7.1.2全概率公式专项练习
一、单选题
1．甲箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球，3个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球(不放回)，则第二次取到的是黑球的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子.用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为（ ）
A．0.8 B．0.832 5 C．0.532 5 D．0.482 5
4．某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品数最多不超过4件，且具有如下的概率：
一批产品中的次品数 0 1 2 3 4
概率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
现进行抽样检验，从每批中随机取出10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格，则一批产品通过检验的概率为（ ）A．0.814 B．0.809 C．0.727 D．0.652
5．将三枚骰子各掷一次，设事件为“三个点数都不相同”，事件为“至少出现一个6点”，则概率的值为
A． B． C． D．
6．盒中有2个红球，3个黑球，2个白球，从中随机地取出一个球，观察其颜色后放回，并加入同色球1个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．足球训练中点球射门是队员练习的必修课，经统计，某足球队员踢向球门左侧时进球的概率为80%，踢向球门右侧时进球的概率为75%．若该球员进行点球射门时踢向球门左、右两侧的概率分别为60%、40%，则该球员点球射门进球的概率为（ ）
A．77% B．77.5% C．78% D．78.5%
8．已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.25%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（ ）(设男子和女子的人数相等)
A． B． C． D．
二、多选题
9．箱子中有6个大小、材质都相同的小球，其中4个红球，2个白球．每次从箱子中随机的摸出一个球，摸出的球不放回．设事件A表示“第1次摸球，摸到红球”，事件B表示“第2次摸球，摸到红球”则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．甲箱中有个红球，个白球和个黑球；乙箱中有个红球，个白球和个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．事件与事件不相互独立 D．两两互斥
11．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的30%，30%，40%，则下列选项正确的有（ ）
A．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06
B．任取一个零件是次品的概率为0.053
C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
12．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以B表示从乙罐取出的球是红球．则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．事件B与事件相互独立 D．，，两两互斥
三、填空题
13．每年的6月6日是全国爱眼日，某位志愿者跟踪调查电子产品对视力的影响，据调查，某高校大约有45%的学生近视，而该校大约有20%的学生每天操作电子产品超过1h，这些人的近视率约为50%，现从每天操作电子产品不超过1h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为__________.
14．在五一假期当天，假设某商业中心有一个新冠病毒感染者未被发现且未佩戴口罩，当天有10万人进入过该商业中心．若其中有20%的人与感染者有近距离接触，并且其中有15%的人未佩戴口罩．则五一当天进入该商业中心被感染的人数约为______．（近距离接触时，若你和感染者都未佩戴口罩，则感染率为90%；若你戴口罩，感染者未戴口罩，则感染率为30%）
15．已知，，，则______．
16．现有8道四选一的单选题，小明同学对其中6道题有思路，2道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率只有0.25，小明同学从这8道题这随机选择1题，则小明做对该题的概率为_______ ．
四、解答题
17．市场上供应的某型号灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂的合格率是80%，求市场上该型号灯泡的合格率，及买到的该型号合格灯泡是甲厂生产的概率．
18．某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号．求他拨号不超过三次而接通电话的概率．若已知最后一位数字是奇数，那么此概率又是多少？
19．设某公路上经过的货车与客车的数量之比为1:2，货车与客车中途停车修理的概率分别为0.002，0.001.求该公路上行驶的汽车停车修理的概率.
20．在数字通讯中，信号是由数字0和1的长序列组成的，由于有随机干扰，发送的信号0或1各有可能错误接收为1或0.现假定发送信号为0和1的概率均为，又已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号为1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1.求：已知收到信号是0时，发出的信号是0(即没有错误接收)的概率.
21．今年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某区组织了党史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三所学校回答一道有关红色革命根据地建立时间的问题，已知甲校回答正确这道题的概率为，甲、丙两所学校都回答正确这道题的概率是，乙、丙两所学校都回答正确这道题的概率是.若各学校回答这道题是否正确是互不影响的.
