第六章 课时练习1余弦定理
一、单选题
1．在中，角的对边分别为，，，，设边上的高为，则=（ ）
A． B． C． D．
2．在中，内角所对应的边分别是，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，，则一定是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
4．已知在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，是三角形的三边，那么代数式的值（ ）
A．小于零 B．等于零 C．大于零 D．不能确定
6．在中，为锐角，，且对于，的最小值为，则（ ）
A． B． C． D．
7．在平行四边形ABCD中，，则BD等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
二、多选题
8．下列说法中正确的是（ ）
A．在三角形中，已知两边及其一边的对角，不能用余弦定理求解三角形
B．余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此它适用于任何三角形
C．利用余弦定理，可以解决已知三角形三边求角的问题
D．在三角形中，勾股定理是余弦定理的特例
9．下列四个选项中哪些是正确的（ ）
A．若，则
B．
C．在任意斜三角形中
D．在三角形中
10．在钝角中，若，，则边BC的值可能为（ ）
A．7 B．9 C．12 D．16
11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是（ ）
A．在中，若，则C是锐角
B．在中，若，则
C．在中，若，则一定是直角三角形
D．任何三角形的三边之比不可能是
三、填空题
12．在中，角，，所对的边分别为，，，且，则角的大小是______.
13．在△ABC中，已知，，，则△ABC周长为______．
14．已知，，是一个钝角三角形的三边长，则的取值范围是______.
15．已知中，点在边上，，，，当取最大值时，______．
四、解答题
16．在中，内角所对的边分别为，，，已知．
(1)求角的大小；
(2)若，，求的值；
(3)若，判断的形状．
17．已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求B；
(2)若，且，证明：．
18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)若，求；
(2)若，求边中线的最大值.
19．的内角、、的对边分别为、、，若．
(1)求角的大小；
(2)若角为锐角，求的取值范围．
20．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，．
(1)当时，求；
(2)是否存在正整数t，使得角C为钝角？若存在，求t的值，若不存在，说明理由．第六章 课时练习1余弦定理解析版
一、单选题
1．在中，角的对边分别为，，，，设边上的高为，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由余弦定理求出，从而得到，得到答案.
【详解】∵，，，
∴，
则，
则.
故选：D.
2．在中，内角所对应的边分别是，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用余弦定理直接构造方程求解即可.
【详解】由余弦定理得：，即，
解得：（舍）或，.
故选：D.
3．在中，，，则一定是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【分析】由余弦定理结合题意化简即可判断的形状.
【详解】在中，因为，，
所以由余弦定理可得，，
所以，即，
所以，结合可得一定是等边三角形．
故选：D.
4．已知在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用余弦定理可解得，由此可知为直角三角形，所以.
【详解】由余弦定理可得，
解得，所以，
所以为直角三角形，
则在中，．
故选：A.
5．已知，，是三角形的三边，那么代数式的值（ ）
A．小于零 B．等于零 C．大于零 D．不能确定
【答案】A
【分析】利用余弦定理，可得，再根据余弦函数的性质，得解．
【详解】由余弦定理知，，
所以，
因为，所以，
所以，
而，所以．
故选：．
6．在中，为锐角，，且对于，的最小值为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据，利用二次函数的性质结合其最小值为，得到，再结合，得到，然后利用余弦定理即得.
【详解】因为，
当时，取最小值，则，
所以，又为锐角，
故，
因为，所以，
所以，得，
所以．
故选：D
7．在平行四边形ABCD中，，则BD等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】D
【分析】利用平行四边形的性质及余弦定理可求解.
【详解】，
，
在中，由余弦定理可得，
，
，
.
故选：D.
二、多选题
8．下列说法中正确的是（ ）
A．在三角形中，已知两边及其一边的对角，不能用余弦定理求解三角形
B．余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此它适用于任何三角形
C．利用余弦定理，可以解决已知三角形三边求角的问题
D．在三角形中，勾股定理是余弦定理的特例
【答案】BCD
【分析】根据余弦定理对各个选项进行判断.
【详解】在三角形中，已知两边及其一边的对角，可用余弦定理列出第三边的方程，解方程得第三边，故A错误；
余弦定理反映了任意三角形中边角的关系，它适用于任意三角形，故B正确；
余弦定理可以直接解决已知三边求角，已知两边及其夹角求第三边的问题，故C正确；
当夹角为时，余弦定理就变成了勾股定理，故D正确.
故选：BCD.
9．下列四个选项中哪些是正确的（ ）
A．若，则
B．
C．在任意斜三角形中
D．在三角形中
【答案】ACD
【分析】根据诱导公式可判断A，由同角三角函数的基本关系及诱导公式，余弦函数的单调性判断B，由两角和的正切公式变形即可判断C，由余弦定理可化简判断D.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，
，，B错误；
对于C，在任意斜三角形中，，
整理得，
即，C正确；
对于D，在三角形中，，D正确.
故选：ACD.
