浙江省金华市浦江县2022-2023学年高一下学期3月评估检测数学试题（含解析）

浦江县2022-2023学年高一下学期3月评估检测
数学试卷
考试时间：120分钟 出题 分值：150分
一、单选题（每题5分）
1. 已知集合则为
A. B. C. D.
2. “”是“函数的最小值大于4”的（ ）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 关于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 最小值为0
B. 函数为奇函数
C. 函数是周期为周期函数
D. 函数在区间上单调递减
4. 函数在上的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知a>0，b>0，a+3b﹣ab=0，若不等式m≤a+3b﹣1恒成立，则m的最大值为（ ）
A. 11 B. 15 C. 26 D. 3﹣1
7. 已知幂函数是偶函数，则函数恒过定点
A. B. C. D.
8. 已知函数，则不等式的解集是
A. B.
C. D.
二、多选题（每题5分，多选错选不给分，少选给2分）
9. (多选)下列函数，值域为的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列四个不等式中，解集为是（　　）
A. B.
C D.
11. 关于函数，则下列说法中正确的是（ ）
A. 的最大值为
B. 的最小正周期为
C. 的图象关于直线对称
D. 在上单调递增
12. 在边长为1的正方形ABCD中，M为边BC的中点，点E在线段AB上运动，则的值可以是（ ）
A B. 1 C. D. 2
三、填空题（每题5分）
13. 已知的定义域为________________.
14. 若，且，则 ；
15. 已知，，，则的最小值为______.
16. 设是定义在区间上奇函数，且为单调函数，则的取值范围是______．
四、解答题（17题10分，18-22题每题12分）
17. 求下列函数的解析式.
（1）已知一次函数满足，求；
（2）已知，求.
18. 已知快递公司要从地往地送货，，两地距离为100km，按交通法规，，两地之间的公路车速x应限制在60~120km/h（含端点），假设汽车的油耗为元/时，司机的工资为70元/时（设汽车为匀速行驶），若燃油费用与司机工资都由快递公司承担，
（1）试建立行车总费用元关于车速的函数关系：
（2）若不考虑其他费用，以多少车速行驶，快递公司所要支付的总费用最少 最少费用为多少
[2022江苏省泰州中学高一测试]
19 已知向量.
（1）求向量的模的最大值;
（2）设，且，求的值.
20. 若f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x，y>0，满足．
(1)求f(1)的值；
(2)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f()<2.
21. 如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是等腰梯形，，点满足，点在线段上运动（包括端点）.
（1）求的余弦值；
（2）是否存在实数，使，若存在，求出满足条件的实数的取值范围，若不存在，请说明理由.
22. 已知函数的图象过点．
（1）求k的值并求函数的值域；
（2）若函数，则是否存在实数a，对任意，存在使成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
浦江县2022-2023学年高一下学期3月评估检测
数学试卷 答案解析
考试时间：120分钟 出题 分值：150分
一、单选题（每题5分）
1. 已知集合则为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】由题，先分别求得集合A、B，再求其交集即可.
【详解】由题，因为集合
集合
所以为
故选C
【点睛】本题考查的集合的交集，属于基础题.
2. “”是“函数的最小值大于4”的（ ）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可．
【详解】解：若，则的最小值为；
若的最小值大于4，则，且，则，
故选：C．
3. 关于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 最小值为0
B. 函数为奇函数
C. 函数是周期为周期函数
D. 函数在区间上单调递减
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦函数的图像与性质依次判断4个选项即可.
【详解】最小值为-2，A错误；是偶函数，B错误；不是周期函数，C错误；在上单调递增，故在上单调递增，又因为它是偶函数，所以在区间上单调递减，D正确.
故选：D.
4. 函数在上的图像大致为（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出的奇偶性、的符号，利用排除法可选出答案.
【详解】因为，
所以是奇函数，可排除BD，
因为，所以可排除C，
故选：A
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式将化为，再利用二倍角的余弦公式即可求得答案.
