7.5正态分布专项练习解析版
一、单选题
1．设随机变量，若，则等于（ ）
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
【答案】D
【分析】根据正态曲线的对称性可得，再根据概率的性质可得结果.
【详解】因为正态曲线关于对称，且，
所以，
所以.
故选：D
【点睛】本题考查了正态曲线的对称性，考查了概率的性质，属于基础题.
2．某市一次高二年级数学统测,经抽样分析,成绩近似服从正态分布,且,则
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
【答案】A
【解析】根据正态分布的对称性求出P（X≥90），即可得到答案．
【详解】∵X近似服从正态分布N(84,σ2),
.
∴，
故选：A.
【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，抓住正态分布曲线的对称性即可解题，属于基础题.
3．法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包．该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000g，上下浮动不超过50g．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g，标准差为50g的正态分布．假设面包师的说法是真实的，记随机购买一个面包的质量为X，若，则买一个面包的质量大于900g的概率为（ ）
（附：①随机变量服从正态分布，则，，；）
A．0.84135 B．0.97225
C．0.97725 D．0.99865
【答案】C
【分析】确定，概率为，计算得到答案.
【详解】由题意得，
故面包的质量大于900g的概率为.
故选：C
4．某工厂生产的零件的尺寸 (单位： ) 服从正态分布 ， 任选一个零件， 尺寸在 的概率为（ ）
附： 若 ， 则 ．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据正态分布的意义确定，即可根据概率值求得，即可得答案.
【详解】由零件的尺寸 (单位： ) 服从正态分布 ，
可知 ，故 ，
由 可得，
故尺寸在 的概率为，
故选：B
5．设随机变量服从正态分布，若，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据正态分布的特征，可得，求解即可得出结果.
【详解】因为随机变量服从正态分布，，
根据正态分布的特征，可得，解得.
故选：B．
【点睛】方法点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法
①熟记的值．
②充分利用正态曲线的对称性和曲线与轴之间面积为1.
6．设随机变量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由正态曲线的对称性结合必要不充分条件的定义即可得到答案.
【详解】当时，根据正态曲线的对称性可知，故不是的充分条件；反之，若，由对称性可知，故是的必要条件；
故是的必要不充分条件，
故选：B
二、多选题
7．下列说法正确的是（ ）
A．已知随机变量，，满足，且服从正态分布，则
B．已知随机变量服从二项分布，则
C．已知随机变量服从正态分布，且，则
D．已知一组数据，，，，，的方差是3，则数据，，，，，的标准差是
【答案】ACD
【分析】根据离随机变量的正态分布、二项分布的性质，以及方差和标准差的概念，逐项分析判断即可得解.
【详解】，故选项A正确；
，故选项B错误；
由题可知服从正态分布，由正态分布的对称性知，
，
，故选项C正确；
，，，，，的方差，
，，，，，的方差
，
标准差，故选项D正确.
故选:ACD.
8．下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量服从两点分布，，则
B．若随机变量的方差，则
C．若随机变量服从二项分布，则
D．若随机变量服从正态分布，，则
【答案】ACD
【分析】根据二点分布的期望公式，可判定A正确；根据方差的性质，可判定B错误；根据二项分布的概率计算公式，可判定C正确；根据正态分布曲线的对称性，可判定D正确.
【详解】对于A中，由随机变量服从两点分布且，则，故A正确；
对于B中，由随机变量的方差，可得，故B错误；
对于C中，由变量服从二项分布，则，所以C正确；
对于D中，由随机变量服从正态分布，，
根据正态分布曲线的对称性，可得，所以D正确.
故选：ACD.
9．已知正态分布的密度曲线是，，那么下列给出的四个命题中正确的是（ ）
A．对任意的，成立；
B．若随机变量服从，则的均值是108，标准差是100；
C．若随机变量服从，，，则；
D．若随机变量服从，且，则是上的增函数；
【答案】ACD
【分析】A. 图象关于对称，故该选项正确；
B. 的期望是108，标准差是10，故该选项错误；
C. 由图象的对称性，得，故该选项正确；
D. 随着的增加，也随着增加，所以该选项正确.
【详解】A. 图象关于对称，成立，故该选项正确；
B. 如果随机变量服从，那么的期望是108，标准差是10，故该选项错误；
C. 由图象的对称性，得，故该选项正确；
D. 随着的增加，也随着增加，可得是上的增函数，所以该选项正确.
故选：ACD
10．下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量，则
B．已知随机变量X，Y满足，若，则
C．某中学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，现从这10名同学中随机选取3名同学去参加某公益活动（每位同学被选到的可能性相同）.则至少选到2名女同学的概率是0.3
D．三批同种规格的产品，第一批占20%，第二批占30%，第三批占50%，次品率依次为6%、5%、4%， 将三批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品是合格品的概率是0.953
【答案】AD
【分析】A选项，B选项分别利用正态分布，二项分布的性质处理，C选项利用古典概型的概率公式计算，D选项利用条件概率解决.
