排列组合
问题层级图
目标层级图
课前检测（10mins）
1．将某师范大学4名大四学生分成2人一组，安排到A城市的甲、乙两所中学进行教学实习，并推选甲校张老师、乙校李老师作为指导教师，则不同的实习安排方案共有________种．
【答案】6
【解析】采取“学校”选“人”的思路，则不同的实习安排方案有种．
2．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则在该实施中程序顺序的编排方法共有( )
A．34种 B．48种
C．96种 D．144种
【答案】C
【解析】由题意知，程序A只能出现在第一步或最后一步，所以有种方法．因为程序B和C实施时必须相邻，所以把B和C看作一个元素，有种方法，根据分步乘法计数原理可知共有2×48＝96种方法．
3．某学校周二安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课，要求数学不排在第一节课，体育不排在第四节课，则这天课程表的不同排法种数为( )
A．720 B．504
C．384 D．120
【答案】B
【解析】以数学课的排法进行分类：(1)数学排在第四节，则体育课可排在其余任意一节，故不同的排法种数为＝120.(2)数学排在除第一节、第四节外的其余四节，其排法为4种；体育课则从除第四节、数学选择的节次外的其余四节任选一节，其排法为4种；其余课程由剩余4节课进行全排，不同的排法种数为＝24.由分步乘法计数原理可得，不同的排法种数共有4×4×24＝384.综上，由分类加法计数原理可得，不同的排法种数有120＋384＝504.
4．方程的解为________．
【答案】5
【解析】由排列数公式可知
，
∵且x∈N*，∴，
即，解得或 (舍去)，∴.
5．已知，则＝________.
【答案】28
【解析】由已知得m的取值范围为，
由组合数公式可知，
，
整理可得，解得 (舍去)或.
故.
课中讲解
知识点
（1）排列：从个不同元素中取出个（不同）元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.从个不同元素中选取个元素
的排列个数共有 .
(m个连续正整数之积，n为最大数).
规定.
排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的，但作用略有不同，
常用于具体数字计算；而在进行含字母算式化简或证明时，多用
.
（2）组合：从个不同元素中取出个(不同)元素，并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.从个不同元素中取出个元素的组合数共有 .
注同样，公式常用于具体数字计算，常用于含
字母算式的化简或证明.
（3）公式（性质）.
(1).
(2)，如.
(3)，如
(4).
一、典型例题LV.4
（1）计算
例1.
乘积 可表示为( ).
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】原式= ，也可以观察，一共有21个连续正整数的积，可以直接表示为.
例2.
式子 可表示为( ).
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】原式=.
（2）相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.
例1．
某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为( )
A．16 B．18 C．24 D．32
【答案】C
【解析】 将四个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在三个车位上任意排列，有 (种)排法，再将捆绑在一起的四个车位插入4个空档中，有4种方法，故共有 (种)方法．
例 2．
两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为( )
A．48种 B．36种 C．24种 D．12种
【答案】C
【解析】(捆绑法)爸爸排法有种，两个小孩排在一起故看成一体，有种排法．妈妈和孩子共有种排法，∴排法种数共有 (种)．
例 3．
将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人,每人一张,且甲、乙分得的电影票连号,则共有不同分法的种数为
A．12 B.24 C.36 D.48
【答案】D
【解析】根据题意,分3步进行分析:
①将电影票分成4组,其中1组是2张连在一起,有4种分组方法,
②将连在一起的2张票分给甲乙,考虑其顺序有种情况,
③将剩余的3张票全排列,分给其他三人,有种分法,
则共有种不同分法,
（3）相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
例1.
七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
【答案】3600
【解析】除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是种
例2.
3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？
【答案】24
【解析】解法1：先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有，○*○*○*○，在四个空中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有种，所以每个人左右两边都空位的排法有种.
解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，*○*○*○*○*再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有=24种.
例3.
马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
【答案】10
【解析】把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.
例4.
