7.1.1条件概率专项练习
一、单选题
1．已知A,B是两个随机事件,,,则下列命题中错误的是（ ）
A．若A包含于B,则
B．若A,B是对立事件,则
C．若A,B是互斥事件,则
D．若A,B相互独立,则
2．设A，B为两个事件，已知P(A)= ，P(B|A)= ，则P(AB)=（ ）
A． B． C． D．
3．某商场要从某品牌手机的五种型号中，选出种型号的手机进行促销活动，则在型号被选中的条件下，型号也被选中的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．从1，2，3，4，5，6，7中任取2个不同的数，事件“取到的2个数之和为偶数”，事件“取到的2个数均为偶数”，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．袋子中装有大小、形状完全相同的个白球和个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第二次摸到的红球，则第一次摸到红球的概率为
A． B． C． D．
6．我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果．“三药”分别为金花清感颗粒连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宣肺败毒方．若某医生从“三药三方”中随机选三种，事件表示选出的三种中至少有两药，事件表示选出的三种中恰有一方，则（ ）．
A． B． C． D．
7．小明与小红两位同学计划去养老院做义工．如图，小明在街道E处，小红在街道F处，养老院位于G处，小明与小红到养老院都选择最短路径，两人约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F；事件B：小明经过H；事件C：从F到养老院两人的路径没有重叠部分（路口除外），则下面说法正确的个数是（ ）
（1）；（2）；（3）．
A．3 B．2 C．1 D．0
8．有甲 乙两个抽奖箱，甲箱中有3张无奖票3张有奖票，乙箱中有4张无奖票2张有奖票，某人先从甲箱中抽出一张放进乙箱，再从乙箱中任意抽出一张，则最后抽到有奖票的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ）
A．、为对立事件 B．
C． D．
10．已知事件，满足，且，则一定有（ ）
A． B． C． D．
11．将一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次，下列说法正确的有（ ）
A．至少一次正面朝上的概率是
B．恰有一次正面朝上的概率与恰有两次正面朝上的概率一样
C．一次正面朝上，一次反面朝上的概率是
D．在第一次正面朝上的条件下，第二次正面朝上的概率是
12．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，现任取一个零件，记事件“零件为第台车床加工”，事件“任取一零件为次品”，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．以集合中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数，已知取出的一个数是12，则取出的数构成可约分数的概率是_______．
14．一个家庭中有三个小孩，假定生男、生女是等可能的.已知这个家庭中有一个是男孩，则至少有一个女孩的概率是________.
15．近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为______.
16．一颗骰子连续掷两次，记事件A=“两次的点数之和大于7”，B=“两次的点数均为奇数”，则________.
四、解答题
17．电路中，电压超过额定值的概率为，在电压超过额定值的情况下，电气设备被烧坏的概率为．求电压超过额定值且电气设备被烧坏的概率．
18．已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，作不放回抽样．求下列事件的概率：
（1）两只都是正品；
（2）两只都是次品；
（3）正品、次品各一只；
（4）第二次取出的是次品．
19．陕西省的一次公务员面试中一共设置了5道题目，其中2道是论述题，3道是简答题，要求每人不放回地抽取两道题，问：
（1）第一次抽到简答题的概率；
（2）第一次和第二次都抽到简答题的概率；
（3）在第一次抽到简答题的条件下，第二次抽到简答题的概率.
20．甲、乙两人参加面试，每人的试题通过不放回抽签的方式确定．假设被抽的10个试题签中有4个是难题签，按甲先乙后的次序抽签．
(1)求甲抽到难题签的概率；
(2)若甲抽到难题签，求乙也抽到难题签的概率．
21．现有8件产品，其中有6件是一等品，在这8件产品中任取2件，若取出的2件产品中有1件确定不是一等品，求另1件是一等品的概率．
22．有3箱同一品种的零件，每箱装有10个零件，其中第一箱内一等品6个，第二箱内一等品4个，第三箱内一等品2个，现从3箱中随机挑出一箱，然后从该箱中依次随机取出2个，取出的零件均不放回，求：
(1)第1次取出的零件是一等品的概率；
(2)在第1次取出的零件是一等品的条件下，第2次取出的零件也是一等品的概率．7.1.1条件概率专项练习解析版
一、单选题
1．已知A,B是两个随机事件,,,则下列命题中错误的是（ ）
A．若A包含于B,则
B．若A,B是对立事件,则
C．若A,B是互斥事件,则
D．若A,B相互独立,则
【答案】B
【分析】根据互斥事件和对立事件的概念,判断之间的关系，进而判断选项的正误.
【详解】解:关于选项A,因为A包含于B,所以,
则,
故选项A正确,
关于选项B,因为A,B是对立事件,所以
所以,
故选项B错误,
关于选项C,因为A,B是互斥事件,所以
所以,
故选项C正确,
关于选项D,因为A,B相互独立,所以
所以,
故选项D正确.
故选:B
2．设A，B为两个事件，已知P(A)= ，P(B|A)= ，则P(AB)=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用条件概率的概率公式计算可得；
【详解】解：由条件概率的计算公式，可得：
故选：B
3．某商场要从某品牌手机的五种型号中，选出种型号的手机进行促销活动，则在型号被选中的条件下，型号也被选中的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用条件概率公式直接求解即可.
