宁夏回族自治区石嘴山市重点中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试题（含解析）

宁夏回族自治区石嘴山市重点中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设是虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则实数（ ）
A．5 B． C．3 D．
2．八卦是中国古老文化的深奥概念，其深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则（ ）
A． B． C． D．
3．平面向量，，若，则（ ）
A． B． C．1 D．4
4．已知，为单位向量，与的夹角等于，则在上的投影向量为（ ）
A．－3 B．3 C． D．
5．在中，角所对的边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，点在线段的延长线上，且，则的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．平行四边形ABCD中，，，，点是边的一个四等分点（靠近点），则的值是（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
8．冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想．某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊笔画都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用、、、、、等特殊角度下．为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求．该同学取端点绘制了，测得，，，，若点恰好在边上，请帮忙计算的值（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法中错误的是（ ）
A．单位向量都相等 B．对于任意向量，，必有
C．平行向量不一定是共线向量 D．若，满足且与同向，则
10．如图，在直角梯形ABCD中，，，，是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
11．在中，角所对的边分别是，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则是等腰三角形
C．若，则是直角三角形
D．若的三边满足，则是锐角三角形
12．如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为．在的斜坐标系中，，，则下列结论中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量为
三、填空题
13．已知向量，．若，则______．
14．在中，角、、的对边分别为，，，已知，，，则______．
15．如图，在四边形ABCD中，，，，则______．
16．如图，菱形的边长为2，，为的中，若点为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为________.
四、解答题
17．已知 是同一平面内的三个向量，其中 为单位向量.
(Ⅰ)若/ / ，求 的坐标；
(Ⅱ)若 与 垂直，求与 的夹角.
18．已知，，.
（1）若，判断的形状，并给出证明；
（2）求实数的值，使得最小；
（3）若存在实数，使得，求、的值.
19．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上中点，点F在边CD上．
（1）若点F是CD上靠近C的三等分点，设，求λ+μ的值．
（2）若AB＝2，当1时，求DF的长．
20．在 ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知向量，且．
（Ⅰ） 求角A的大小；
（Ⅱ） 若a，，求 ABC的面积．
21．扬中三桥是扬中市区与金港大道快速通道的交通枢纽，毗邻姚桥高速公路入口和大港南站高铁站，也是镇江市区、新区等地联系的重要通道.为了解大桥跨度，小李、小丽、小张三位同学组建社会实践活动小组，通过测量得知：相距（百米），分别位于处的北偏西，南偏西方向上，分别位于处正西，西偏南方向上.根据下列提供的数据，在不使用计算器的基础上，选择合适解题方案，作答下列问题：
（1）计算两地之间的距离；
（2）大桥为保证行驶安全，限制最高时速不超过公里，若一辆汽车需要过桥，它通过之间的桥面刚好用时秒，判断该车是否超速.
22．对任意平面向量，将绕其起点沿逆时针方向旋转角后得到向量，则叫做把点且绕点沿逆时针方向旋转角得到点Q，已知平面内两点，．
(1)将点且绕点沿逆时针方向旋转后得到点Q，求点Q的坐标；
(2)已知向量，向量是向量在向量上的投影向量，若，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
试卷第4页，共5页
试卷第5页，共5页
参考答案：
1．A
【分析】根据已知结合复数的定义列式，即可解出答案.
【详解】复数的实部与虚部互为相反数，
，解得：，
故选：A.
2．B
【分析】利用相等向量和向量的减法直接求解.
【详解】．
故选：B
3．C
【分析】直接根据平面向量数量积的坐标表示，列出方程，即可求解．
【详解】
，解得，
故选：C．
4．D
【分析】根据投影向量的定义求解即可．
【详解】因为向量在向量上的投影为，
所以向量在向量上的投影向量为，
故选：D
5．C
【分析】三角形三内角和为，故可求角，利用正弦定理即可求.
【详解】因为，所以，
因为，所以．
故选：C.
6．D
【分析】由题可得，可得，即求．
【详解】点在线段的延长线上，且，
，即,
所以．
所以点P的坐标为.
