7.3离散型随机变量的数字特征专项练习解析版
一、单选题
1．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为（ ）
A．0 B． C．1 D．－1
【答案】A
【分析】利用随机变量的均值的定义即得.
【详解】因为P(X＝1)＝，P(X＝－1)＝，
所以由均值的定义得E(X)＝1×＋(－1)×＝0．
故选：A.
2．随机变量的分布列是
-2 1 2
若，则（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由于分布列的概率之和为1，以及，列出关于的方程，再根据方差公式即可求出．
【详解】由题意可知，，
又，所以；
所以.
故选：B.
【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列的性质、期望公式和方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题．
3．已知随机变量的取值为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，，则由，，列出方程组，求出，，即可求得．
【详解】设，，
①，
又②
由①②得，，，
故选：C.
【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
4．随机变量的分布列如表所示，若，则（ ）
0 1
A． B． C．5 D．7
【答案】C
【分析】由，利用随机变量X的分布列列出方程组，求出，，由此能求出，再由，能求出结果．
【详解】
由随机变量X的分布列得：
，解得，
，
故选：C．
【点睛】本题考查方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
5．随机变量的分布列如下：
-1 0 1
若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用概率之和为1得到，利用期望的公式得到，两个联立算出再利用方差的计算方式算出结果
【详解】由题设可得，
所以随机变量的方差为，
故选：D．
二、多选题
6．已知，分别从集合，中各随机取一个数，，得到平面上一个点，事件“点恰好落在直线上”对应的随机变量为，，的数学期望和方差分别为，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】由已知得X的值可以为2，3，4，5，6；而从A、B中分别任取1个数，共有9种情况，分别可求得随机变量取每一值所得的概率，再运用期望和方差的计算公式，可判断得选项．
【详解】因为，点恰好落在直线上，所以X的值可以为2，3，4，5，6；
而从A、B中分别任取1个数，共有9种情况，
所以，，，，，对于A：，故A不正确；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D正确；
故选：BCD．
7．有两盒乒乓球，每盒3个球分别标记为2，3，4，其中一盒均未使用过，另一盒3个球都已使用过．现从两个盒子各任取1个球，设球的号码分别为，，若事件“点恰好落在直线上”对应的随机变量为，，的数学期望和方差分别为，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】求出的所有可能值，求出相应的概率，可判断AB，再计算期望与方差，判断CD．
【详解】因为a的所有可能取值为2，3，4，b的所有可能取值为2，3，4．点恰好落在直线上，所以的所有可能取值为4，5，6，7，8．
从两个盒子中分别任取1个球，共有9种情况，，，，，．对于A，，故A选项正确；
对于B，，故B选项正确；
对于C，，故C选项错误；
对于D，，故D选项正确，
故选：ABD．
三、填空题
8．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ=m)=,P(ξ=n)=a,若Eξ=2,则Dξ的最小值是_____.
【答案】0
【分析】根据分布列中概率和为1，得到，根据分布列表示出期望使它等于2，整理出关于m和n的关系式，表示出方差，即可得出结果.
【详解】由题意可得，所以,即;
故
【点睛】本题主要考查离散型随机变量方差的最小值问题，解题关键在于掌握分布列的性质与方差的计算公式，属于基础题型.
9．随机变量的分布列如下表：
1 2 3
其中，，成等差数列，若，则______．
【答案】
【分析】根据等差中项性质可得，再根据期望分别得到，代入方差公式，即可得答案；
【详解】，，成等差数列，，
，则，，
，
，
，
故答案为：.
【点睛】本题考查离散型随机变量的方差，求解时注意概率和为1和等差中项性质的运用.
10．某射手射击一次所得环数X的分布列如下表：
X 7 8 9 10
P 0.1 0.4 0.3 0.2
现该射手进行两次射击，以两次射击中所得最高环数作为他的成绩，记为，则______.
【答案】9.1
【分析】由题意可得X的取值范围为，然后结合X的分布列求出对应的概率，从而可求出的分布列，进而可求得
【详解】X的取值范围为，且
，
，
，
.
所以分布列为
7 8 9 10
P 0.01 0.24 0.39 0.36
.