一次数学会议中,有五位教师来自三所学校,其中学校有2位,学校有2位,学校有1位.现在五位教师排成一排照相,若要求来自同一所学校的教师不相邻,则共有 种不同的站队方法.
【答案】48
【解析】本题考查排列组合.
排除法:不考虑特殊条件,五位老师的站队方法共有种,其中不符合要求的情况为学校老师相邻或学校老师相邻.
学校老师相邻、学校老师相邻均有种站队方法,上述两种情况中,学校老师均相邻重复,有种站队方法,
故学校老师都不相邻的站队方法共有种.
（4）元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
例1.
2023年北京运动委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）
A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种
【答案】A
【解析】：方法一： 从后两项工作出发，采取位置分析法。
方法二：分两类：若小张或小赵入选，则有选法；若小张、小赵都入选，则有选法，共有选法36种，选A.
例2.
1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？
【答案】72种
【解析】：老师在中间三个位置上选一个有种，4名同学在其余4个位置上有种方法；所以共有种。.
例3.
有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？
【答案】3600
【解析】 法一： 法二： 法三：
（5）相同元素的分配问题隔板法
例 1.
10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？
【答案】84
【解析】10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为种.
例2．
把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有多少种不同的放法？
【答案】120
【解析】向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有种。
例3.
5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？
【解析】首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有2种方式，故不同的安排方式种不同站法.
说明：从个不同元素中取出个元素作圆形排列共有种不同排法.
（6）分组分配问题
分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配.关于分组问题，有不等分、整体均分和部分均分三种，无论分成几组，应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象.
常见的命题角度有：
1不等分问题；
2整体均分问题；
3部分均分问题.
角度一：不等分问题
例1．
若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．
【答案】360
【解析】将6名教师分组，分三步完成：
第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有种取法；
第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有种取法；
第3步，余下的3名教师作为一组，有种取法．
根据分步乘法计数原理，共有种取法．
再将这3组教师分配到3所中学，有种分法，
故共有种不同的分法．
角度二：整体均分问题
例2．
国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．
【答案】90
【解析】先把6个毕业生平均分成3组，有种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有种分派方法．
例3.
将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（ ）
A．70 B．140 C．280 D．840
【解析】A
角度三：部分均分问题
例4．
若8人分乘三辆小车，每辆小车至少载1人，最多载4人，则不同的坐法共有( )
A．770种 B．1 260种
C．4 620种 D．2 940种
【答案】C
【解析】 第一步，分组：由题意把8人分为以下三组则分组的种数为种，
第二步，分配：每一种分法都有种，
根据分步乘法计数原理，共有种．
例5.
5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有
A．150种 B.180种 C.200种 D.280种
【答案】A
【解析】：人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式，若是1,2,2，则有＝60种，若是1,1,3，
则有＝90种，所以共有150种，选A
（7）其他
例1.
大厦一层有A,B,C,D四部电梯,人在一层乘坐电梯上楼,其中人恰好乘坐同一部电梯,则不同的乘坐方式有种.（用数字作答）
【答案】36
【解析】 本题考察计数原理.首先选择两人,使得他们同乘一部电梯,共3种方法;再给两人选择一部电梯,共4种方法;最后给剩余一人选择电梯,共3种方法.由乘法原理,不同的乘坐方式有36种.
例 2.
6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）
A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种
【答案】C
【解析】前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共种.
例3.
某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
【解析】(1)从余下的34种商品中，选取2种有 (种)，
∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.
(2)从34种可选商品中，选取3种，有 (种)或者 (种)，
∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.
(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有 (种),
∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.
（4）选取2件假货有种，选取3件假货有种，共有选取方式
,
∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.
(5)方法一(直接法)：有2种假货在内，不同的取法有种；有1种假货在内，不同的取法有种；没有假货在内，有种，因此共有选取方式 (种).
方法二(间接法)：选取3件的总数有，因此共有选取方式
(种),
∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.