10．在钝角中，若，，则边BC的值可能为（ ）
A．7 B．9 C．12 D．16
【答案】AD
【分析】根据或为钝角进行分类讨论，结合余弦定理求得的可能取值.
【详解】由余弦定理得，
即.
若为钝角，由余弦定理得，
则，
结合二次函数的性质可知，符合，即D选项符合.
若为钝角，则，由于，则，，
由余弦定理得，，
即，满足，即A选项符合.
故选：AD
11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是（ ）
A．在中，若，则C是锐角
B．在中，若，则
C．在中，若，则一定是直角三角形
D．任何三角形的三边之比不可能是
【答案】ACD
【分析】根据余弦定理，通过判别角余弦的正负，可得选项A，B的正误，根据三角形的内角的取值范围和余弦值，可得C的正误，根据三角形的三边关系，可得D的正误.
【详解】对于A，由及余弦定理可得，又，所以，所以C是锐角，故A正确；
对于B，由及余弦定理可得，又，所以，所以A是锐角，所以，故B错误；
对于C，因为，所以，
所以，则，所以一定是直角三角形，故C正确；
对于D，若三角形三边之比是，不妨设三边分别为，则两短边之和为，不满足三角形两边之和大于第三边，故任何三角形的三边之比不可能是，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题
12．在中，角，，所对的边分别为，，，且，则角的大小是______.
【答案】##
【分析】利用余弦定理的推论求解.
【详解】解：因为，所以，
由余弦定理的推论，得，
因为，所以.
故答案为：.
13．在△ABC中，已知，，，则△ABC周长为______．
【答案】12
【分析】利用向量数量积的定义和余弦定理即可求解.
【详解】因为，
所以，
又，
所以，
，
由余弦定理得，，
所以，
所以，
所以，
则△ABC周长为.
故答案为：12.
14．已知，，是一个钝角三角形的三边长，则的取值范围是______.
【答案】（0，2）
【分析】由题意可知此三角形的最大边为，设此边所对应的角为，则为钝角，，结合余弦定理可得，再结合三角形的三边关系即可得答案.
【详解】解：因为，
所以此三角形的最大边为，
设此边所对应的角为，则为钝角，
由余弦定理可得，
即有，
整理得，
解得，
又因为，
即，
所以的取值范围为：.
故答案为：
15．已知中，点在边上，，，，当取最大值时，______．
【答案】1
【分析】三角形中用余弦定理求得各边之间的关系,利用基本不等式求取最大值和取最大值的条件.求得此时的.
【详解】
设，，，则，，
在中，由余弦定理，有，
在中，由余弦定理，有，
由和互补，所以，
即，化简得，
在中，由余弦定理，有，即
两式消去t，得，即，
由基本不等式，，
∴，即，，
当且仅当，即，时等号成立.
∴的最大值为，由，解得此时，即.
故答案为：1
四、解答题
16．在中，内角所对的边分别为，，，已知．
(1)求角的大小；
(2)若，，求的值；
(3)若，判断的形状．
【答案】(1)；
(2)；
(3)正三角形．
【分析】（1）根据三角形中角的范围可以确定的大小；
（2）代入余弦定理的公式既可以求得；
（3）根据余弦定理和已知条件可以确定，在结合第一问求得的角的大小来确定三角形的形状.
【详解】（1）因为在三角形中，，，所以；
（2）根据余弦定理，，，，解得；
（3）因为，，
化简得，则，
又由(1)可知，，所以为正三角形.
17．已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求B；
(2)若，且，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由正弦二倍角公式进行求解即可；
（2）根据余弦定理，结合已知进行运算证明即可.
【详解】（1）因为，即，
所以．因为，所以；
（2）由余弦定理得，所以，
即．①
因为，所以．②
将②代入①，得，
整理得．因为，所以．
18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)若，求；
(2)若，求边中线的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，利用和（差）角的余弦公式得到方程组求出、，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；
（2）首先利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，再由将两边平方及数量积的运算律得到，即可求出的最大值.
【详解】（1）解：因为，所以，
即，
又，
所以，，
所以.
（2）解：在中由余弦定理，即，
又，所以，当且仅当时等号成立，
又，
所以
，
所以，当且仅当时等号成立，
所以边的中线的最大值为；
19．的内角、、的对边分别为、、，若．
(1)求角的大小；
(2)若角为锐角，求的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）利用余弦定理结合切化弦可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）求得，可得出，利用三角恒等变换化简的表达式，利用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围．
【详解】（1）解：，，
，，或.
（2）解：为锐角，，又，，
，
，则，，
所以的取值范围是．
20．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，．
(1)当时，求；
(2)是否存在正整数t，使得角C为钝角？若存在，求t的值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）代入值，直接用余弦定理求解即可；
（2）通过可求得t的值.
【详解】（1）当时，，，，
；
（2）假设存在正整数t，使得角C为钝角，
则，
即，
解得，
，
所以存在正整数，使得角C为钝角.