故答案为：9.1
四、解答题
11．已知随机变量X的分布列为：
X 1 2 3 4 5
P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1
（1）求；
（2）求．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据期望的公式求出即可．
（2）根据期望的性质计算可得；
【详解】解：（1）依题意可得
（2）
12．某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如下：
测试指标
芯片甲件数 8 12 40 32 8
芯片乙件数 7 18 40 29 6
（1）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；
（2）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在第（1）问的前提下，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
①记为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量的分布列和数学期望；
②假设各件芯片是否合格相互独立，求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率．
【答案】（1），；（2）①分布列见解析；期望为66；②．
【分析】（1）根据概率及所给表格直接求解；
（2）（i）随机变量的所有取值为90，45，30，-15，求其对应的概率即可得出分布列及期望（ii）设生产的5件芯片乙中合格品件，则次品有件，求出n，计算概率即可求解.
【详解】（1）设芯片甲为合格品为事件，芯片乙为合格品为事件，
则，．
（2）（i）随机变量的所有取值为90，45，30，-15．
；；
；；
所以，随机变量的分布列为：
90 45 30 -15
的数学期望为．
（ii）设生产的5件芯片乙中合格品件，则次品有件
依题意，得，解得，．所以，或．
设“生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元”为事件，
则．
13．在中国足球超级联赛中，甲、乙两队将分别在城市，城市进行两场比赛. 根据两队之间的历史战绩统计，在城市比赛时，甲队胜乙队的概率为，平乙队的概率为；在城市比赛时，甲队胜乙队的概率为，平乙队的概率为，两场比赛结果互不影响. 规定每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分.
（1）求两场比赛甲队恰好负一场的概率；
（2）求两场比赛甲队得分的分布列.
【答案】（1）；（2）分布列见解析.
【分析】(1) 甲队在城市比赛负、在城市比赛负的事件分别记为、，求出、，然后将甲队恰好负一场的事件用、表示即可作答；
(2)写出甲队得分为随机变量的可能值，再求出对应的概率，列出表格即得.
【详解】（1）设甲队在城市比赛负的事件为，甲队在城市比赛负的事件为，
由题意可知， ，
甲队恰好负一场的事件是与的和，它们互斥，
所以；
（2）由题意可知，随机变量的所有可能值是，
，，，
，，，
则的分布列为7.3离散型随机变量的数字特征专项练习解析版
一、单选题
1．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为（ ）
A．0 B． C．1 D．－1
2．随机变量的分布列是
-2 1 2
若，则（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
3．已知随机变量的取值为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．随机变量的分布列如表所示，若，则（ ）
0 1
A． B． C．5 D．7
5．随机变量的分布列如下：
-1 0 1
若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．已知，分别从集合，中各随机取一个数，，得到平面上一个点，事件“点恰好落在直线上”对应的随机变量为，，的数学期望和方差分别为，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．有两盒乒乓球，每盒3个球分别标记为2，3，4，其中一盒均未使用过，另一盒3个球都已使用过．现从两个盒子各任取1个球，设球的号码分别为，，若事件“点恰好落在直线上”对应的随机变量为，，的数学期望和方差分别为，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
8．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ=m)=,P(ξ=n)=a,若Eξ=2,则Dξ的最小值是_____.
9．随机变量的分布列如下表：
1 2 3
其中，，成等差数列，若，则______．
10．某射手射击一次所得环数X的分布列如下表：
X 7 8 9 10
P 0.1 0.4 0.3 0.2
现该射手进行两次射击，以两次射击中所得最高环数作为他的成绩，记为，则______.
四、解答题
11．已知随机变量X的分布列为：
X 1 2 3 4 5
P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1
（1）求；
（2）求．
12．某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如下：
测试指标
芯片甲件数 8 12 40 32 8
芯片乙件数 7 18 40 29 6
（1）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；
（2）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在第（1）问的前提下，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
①记为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量的分布列和数学期望；
②假设各件芯片是否合格相互独立，求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率．
13．在中国足球超级联赛中，甲、乙两队将分别在城市，城市进行两场比赛. 根据两队之间的历史战绩统计，在城市比赛时，甲队胜乙队的概率为，平乙队的概率为；在城市比赛时，甲队胜乙队的概率为，平乙队的概率为，两场比赛结果互不影响. 规定每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分.
（1）求两场比赛甲队恰好负一场的概率；
（2）求两场比赛甲队得分的分布列.