例4．
小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？
【答案】37
【解析】插空法解题：考虑走3级台阶的次数：
1）有0次走3级台阶（即全走2级），那么有1种走法；
2）有1次走三级台阶。（不可能完成任务）；
3）有两次走3级台阶，则有5次走2级台阶：
（a）两次三级台阶挨着时：相当于把这两个挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，有 种
（b）两次三级不挨着时：相当于把这两个不挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，有种走法。
4）有3次（不可能）
5）有4次走3级台阶，则有2次走两级台阶，互换角色，想成把两个2级台阶放到3级台阶形成得空中，同（3）考虑挨着和不挨着两种情况有种走法；
6）有5次（不可能）
故总共有：。
过关检测（10mins）
1.小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制,5人坐成一排.若小明的父母
至少有一人与他相邻,则不同坐法的总数为
A.60 B.72 C.84 D.96
【答案】C
2.3名女生和5名男生排成一排．
(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？
(2)如果女生都不相邻，有多少种排法？
(3)如果女生不站两端，有多少种排法？
(4)其中甲必须排在乙前面(可不邻)，有多少种排法？
(5)其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种排法？
【解析】 (1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有6个元素，排成一排有种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有种排法，因此共有 (种)不同排法．
(2)(插空法)先排5个男生，有种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有种排法，因此共有 (种)不同排法．
(3)法一(位置分析法)：因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人排列，有种排法，剩余的位置没有特殊要求，有种排法，因此共有 (种)不同排法．
法二(元素分析法)：从中间6个位置选3个安排女生，有种排法，其余位置无限制，有种排法，因此共有 (种)不同排法．
(4)8名学生的所有排列共种，其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其中，
因此符合要求的排法种数为 (种)．
(5)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置．
法一(特殊元素法)：甲在最右边时，其他的可全排，有种；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有种．而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有种，其余人全排列，共有种．
由分类加法计数原理得，共有 (种)．
法二(特殊位置法)：先排最左边，除去甲外，有种，余下7个位置全排，有种，但应剔除乙在最右边时的排法种，因此共有 (种)．
3.有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？
分成1本、2本、3本三组；
分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
分成每组都是2本的三个组；
分给甲、乙、丙三人，每个人2本；
分给5人每人至少1本。
【解析】（1） （2） （3） （4） （5）
课后练习
补救练习（20mins）
1.安排甲、乙、丙、丁人参加个运动项目,每人只参加一个项目,每个项目都有人参加.若甲、乙人不能参加同一个项目,则不同的安排方案的种数为______.（用数字作答）
【答案】30
【解析】
2.某单位安排甲、乙、丙、丁名工作人员从周一到周五值班,每天有且只有人值班,每人至少安排一天且甲连续两天值班,则不同的安排方法种数为
（A） （B） （C） （D）
【答案】
【解析】本题考查排列组合.
甲连续2天上班,共有（周一,周二）,（周二,周三）,（周三,周四）,
（周四,周五）四种情况,剩下三个人进行全排列,有种排法
因此共有种排法.
3. 高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是
【答案】3600
【解析】：不同排法的种数为
4.将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有（ ）
（A）30种 （B）90种 （C）180种 （D）270种
【答案】B
【解析】将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有种方法，再将3组分到3个班，共有种不同的分配方案.
5.8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？
【答案】5760
【解析】看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有种，其余5个元素任排5个位置上有种，故共有种排法.
6.某医科大学的学生中，有男生12名、女生8名在某市人民医院实习，现从中选派5名学生参加青年志愿者医疗队．
(1)某男生甲与某女生乙必须参加，共有多少种不同的选法？
(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？
(3)甲、乙二人至少有一人参加，有多少种选法？
(4)医疗队中男生和女生都至少有一名，有多少种选法？
【解析】 (1)只需从其他18人中选3人即可，共有 (种);
(2)只需从其他18人中选5人即可，共有 (种);
(3)分两类：甲、乙中只有一人参加，则有种选法；甲、乙两人都参加，则有种选法．故共有 (种);
(4)男生和女生都至少有一名的选法可分为四类：1男4女；2男3女；3男2女；4男1女,
所以共有 (种).
