7.2离散型随机变量及其分布列专项练习解析版
一、单选题
1．设是一个离散型随机变量，其分布列为
则等于（ ）A．1 B． C． D．
2．小明通过某次考试的概率是未通过的5倍，令随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知离散型随机变量的分布列如图，则常数为（ ）
0 1
A． B． C． 或 D．
4．随机变量的概率分布规律为其中是常数，则的值为
A． B． C． D．
5．随机变量的取值为，，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
6．甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为（ ）
A．
X 0 1 2
P 0.08 0.14 0.78
B．
X 0 1 2
P 0.06 0.24 0.70
C．
X 0 1 2
P 0.06 0.56 0.38
D．
X 0 1 2
P 0.06 0.38 0.56
7．随机变量的概率分布列规律为其中为常数，则的值为 .
A． B． C． D．
8．一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．(多选)设X是一个离散型随机变量，则下列不能成为X的概率分布列的一组数据是（ ）
A．0，，0，0， B．－0.2，0.2，－0.4，0.4
C．p，1－p(0≤p≤1) D．，，…，
10．设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P q 0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的有（ ）A． B． C． D．
11．某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率为，游览B，C和D的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X表示该游客游览的景点的个数，下列正确的是（ ）
A．游客至多游览一个景点的概率为 B．
C． D．
12．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的取值对应的概率正确的是（ ）．
A．P(ξ＝0)＝ B．P(ξ＝)＝
C．P(ξ＝1)＝ D．P(ξ＝)＝
三、填空题
13．已知X的分布列为
X －1 0 1
P a
设，则E(Y)的值为________
14．已知随机变量的概率分布如下表，且，则______．
0 1 2 3
P 0.1 m n 0.1
15．一次英语测验由50道选择题构成,每道题有4个选项,其中有且仅有一个是正确的,每个选对得3分,选错或不选均不得分,满分150.某学生选对每一道题的概率均为0.7,则该生在这次测验中的成绩的期望是__________
16．将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X，则X的分布列是________.
四、解答题
17．钱学森、华罗庚、李四光、袁隆平、钟南山分别是我国著名的物理学家、数学家、古生物学家、农学家、呼吸病学专家，他们在各自不同的领域为我国作出了卓越贡献.为调查中学生对这些著名科学家的了解程度，某调查小组随机抽取了某市的100名中学生，请他们列举这些科学家的成就，把能列举这些科学家成就不少于4项的称为“比较了解”，少于4项的称为“不太了解”.调查结果如下表：
0项 1项 2项 3项 4项 5项 5项以上
男生（人） 1 6 6 7 20 17 3
女生（人） 2 5 5 8 10 8 2
（1）完成如下列联表，并判断是否有的把握认为“中学生对这些科学家的了解程度与性别有关”；
比较了解 不太了解 合计
男生
女生
合计
（2）在抽取的100名中学生中，按照性别采用分层抽样的方法抽取一个10人的样本，从这个样本中随机抽取4人，记为这4人中女生的人数，求的分布列和数学期望.
附：
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
，.
18．2021年初，新冠肺炎疫情形势又加严峻.为减少疫情传播风险，各地就春节期间新冠肺炎疫情防控工作发出了温馨提示，比如：提倡在外工作的双峰籍人员就地过节、返双人员请提前3天向目的地所在村(社区)或单位报备、对来自国外、高风险地区等人员要及时上报疫情防控指挥部等等.某社区严格把控进入小区的人员，对所有进入的人员都要进行体温测量，为了测温更快捷方便，使用电子体温计测量体温，但使用电子体温计测量体温可能会产生误差；对同一人而言，如果用电子体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为电子体温计“测温准确”；否则，我们认为电子体温计“测温失误”.在进入社区的人中随机抽取了15人用两种体温计进行体温检测，数据如下：
序号 电子体温计 水银体温计 序号 电子体温计 水银体温计
测温（℃） 测温（℃） 测温（℃） 测温（℃）
01 37.0 36.8 9 36.3 36.6
02 36.3 36.3 10 36.7 36.7
03 36.5 36.7 11 37.0 37.0
04 36.5 36.5 12 35.8 35.5
05 36.9 36.6 13 35.2 35.3
06 36.4 36.4 14 36.8 36.9
07 36.2 36.2 15 35.9 36.1
08 36.3 36.4
（1）医学上通常认为，人的体温在不低于37.3℃且不高于38℃时处于“低热”状态，该社区某一天用电子体温计测温的结果显示，有3人的体温都是37.3℃，由表中的数据估计这3个人中至少有1人处于“低热”状态的概率；
（2）从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温，设随机变量X为使用智能体温计“测温准确”的人数，求X的分布列.
