7.2离散型随机变量及其分布列专项练习解析版
一、单选题
1．下表是离散型随机变量X的概率分布，则常数的值是（ ）
X 3 4 5 6
P
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，
解得. 故选：C.
2．已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为的分布列服从两点分布，所以，
因为，所以
故选：C
【点睛】本题考查两点分布，考查基本分析求解能力，属基础题.
3．一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1，2，3，4，5，6，7，8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果数为（ ）
A．18 B．21 C．24 D．10
【答案】B
【详解】ξ＝8表示3个篮球中一个编号是8，另外两个从剩余7个号中选2个，有种方法，即21种．
故选：B
4．一袋中装5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3只，以ξ表示取出的三只球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】随机变量的可能值为1，2，3，
，，，故选C.
5．已知A学校有个数学老师，其中个男老师，个女老师，学校有个数学老师，其中3个男老师，7个女老师，为了实现师资均衡，现从A学校任意抽取一个数学老师到学校，然后从学校任意抽取一个数学老师到县里上公开课，则两次都抽到男老师的的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】A学校任意抽取一个数学老师到B学校，抽到男老师的的概率是 ，
然后从B学校任意抽取一个老师，抽到男老师的的概率是 ,
两个事件同时发生的概率是： ，故选:B
二、多选题
6．(多选)已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则（ ）
X －1 0 1
P a b c
A．a＝ B．b＝
C．c＝ D．P(|X|＝1)＝
【答案】BD
【详解】解：由题意得：
∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
由分布列的性质得a＋b＋c＝3b＝1，∴
∴
.故B、D正确；
因为题目中未给出a与c的关系，本题我们只知道，故无法求出a与c的值，故A、C错误；
故选：BD
7．已知8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，那么的可能取值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．8
【答案】ABC
【详解】由题可知的可能取值为0，1，2．故选：ABC.
8．(多选)下面是离散型随机变量的是（ ）
A．某机场候机室中一天的游客数量X
B．某外卖员一天内收到的点餐次数X
C．某水文站观察到一天中长江的最高水位X
D．某立交桥一天经过的车辆数X
【答案】ABD
【详解】ABD中随机变量X所有可能取的值我们都可以按一定次序一一列出，因此它们都是离散型随机变量，C中X可以取某一区间内的一切值，无法一一列出，故不是离散型随机变量．
9．口袋中有大小形状都相同的4个红球，n个白球，每次从中摸一个球，摸后再放回口袋中，摸到红球记2分，摸到白球记1分，共摸球3次．设所得分数为随机变量，若则随机变量的取值可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】BCD
【分析】由题设可知摸到红球、白球的概率分别是、，结合题设对应为3次摸的都是白球，利用独立事件乘法公式列方程求n，进而判断的取值可能值.
【详解】口袋中有大小形状都相同的4个红球，n个白球，每次从中摸一个球，摸后再放回口袋中，
∴摸到红球的概率是，白球的概率是，而即得3分：表示这3次摸的都是白球且，
∴，解得，
∴的可能取值为3，4，5，6. 故选：BCD.
三、填空题
10．设随机变量的分布列为，则___________.
【答案】
【分析】由分布列的性质列式求解，再根据的含义代入概率公式求解.
【详解】由题意，，所以，得，所以.故答案为：
11．已知离散型随机变量的分布列，.令，则__________.
【答案】
【分析】首先列举的取值，再分别求其概率，即可得到.
【详解】由已知取值0，2，4，6，8，且，，
，，，
则. 故答案为：
12．已知随机变量X的概率分布为，则实数______．
【答案】
【分析】根据给定条件利用随机变量分布列的性质列式计算作答.
【详解】依题意，，
由分布列的性质得，解得，
所以实数. 故答案为：
四、解答题
13．若随机变量ξ只能取两个值0，1，又知ξ取0的概率是取1的概率的3倍，写出ξ的分布列.
【答案】答案见解析
【分析】根据概率之和为1可求出.
【详解】由题意及分布列满足的条件知P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝3P(ξ＝1)＋P(ξ＝1)＝1，
所以，故.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1
P
14．将3个小球任意地放入4个玻璃杯中，杯子中球的最多个数为，求的分布列
【答案】见解析
【详解】的可能取值为1，2,3
故分布列为
1 2 3
P
15．张同学从学校回家要经过4个红绿灯路口，每个路口可能遇到红灯或绿灯．
（1）写出随机试验的样本空间；
（2）设他可能遇到红灯的次数为X，写出X的可能取值，并说明这些值所表示的随机事件．
【答案】（1）样本空间见解析；（2）的可能取值为、、、、；
【详解】解：（1）设在一个路口遇到红灯记为1，遇到绿灯记为0，用表示他经过四个路口所遇到红绿灯情况，其中表示第个路口的情况，则随机试验的样本空间 ，
，，，，
（2）设他可能遇到红灯的次数为X，则的可能取值为、、、、；
表示
表示
表示
表示，，，，
表示
16．有编号为1,2,3，…，n的n个学生，入座编号为1,2,3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法.