(1)若规定三个学校都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三所学校中至少1所学校回答正确这道题的概率；
(2)若规定三所学校需要抢答这道题，已知甲校抢到答题机会的概率为，乙校抢到的概率为，丙校抢到的概率为，求这个问题回答正确的概率.
22．已知在自然人群中，男性色盲患者出现的概率为，女性色盲患者出现的概率为.今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？7.1.2全概率公式专项练习解析版
一、单选题
1．甲箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球，3个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据全概率公式求得正确答案.
【详解】依题意，从乙箱中取出的是红球的概率为：
.
故选：D
2．一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球(不放回)，则第二次取到的是黑球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设事件：表示第1次取到黑球，事件：表示第1次取到白球，事件：表示第2次取到黑球，结合，即可求解.
【详解】设事件：表示第1次取到黑球，事件：表示第1次取到白球，
事件：表示第2次取到黑球，可得，
则.
故选：B.
3．播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子.用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为（ ）
A．0.8 B．0.832 5 C．0.532 5 D．0.482 5
【答案】D
【分析】设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是A1，A2，A3，A4，利用全概率公式即可求出.
【详解】设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是A1，A2，A3，A4，
则它们构成样本空间的一个划分.设B＝“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，则：
.
故选：D.
4．某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品数最多不超过4件，且具有如下的概率：
一批产品中的次品数 0 1 2 3 4
概率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
现进行抽样检验，从每批中随机取出10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格，则一批产品通过检验的概率为（ ）A．0.814 B．0.809 C．0.727 D．0.652
【答案】A
【分析】利用条件概率以及全概率计算公式即可求解.
【详解】以Ai表示一批产品中有i件次品，i=0，1，2，3，4，B表示通过检验，
则由题意得，P(A0)=0.1，P(B|A0)=1，P(A1)=0.2，P(B|A1)==0.9，P(A2)=0.4，
P(B|A2)=≈0.809，P(A3)=0.2，P(B|A3)=≈0.727，
P(A4)=0.1，P(B|A4)=≈0.652．
由全概率公式，
得P(B)=P(Ai)P()=0.1×1+0.2×0.9+0.4×0.809+0.2×0.727+0.1×0.652≈0.814．
故选：A
5．将三枚骰子各掷一次，设事件为“三个点数都不相同”，事件为“至少出现一个6点”，则概率的值为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】考点：条件概率与独立事件．
分析：本题要求条件概率，根据要求的结果等于P（AB）÷P（B），需要先求出AB同时发生的概率，除以B发生的概率，根据等可能事件的概率公式做出要用的概率．代入算式得到结果．
解：∵P（A|B）=P（AB）÷P（B），
P（AB）==
P（B）=1-P（）=1-=1-=
∴P（A/B）=P（AB）÷P（B）==
故选A．
6．盒中有2个红球，3个黑球，2个白球，从中随机地取出一个球，观察其颜色后放回，并加入同色球1个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件概率的计算公式即可求解.
【详解】从盒中任取1球，是红球记为，黑球记为，白球记为，
则，，彼此互斥，设第二次抽出的是红球记为事件B，
则，，，，，，
，
故选：.
7．足球训练中点球射门是队员练习的必修课，经统计，某足球队员踢向球门左侧时进球的概率为80%，踢向球门右侧时进球的概率为75%．若该球员进行点球射门时踢向球门左、右两侧的概率分别为60%、40%，则该球员点球射门进球的概率为（ ）
A．77% B．77.5% C．78% D．78.5%
【答案】C
【分析】根据该球员点球射门进球的可能情况，即踢向球门左、右两侧时都有进球的可能，由此求得答案.
【详解】由题意得：该球员进行点球射门时踢向球门左侧时进球的概率为
踢向右侧进球的概为，
故该球员点球射门进球的概率为，
故选：C．
8．已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.25%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（ ）(设男子和女子的人数相等)
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设“男子”， “女子”， “这人有色盲”，分别求得,结合公式，即可求解.
【详解】设“男子”， “女子”， “这人有色盲”，
则,
可得.
故选：B.
