江西省南昌市铁路第一中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题（含解析）

江西省南昌市铁路第一中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知角，则角α的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．与终边相同的最小正角是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知sin（）=，则（）的值等于
A． B． C． D．
4．，，的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知角α的终边上有一点，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数是定义在R上的奇函数，，则（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
7．函数y=sin2x的图象可能是
A． B．
C． D．
8．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何 ”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中与弦围成的弓形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．以下函数中，最小正周期不是的是（ ）
A． B．
C． D．
10．将函数的图象先纵坐标不变，横坐标缩短为到原来的，然后向左平移个单位长度得到函数图象，则（ ）
A．是函数的一个解析式
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．函数是周期为π的奇函数
D．函数的递减区间为
11．在锐角△ABC中，下列等式不恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
12．关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|的叙述正确的是（ ）
A．f(x)是偶函数` B．f(x)在区间单调递增
C．f(x)在[－π，π]有4个零点 D．f(x)的最大值为2
三、填空题
13．若，则该函数定义域为_____________．
14．用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角的集合是__________．
15．已知函数，点A，B，C是它们图象相邻的三个交点，且ABC是正三角形，则正数ω的值为_____________．
16．关于函数有如下四个命题：
①的图象关于y轴对称；
②的图象关于原点对称；
③；
④若，则．
其中所有真命题的序号是_____________．
四、解答题
17．计算下列两个小题
(1)计算；
(2)已知角终边上有一点，求的值．
18．已知函数．
(1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象；
(2)求在区间上的最大值和最小值；
(3)写出的单调递增区间．
19．已知函数的图像相邻对称轴之间的距离是，若将的图像向右移个单位，所得函数为奇函数．
(1)求的解析式：
(2)若函数的零点为，求.
20．已知函数，．
(1)求函数的零点；
(2)求不等式的解集．
21．人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间两个点，，曼哈顿距离.
余弦相似度：.
余弦距离：.
(1)若，，求A，B之间的和余弦距离；
(2)已知，，，若，，求的值.
22．函数的部分图像如图所示.
（1）求的解析式；
（2）若，，求的取值范围；
（3）求实数和正整数，使得函数在上恰有2021个零点.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】利用即可得知结果.
【详解】因为，所以α终边在第二象限.
故选：B
2．C
【分析】求出与角终边相同的角，进而可得最小正角.
【详解】与角终边相同的角为，
当时，取最小正角，为
故选：C.
3．B
【详解】解：因为sin（）=，则（）= sin（）=，选B
4．B
【分析】利用正弦函数的单调性即可判断大小.
【详解】由正弦函数的单调性可知：在上单调递增，又易知，所以.
故选：B
5．D
【分析】利用三角函数的坐标定义求出，再利用诱导公式化简已知得解.
【详解】因为角α的终边上有一点，
所以，
，
所以.
故选：D
6．B
【分析】由函数的奇偶性与周期性求解即可
【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，
所以，，
又，
所以，
故，
所以函数的周期为4，
所以，
故选：B
7．D
【详解】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.
详解：令，
因为，所以为奇函数，排除选项A,B;
因为时，，所以排除选项C，选D.
点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．
8．B
【分析】设圆的半径为，利用勾股定理求出，再根据扇形的面积及三角形面积公式计算可得；
【详解】解：设圆的半径为，则，，
由勾股定理可得，即，
解得，所以，，
所以，因此.
故选：B
9．AB
【分析】求出每一个选项的函数的最小正周期即得解.
【详解】A. 的最小正周期为；
B. 的最小正周期为；
C. 的最小正周期为；
D. 的最小正周期为.
故选：AB
10．BD
【分析】先求出的解析式，再对四个选项一一验证：对于A：直接利用解析式验证；对于B：直接求出对称轴方程进行验证；对于C：利用奇函数的定义进行否定；对于D：直接求出函数的递减区间.
【详解】由函数的图象先纵坐标不变，横坐标缩短为到原来的，得，
再由函数的图象向左平移个单位长度得到函数图象，
所以.
对于A：，故A错误；
对于B：，要求的对称轴，只需令，
则，当k=1时，解得：，
所以直线是函数图象的一条对称轴，故B正确；
对于C：，故，
所以函数不是奇函数，故C错误；
对于D：要求函数的递减区间，只需，
解得：，即函数的递减区间为，故D正确.