【详解】，则正态曲线关于对称，而是关于对称的两个区间，于是，A选项正确；
由二项分布的期望方差公式，
，，而，于是
，，B选项错误；
由选项可得，所求的概率为：，C选项错误；
根据选项可得，合格品的概率为：
，D选项正确.
故选：AD
三、填空题
11．已知随机变量X服从正态分布，且，则_________.
【答案】##
【分析】利用正态分布的对称性即可计算作答.
【详解】因随机变量X服从正态分布，，
所以.
故答案为：
12．已知随机变量，，则________________．
【答案】0.16
【分析】由正态分布的对称性知：，代入即可得出答案.
【详解】随机变量，，由正态分布的对称性知：
.
故答案为：0.16.
13．已知一试验田种植的某种作物一株生长果实的个数x服从正态分布，且，从试验田中随机抽取10株，果实个数在的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为_________．
【答案】2.1
【分析】由,利用正态分布的对称性求得,
则,利用二项分布的方差公式可得结果.
【详解】,且，，
,
,
由题意可得,
所以的方差为，
故答案为:2.1
14．在2021年6月某区的高二期末质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布．已知参加本次考试的学生约有9450人，如果某学生在这次考试中数学成绩为108分，那么他的数学成绩大约排在该区的名次是______．附:若,则，.
【答案】1500
【分析】根据正态分布特点，则，再乘以总人数即可.
【详解】因为考试的成绩服从正态分布，
根据，，则，
得，
即数学成绩高于108分的学生占总人数的15.87%，
由，可知这位学生的数学成绩108分大约排在该区的名次是1500．
故答案为：1500.
四、解答题
15．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间（样本数据），经数据分析得到如下结果：
坐公交车：平均用时30min，方差为36
骑自行车：平均用时34min，方差为4
(1)根据以上数据，李明平时选择哪种交通方式更稳妥？试说明理由.
(2)分别用X和Y表示坐公交车和骑自行车上学所用的时间，X和Y的概率密度曲线如图（a）所示，如果某天有38min可用，你应选择哪种交通方式？如果仅有34min可用，又应该选择哪种交通方式？试说明理由.
（提示：（2）中X和Y的概率密度曲线分别反映的是X和Y的取值落在某个区间的随机事件的概率，例如，图（b）中阴影部分的面积表示的就是X取值不大于38min时的概率.）
【答案】(1)李明平时选择骑自行车更稳妥，理由见详解；
(2)如果某天有38min可用，李明应选骑自行车；如果某天有34min可用，应选坐公交车；
理由见详解.
【分析】利用正态分布曲线的意义以及性质、方差意义即可解决.
【详解】（1）李明平时选择骑自行车更稳妥，
由已知得坐公交车平均用时30min，骑自行车平均用时34min，差距不大；但是坐公交车的方差为36，骑自行车的方差为4，由于方差越小，取值越集中，稳定性越高，波动性越小，则坐公交车所花费的时间不稳定，即李明平时选择骑自行车更稳妥.
（2）由图（a）中可知，X和Y的概率密度曲线可知
，
由此可知，如果某天有38min可用，那么李明坐公交车迟到的概率大于骑自行车迟到的概率，应选骑自行车；
由图（a）中可知，X和Y的概率密度曲线可知
，
由此可知，如果某天有34min可用，那么李明坐公交车迟到的概率小于骑自行车迟到的概率，应选坐公交车.
16．笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即文房四宝笔、墨、纸、砚之名，起源于南北朝时期，其中“纸”指的是宣纸，“始于唐代、产于泾县”，因唐代泾县隶属宣州管辖，故因地得名宣纸，宣纸按质量等级分类可分为正牌和副牌（优等品和合格品）．某公司生产的宣纸为纯手工制作，年产宣纸刀，该公司按照某种质量指标给宣纸确定质量等级，如下表所示：
的范围
质量等级 正牌 副牌 废品
公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀（张）进行检验，得到的频率分布直方图如图所示．已知每张正牌宣纸的利润为元，副牌宣纸的利润为元，废品宣纸的利润为元．
（1）试估计该公司生产宣纸的年利润；
（2）该公司预备购买一种售价为万元的机器改进生产工艺，这种机器使用寿命为一年，不影响产量，这种机器生产的宣纸的质量指标服从正态分布，改进工艺后正牌和副牌宣纸的利润都将受到不同程度的影响，观测的数据如下表所示：
的范围
一张宣纸的利润
频率
将频率视为概率，请判断该公司是否应该购买这种机器，并说明理由．
附：若，则，，．
【答案】（1）百万元；（2）应该购买这种机器，理由见解析.
