第六章课时练习2正弦定理
一、单选题
1．已知中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则是（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．有一个内角是30°的直角三角形
2．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积为，且，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A = ，a =，b = 1，则c =（ ）
A． B． C．1 D．2
4．在中，，，点，分别是边，上的点，且，记，四边形的面积分别为，，则的最大值为
A． B． C． D．
5．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．若为锐角三角形，且a=3，则当面积最大时，其内切圆面积为（ ）
A． B． C． D．
6．中，，，点为外接圆的圆心．且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．1
8．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（ ）
A． B．
C． D．
10．在中，角、、的对边分别为、、，，则（ ）
A． B．
C． D．可能为锐角三角形
11．在中，若，角的平分线交于，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则的外接圆半径是
C．若，则的面积是 D．若，则
12．在中，内角满足，的面积S满足记a，b，c是内角A，BC，所对的边，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．边长为2的等边的外接圆的面积________.
14．在中，，，，，则_________.
15．在钝角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为钝角，若，则的最大值为______．
16．在中，角所对的边分别为，的面积为，则 __________．
四、解答题
17．如图，已知平面四边形，，，，，.
（1）求；
（2）求的值.
18．四边形的内角与互补，，，．
（1）求和；
（2）求四边形的面积．
19．在中，内角，，的对边分别为，，．已知
（1）求证：
（2）若，的面积为，求的周长．
20．如图，在中，，为中点，为上一点，且满足，的面积为，
(1)求的值；
(2)求的最小值.
21．在中，角所对的边分别为，且
(1)证明：；
(2)求最大值.第六章课时练习2正弦定理解析版
一、单选题
1．已知中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则是（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．有一个内角是30°的直角三角形
【答案】C
【分析】根据正弦定理化简得到，求得，即可求解.
【详解】因为，由正弦定理可得，
可得，因为，所以，则，
所以为等腰直角三角形．
故选：C.
2．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积为，且，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】根据余弦定理、三角形的面积公式求得，进而求得.
【详解】依题意，，
由余弦定理得，
①，
由三角形的面积公式得，代入①得
，，
，
由于，
所以.
故选：C
3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A = ，a =，b = 1，则c =（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】方法一：可根据余弦定理直接求，但要注意边一定大于0；
方法二：可根据正弦定理求出，进而求出，要注意判断角的范围.
【详解】解法一：（余弦定理）由得：
，，或（舍.
解法二：（正弦定理）由，得：，
，
，，从而，
，.
故选：D
4．在中，，，点，分别是边，上的点，且，记，四边形的面积分别为，，则的最大值为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】分析：设，，又，所以，利用余弦定理和基本不等式求得，再利用三角形的面积公式，即可求解结果．
详解：设，，
因为，所以，
所以，
又，所以，当且仅当时等号成立，
所以，故选C．
点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
5．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．若为锐角三角形，且a=3，则当面积最大时，其内切圆面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先用正弦定理角化边整理可得，由余弦定理可得，结合面积公式和基本不等式分析可得当为等边三角形时，面积取到最大值，再利用等面积法求内切圆半径即可.
【详解】∵，则，
整理得，则，
∵为锐角三角形，则，故，
由面积为，
可得当面积取到最大值，即为取到最大值，
∵，即，即，
当且仅当，即为等边三角形时等号成立，
故当为等边三角形时，面积取到最大值，
设的内切圆半径为，则，解得，
故内切圆面积为.
故选：D.
【点睛】方法点睛：解三角形求面积的取值范围（或最值）的两种方法：
（1）利用余弦定理建立三边之间的关系，结合不等式求取值范围（或最值）；
（2）利用正弦定理将边化为角，再结合三角恒等变换和三角函数求取值范围（或最值）.
6．中，，，点为外接圆的圆心．且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据外接圆的性质、向量的线性运算及向量数量积的几何意义，得出,再结合的面积公式即可求解.
【详解】由题意可知，过点作垂直分别为，如图所示
由点为外接圆的圆心，所以分别是的中点，
即，，
在中，，
同理，在中，.
所以
，
又因为，所以，解得，
所以的面积为
.
故选：D.
7．在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】由求得，再由正弦定理得，进而得.
【详解】在中，，则，
由正弦定理得，解得.
所以，则，所以，从而.
故选：C.
8．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】中，由正弦定理可得，利用余弦定理可得：．再利用余弦定理及其基本不等式的性质可得的最小值，可得的最大值，即可得出三角形面积的最大值．
【详解】由正弦定理得：
由余弦定理得：，即
当且仅当时，即，，时取等号，
,
则，所以面积的最大值.
故选：B
二、多选题
9．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据三角形解的个数的判定条件直接计算可得.
【详解】A选项有无穷多解，显然错误；
B中，因为，C为锐角，所以，所以该三角形有一解，B正确；
C中，因为，B为锐角，所以，所以该三角形有一解，C正确；
D中，因为，B为锐角，所以，所以该三角形有两解，D错误.