(1)求n的值；
(2)求随机变量X的分布列.
【答案】（1）；（2）详见解析
【详解】（1）当时，坐法有种，解得.
（2）的所有可能取值为，,,,,所以的分布列为：
0 2 3 4
【点睛】本小题主要考查简单排列组合的计算，考查随机变量分布列的求法，属于基础题.
17．为了解果园某种水果的产量情况，随机抽测了100个水果的质量（单位：克），样本数据分组为，，，，，，其频率分布直方图如图所示.
(1)从样本中质量在，的水果中用分层抽样的方法抽取6个，再从这6个水果中随机抽取3个，记为质量在中的水果个数，求；
(2)果园现有该种水果约20000个，其等级规格及销售价格如下表所示：
质量（单位：克）
等级规格 二等 一等 特等
销售价格（元/个） 4 7 10
试估计果园该种水果的销售收入.
【答案】(1)；(2)元.
【详解】（1）质量在中的该种水果的频率为，
质量在中的该种水果的频率为，
因此质量在中的水果抽取4个，质量在中的水果抽取2个，
所以.
（2）二等品的频率为，一等品的频率为，
特等品的频率为，
则20000个水果中共有二等品4000个，一等品11000个，特等品有5000个，
所以销售收入约为元.7.2离散型随机变量及其分布列专项练习解析版
一、单选题
1．下表是离散型随机变量X的概率分布，则常数的值是（ ）
X 3 4 5 6
P
A． B． C． D．
2．已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1，2，3，4，5，6，7，8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果数为（ ）
A．18 B．21 C．24 D．10
4．一袋中装5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3只，以ξ表示取出的三只球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为( )
A． B．
C． D．
5．已知A学校有个数学老师，其中个男老师，个女老师，学校有个数学老师，其中3个男老师，7个女老师，为了实现师资均衡，现从A学校任意抽取一个数学老师到学校，然后从学校任意抽取一个数学老师到县里上公开课，则两次都抽到男老师的的概率是
A． B． C． D．
二、多选题
6．(多选)已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则（ ）
X －1 0 1
P a b c
A．a＝ B．b＝
C．c＝ D．P(|X|＝1)＝
7．已知8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，那么的可能取值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．8
8．(多选)下面是离散型随机变量的是（ ）
A．某机场候机室中一天的游客数量X
B．某外卖员一天内收到的点餐次数X
C．某水文站观察到一天中长江的最高水位X
D．某立交桥一天经过的车辆数X
9．口袋中有大小形状都相同的4个红球，n个白球，每次从中摸一个球，摸后再放回口袋中，摸到红球记2分，摸到白球记1分，共摸球3次．设所得分数为随机变量，若则随机变量的取值可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
三、填空题
10．设随机变量的分布列为，则___________.
11．已知离散型随机变量的分布列，.令，则__________.
12．已知随机变量X的概率分布为，则实数______．
四、解答题
13．若随机变量ξ只能取两个值0，1，又知ξ取0的概率是取1的概率的3倍，写出ξ的分布列.
14．将3个小球任意地放入4个玻璃杯中，杯子中球的最多个数为，求的分布列
15．张同学从学校回家要经过4个红绿灯路口，每个路口可能遇到红灯或绿灯．
（1）写出随机试验的样本空间；
（2）设他可能遇到红灯的次数为X，写出X的可能取值，并说明这些值所表示的随机事件．
16．有编号为1,2,3，…，n的n个学生，入座编号为1,2,3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法.
(1)求n的值；
(2)求随机变量X的分布列.
17．为了解果园某种水果的产量情况，随机抽测了100个水果的质量（单位：克），样本数据分组为，，，，，，其频率分布直方图如图所示.
(1)从样本中质量在，的水果中用分层抽样的方法抽取6个，再从这6个水果中随机抽取3个，记为质量在中的水果个数，求；
(2)果园现有该种水果约20000个，其等级规格及销售价格如下表所示：
质量（单位：克）
等级规格 二等 一等 特等
销售价格（元/个） 4 7 10
试估计果园该种水果的销售收入.