19．有两种理财产品和，投资这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）：
产品：
投资结果 获利 不赔不赚 亏损
概率
产品：
投资结果 获利 不赔不赚 亏损
概率
注：，
（1）若甲、乙两人分别选择了产品投资，一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求实数的取值范围；
（2）若丙要将20万元人民币投资其中一种产品，以一年后的投资收益的期望值为决策依据，则丙选择哪种产品投资较为理想.
20．已知正六棱锥的底面边长为2，高为1．现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量表示所得三角形的面积.
(1)求概率的值；
(2)求的分布列，并求其数学期望．
21．某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的的每个格点（指纵 横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量（单位：）与它的“相近”作物株数之间的关系如表所示：
1 2 3 4
51 48 45 42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.
(1)从三角形边界的12株作物和中间的3株作物各取一株，求它们恰好相近的概率.
(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列.
22．为了解某班学生喜欢数学是否与性别有关，对本班人进行了问卷调查得到了如下的列联表，已知在全部人中随机抽取人抽到喜欢数学的学生的概率为.
喜欢数学 不喜欢数学 合计
男生
女生
合计
（1）请将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）；
（2）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为喜欢数学与性别有关？说明你的理由；
（3）现从女生中抽取人进一步调查，设其中喜欢数学的女生人数为，求的分布列与期望.
下面的临界表供参考：
（参考公式：，其中）7.2离散型随机变量及其分布列专项练习解析版
一、单选题
1．设是一个离散型随机变量，其分布列为
则等于（ ）A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分布列的知识列方程来求得.
【详解】依题意，，
解得（大于，舍去）或.
故选：C
2．小明通过某次考试的概率是未通过的5倍，令随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据通过某次考试的概率是未通过的5倍，由求解.
【详解】因为通过某次考试的概率是未通过的5倍，
所以，
解得.
故选：C
【点睛】本题主要考查离散型随机变量的概率，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
3．已知离散型随机变量的分布列如图，则常数为（ ）
0 1
A． B． C． 或 D．
【答案】A
【分析】根据分布列的性质即得.
【详解】由随机变量的分布列知， ，
解得.
故选： .
4．随机变量的概率分布规律为其中是常数，则的值为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意，由所有概率的和为可得，
，故选.
5．随机变量的取值为，，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，，则由，，列出方程组，求出，，由此能求出．
【详解】设，，
①，
又，②
由①②得，，，
，
故选：B.
【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
6．甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为（ ）
A．
X 0 1 2
P 0.08 0.14 0.78
B．
X 0 1 2
P 0.06 0.24 0.70
C．
X 0 1 2
P 0.06 0.56 0.38
D．
X 0 1 2
P 0.06 0.38 0.56
【答案】D
【分析】列出X的可能取值，求出每个X对应的概率，即可求出分布列.
【详解】易知X的可能取值为0，1，2，，，，
故X的分布列为
X 0 1 2
P 0.06 0.38 0.56
故选：D.
7．随机变量的概率分布列规律为其中为常数，则的值为 .
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据所给的概率分步规律，写出四个变量对应的概率，根据分布列的性质，写出四个概率之和是1，解出的值，要求的变量的概率包括两个变量的概率，相加得到结果．
【详解】根据题意，由于，那么可知，时，则可得概率和为1，即.
∴
∴
故选D.
考点：离散型随机变量的分布列
点评：本题考查离散型随机变量的分布列的性质，考查互斥事件的概率，是一个基础题，这种题目考查的内容比较简单，但是它是高考知识点的一部分
8．一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据排列组合计算概率，即可根据互斥事件的概率加法公式求解.
【详解】由题意知可取，则表示
表示第一次取出的是红球，则，
表示第一次取出的是白球，第二次取的红球，则，
表示前两次取出的都是白球，第三次取的红球，则，
∴，
故选：D
二、多选题
9．(多选)设X是一个离散型随机变量，则下列不能成为X的概率分布列的一组数据是（ ）
A．0，，0，0， B．－0.2，0.2，－0.4，0.4
C．p，1－p(0≤p≤1) D．，，…，
【答案】BD
【分析】根据分布列的性质可知，所有的概率和等于1，且0≤P≤1.逐一判断选项即可.
【详解】根据分布列的性质可知，所有的概率和等于1，且0≤P≤1.