二、多选题
9．箱子中有6个大小、材质都相同的小球，其中4个红球，2个白球．每次从箱子中随机的摸出一个球，摸出的球不放回．设事件A表示“第1次摸球，摸到红球”，事件B表示“第2次摸球，摸到红球”则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】利用条件概率及全概率公式进行求解.
【详解】，A正确；
，
由全概率公式可知：
所以BC错误，D正确.
故选：AD
10．甲箱中有个红球，个白球和个黑球；乙箱中有个红球，个白球和个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．事件与事件不相互独立 D．两两互斥
【答案】BCD
【分析】根据的意义可求其概率，从而可判断B的正误，根据全概率公式可计算，故可判断A的正误，根据独立事件的乘法公式和互斥事件的定义可判断CD的正误.
【详解】，
又，故B正确.
故
，故A错误.
，故，
所以事件与事件不相互独立，
根据互斥事件的定义可得两两互斥，
故选：BCD.
11．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的30%，30%，40%，则下列选项正确的有（ ）
A．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06
B．任取一个零件是次品的概率为0.053
C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
【答案】BCD
【分析】记事件：车床加工的零件为次品，记事件：第台车床加工的零件，则，，，，，再依次求选项中的概率即可．
【详解】记事件：车床加工的零件为次品，记事件：第台车床加工的零件，
则，，
，，，
对于选项，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为，故错误；
对于选项，任取一个零件是次品的概率为
，故正确；
对于选项，如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
，故正确；
对于选项，如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
，故正确；
故选：．
12．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以B表示从乙罐取出的球是红球．则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．事件B与事件相互独立 D．，，两两互斥
【答案】AD
【分析】根据互斥事件的定义判断D，再根据条件概率及相互独立事件的概率公式计算即可判断其他选项．
【详解】因为事件，和任意两个都不能同时发生，所以，，是两两互斥的事件，故D正确；
因为，，，，故A正确；
，，
，因为，，所以，所以与不是相互独立事件，故B，C不正确．
故选：AD．
三、填空题
13．每年的6月6日是全国爱眼日，某位志愿者跟踪调查电子产品对视力的影响，据调查，某高校大约有45%的学生近视，而该校大约有20%的学生每天操作电子产品超过1h，这些人的近视率约为50%，现从每天操作电子产品不超过1h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为__________.
【答案】
【分析】利用全概率公式列方程求解即可.
【详解】从某高校中任意调查一名学生，记该学生近视为事件A，记该学生每天操作电子产品超过1h为事件B，则从每天操作电子产品不超过1h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为.
由题可知，，.
由全概率公式得
即
解得，
即从每天操作电子产品不超过1h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为.
故答案为：.
14．在五一假期当天，假设某商业中心有一个新冠病毒感染者未被发现且未佩戴口罩，当天有10万人进入过该商业中心．若其中有20%的人与感染者有近距离接触，并且其中有15%的人未佩戴口罩．则五一当天进入该商业中心被感染的人数约为______．（近距离接触时，若你和感染者都未佩戴口罩，则感染率为90%；若你戴口罩，感染者未戴口罩，则感染率为30%）
【答案】
【分析】分别计算戴口罩和未戴口罩被感染的人数求和即可
【详解】由题意，当天有人与感染者有近距离接触，其中未戴口罩的有人，戴口罩的有人.故估计五一当天进入该商业中心被感染的人数约为
故答案为：
15．已知，，，则______．
【答案】
【分析】利用全概率公式即可求解.
【详解】因为，所以.
由全概率公式：.
故答案为：
16．现有8道四选一的单选题，小明同学对其中6道题有思路，2道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率只有0.25，小明同学从这8道题这随机选择1题，则小明做对该题的概率为_______ ．
【答案】##
【分析】利用全概率公式求解即可.
【详解】设事件A表示“考生答对”,事件B表示“考生选到有思路的题”.
则该考生从这8道题中随机选1题,则他答对该题的概率为:
故答案为:
四、解答题
17．市场上供应的某型号灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂的合格率是80%，求市场上该型号灯泡的合格率，及买到的该型号合格灯泡是甲厂生产的概率．
【答案】市场上该型号灯泡的合格率为,买到的该型号合格灯泡是甲厂生产的概率为.