巩固练习（20mins）
1.现有0，1，2，3，4，5这六个数字，求：
（1）可组成多少个五位整数？
（2）可组成多少个无重复数字的五位整数？
（3）可组成多少个无重复数字的五位奇数？
（4）可组成多少个无重复数字的五位偶数？
（5）可组成多少个无重复数字且能被3整除的五位数？
（6）可组成多少个无重复数字且能被5整除的五位数？
（7）可以组成多少个满足下列条件的五位数？首先没有重复数字；其次包含有数字0，1，且0，1不相邻。
（8）组成的没有重复数字的五位数中数字1，2相邻的偶数有多少个？
（9）组成没有重复数字的五位数中十位数字大于百位数字的有多少个？
（10）组成没有重复数字的五位数，由小到大的排列，21350是第多少个数字？
【解析】（1）“万位”不能放“0”元素，所以优先考虑“万位”有5种可能，其他数位各有6种可能。可组成的五位数字有（个）。
（2）本题可先排“万位”，然后再考虑其他数位，可组成无重复数字的五位数共有（个）。
（3）一个数是否为奇数取决于个位数字，所以个位为特殊位置，又0不能排在首位，所以0为特殊数字，应优先考虑，满足要求的五位数共有（个）。
（4）可分两类：末位是0时有个，末位是或4时有个，所以可组成的五位偶数有（个）。
点评：对“个位”的元素进行合理分类。
（5）能被3整除的数须满足各个数位上的数字之和能被3整除，因此，可先考虑选出的五个数字的所有可能：“0，1，2，4，5”和“1，2，3，4，5”两种，满足要求的五位数共有（个）。
点评：注意合理分类，一定要熟悉被3整除的五位数的特征。
（6）可分两类：末位是0时有种，末位是5时，首位又不能是0，有种，共有（个）。
点评：熟记被5整除的整数的个位是0或5是本题的分类依据，该题中的第二种类型用了排除法。
（7）先从2，3，4，5中任取3个数字进行排列，然后将0和1插入，满足要求的五位数共有（个）。
点评：不相邻问题考虑用插空法。
（8）可以分三类讨论：
①若末位数字为0，则1，2为一组，且可以交换位置，从3，4，5中挑出2个数字，共可以组成（个）五位数；②若末位数字为2，则1与它相邻，其余4个数字排列，且0不是首位数字，则有（个）五位数；③若末位数字为4，则1，2为一组，且可以交换位置，3，0，5中取2个数字，则有（个）五位数，所以全部合理的五位数共有（个）。
点评：对于相邻问题，要用整体思想解决，本题中1，2相邻，应把1，2两个数看成一个数。
（9）在组成的无重复数字的600个五位数中，十位数字大于百位数字的刚好占了，满足要求的五位数共有300个。
点评：顺序固定问题用除法。
（10）万位是1的五位数有（个）；万位是2、千位为0的五位数有（个）；万位是2、千位为1、百位为0的五位数有（个）；万位是2、千位为1、百位为3、十位为0或4的五位数有（个）。
因此，在21350的前面共有154个数字，所以21350是第155个数。
点评：解题时，必须认真审题，弄清题目的条件、结论，分类要有明确的标准，做到不重不漏，要重点抓住“类”字，应用时要注意“类”及“类”之间的独立性和并列性。
拔高练习（15mins）
1.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）
A. 360 B. 288 C. 216 D. 96
【答案】B
【解析】间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有， 种，其中男生甲站两端的有，符合条件的排法故共有288
2.有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名是英、日语均精通，从中找出8人，使他们可以组成翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可以开出几张？
【答案】
【解析】
3.现准备将6台型号相同的电脑分配给5所小学，其中A，B两所希望小学每个学校至少2台，其他小学允许1台也没有，则不同的分配方案共有( )
A．13种 B．15种 C．20种 D．30种
【答案】B
【解析】先给A，B两所希望小学每个学校分配2台电脑，再将剩余2台电脑随机分配给5所希望小学，共有种情况.