对于A：因为0++0+0+=1，且满足0≤P≤1，所以A选项能成为X的概率分布列的一组数据；
对于B：因为－0.2+0.2－0.4+0.4=0，且不满足0≤P≤1，所以B选项不能成为X的概率分布列的一组数据；
对于C：因为p+1－p=1，且满足0≤p≤1，故C选项能成为X的概率分布列的一组数据；
对于D：因为＋＋…＋＝1－＝，所以D选项不能作为随机变量的分布列的一组概率取值，
故选：BD.
10．设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P q 0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的有（ ）A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】先计算q的值，然后考虑、的值，最后再计算,的值,从而可得答案.
【详解】由题意有，得
所以
故选：AC
【点睛】随机变量的均值与方差的线性变化：若随机变量与随机变量满足，则，,属于基础题.
11．某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率为，游览B，C和D的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X表示该游客游览的景点的个数，下列正确的是（ ）
A．游客至多游览一个景点的概率为 B．
C． D．
【答案】BD
【分析】利用相互独立事件的概率公式和互斥事件的概率和来判断A；由题意得随机变量的可能取值，计算对应的概率值，求出数学期望，来判断BCD.
【详解】记该游客游览i个景点为事件，，
则，，
所以游客至多游览一个景点的概率为，故A错误；
随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4.
，，
，故B正确；
，，故C错误；
数学期望为，故D正确.
故选：BD
12．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的取值对应的概率正确的是（ ）．
A．P(ξ＝0)＝ B．P(ξ＝)＝
C．P(ξ＝1)＝ D．P(ξ＝)＝
【答案】ABC
【分析】根据题设，结合正方体的性质求两条棱相交、平行、异面的可能情况数，再写出对应ξ＝0、ξ＝1、ξ＝的情况数，应用古典概型的概率求法求它们的概率值即可.
【详解】由题设，ξ的可能取值为0，1，．
若两条棱相交，交点必在正方体的顶点处，过任意一个顶点的棱有3条，则P(ξ＝0)＝＝，
若两条棱平行，它们的距离为1或，而距离为的共有6对，
∴P(ξ＝)＝＝，故P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝，
ξ分布列如下：
ξ 0 1
P
故选：ABC
三、填空题
13．已知X的分布列为
X －1 0 1
P a
设，则E(Y)的值为________
【答案】
【分析】先利用频率之和为求出的值，利用分布列求出，然后利用数学期望的性质得出可得出答案．
【详解】由随机分布列的性质可得，得，
，因此，.
故答案为.
【点睛】本题考查随机分布列的性质、以及数学期望的计算与性质，灵活利用这些性质和相关公式是解题的关键，属于基础题．
14．已知随机变量的概率分布如下表，且，则______．
0 1 2 3
P 0.1 m n 0.1
【答案】0.2##
【分析】根据离散型随机变量及其分布列的概率和为1，得到，然后与联立求得，的值求解.
【详解】由离散型随机变量分布列的性质以及已知条件得，解得，因此．
故答案为：0.2.
15．一次英语测验由50道选择题构成,每道题有4个选项,其中有且仅有一个是正确的,每个选对得3分,选错或不选均不得分,满分150.某学生选对每一道题的概率均为0.7,则该生在这次测验中的成绩的期望是__________
【答案】105.
【详解】分析：先判断概率分别为二项分布，再根据二项分布期望公式求结果.
详解：因为，所以
点睛：
16．将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X，则X的分布列是________.
【答案】
X 1 2 3
P
【分析】将3个小球任意地放入4个玻璃杯中，杯子中球的个数最多为3个，那么对于各种情况下的概率值进行计算得到分布列．
【详解】由题意知X的可能取值为1，2，3
； ；
故答案为：
X 1 2 3
P
四、解答题
17．钱学森、华罗庚、李四光、袁隆平、钟南山分别是我国著名的物理学家、数学家、古生物学家、农学家、呼吸病学专家，他们在各自不同的领域为我国作出了卓越贡献.为调查中学生对这些著名科学家的了解程度，某调查小组随机抽取了某市的100名中学生，请他们列举这些科学家的成就，把能列举这些科学家成就不少于4项的称为“比较了解”，少于4项的称为“不太了解”.调查结果如下表：
0项 1项 2项 3项 4项 5项 5项以上
男生（人） 1 6 6 7 20 17 3
女生（人） 2 5 5 8 10 8 2
（1）完成如下列联表，并判断是否有的把握认为“中学生对这些科学家的了解程度与性别有关”；
比较了解 不太了解 合计
男生
女生
合计
（2）在抽取的100名中学生中，按照性别采用分层抽样的方法抽取一个10人的样本，从这个样本中随机抽取4人，记为这4人中女生的人数，求的分布列和数学期望.
