)二项式系数之和为C＋C＋C＋…＋C＝29
(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，
令x＝1，y＝1，所以a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.
(3)令x＝1，y＝－1，可得a0－a1＋a2－…－a9＝59，
又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，将两式相加可得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝，
即所有奇数项系数之和为.