【分析】（1）根据频率直方图求出正牌、副牌、废品的频率，再求每刀宣纸正牌、副牌、废品的数量，进而求生产宣纸的年利润；
（2）由题设，根据正态分布的三段区间概率及正牌、副牌、废品的指标区间求它们的概率，进而得到正牌、副牌、废品的年产量并求出年利润，注意成本需减去购买机器的成本，与未购买机器前的利润作比较，即可判断是否合适购买机器.
【详解】（1）由频率直方图知：正牌、副牌、废品的频率分别为，
∴一刀宣纸中，正牌，副牌，废品，
∴该公司生产宣纸的年利润为元.
（2）由题意，，
∴正牌，
副牌，
∴正牌年产量：；副牌年产量：；废品年产量：；
由题设数据，年利润为元，
∴利润显然高于购买机器之前，故应该购买这种机器.
17．某科技公司新研制生产一种特殊疫苗，为确保疫苗质量，定期进行质量检验．某次检验中，从产品中随机抽取100件作为样本，测量产品质量体系中某项指标值，根据测量结果得到如下频率分布直方图：
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）技术分析人员认为，本次测量的该产品的质量指标值X服从正态分布，若同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，计算，并计算测量数据落在内的概率；
（3）设生产成本为y元，质量指标值为x，生产成本与质量指标值之间满足函数关系假设同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，试计算生产疫苗的平均成本．
参考数据：，则，．
【答案】（1）；（2）；；（3）元．
【分析】（1）由频率之和等于1求出a的值；
（2）先由频率分布直方图求平均数的方法得出，再由参考数据得出数据落在内的概率；
（3）先由频率分布直方图得出每组的质量指标值，再根据生产成本与质量指标值之间的函数关系得出生产疫苗的平均成本．
【详解】解：（1）由
解得．
（2）依题意，
故
所以
故测量数据落在内的概率约为
（3）根据题意得
故生产该疫苗的平均成本为．
【点睛】关键点睛：解决问题二的关键在于由频率分布直方图计算平均数的方法得出，进而由正态分布的性质得出概率.
18．基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中笔试通过后才能进入面试环节，2021年有3500名学生报考某试点高校，若报考该试点高校的学生的笔试成绩，其分布密度函数，的最大值为，且.笔试成绩高于70分的学生进入面试环节.
（1）求μ和σ；
（2）从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，求这10人中至少有一人进入面试的概率；
（3）现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、.设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.
附：若，则，，，.
【答案】（1），；（2）0.8223；（3）分布列见解析，.
【分析】（1）由正态分布性质，结合已知可得，可求，再由可求.
（2）由正态分布的对称性有，求各学生能进入面试的概率，再由独立事件的乘法公式及对立事件的概率求法，求10人中至少有一人进入面试的概率.
（3）求出X的可能取值为0，1，2，3，4的概率，写出分布列，由分布列求期望即可.
【详解】（1）的最大值为，解得，
由，则.
（2）记“至少有一名学生进入面试”为事件A，由（1）知：，，
∴，
∴，即至少有一名学生进入面试的概率为0.8223.
（3）X的可能取值为0，1，2，3，4
，
，
，
，
，
分布列如下：
0 1 2 3 4
∴.
19．一鲜花店销售某种玫瑰花，根据以往的日销售记录，这种玫瑰花的日销售额(单位：元)服从正态分布在销售记录中，随机抽取天，至少有一天日销售额在之外的概率约为0.0257．在这天里，鲜花店老板每天给表现最好的5位员工每位两次抽奖的机会，每次抽奖结果只有“100元和50元”两种结果，由于某种原因，二者出现的概率不一定是等可能的，设出现“100元”的概率为，各次抽奖相互独立．
（1）求的值；
（2）当有10人次参与抽奖时，恰有6人次得到100元的概率为，求的最大值点，当时，设每位员工抽奖得到的金额为，预计在这天里，鲜花店老板需要拿出的抽奖金额的期望是多少？
附：若随机变量服从正态分布，则.