4.大小形状完全相同的8张卡片上分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8，从中任意抽取6张卡片排成3行2列，则3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5的概率为________．
【答案】
【解析】根据题意，从8张卡片中任取6张，有A种不同的取法，
再求出3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5的情况数目．
依据要求，中间行的数字只能为1,4或2,3，共有种排法，
然后确定其余4个数字，其排法总数为,
其中不合题意的有：中间行数字和为5，还有一行数字和为5，有4种排法， 余下两个数字有种排法，
所以此时余下的这4个数字共有种方法；
由分步乘法计数原理可知满足3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5的共有种不同的排法， 则3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5的概率为.
5.如图所示，电路中共有13个开关（电阻略），每个开关可任选“开”或“关”一种状态，且相互独立.
(1)灯亮，有多少种整体状况；
(2)灯灭，有多少种整体状况.
【答案】（1） （2）
【解析】 (1)灯亮，第一步通到，第二步通到，第三步通到，第四步到，
算出每步方法数，再相乘得整体通（即灯亮）方法数．
第一步：先算到不通方法数，即上、中、下三路都不通，上路不通的方法数=－(上路通的方法数)=，中路不通的方法数=1，下路不通的方法数=.
故到不通的方法数为.
到通的方法数=，
到通的方法数=，到通的方法数=1，到的方法数=.
故灯亮即四步都通，整体状况有 (种).
(2)灯不亮有 (种).排列组合
问题层级图
目标层级图
课前检测（10mins）
1．将某师范大学4名大四学生分成2人一组，安排到A城市的甲、乙两所中学进行教学实习，并推选甲校张老师、乙校李老师作为指导教师，则不同的实习安排方案共有________种．
2．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则在该实施中程序顺序的编排方法共有( )
A．34种 B．48种
C．96种 D．144种
3．某学校周二安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课，要求数学不排在第一节课，体育不排在第四节课，则这天课程表的不同排法种数为( )
A．720 B．504
C．384 D．120
4．方程的解为________．
5．已知，则＝________.
课中讲解
知识点
（1）排列：从个不同元素中取出个（不同）元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.从个不同元素中选取个元素
的排列个数共有 .
(m个连续正整数之积，n为最大数).
规定.
排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的，但作用略有不同，
常用于具体数字计算；而在进行含字母算式化简或证明时，多用
.
（2）组合：从个不同元素中取出个(不同)元素，并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.从个不同元素中取出个元素的组合数共有 .
注同样，公式常用于具体数字计算，常用于含
字母算式的化简或证明.
（3）公式（性质）.
(1).
(2)，如.
(3)，如
(4).
一、典型例题LV.4
（1）计算
例1.
乘积 可表示为( ).
A. B. C. D.
例2.
式子 可表示为( ).
A. B. C. D.
（2）相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.
例1．
某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为( )
A．16 B．18 C．24 D．32
例 2．
两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为( )
A．48种 B．36种 C．24种 D．12种
例 3．
将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人,每人一张,且甲、乙分得的电影票连号,则共有不同分法的种数为
A．12 B.24 C.36 D.48
（3）相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
例1.
七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
例2.
3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？
例3.
马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
例4.
一次数学会议中,有五位教师来自三所学校,其中学校有2位,学校有2位,学校有1位.现在五位教师排成一排照相,若要求来自同一所学校的教师不相邻,则共有 种不同的站队方法.
（4）元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
例1.
2023年北京运动组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）
A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种
例2.
1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？
例3.
有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？
（5）相同元素的分配问题隔板法
例 1.
10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？
例2．
把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有多少种不同的放法？
例3.
5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？
（6）分组分配问题
分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配.关于分组问题，有不等分、整体均分和部分均分三种，无论分成几组，应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象.