附：
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
，.
【答案】（1）列联表见解析，没有的把握认为“中学生对这些科学家的了解程度与性别有关”；（2）分布列见解析，1.6.
【分析】（1）依题意填写的列联表，根据公式求出，然后判断是否有的把握认为“中学生对这些科学家的了解程度与性别有关”．
（2）求出抽取的女生人数，男生人数，可知的可能取值为0，1，2，3，4，求出概率，得到的分布列，然后求数学期望 ．
【详解】（1）依题意填写的列联表如下：
比较了解 不太了解 合计
男生 40 20 60
女生 20 20 40
合计 60 40 100
，
没有的把握认为“中学生对这些科学家的了解程度与性别有关”.
（2）抽取的女生人数为（人），男生人数为（人）.
所以X的可能取值为，
则
.
因此X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
数学期望为.
【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列以及期望的求法，独立检验的应用，属于基础题．
18．2021年初，新冠肺炎疫情形势又加严峻.为减少疫情传播风险，各地就春节期间新冠肺炎疫情防控工作发出了温馨提示，比如：提倡在外工作的双峰籍人员就地过节、返双人员请提前3天向目的地所在村(社区)或单位报备、对来自国外、高风险地区等人员要及时上报疫情防控指挥部等等.某社区严格把控进入小区的人员，对所有进入的人员都要进行体温测量，为了测温更快捷方便，使用电子体温计测量体温，但使用电子体温计测量体温可能会产生误差；对同一人而言，如果用电子体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为电子体温计“测温准确”；否则，我们认为电子体温计“测温失误”.在进入社区的人中随机抽取了15人用两种体温计进行体温检测，数据如下：
序号 电子体温计 水银体温计 序号 电子体温计 水银体温计
测温（℃） 测温（℃） 测温（℃） 测温（℃）
01 37.0 36.8 9 36.3 36.6
02 36.3 36.3 10 36.7 36.7
03 36.5 36.7 11 37.0 37.0
04 36.5 36.5 12 35.8 35.5
05 36.9 36.6 13 35.2 35.3
06 36.4 36.4 14 36.8 36.9
07 36.2 36.2 15 35.9 36.1
08 36.3 36.4
（1）医学上通常认为，人的体温在不低于37.3℃且不高于38℃时处于“低热”状态，该社区某一天用电子体温计测温的结果显示，有3人的体温都是37.3℃，由表中的数据估计这3个人中至少有1人处于“低热”状态的概率；
（2）从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温，设随机变量X为使用智能体温计“测温准确”的人数，求X的分布列.
【答案】（1）；（2）分布列见解析.
【分析】(1)由数表信息得出处于“低热”状态的频率而估计其概率，再由对立事件概率公式求解即得；
(2)先计算出“测温准确”的概率，写出随机变量X的可能取值，再求出各个取值的概率即得.
【详解】（1）设这3人中至少有1人处于“低热”状态的事件为A，其对立事件为3人都处于“低热”状态，
由表中15人的体温数据知，用电子体温计的测温结果高于其真实体温的序号为01，05，12，共计3种情况，
从社区任意抽查1人，用电子体温计的测温结果高于其真实体温的频率为，
由此估计从社区任意抽查1人，用电子体温计的测温结果高于其真实体温的概率也为，
所以这3人中至少有1人处于“低热”状态的概率为：；
（2）随机变量X的所有可能取值为，
由表中数据可知，用电子体温计与水银体温计测温结果相同的序号是：02，04，06，07，10，11，共有6种情况，
所以用电子体温计测量该社区1人“测温准确”的频率为，估计其概率为，
所以，，
，，
故X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
19．有两种理财产品和，投资这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）：
产品：
投资结果 获利 不赔不赚 亏损
概率
产品：
投资结果 获利 不赔不赚 亏损
概率
注：，
（1）若甲、乙两人分别选择了产品投资，一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求实数的取值范围；
（2）若丙要将20万元人民币投资其中一种产品，以一年后的投资收益的期望值为决策依据，则丙选择哪种产品投资较为理想.
