6.2平面向量的运算专项练习提升版
一、单选题
1．已知的半径为1，，在上，且，若点在劣弧上运动，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．是所在平面上一点，若，则是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
3．若平面四边形ABCD满足，则该四边形一定是
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．直角梯形
4．已知向量、夹角为，且，，若，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知两个单位向量，的夹角为60°，若，则（ ）
A．3 B． C． D．1
6．若向量，，满足，，且，则的最小值是
A． B． C．2 D．
7．设G为△ABC的重心，若，则的取值范围为（ ）
A．（－80，160） B．（－80，40）
C．（－40，80） D．（－160，80）
8．若的外接圆半径为2，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图，在平行四边形ABCD中，已知F，E分别是靠近C，D的四等分点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．在中，下列命题正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则为等腰三角形
D．若，则为锐角三角形．
11．平面向量，满足，且，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．在方向上的投影是1
C．的最大值是 D．若向量满足，则的最小值是
12．已知是平面内的两个单位向量，且，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．1
三、填空题
13．在中，，，为线段上的一个动点，则的最小值为______.
14．在中，.以为圆心，2为半径作圆，线段为该圆的一条直径，则的最小值为_________.
15．已知三角形ABC，点D为线段AC上一点，BD是的角平分线，为直线BD上一点，满足，，，则_____________.
16．正方形ABCD棱长为1，点P是边AD上的动点，BE⊥CP于E，则的取值范围是_____________
四、解答题
17．已知，是两个单位向量.
（1）若，试求的值；
（2）若，的夹角为60°，试求向量与的夹角的余弦值.
18．已知向量，满足，，且夹角为120°．
（1）求；
（2）若，且，求实数的值．
19．已知点G为的重心．
(1)求；
(2)过G作直线与AB、AC两条边分别交于点M、N，设，，求的值．
20．已知，是单位向量，且．若向量满足，求．6.2平面向量的运算专项练习提升版解析
一、单选题
1．已知的半径为1，，在上，且，若点在劣弧上运动，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由数量积的定义可得，设（），化简求出，根据正弦函数的性质即可求出.
【详解】由题意知，由可得，
所以.
设（），则，
因此
，
因为，所以，所以，
故.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题考查数量积的计算，解题的关键是根据已知将所求转化为.
2．是所在平面上一点，若，则是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】D
【分析】利用平面向量数量积的性质推导出，进一步可得出，，即可得出结论.
【详解】因为，则，所以，，
同理可得，，故是的垂心.
故选：D.
3．若平面四边形ABCD满足，则该四边形一定是
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．直角梯形
【答案】C
【详解】试题分析：因为,所以四边形ABCD为平行四边形，又因为,所以BD垂直AC，所以四边形ABCD为菱形.
考点：向量在证明菱形当中的应用.
点评：在利用向量进行证明时，要注意向量平行与直线平行的区别，向量平行两条直线可能共线也可能平行.
4．已知向量、夹角为，且，，若，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平面向量的数量积的定义和运算律求解.
【详解】解：∵向量、夹角为，且，，
∴ =|| ||cos120°==﹣3，
∵=，且⊥，
∴ =（） =（） （）=0，
即 ﹣+λ﹣ =0，
∴﹣3﹣4+9 +3 =0，
解得，
故选：C
5．已知两个单位向量，的夹角为60°，若，则（ ）
A．3 B． C． D．1
【答案】C
【分析】利用数量积的定义直接求得.
【详解】因为，所以.
因为，为夹角为60°的两个单位向量，
所以
故选：C
6．若向量，，满足，，且，则的最小值是
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解析】根据向量数量积为零几何意义得对应点轨迹，再根据向量加法与减法几何意义以及圆的性质求最值.
【详解】设向量，，,则由得,即C的轨迹为以AB为直径的圆，圆心为AB中点M，半径为，
因此
从而，选C.
【点睛】本题考查向量数量积、向量加法与减法几何意义以及圆的性质，考查综合分析判断与求解能力，属较难题.
7．设G为△ABC的重心，若，则的取值范围为（ ）
A．（－80，160） B．（－80，40）
C．（－40，80） D．（－160，80）
【答案】A
【分析】由题设知、为的中点且，结合已知求出，利用向量数量积的运算律有求得，再由目标式中向量线性关系的几何意义及三角形三边关系，即可求范围.
【详解】
∵，
∴，连接并延长交于，则为的中点，且，
在中，，则，
∵，
∴，
，
∵，即，
∴.
故选：A
【点睛】关键点点睛：连接并延长交于，根据重心的性质可知为的中点且，再由向量数量积的运算律求，结合相关向量线性关系的几何意义及三角形三边关系求目标式范围.
8．若的外接圆半径为2，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设的外接圆圆心为O，由题设可知为正三角形，则，，由，知，计算可求解.
【详解】如图设的外接圆圆心为O，
的边，的外接圆半径为2，
为正三角形，且，
则
，，
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的数量积，解题的关键是将未知的通过向量的加法及数量积运算转化为已知的向量，本题将的最小值转化为的最小值，结合数量积及余弦函数即可求解，考查学生的逻辑思维能力与运算求解能力.
二、多选题
9．如图，在平行四边形ABCD中，已知F，E分别是靠近C，D的四等分点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】结合图形，利用平面向量的线性运算与数量积运算，对选项逐一判断即可.
【详解】对选项A：，正确；
对选项B：，错误；
对选项C：，错误；
对选项D：，正确.