故选：BD
11．BC
【分析】由诱导公式可判断ABC，由诱导公式结合正弦函数的单调性可判断D
【详解】对于A：，故A成立；
对于B：，故B不成立；
对于C：，故C不成立；
对于D：因为锐角△ABC中，为锐角且，
所以，所以，故D成立；
故选：BC
12．AD
【分析】根据函数的奇偶性、单调性、零点、最值对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】A.∵f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)是偶函数，故A正确；
B.当时，f(x)＝sin|x|＋|sin x|＝2sin x，f(x)在单调递减，故B错误；
C.当x∈[0，π]时，令f(x)＝sin|x|＋|sin x|＝2sin x＝0，得x＝0或x＝π，又f(x)在[－π，π]上为偶函数，
∴f(x)＝0在[－π，π]上的根为－π，0，π，有3个零点，故C错误；
D.∵sin|x|≤1，|sin x|≤1，当或时两等号同时成立，
∴f(x)的最大值为2，故D正确．
故选：AD
13．
【分析】解不等式即得解.
【详解】由题得.
所以函数的定义域为.
故答案为：
14．
【分析】确定以边界为终边的角，即可得角的集合.
【详解】由题图，终边对应角为且，终边对应角为且，
所以阴影部分角的集合是.
故答案为：
15．##
【分析】作出函数，的图象，其中D为AC的中点，由，求得，再由求解.
【详解】解：在同一坐标系中，作出函数，的图象，如图所示：
其中D为AC的中点，
由，得，
则，，
又，
即，解得，
故答案为：
16．②③④
【分析】对于①②由函数的奇偶性求解即可；对于③④借助单元圆求解即可；
【详解】对于①②：的定义域为，关于原点对称，
，
所以是奇函数，的图象关于原点对称，
故①错误，②正确；
对于③：设弧度角所在终边与单位圆的交点为，则，
由三角形性质可知，所以，故③正确；
对于④：如图，在单位圆中设的终边为，的终边为，，
则有，即，
所以，故④正确；
故答案为：②③④
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式直接化简求解即可；
（2）先利用三角函数的定义求，再利用诱导公式代入求解即可.
【详解】（1）
（2）因为角终边上有一点，
所以，，，
所以.
18．(1)见解析
(2)最大值为1，最小值为
(3)
【分析】（1）利用列表、描点、连线法画出在一个周期上的图象；
（2）利用正弦函数的性质求出在上的最大、最小值；
（3）根据正弦函数的性质结合整体思想即可得出答案．
【详解】（1）解：列表如下：
作出函数图象如图所示：
（2）解：因为，所以，
当，即时，
最大值等于1，即的最大值等于1，
当，即时，
最小值等于，即的最小值等于.；
所以在区间上的最大值为1，最小值为；
（3）解：令，得，
所以函数的单调递增区间为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）由题意利用正弦函数的图象和性质，函数的图象变换规律，求得的解析式．
（2）由题意利用诱导公式，求得要求式子的值．
【详解】（1）已知函数的图象相邻对称轴之间的距离是，，则，
若将的图象向右移个单位，所得函数为奇函数，
，，又，
故．
（2）由已知方程 的解为，即，
所以．
20．(1)
(2)
【分析】（1）将函数式转化为同名三角函数，解方程即可；
（2）化简不等式后利用二一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】（1）因为
所以，即或（无解舍去）
所以：；
（2）由（1）知，所以，
即，，
则或（舍去）.
由余弦函数的图象与性质可得：，
所以不等式的解集为：
21．(1)，余弦距离等于
(2)
【分析】（1）根据曼哈顿距离的计算公式即可求得，利用余弦距离的公式可求得A，B之间的余弦距离；
（2）根据已知结合定义中所给公式可得,以及，两式整理即可求得答案.
【详解】（1），
，所以余弦距等于；
（2）由得
,
同理：由得，
故，
即，
则.
22．（1）；（2）；（3）答案不唯一，见解析．
【分析】（1）利用周期求出，再代入特殊点求出，即可求得函数解析式；（2）求出函数在上的值域，令，原不等式转化为恒成立，根据二次函数的图像与性质进行求解；（3）分或、或、或、四类情况讨论函数的图像与直线在的交点情况，再分析当的图像与直线在上恰有2021个交点时n应满足的条件.
【详解】（1）由图可得，即，解得，
函数过点，
∴，∴，解得，
又，∴，．
（2）∵，∴，∴，
令，则由题意得恒成立，
由二次函数图像可知只需，，解得．
（3）由题意可得的图像与直线在上恰有2021个交点．在上，，
①当或时，的图像与直线在上无交点．
②当或时，的图像与直线在仅有一个交点，
若此时的图像与直线在上恰有2021个交点，则．
③当或时，的图像与直线在恰有2个交点，
的图像与直线在上有偶数个交点，不可能有2021个交点．
④当时，的图像与直线在恰有3个交点，
此时，才能使的图像与直线在上有2021个交点．
综上可得，当或时，；当时，．
【点睛】本题考查根据函数图像确定三角函数解析式、余弦型函数的图像与性质、二次不等式恒成立问题、利用函数图像的交点研究函数零点问题，属于较难题.
答案第1页，共2页
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