【分析】根据已知条件，结合全概率公式和条件概率公式即可求解.
【详解】用事件、分别表示买到甲、乙两厂的产品，表示产品为合格品.
因为，且与互斥，
所以
.
故市场上该型号灯泡的合格率为.
所以，
故买到的该型号合格灯泡是甲厂生产的概率为.
18．某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号．求他拨号不超过三次而接通电话的概率．若已知最后一位数字是奇数，那么此概率又是多少？
【答案】，
【分析】根据概率的加法和乘法公式进行求解即可.
【详解】[解] 设Ai ＝“第i次接通电话”，i ＝ 1，2，3，
B＝“拨号不超过3次接通电话”，
则事件B的表达式为．
利用概率的加法公式和乘法公式
若已知最后一位数字是奇数，则
.
19．设某公路上经过的货车与客车的数量之比为1:2，货车与客车中途停车修理的概率分别为0.002，0.001.求该公路上行驶的汽车停车修理的概率.
【答案】
【分析】设表示汽车中途停车修理，表示公路上经过的汽车是货车，表示公路上经过的汽车是客车，进而根据题意，结合全概率公式求解即可.
【详解】解：设表示汽车中途停车修理，表示公路上经过的汽车是货车，表示公路上经过的汽车是客车，
则根据题意得，，
所以由全概率公式得：.
即该公路上行驶的汽车停车修理的概率为
20．在数字通讯中，信号是由数字0和1的长序列组成的，由于有随机干扰，发送的信号0或1各有可能错误接收为1或0.现假定发送信号为0和1的概率均为，又已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号为1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1.求：已知收到信号是0时，发出的信号是0(即没有错误接收)的概率.
【答案】.
【分析】令事件“发出的信号为i”为，令事件“收到的信号为0”为事件B.根据贝叶斯公式即可求.
【详解】令事件“发出的信号为i”为，令事件“收到的信号为0”为事件B.
由题可知，，，.
由贝叶斯公式得所求的概率为：
.
故答案为：.
21．今年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某区组织了党史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三所学校回答一道有关红色革命根据地建立时间的问题，已知甲校回答正确这道题的概率为，甲、丙两所学校都回答正确这道题的概率是，乙、丙两所学校都回答正确这道题的概率是.若各学校回答这道题是否正确是互不影响的.
(1)若规定三个学校都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三所学校中至少1所学校回答正确这道题的概率；
(2)若规定三所学校需要抢答这道题，已知甲校抢到答题机会的概率为，乙校抢到的概率为，丙校抢到的概率为，求这个问题回答正确的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设甲、乙、丙3校答对这道题的概率分别为，，，利用独立事件的概率公式结合题干条件列出方程，求解，，再利用对立事件的概率公式，即得解；
（2）利用全概率公式结合题干条件，即得解
【详解】（1）记甲、乙、丙3校独自答对这道题分别为事件，，，分别设甲、乙、丙3校答对这道题的概率分别为，，，由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此，，是相互独立事件
由题意可知，，，
解得，.
所以，乙答对这道题的概率为，丙答对这道题的概率为.
甲、乙、丙三所学校中至少1所学校回答正确为事件，则概率为，其反面是三所学校都回答错误，即
则三所学校中至少1所学校回答正确的概率为；
（2）若规定三所学校需要抢答这道题，
则这个问题回答正确设为事件，得到抢答机会分别是事件，，，则
，，，，，，
则
这个问题回答正确的概率为.
22．已知在自然人群中，男性色盲患者出现的概率为，女性色盲患者出现的概率为.今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？
【答案】
【分析】令事件表示“选出的是男性”，则事件表示“选出的是女性”，以事件表示“选出的人是色盲患者”，根据贝叶斯公式计算可求得所求的概率.
【详解】解：以事件表示“选出的是男性”，则事件表示“选出的是女性”，以事件表示“选出的人是色盲患者”.
由题意，知，，.
由贝叶斯公式，可知此色盲患者是男性的概率为.
所以此人是男性的概率是.