故选：AD
10．在中，下列命题正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则为等腰三角形
D．若，则为锐角三角形．
【答案】BC
【解析】根据向量加减法法则和数量积的运算判断各选项．
【详解】，A错；
由向量加法法则，B正确；
，即，，为等腰三角形，C正确；
，则是锐角，但其它两个内角是不是锐角，不知道，D错误．
故选：BC．
【点睛】易错点睛：本题考查向量的加减法运算，考查数量积的运算．在由判断是锐角时要注意，本题是，因此有锐角的结论，如果一般的两个向量满足，不一定能得出为锐角．判断三角形形状时，仅仅由，只能得出是锐角，但两个角什么角，没法判断．还有下结论是锐角三角形．
11．平面向量，满足，且，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．在方向上的投影是1
C．的最大值是 D．若向量满足，则的最小值是
【答案】ACD
【分析】结合题意，直接根据两向量垂直和向量的数量积运算，即可判断A选项；根据在方向上的投影是进行计算，即可判断B选项；设，根据题意可知，并取，从而得出动点在以为直径的圆上，设的中点为，从而得出，即可判断C选项；设，由可知故在垂线上，根据向量的加减法运算得出，过作的垂线，垂足为，可知，即可求出的最小值，从而可判断D选项.
【详解】解：因为，且，则，所以，
又，则，则，故A正确；
由于在方向上的投影是，故B错误；
设，
由于，即，故，
因为，取，则，
所以，所以动点在以为直径的圆上，如图，
，则，，
设的中点为，的中点为，过作的垂线，
则，因为，所以的最大值是，故C正确；
设，因为，即，则，
所以，故在垂线上，
而，
又是的中点，所以，则，
过作的垂线，垂足为，则，
又，所以，
所以的最小值是，故D正确.
故选：ACD.
12．已知是平面内的两个单位向量，且，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】CD
【分析】设，可得，，将转化为，结合图形即可求出最小值，进而求解.
【详解】
如图，设，则，设，易知在直线上，由可得，
，，又，则，
过作，易知，又，故，
结合选项，可能取值为或.
故选：CD.
三、填空题
13．在中，，，为线段上的一个动点，则的最小值为______.
【答案】
【分析】设，并把用表示后计算数量积，得关于的函数，可得最小值．
【详解】设，，由已知，
，
所以时，取得最小值．
故答案为：．
14．在中，.以为圆心，2为半径作圆，线段为该圆的一条直径，则的最小值为_________.
【答案】-10
【分析】向量变形为，化简得，转化为讨论夹角问题求解.
【详解】
由题线段为该圆的一条直径，设夹角为，
可得：
，
当夹角为时取得最小值-10.
故答案为：-10
【点睛】此题考查求平面向量数量积的最小值，关键在于根据平面向量的运算法则进行变形，结合线性运算化简求得，此题也可建立直角坐标系，三角换元设坐标利用函数关系求最值.
15．已知三角形ABC，点D为线段AC上一点，BD是的角平分线，为直线BD上一点，满足，，，则_____________.
【答案】6
【分析】由已知有为△的旁心且，
法一：作于点，可得，再由，即可求值.
法二：应用特殊处理，假设△为等边三角形，根据已知条件易得且，再由，即可求值.
【详解】由为方向上的单位向量，易知：是外角的角平分线，
又BD是的角平分线，即为△的旁心，而，，
法一：作于点，则，如下图示，
所以，又，
所以.
法二：不妨设△为等边三角形，即，则，
所以，故，而，
所以.
故答案为：6
【点睛】关键点点睛：作于点，利用向量加法的几何意义，结合数量积的运算律求值.
16．正方形ABCD棱长为1，点P是边AD上的动点，BE⊥CP于E，则的取值范围是_____________
【答案】
【分析】根据题意，设，分别用表示出、 ，换元后转化为二次函数值域问题即可求解.
【详解】根据题意，设且，
则，，
故，
设，则，
故，因，所以.
故答案为：.
四、解答题
17．已知，是两个单位向量.
（1）若，试求的值；
（2）若，的夹角为60°，试求向量与的夹角的余弦值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）将平方，结合向量数量积的运算律求出，求出，即可得出结论；
（2）根据向量数量积的运算律，分别求出，代入向量夹角公式，即可求解.
【详解】（1），
，
，
所以；
（2），的夹角为60°，，
，
，
，
设向量与的夹角为，
所以向量与夹角的余弦值为.
18．已知向量，满足，，且夹角为120°．
（1）求；
（2）若，且，求实数的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）把表示为，把模平方转化为的运算可得；
（2）由计算可得．
【详解】（1）设，的夹角为，
∵，
∴
．
（2）∵，∴．
，
，
，
解得．
19．已知点G为的重心．
(1)求；
(2)过G作直线与AB、AC两条边分别交于点M、N，设，，求的值．
【答案】(1)；(2)3
【分析】（1）根据已知得出与三边所在向量的关系，即可根据向量的运算得出答案；
（2）根据已知得出，结合，，根据M、N、G三点共线，结合向量运算与向量相等的定义列式整理，即可得出答案.
【详解】（1）点G为的重心，
，，，
，
（2）点G为的重心，
，
，
，
，
，
，
，
与共线，
存在实数，使得，
则，
根据向量相等的定义可得，
消去可得，
两边同除，整理得.
20．已知，是单位向量，且．若向量满足，求．
【答案】
【分析】先根据，是单位向量，且，求出，的夹角为，进而证明出，从而得到与的夹角均为30°，利用公式求出答案.
【详解】由题意得：，设，的夹角为，从而，解得：，由于，所以且，即，由于，故与的夹角均为30°，所以，即.