故选：BC
10．在中，角、、的对边分别为、、，，则（ ）
A． B．
C． D．可能为锐角三角形
【答案】ABCD
【分析】根据题中条件，先由正弦定理，可判断A正确；根据余弦定理，可判断B正确；根据两角和与差的正弦公式，可判断C正确；根据特殊值可判断D正确.
【详解】因为，由正弦定理可得，，即A正确；
又由可得，即，所以B正确；
由可得，所以或（舍），故C正确；
由上推导可知，，所以可能为锐角三角形，如：，，，所以D正确；
故选：ABCD.
【点睛】本题主要考查正余弦定理的简单应用，涉及两角和与差的正弦公式，属于常考题型.
11．在中，若，角的平分线交于，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则的外接圆半径是
C．若，则的面积是 D．若，则
【答案】ACD
【分析】设边上的高为，根据三角形面积公式判断A；若，即可得到，，利用正弦定理及三角形面积公式判断B、C、D；
【详解】解：依题意设边上的高为，则，
又，所以，故A正确；
因为为的平分线，，
所以，
，则，则
所以
由正弦定理得，
所以，
，故C正确；
若，，由正弦定理得，
所以的外接圆半径，故B错误；
若，由正弦定理得，，
因为与互补，
所以，，故D正确；
故选：ACD
12．在中，内角满足，的面积S满足记a，b，c是内角A，BC，所对的边，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】根据三角恒等变换得到 A错误D正确，根据面积公式得到，B错误C正确，得到答案.
【详解】，
，
故，
即，
展开得到，
即，A错误D正确；
，
故，故，B错误C正确；
故选：CD.
三、填空题
13．边长为2的等边的外接圆的面积________.
【答案】
【分析】利用正弦定理求得外接圆半径即可.
【详解】设的外接圆半径为R，
由正弦定理得：，
解得，
所以外接圆的面积是，
故答案为：
14．在中，，，，，则_________.
【答案】
【解析】利用正弦定理在三角形中求得角，再用余弦定理即可求得以及.
【详解】在中，由正弦定理得，
得，且，∴，
在中，由余弦定理得，
即，解得：，则，
在中，由余弦定理得，
即，∴.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，属基础题.
15．在钝角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为钝角，若，则的最大值为______．
【答案】
【分析】根据条件和正弦定理，求得，然后利用三角形内角和转化为与的关系，利用降幂公式转化为的二次函数型表达式，进而根据角的取值范围求得最大值.
【详解】∵，由正弦定理可得，，∵，∴，又B为钝角，∴，
，
∴的最大值为．
故答案为：.
16．在中，角所对的边分别为，的面积为，则 __________．
【答案】6
【分析】由三角形面积公式，结合已知条件可得．
【详解】∵，∴ ，
又 的面积
故答案为：6
四、解答题
17．如图，已知平面四边形，，，，，.
（1）求；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由余弦定理求，根据勾股逆定理知，即可求.
（2）由（1）得，应用正弦定理即可求的值.
【详解】（1）在△中，由余弦定理，有，
，即，
.
（1）在四边形中，，
∴，
在△中，由正弦定理，则.
18．四边形的内角与互补，，，．
（1）求和；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）在和中利用余弦定理即可求解和；
（2）根据求解即可．
【详解】解：四边形的内角与互补，即．
可得又，，．
在中，由余弦定理可得：，即①．
在中，由余弦定理可得：，即②，
由①②解得，，
．．那么．
（2）四边形的面积
．
19．在中，内角，，的对边分别为，，．已知
（1）求证：
（2）若，的面积为，求的周长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）法一：由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的内角和定理，诱导公式可得，结合范围，可证．
法二：由余弦定理化简已知等式即可证明．
（2）由已知及（1）可知，利用三角形的面积公式可求，的值，利用余弦定理可求的值，即可得解三角形的周长．
【详解】解：（1）法一：∵，
∴由正弦定理，可得，即：，
又∵，
∴，
又∵，
∴或（舍去），
∴．
法二：∵，
∴由余弦定理可得，整理可得，
∴ ，
∴.
（2）∵，由（1）可知，
又∵的面积为，且，
∴，
∴，
∵由余弦定理可得，
∴，∴的周长．
20．如图，在中，，为中点，为上一点，且满足，的面积为，
(1)求的值；
(2)求的最小值.
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）在中，D为中点，则三点共线，
设,
故 ，
又 ，故，
解得，即.
（2）由（1）知，
所以
，当且仅当时取等号，
又，则,
即，
故，
即的最小值为，当且仅当时取等号.
21．在中，角所对的边分别为，且
(1)证明：；
(2)求最大值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】（1）证明：∵在中，由余弦定理得，
∴，
∴，
，
，
，
；
（2）
解：由（1）可知，
则，故可得，，
，
当且仅当，即时取等号，
，即的最大值为
所以，最大值为