【详解】记事件：型号被选中；事件：型号被选中；
则，，.
故选：B.
4．从1，2，3，4，5，6，7中任取2个不同的数，事件“取到的2个数之和为偶数”，事件“取到的2个数均为偶数”，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别计算出和，由条件概率公式可计算求得结果.
【详解】由题意知：事件有，，，共个基本事件；事件有，，，，，，，，，共个基本事件；
，，.
故选：B.
5．袋子中装有大小、形状完全相同的个白球和个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第二次摸到的红球，则第一次摸到红球的概率为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意，分别列出第二次摸到的红球的所有可能结果和第一次摸到红球的事件，利用古典概型计算公式确定去概率值即可.
【详解】设两个红球为，两个白球为，
则第二次摸到的红球的所有可能结果为：共6种，
其中第一次摸到红球的事件包括：共2种，
结合排列组合公式可知第一次摸到红球的概率为.
【点睛】本题主要考查古典概型计算公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6．我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果．“三药”分别为金花清感颗粒连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宣肺败毒方．若某医生从“三药三方”中随机选三种，事件表示选出的三种中至少有两药，事件表示选出的三种中恰有一方，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由条件概率的计算公式求解即可
【详解】因为，，所以．
故选：C
7．小明与小红两位同学计划去养老院做义工．如图，小明在街道E处，小红在街道F处，养老院位于G处，小明与小红到养老院都选择最短路径，两人约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F；事件B：小明经过H；事件C：从F到养老院两人的路径没有重叠部分（路口除外），则下面说法正确的个数是（ ）
（1）；（2）；（3）．
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】根据组合知识结合古典概型概率公式及条件概率的求法逐项分析即得.
【详解】小明到养老院能选择的最短路径条数为条；
小明到F的最短路径走法有条，再从F到养老院的最短路径有条，小明经过F到养老院能选择的最短路径条数为条，
所以，故（1）正确；
小明从H到养老院的最短路径有条，即，
从H到F的最短路径有条，从F到养老院的最短路径有3条，即，所以，故（2）正确；
又，
所以，故（3）正确．
故选：A.
8．有甲 乙两个抽奖箱，甲箱中有3张无奖票3张有奖票，乙箱中有4张无奖票2张有奖票，某人先从甲箱中抽出一张放进乙箱，再从乙箱中任意抽出一张，则最后抽到有奖票的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先分为在甲箱中抽出一张有奖票放入乙箱和在甲箱中抽出一张无奖票放入乙箱，进而结合条件概率求概率的方法求得答案.
【详解】记表示在甲箱中抽出一张有奖票放进乙箱，表示在甲箱中抽出一张无奖票放进乙箱，A表示最后抽到有奖票.
所以，，于是.
故选：B.
二、多选题
9．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ）
A．、为对立事件 B．
C． D．
【答案】AB
【分析】只需注意到事件B是在事件或发生之后可解.
【详解】因为甲罐中只有红球和白球，所以A正确；当发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时B发生的概率为，故B正确；当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时B发生的概率为，故D不正确；，故 C不正确.
故选：AB
10．已知事件，满足，且，则一定有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据事件包含关系的含义以及事件运算的含义和条件概率的计算公式即可判断
【详解】对于A
因为，所以，所以
故A错误
对于B
因为，所以，所以
故B正确
对于C
因为，所以，所以
故C正确
对于D
因为，所以，所以
若，则，
故D错误
故选：BC
11．将一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次，下列说法正确的有（ ）
A．至少一次正面朝上的概率是
B．恰有一次正面朝上的概率与恰有两次正面朝上的概率一样
C．一次正面朝上，一次反面朝上的概率是
D．在第一次正面朝上的条件下，第二次正面朝上的概率是
【答案】AD
【分析】根据古典概型及相互独立事件的概率即可判断选项的正误.
【详解】将一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次共有正正，正反，反正，反反四个结果
对于A，，正确；
对于B，恰有一次正面向上概率，恰有两次正面向上概率，，错误；
对于C，一次正面朝上，一次反面朝上的概率是，错误；
对于D， 第一次正面朝上的条件下，第二次正面朝上的概率是，正确.
故选：AD
12．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，现任取一个零件，记事件“零件为第台车床加工”，事件“任取一零件为次品”，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用相互独立事件概率的乘法公式及条件概率公式分别求出各个选项的值即可判断各个选项的正误.
【详解】解：根据题意，故C正确；
， 故A正确；
所以，
则，故B错误；
，故D正确.
故选：ACD
三、填空题
13．以集合中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数，已知取出的一个数是12，则取出的数构成可约分数的概率是_______．
【答案】
【分析】根据可约找出符合的个数，即可得出概率
【详解】已取12，剩下总共有7个数可取，取出的数构成可约分数，则该数可以为：2、4、6、8，共4个；
故取出的数构成可约分数的概率为
故答案为：
14．一个家庭中有三个小孩，假定生男、生女是等可能的.已知这个家庭中有一个是男孩，则至少有一个女孩的概率是________.