【详解】因为，
故
，
故选：B
6. 已知a>0，b>0，a+3b﹣ab=0，若不等式m≤a+3b﹣1恒成立，则m的最大值为（ ）
A. 11 B. 15 C. 26 D. 3﹣1
【答案】A
【解析】
【分析】将用表示，代入，变形后利用基本不等式求出最小值，利用恒成立求出的范围，可得结果.
【详解】由得，因为，所以，所以，
所以
，当且仅当时，等号成立，
所以，所以的最大值为.
故选：A
7. 已知幂函数是偶函数，则函数恒过定点
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂函数和偶函数定义可得的值，进而可求得过的定点.
【详解】因为是幂函数，
所以得或，
又是偶函数，
所以，
函数恒过定点.
故选：.
【点睛】本题主要考查的是幂函数和偶函数的定义，以及对数函数性质的应用，是基础题.
8. 已知函数，则不等式的解集是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合分段函数解析式，分类讨论当时，当时，求解不等式的解集即可.
【详解】解：当时，则，又，则，
即，即，
当时，则，又，则，
即，即，即，
综上可得不等式的解集是，
故选D.
【点睛】本题考查了与分段函数有关的不等式求解问题，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.
二、多选题（每题5分，多选错选不给分，少选给2分）
9. (多选)下列函数，值域为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】对每个选项进行值域判断即可.
【详解】解：A选项，函数的值域为，正确；
B选项，函数的值域为，错误；
C选项，函数的值域为，正确；
D选项，函数的值域为，错误.
故选：AC.
10. 下列四个不等式中，解集为是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据题意，找到不等式对应的一元二次函数函数，再利用判别式判断其解集是否为空集即可.
详解】对于A，对应函数开口向下，
，则解集不为；
对于B，，对应的函数开口向上，
，其解集为；
对于C，，对应的函数开口向上，
，其解集为；
对于D，对应的函数开口向下，其解集为；
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：掌握一元二次不等式的解集与一元二次函数的性质之间的关系是解题的关键.
11. 关于函数，则下列说法中正确的是（ ）
A. 的最大值为
B. 的最小正周期为
C. 的图象关于直线对称
D. 在上单调递增
【答案】ACD
【解析】
【分析】计算得到是的一个周期，B错误，时，，计算最值得到A正确，得到C正确，计算单调性得到D正确，得到答案.
【详解】因为
所以是的一个周期，故B错误；
当时，，所以当时，，故A正确；
因为
所以的图象关于直线对称，故C正确；
当时，，
因为，所以在上单调递增，故D正确．
故选：ACD.
12. 在边长为1的正方形ABCD中，M为边BC的中点，点E在线段AB上运动，则的值可以是（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】BC
【解析】
【分析】以为坐标原点建立直角坐标，设，写出的坐标，求出，再结合的取值范围和二次函数的性质可求出的范围，从而可得答案
【详解】以为坐标原点建立直角坐标，如图所示，设（），
因为正方形的边长为1，M为边BC的中点，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以，
故选：BC
三、填空题（每题5分）
13. 已知的定义域为________________.
【答案】.
【解析】
【分析】根据对数函数的真数大于可得，解不等式即可得解.
【详解】由，可得，
故定义域为，
故答案为：.
14. 若，且，则 ；
【答案】
【解析】
【详解】因为，且，则，
所以．
15. 已知，，，则的最小值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】把常数用参数代换，即分子中，，然后利用基本不等式求最小值．
【详解】因为，，，
所以
，当且仅当，即，时等号成立．
故答案：．
16. 设是定义在区间上的奇函数，且为单调函数，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意结合奇函数的性质可得，由函数单调性可得，求得函数的定义域后即可得，再由指数函数的性质即可得解.
【详解】是定义在区间上的奇函数，
，即，
得，
又为单调函数，，，
令即，则，
，
．
故答案为：.
【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的图象与性质的应用，考查了函数奇偶性的应用，属于中档题.
四、解答题（17题10分，18-22题每题12分）
17. 求下列函数的解析式.
（1）已知一次函数满足，求；
（2）已知，求.