【答案】（1）；（2），期望是(元)．
【分析】（1）根据正态分布概率公式得抽取天，日销售额全在之内的概率为，则即可求出结果；
（2）由二项分布得到，利用导数求得，再结合二项分布求得的分布列与期望．
【详解】（1）根据已知，随机抽取的一天中日销售额在之内的概率为0.9974，抽取天，日销售额全在之内的概率为，则至少有一天日销售额不再之内的概率为
所以，即，所以；
（2）有10人次参与抽奖，恰有6人次得到100元的概率为，
则，
当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，最大，所以最大值点为；
由题意知，的所有可能取值为100，150，200，
则，，
，
所以的分布列为
100 150 200
，
所以这10天里，鲜花店老板需要拿出的抽奖金额的期望是(元)．
【点睛】思路点睛：
求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）
20．2021年4月11日，10名“湖湘工匠年度人物”完成公示，准备接受湖南省政府表彰．大力弘扬工匠精神在我省蔚然成风．衡阳市某变电器材有限公司为监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个零件，测量其内径尺寸（单位：）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径尺寸服从正态分布．
（1）假设生产状态正常，记X表示某一天内抽取的10个零件中其内径尺寸在之外的零件数，求及X的数学期望；
（2）该公司某天正常工作的一条生产线数据记录的茎叶图如图所示：
①计算这一天生产线上生产的零件内径尺寸的平均值与标准差；
②为了带动相关产业发展，该公司帮扶衡阳市内另一家企业安装这条生产线并试生产了5个零件，测量其内径分别为（单位：）：96，102，108，113，117，试问此条生产线是否需要进一步调试，请说明理由．
参考数据：，．
【答案】（1）；；（2）①；；②需进一步调试；理由见解析．
【分析】（1）利用（或）求得所求概率.利用二项分布期望计算公式计算出.
（2）①求得和，从而求得.②根据原则可知生产线异常，需进一步调试.
【详解】（1）由题意，
，
，
∴P（或），
∴（或），
由题意可知.
（2）①由茎叶图可得10个数据为：96，97，99，99，102，102，103，104，105，113
则平均值．
，
由参考数据可得.
②安装的该生产线需要进一步调试，理由如下：
由①可知，若生产线正常工作，则X服从正态分布，
则，
可知零件落在之内的概率为0.9974，落在之外的概率为0.0026，
而，
由原则可知生产线异常，需进一步调试.7.5正态分布专项练习
一、单选题
1．设随机变量，若，则等于（ ）
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
2．某市一次高二年级数学统测,经抽样分析,成绩近似服从正态分布,且,则
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
3．法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包．该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000g，上下浮动不超过50g．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g，标准差为50g的正态分布．假设面包师的说法是真实的，记随机购买一个面包的质量为X，若，则买一个面包的质量大于900g的概率为（ ）
（附：①随机变量服从正态分布，则，，；）
A．0.84135 B．0.97225
C．0.97725 D．0.99865
4．某工厂生产的零件的尺寸 (单位： ) 服从正态分布 ， 任选一个零件， 尺寸在 的概率为（ ）
附： 若 ， 则 ．
A．
B．
C．
D．
5．设随机变量服从正态分布，若，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．2
6．设随机变量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
7．下列说法正确的是（ ）
A．已知随机变量，，满足，且服从正态分布，则
B．已知随机变量服从二项分布，则
C．已知随机变量服从正态分布，且，则
D．已知一组数据，，，，，的方差是3，则数据，，，，，的标准差是
8．下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量服从两点分布，，则
B．若随机变量的方差，则
C．若随机变量服从二项分布，则
D．若随机变量服从正态分布，，则
9．已知正态分布的密度曲线是，，那么下列给出的四个命题中正确的是（ ）
A．对任意的，成立；
B．若随机变量服从，则的均值是108，标准差是100；
C．若随机变量服从，，，则；
D．若随机变量服从，且，则是上的增函数；
10．下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量，则
B．已知随机变量X，Y满足，若，则
C．某中学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，现从这10名同学中随机选取3名同学去参加某公益活动（每位同学被选到的可能性相同）.则至少选到2名女同学的概率是0.3
D．三批同种规格的产品，第一批占20%，第二批占30%，第三批占50%，次品率依次为6%、5%、4%， 将三批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品是合格品的概率是0.953
三、填空题
11．已知随机变量X服从正态分布，且，则_________.
12．已知随机变量，，则________________．
13．已知一试验田种植的某种作物一株生长果实的个数x服从正态分布，且，从试验田中随机抽取10株，果实个数在的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为_________．
14．在2021年6月某区的高二期末质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布．已知参加本次考试的学生约有9450人，如果某学生在这次考试中数学成绩为108分，那么他的数学成绩大约排在该区的名次是______．附:若,则，.