【答案】
【分析】列出这个家庭有三个小孩且其中有一个是男孩的所有可能，即可计算概率.
【详解】这个家庭有三个小孩且其中有一个是男孩的所有可能如下：
（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（男，女，女），（女，男，男），（女，男，女），（女，女，男）共7个基本事件，
其中，至少有一个女孩包含了6个基本事件，
则至少有一个女孩的概率为.
故答案为：.
【点睛】本题考查条件概率及其应用，解题关键是列出所有基本事件，属于基础题.
15．近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为______.
【答案】
【解析】记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A，“他的车能够充电2500次”为事件B，即求条件概率：，由条件概率公式即得解.
【详解】记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A，“他的车能够充电2500次”为事件B，
即求条件概率：
故答案为：
【点睛】本题考查了条件概率的应用，考查了学生概念理解，数学应用，数学运算的能力，属于基础题.
16．一颗骰子连续掷两次，记事件A=“两次的点数之和大于7”，B=“两次的点数均为奇数”，则________.
【答案】##0.2
【分析】分别求出事件及所包含基本事件的个数，由古典概型求得，再根据条件概率公式即可得解.
【详解】由题知，基本事件有36种，
两次的点数之和大于7的事件A有，
共15种，则，
事件A，B同时出现的情况有，，共3种，所以，
所有.
故答案为：.
四、解答题
17．电路中，电压超过额定值的概率为，在电压超过额定值的情况下，电气设备被烧坏的概率为．求电压超过额定值且电气设备被烧坏的概率．
【答案】．
【分析】由条件概率公式计算．
【详解】记事件为电压超过额定值，事件为电气设备被烧坏，
由题意，，
所以．
18．已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，作不放回抽样．求下列事件的概率：
（1）两只都是正品；
（2）两只都是次品；
（3）正品、次品各一只；
（4）第二次取出的是次品．
【答案】（1）；（2） ；（3） ；（4）．
【分析】设Ai＝{第i次取正品}，i＝1，2．
（1）由求出；
（2）由求出；
（3）由求出；
（4）由求出.
【详解】设Ai＝{第i次取正品}，i＝1，2．
（1）两只都是正品，则；
（2）两只都是次品，则；
（3）一只是正品，一只是次品，则
；
(4)第二次取出的是次品，则
.
19．陕西省的一次公务员面试中一共设置了5道题目，其中2道是论述题，3道是简答题，要求每人不放回地抽取两道题，问：
（1）第一次抽到简答题的概率；
（2）第一次和第二次都抽到简答题的概率；
（3）在第一次抽到简答题的条件下，第二次抽到简答题的概率.
【答案】（1）（2）（3）
【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得结果；
（2）根据不放回抽样计算可得结果；
（3）根据条件概率公式计算可得结果.
【详解】（1）第一次抽到简答题的概率为；
（2）第一次和第二次都抽到简答题的概率为；
（3）即第一次抽到简答题为事件，第二次抽到简答题为事件，
则，，
则.
【点睛】关键点点睛：掌握不放回抽样和条件概率公式是解题关键.
20．甲、乙两人参加面试，每人的试题通过不放回抽签的方式确定．假设被抽的10个试题签中有4个是难题签，按甲先乙后的次序抽签．
(1)求甲抽到难题签的概率；
(2)若甲抽到难题签，求乙也抽到难题签的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用古典概型的概率公式即可求解；
（2）利用条件概率的概率公式即可求解.
（1）
设事件A，B分别表示“甲抽到难题签”“乙抽到难题签”．
甲抽到难题签的概率．
（2）
甲、乙都抽到难题签的概率，所以甲抽到难题签后，乙也抽到难题签的概率为．
21．现有8件产品，其中有6件是一等品，在这8件产品中任取2件，若取出的2件产品中有1件确定不是一等品，求另1件是一等品的概率．
【答案】
【分析】根据题意，分别计算取出的2件产品中有1件确定不是一等品的概率和1件为一等品且另一件不是一等品的概率，再结合条件概率的计算公式，即可求解.
【详解】设“取出的2件产品中有1件确定不是一等品”为事件，“取出的2件产品中另1件是一等品”为事件，则，．
所以．
22．有3箱同一品种的零件，每箱装有10个零件，其中第一箱内一等品6个，第二箱内一等品4个，第三箱内一等品2个，现从3箱中随机挑出一箱，然后从该箱中依次随机取出2个，取出的零件均不放回，求：
(1)第1次取出的零件是一等品的概率；
(2)在第1次取出的零件是一等品的条件下，第2次取出的零件也是一等品的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设＝“被挑出的是第i箱”，＝“第i次取出的零件是一等品”，
由根据条件概率计算公式计算出，，再由可得答案；
（2）由（1）得，根据条件概率公式计算出，
，
代入可得答案．
（1）
设＝“被挑出的是第i箱”，
＝“第i次取出的零件是一等品”，
则，
因为，，
所以第1次取出的零件是一等品的概率是．
（2）
由（1）得，
因为，
所以
，
所以．
故在第1次取出的零件是一等品的条件下，第2次取出的零件也是一等品的概率为．
