6.4平面向量的应用 随堂练（含答案）

6.4 平面向量的应用
一、单选题
1. 在中，若，，的面积为，则( )
A. B. C. D.
2. 在中，角，、所对的边分别为、、，且，若，则的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
3. 若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为( )
A. B. C. D.
4. 一艘船以每小时的速度向东航行，船在处看到一个灯塔在北偏东方向，行驶后，船到达处，看到这个灯塔在北偏东方向，这时船与灯塔的距离为( )
A. B. C. D.
5. 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图所示，一艘船从长江南岸点出发，以的速度沿方向行驶，到达对岸点，且与江岸垂直，同时江水的速度为向东则船实际航行的速度大小为( )
A. B. C. D.
6. 第十届中国花博会于年月日至月日在上海崇明举办，主题是“花开中国梦”，其标志建筑世纪馆以“蝶恋花”为设计理念，利用国际前沿的数字技术，突破物理空间局限，打造了一个万花竞放的虚拟绚丽空间，拥有全国跨度最大的自由曲面混凝土壳体，屋项跨度达米图为世纪馆真实图，图是世纪馆的简化图．
世纪馆的简化图可近似看成是由两个半圆及中间的阴影区域构成的一个轴对称图形，其中分别为半圆的圆心，线段与半圆分别交于，，若米，米，，，，，则的长约为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
7. 在中，，，，角是锐角，为的外心若，其中，，则点的轨迹所对应图形的面积是( )
A. B. C. D.
8. 在中，内角，，的对边分别为，，若的面积为，且，，则外接圆的面积为( )
A. B. C. D.
9. 在中，若，则是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
10. 如图所示，隔河可以看到对岸两目标，，但不能到达，现在岸边取相距的，两点，测得，，，在同一平面内，则两目标，间的距离为
A. B. C. D.
二、多选题
11. 在中，若，则的面积可能为
A. B. C. D.
12. 对于中，有如下判断，其中正确的判断是( )
A. 若，则符合条件的有两个
B. 若，则为等腰三角形
C. 若，则
D. 若，则是钝角三角形
13. 在圆的内接四边形中，，，，则( )
A. B. 四边形的面积为
C. D.
14. 对于，有如下命题，其中正确的有( )
A. 若，则是等腰三角形
B. 若是锐角三角形，则不等式恒成立
C. 若，则为钝角三角形
D. 若，，，则的面积为或
15. 在中，角，，所对的边分别为，，，下列说法中正确的是( )
A.
B. 若，则
C. 若，则是直角三角形
D. 若，三角形面积，则三角形的外接圆半径为
三、填空题
16. 在中，分别表示三个内角的对边，如果成等差数列，，的面积为，那么___________．
17. 的内角，，的对边分别为，，若的面积为，则 ．
18. 如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形的斜边，直角边，，点在以为直径的半圆上．若以直角边，为直径的两个半圆的面积之比为：，，则______．
19. 如图，作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为 ．
20. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则两点的距离为______．
四、解答题
21. 在平行四边形中，与交于点，，．
求的值
求的值．
22. 在中，内角，，的对边分别是，，，且满足B.
求角的值
若，，求的面积．
23. 为了开凿隧道，要测量隧道口间的距离，为此在的一侧选取适当的点如图，测得，，，又测得、两点到隧道口的距离，、、、在一直线上，计算隧道的长．
24. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
证明：；
若，且的面积为，求．
25. 如图，在平面四边形中，，，．
若，求的面积；
若，求．
1、 ； 2、 ； 3、 ； 4、 ； 5、 ； 6、 ； 7、 ； 8、 ； 9、 ； 10、 ； 11、 ； 12、 ； 13、 ； 14、 ； 15、 ； 16、 ； 17、 ；
18、 ； 19、 ； 20、
21、解：因为，，
所以
因为，，
所以，即．
由知，
所以，
因为，
即，
所以，
解得：．
22、解：，
由正弦定理可得：，整理可得：，
，
，
．
，，可得，
，，
又，，
．
23、解：由余弦定理可得，
所以．

24、证明：，
根据正弦定理可得：，
因为在中，
所以，
所以，
展开得：，
整理得：，因为在中，，
所以，
所以．
解：由已知得：，
，
由，得：，，
，
由，得：，
所以，
所以，
所以，
由，
得：．
25、解：在中，由，得，
所以，则．
则．
设，由，可得，，
在中，因为，所以，
在中，由正弦定理得，即，
所以，即，
整理得．
由得，所以．
在中，由正弦定理得，
即．