8.1 基本立体图形 同步练习（含答案）

8.1 基本立体图形
第I卷（选择题）
一、单选题
1. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个正四棱锥，已知该金字塔的塔高与底面边长的比满足黄金比例，即比值约为，则它的侧棱与底面所成角的正切直约为( )
A. B. C. D.
2. 已知圆锥的顶点为，底面圆周上的两点、满足为等边三角形，且三角形面积为，又知与圆锥底面所成的角为，则圆锥的表面积为( )
A. B. C. D.
3. 石碾子是我国传统粮食加工工具如图是石碾子的实物图，石碾子主要由碾盘、碾滚圆柱形和碾架组成碾盘中心设竖轴碾柱，连碾架，架中装碾滚，以人推或畜拉的方式，通过碾滚在碾盘上的滚动达到碾轧加工粮食作物的目的若推动拉杆绕碾盘转动周，碾滚的外边缘恰好滚动了圈，碾滚与碾柱间的距离忽略不计，则该圆柱形碾滚的高与其底面圆的直径之比约为( )
A. B. C. D.
4. 如图，在长方体中，下列向量的数量积一定不为的是( )
A. B. C. D.
5. 棱长为的正方体内有一个内切球，过正方体中两条异面直线，的中点，作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为( )
A. B. C. D.
6. 与正三棱锥条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球．若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，则此正三棱锥的棱切球半径为( )
A. B. C. D.
7. 如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面和圆锥的顶点均在体积为的球面上，若圆柱的高为，则圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
8. 在空间直角坐标系中，，，，则三棱锥内部整点所有坐标均为整数的点，不包括边界上的点的个数为( )
A. B. C. D.
9. 已知是边长为的等边三角形，，当三棱锥体积取最大时，其外接球的体积为( )
A. B. C. D.
10. 四面体的所有棱长都是，点，，分别在棱，，上，，，，平面交于点，则的长为( )
A. B. C. D.
二、多选题
11. 多选下列说法正确的是( )
A. 圆柱的每个轴截面都是全等的矩形
B. 棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面
C. 棱台的侧面是等腰梯形
D. 用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面
12. 已知，，三点均在球的表面上，，且球心到平面的距离等于球半径的，则下列结论正确的是( )
A. 球的半径为 B. 球的表面积为
C. 球的内接正方体的棱长为 D. 球的外切正方体的棱长为
13. 等腰直角三角形直角边长为，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为( )
A. B. C. D.
14. 如图所示的圆锥的底面半径为，高为，则( )
A. 该圆锥的母线长为 B. 该圆锥的体积为
C. 该圆锥的表面积为 D. 三棱锥体积的最大值为
15. 若点是棱长为的正方体表面上的动点，点是棱的中点，则( )
A. 当点在底面内运动时，三棱锥的体积为定值
B. 当时，线段长度的最大值为
C. 当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为
D. 直线被正方体的外接球所截得的线段的长度为
第II卷（非选择题）
三、填空题
16. 从正四面体的四个面的中心以及四个顶点共八个点中取出四个点，则这四个点不共面的取法总数为 种．
17. 已知圆锥顶点为，底面的中心为，过直线的平面截该圆锥所得的截面是面积为的正三角形，则该圆锥的体积为___
18. 在四棱锥中，面，四边形是边长为的正方形，且若点，分别为，的中点，则直线被四棱锥的外接球所截得的线段长为___．
19. 已知三棱锥的体积为，各顶点均在以为直径的球面上，，则该球的体积为______．
20. 如图，边长为的正方形中，点，分别是边，的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点，若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为 ．
四、解答题
21. 如图，已知正四棱台由正四棱锥截得且截面是正方形的底面边长分别为和，所有侧面的面积和为，求其表面积和其对应正四棱锥的体积．
22. 已知四边形内接于圆，，，，平分．
求圆的半径；
求的长．
23. 已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为．
求圆锥的底面积；
在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积．
24. 已知正三棱锥的高为，底面边长为，其内有一个球，球心到该三棱锥的四个面的距离都相等。求
棱锥的表面积
球的半径最大值．
25. 如图，中，，，，在三角形内挖去一个半圆圆心在边上，半圆与、分别相切于点，，与交于点，将绕直线旋转一周得到一个旋转体．
求该旋转体中间一个空心球的表面积的大小；
求图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积．
1、 ； 2、 ； 3、 ； 4、 ； 5、 ； 6、 ； 7、 ； 8、 ； 9、 ； 10、 ； 11、 ； 12、 ； 13、 ； 14、 ； 15、 ； 16、 ； 17、 ； 18、 ； 19、 ； 20、
21、解：该正四棱台的表面积．
取的中点，的中点，上、下底面的中心，，
连接，，，，
则为斜高，四边形为直角梯形．
设四条侧棱延长后交于点，连接，
易知，，三点共线，为正四棱锥的高．
正四棱台的侧面积，

在直角梯形中，
，，

易知，即，
，
．

22、解：在中，，
设圆半径为，．
，，
而，，
．

23、解：如图，设，在半圆中，，
弧长，则，
所以，
故圆锥的底面积为．
设圆柱的高，，
在中，，
≌，
所以 ，即 ，，
，
所以，当，时，圆柱的侧面积最大，
此时．
24、解：底面正三角形中心到一边的距离为，
则正棱锥侧面的斜高为．
．
．
如图所示，设球的半径为，由题可得，．

25、解：如图：连接，设．
因为半圆与、分别相切于点、，与交于点，，
所以，．
又因为在中，因为 ，
所以，解得，
因此空心球的表面积
中，，，，．
因此所得旋转体的体积