【答案】（1）或（2）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法，可得结果.
（2）利用换元法，可得结果.
【详解】解:（1）设，
则
解得或
或
设，则，
即
【点睛】本题考查函数解析式的求法，对这种题型，要熟悉常用的方法，比如：待定系数法，换元法，方程组法等，属基础题.
18. 已知快递公司要从地往地送货，，两地的距离为100km，按交通法规，，两地之间的公路车速x应限制在60~120km/h（含端点），假设汽车的油耗为元/时，司机的工资为70元/时（设汽车为匀速行驶），若燃油费用与司机工资都由快递公司承担，
（1）试建立行车总费用元关于车速的函数关系：
（2）若不考虑其他费用，以多少车速行驶，快递公司所要支付的总费用最少 最少费用为多少
【答案】（1），；（2）以80km/h车速行驶，快递公司所要支付的总费用最少，最少费用为280元.
【解析】
【分析】
（1）依题意设车速为，即可得到函数解析式；
（2）利用基本不等式求最值，即可得解．
【详解】解：（1）设车速为，则时间为，
依题意可得，；
（2），
当且仅当，即时取等号，
所以以80km/h车速行驶，快递公司所要支付的总费用最少，最少费用为280元.
【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
[2022江苏省泰州中学高一测试]
19. 已知向量.
（1）求向量的模的最大值;
（2）设，且，求的值.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）求出的坐标，然后求出模，利用余弦函数的性质求最值；
（2）代入，然后根据得到，求出，进而可得.
【小问1详解】
由已知得，
，
当时，向量的模取最大值，且最大值为；
【小问2详解】
当时，，
，
，
或，
或，
或.
20. 若f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x，y>0，满足．
(1)求f(1)的值；
(2)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f()<2.
【答案】（1）0 ； （2） .
【解析】
【分析】（1）利用题中所给的条件，对自变量赋值，求得f(1)＝0；
（2）根据题中所给的条件，将待解的不等式转化为，之后结合函数的定义域以及其单调性，求得结果.
【详解】(1)在 中，令x＝y＝1，则有f(1)+f(1)=f(1)，∴f(1)＝0.
(2)∵f(6)＝1，∴f(x＋3)－f()<2＝f(6)＋f(6),∴f(3x＋9)－f(6)即 ．∵f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，
∴解得－3【点睛】该题考查的是有关抽象函数求函数值以及利用其单调性，解有关不等式的问题，在解题的过程中，注意对赋值法的应用，以及充分利用题的条件，将不等式转化，时刻关注函数的 定义域.
21. 如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是等腰梯形，，点满足，点在线段上运动（包括端点）.
（1）求的余弦值；
（2）是否存在实数，使，若存在，求出满足条件的实数的取值范围，若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）．
【解析】
【分析】（1）由题意求得 ，再根据
，运算即求得结果；
（2）设，其中，由 ，得 ，可得．再根据，求得实数λ的取值范围：．
【详解】（1）由题意可得，，
故；
（2）设，其中，
，
若 ，则 ，
即，可得，
若，则不存在，
若，则，
故.
考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；数量积表示两个向量的夹角．
22. 已知函数的图象过点．
（1）求k的值并求函数的值域；
（2）若函数，则是否存在实数a，对任意，存在使成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）； （2）存在，或
【解析】
【分析】
（1）因为函数的图象过点，把点代入由即可求解.
（2）对任意，存在使成立，
则，由单调递增，求出，令 ，则 ，即或者恒成立在上，分离参数即可求解.
【详解】（1）因为函数的图象过点，
所以，即，所以，
所以，因为单调递增，所以单调递增，
因为，所以，
所以函数的值域为.
（2）由题意对任意，存在使成立，
则，由（1）知，当时，单调递增，
所以，
又 ，
令 ，则 ，
所以，恒成立，
所以或者恒成立在上，
即或者
令，则在上单调递增，所以
所以，即
令，函数在单调递减，在单调递增，
，
所以
所以
即
综上所述，存在或，对任意，存在使成立.
【点睛】本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．