常见的命题角度有：
1不等分问题；
2整体均分问题；
3部分均分问题.
角度一：不等分问题
例1．
若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．
角度二：整体均分问题
例2．
国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．
例3.
将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（ ）
A．70 B．140 C．280 D．840
角度三：部分均分问题
例4．
若8人分乘三辆小车，每辆小车至少载1人，最多载4人，则不同的坐法共有( )
A．770种 B．1 260种
C．4 620种 D．2 940种
例5.
5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有
A．150种 B.180种 C.200种 D.280种
（7）其他
例1.
大厦一层有A,B,C,D四部电梯,人在一层乘坐电梯上楼,其中人恰好乘坐同一部电梯,则不同的乘坐方式有种.（用数字作答）
例 2.
6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）
A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种
例3.
某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
例4．
小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？
过关检测（10mins）
1.小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制,5人坐成一排.若小明的父母
至少有一人与他相邻,则不同坐法的总数为
A.60 B.72 C.84 D.96
2.3名女生和5名男生排成一排．
(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？
(2)如果女生都不相邻，有多少种排法？
(3)如果女生不站两端，有多少种排法？
(4)其中甲必须排在乙前面(可不邻)，有多少种排法？
(5)其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种排法？
3.有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？
分成1本、2本、3本三组；
分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
分成每组都是2本的三个组；
分给甲、乙、丙三人，每个人2本；
分给5人每人至少1本。
课后练习
补救练习（20mins）
1.安排甲、乙、丙、丁人参加个运动项目,每人只参加一个项目,每个项目都有人参加.若甲、乙人不能参加同一个项目,则不同的安排方案的种数为______.（用数字作答）
2.某单位安排甲、乙、丙、丁名工作人员从周一到周五值班,每天有且只有人值班,每人至少安排一天且甲连续两天值班,则不同的安排方法种数为
（A） （B） （C） （D）
3. 高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是
4.将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有（ ）
（A）30种 （B）90种 （C）180种 （D）270种
5.8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？
6.某医科大学的学生中，有男生12名、女生8名在某市人民医院实习，现从中选派5名学生参加青年志愿者医疗队．
(1)某男生甲与某女生乙必须参加，共有多少种不同的选法？
(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？
(3)甲、乙二人至少有一人参加，有多少种选法？
(4)医疗队中男生和女生都至少有一名，有多少种选法？
巩固练习（20mins）
1.现有0，1，2，3，4，5这六个数字，求：
（1）可组成多少个五位整数？
（2）可组成多少个无重复数字的五位整数？
（3）可组成多少个无重复数字的五位奇数？
（4）可组成多少个无重复数字的五位偶数？
（5）可组成多少个无重复数字且能被3整除的五位数？
（6）可组成多少个无重复数字且能被5整除的五位数？
（7）可以组成多少个满足下列条件的五位数？首先没有重复数字；其次包含有数字0，1，且0，1不相邻。
（8）组成的没有重复数字的五位数中数字1，2相邻的偶数有多少个？
（9）组成没有重复数字的五位数中十位数字大于百位数字的有多少个？
（10）组成没有重复数字的五位数，由小到大的排列，21350是第多少个数字？
拔高练习（15mins）
1.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）
A. 360 B. 288 C. 216 D. 96
2.有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名是英、日语均精通，从中找出8人，使他们可以组成翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可以开出几张？
3.现准备将6台型号相同的电脑分配给5所小学，其中A，B两所希望小学每个学校至少2台，其他小学允许1台也没有，则不同的分配方案共有( )
A．13种 B．15种 C．20种 D．30种
4.大小形状完全相同的8张卡片上分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8，从中任意抽取6张卡片排成3行2列，则3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5的概率为________．
5.如图所示，电路中共有13个开关（电阻略），每个开关可任选“开”或“关”一种状态，且相互独立.
(1)灯亮，有多少种整体状况；
(2)灯灭，有多少种整体状况.