四、解答题
15．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间（样本数据），经数据分析得到如下结果：
坐公交车：平均用时30min，方差为36
骑自行车：平均用时34min，方差为4
(1)根据以上数据，李明平时选择哪种交通方式更稳妥？试说明理由.
(2)分别用X和Y表示坐公交车和骑自行车上学所用的时间，X和Y的概率密度曲线如图（a）所示，如果某天有38min可用，你应选择哪种交通方式？如果仅有34min可用，又应该选择哪种交通方式？试说明理由.
（提示：（2）中X和Y的概率密度曲线分别反映的是X和Y的取值落在某个区间的随机事件的概率，例如，图（b）中阴影部分的面积表示的就是X取值不大于38min时的概率.）
16．笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即文房四宝笔、墨、纸、砚之名，起源于南北朝时期，其中“纸”指的是宣纸，“始于唐代、产于泾县”，因唐代泾县隶属宣州管辖，故因地得名宣纸，宣纸按质量等级分类可分为正牌和副牌（优等品和合格品）．某公司生产的宣纸为纯手工制作，年产宣纸刀，该公司按照某种质量指标给宣纸确定质量等级，如下表所示：
的范围
质量等级 正牌 副牌 废品
公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀（张）进行检验，得到的频率分布直方图如图所示．已知每张正牌宣纸的利润为元，副牌宣纸的利润为元，废品宣纸的利润为元．
（1）试估计该公司生产宣纸的年利润；
（2）该公司预备购买一种售价为万元的机器改进生产工艺，这种机器使用寿命为一年，不影响产量，这种机器生产的宣纸的质量指标服从正态分布，改进工艺后正牌和副牌宣纸的利润都将受到不同程度的影响，观测的数据如下表所示：
的范围
一张宣纸的利润
频率
将频率视为概率，请判断该公司是否应该购买这种机器，并说明理由．
附：若，则，，．
17．某科技公司新研制生产一种特殊疫苗，为确保疫苗质量，定期进行质量检验．某次检验中，从产品中随机抽取100件作为样本，测量产品质量体系中某项指标值，根据测量结果得到如下频率分布直方图：
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）技术分析人员认为，本次测量的该产品的质量指标值X服从正态分布，若同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，计算，并计算测量数据落在内的概率；
（3）设生产成本为y元，质量指标值为x，生产成本与质量指标值之间满足函数关系假设同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，试计算生产疫苗的平均成本．
参考数据：，则，．
18．基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中笔试通过后才能进入面试环节，2021年有3500名学生报考某试点高校，若报考该试点高校的学生的笔试成绩，其分布密度函数，的最大值为，且.笔试成绩高于70分的学生进入面试环节.
（1）求μ和σ；
（2）从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，求这10人中至少有一人进入面试的概率；
（3）现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、.设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.
附：若，则，，，.
19．一鲜花店销售某种玫瑰花，根据以往的日销售记录，这种玫瑰花的日销售额(单位：元)服从正态分布在销售记录中，随机抽取天，至少有一天日销售额在之外的概率约为0.0257．在这天里，鲜花店老板每天给表现最好的5位员工每位两次抽奖的机会，每次抽奖结果只有“100元和50元”两种结果，由于某种原因，二者出现的概率不一定是等可能的，设出现“100元”的概率为，各次抽奖相互独立．
（1）求的值；
（2）当有10人次参与抽奖时，恰有6人次得到100元的概率为，求的最大值点，当时，设每位员工抽奖得到的金额为，预计在这天里，鲜花店老板需要拿出的抽奖金额的期望是多少？
附：若随机变量服从正态分布，则.
20．2021年4月11日，10名“湖湘工匠年度人物”完成公示，准备接受湖南省政府表彰．大力弘扬工匠精神在我省蔚然成风．衡阳市某变电器材有限公司为监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个零件，测量其内径尺寸（单位：）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径尺寸服从正态分布．
（1）假设生产状态正常，记X表示某一天内抽取的10个零件中其内径尺寸在之外的零件数，求及X的数学期望；
（2）该公司某天正常工作的一条生产线数据记录的茎叶图如图所示：
①计算这一天生产线上生产的零件内径尺寸的平均值与标准差；
②为了带动相关产业发展，该公司帮扶衡阳市内另一家企业安装这条生产线并试生产了5个零件，测量其内径分别为（单位：）：96，102，108，113，117，试问此条生产线是否需要进一步调试，请说明理由．
参考数据：，．