【答案】(1) (2)见解析
【分析】（1）记事件为“甲选择产品投资且获利”，记事件为“乙选择产品投资且获利”，记事件为“一年后甲、乙两人至少有一人投资获利”，根据题意得到，，由，以及，即可求出结果；
（2）假设丙选择产品投资，且记为获利金额，根据题中条件，得到期望；假设丙选择产品投资，且记为获利金额，由题中条件，得到期望，分情况讨论，比较大小，即可得出结果.
【详解】（1）记事件为“甲选择产品投资且获利”，记事件为“乙选择产品投资且获利”，记事件为“一年后甲、乙两人至少有一人投资获利”
则，，，
∴
又，且，
∴；
（2）假设丙选择产品投资，且记为获利金额（单位：万元），则的分布列为：
投资结果 10 0
概率
∴
假设丙选择产品投资，且记为获利金额（单位：万元），则的分布列为：
投资结果 8 0
概率
∴当时，，丙可在产品和产品中任选一个投资；
当时，，丙应选产品投资；
当时，，丙应选产品投资.
【点睛】本题主要考查概率的计算，以及离散型随机变量的期望，熟记对立事件的概率计算公式，以及离散型随机变量期望的概念即可，属于常考题型.
20．已知正六棱锥的底面边长为2，高为1．现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量表示所得三角形的面积.
(1)求概率的值；
(2)求的分布列，并求其数学期望．
【答案】(1) .
(2)分布列见解析，.
【详解】分析：（1）从个顶点中随机选取个点构成三角形，共有种取法，其中面积的三角形有个，由古典概型概率公式可得结果；(2)的可能取值，根据古典概型概率公式可求得随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得其数学期望．
详解：（1）从个顶点中随机选取个点构成三角形，
共有种取法，其中的三角形如，
这类三角形共有个
因此.
（2）由题意，的可能取值为
其中的三角形如，这类三角形共有个；
其中的三角形有两类，，如（个），（个），共有个；
其中的三角形如，这类三角形共有个；
其中的三角形如，这类三角形共有个；
其中的三角形如，这类三角形共有个；
因此
所以随机变量的概率分布列为：
所求数学期望
.
点睛：在解古典概型概率题时，首先把所求样本空间中基本事件的总数，其次所求概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率；求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算．注意在求离散型随机变量的分布列时不要忽视概率分布列性质的应用，对实际的含义要正确理解.
21．某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的的每个格点（指纵 横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量（单位：）与它的“相近”作物株数之间的关系如表所示：
1 2 3 4
51 48 45 42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.
(1)从三角形边界的12株作物和中间的3株作物各取一株，求它们恰好相近的概率.
(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列.
【答案】(1)；
(2)详见解析.
【分析】（1）由组合知识得出内部和边界上分别随机选取一株的不同结果种数，再得出选取的两株作物恰好“相近”的不同结果种数，进而得出所求概率；
（2）根据“相近”作物的定义确定年收获量对应的概率，进而得出分布列.
【详解】（1）所种作物总株数，
其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.
从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有(种)，
选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有（种）．
故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为.
（2）因为，
，
所以只需求出即可．
记为其“相近”作物恰有k株的作物株数，则
由，得
，
故所求Y的分布列为
Y 51 48 45 42
P
22．为了解某班学生喜欢数学是否与性别有关，对本班人进行了问卷调查得到了如下的列联表，已知在全部人中随机抽取人抽到喜欢数学的学生的概率为.
喜欢数学 不喜欢数学 合计
男生
女生
合计
（1）请将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）；
（2）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为喜欢数学与性别有关？说明你的理由；
（3）现从女生中抽取人进一步调查，设其中喜欢数学的女生人数为，求的分布列与期望.
下面的临界表供参考：
（参考公式：，其中）
【答案】（1）列联表见解析；（2）能，理由见解析；（3）分布列见解析，.
【分析】（1）由题意可知，全部人中喜欢数学的学生人数为，据此可完善列联表；
（2）根据列联表中的数据计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；
（3）由题意可知，随机变量的可能取值有、、，利用超几何分布可得出随机变量的概率分布列，并由此可计算出随机变量的数学期望值.
【详解】（1）列联表补充如下：
喜欢数学 不喜欢数学 合计
男生
女生
合计
（2），
在犯错误的概率不超过的前提下，认为喜欢数学与性别有关；
（3）喜欢数学的女生人数的可能取值为、、，
其概率分别为，，
，
故随机变量的分布列为：
的期望值为.
【点睛】本题考查利用独立性检验解决实际问题，同时也考查了离散型随机变量分布列及其数学期望的计算，涉及超几何分布的应用，考查计算能力，属于中等题.