故选：D.
7．B
【分析】根据向量加减法、数乘的几何意义有，应用数量积的运算律展开，即可求值.
【详解】由题设，得如下示意图，，，又，，
所以
.
故选：B
8．A
【分析】先根据三条边求出，利用平方关系得到，结合正弦定理可得.
【详解】由题意，在中，由余弦定理可得，
，
因为，所以，
在中，由正弦定理，
即，解得.
故选：A.
9．ACD
【分析】对于A：根据单位向量的概念即可判断；对于B：分类讨论向量的方向，根据三角形法则即可判断；对于C：根据共线向量的定义即可判断；对于D：根据向量不能比较大小即可判断.
【详解】对于A，单位向量模都为1，方向不一定相同，故A错误；
对于B，若方向相同，则，
若方向相反，则，
若不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边可知.
综上可知对于任意向量，必有，故B正确；
对于C，平行向量就是共线向量，故C错误；
对于D，两个向量不能比较大小，故D错误.
故选：ACD.
10．ABC
【分析】建立平面直角坐标系，得到点的坐标，利用坐标法计算可得.
【详解】如图建立平面直角坐标系，则，
对A，，正确；
对B，，，正确；
对C，，正确；
对D，，，错误.
故选：ABC.
11．AC
【分析】A选项结合是三角形内角范围，正弦函数的单调性，诱导公式说明；
B选项结合三角形内角的范围判断；
C选项将等式两端同时平方即可解决；
D选项用余弦定理可判断是锐角，无法得到其他信息，从而得到判断.
【详解】A选项，由于是三角形内角，可能的情形有，由于在上单调递增，由可知，还可能且，即，又，由诱导公式和在上单调递增，故，综上可知成立，A选项正确；
B选项，是三角形内角，故，，由可知，或，即或，则是等腰三角形或直角三角形，B选项错误；
C选项，等式两边同时平方可得，整理可得，即，是直角三角形，C选项正确；
D选项，根据余弦定理及，于是，由可知，，但无法确定另外两个角是否是锐角，故D选项错误.
故选：AC
12．BCD
【分析】根据题意写出，.然后根据向量的减法运算即可判断A项；根据数量积的运算律即可求出，判断B项；根据展开求解即可判断C项；根据在上的投影向量为求解，即可判断D项.
【详解】由题意得：，.
对于A项，，
由题意得：，故A正确；
对于B项，，故B项不正确；
对于C项，，
，故C不正确；
对于D项，在上的投影向量为：，
由C知，
又，
，故D不正确.
故选：BCD
13．##
【分析】利用向量共线的坐标运算即可求出结果.
【详解】因为向量，,又，
所以，得到
故答案为：.
14．
【分析】用余弦定理即可解得.
【详解】∵，，，由余弦定理得
，
∵，∴.
故答案为：.
15．
【分析】由向量数量积的运算律、加减法的几何意义可得，由题设易得，余弦定理求得，结合正弦边角关系有，进而求结果.
【详解】由，
又，知：△△，故，
而，故，
在△中，，
所以，则，
由题设及图知：△为等边三角形，故，则，
所以，则，
综上，.
故答案为：
16．9
【分析】设，利用基底表示出，根据数量积运算法则计算即可求解.
【详解】由向量的加法可知，
因为点为菱形内任意一点，
所以可设，
则
，
又点满足，
所以当时，取得最大值，
故答案为：9
17．（Ⅰ）或（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）设，根据向量的模和共线向量的条件，列出方程组，即可求解．
（Ⅱ）由，根据向量的运算求得，再利用向量的夹角公式，即可求解．
【详解】（Ⅰ）设由题则有
解得或，
．
（Ⅱ）由题
即，
．
【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，共线向量的条件及向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的基本概念和运算公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
18．（1）为直角三角形；（2）；（3）.
【分析】（1）根据已知点的坐标求出向量的坐标，然后利用向量数量积为0，即可证明；
（2）根据题意可得，再利用向量的模的运算以及二次函数求得最值；
（3）利用向量共线可得方程组，解得即可.
【详解】（1）当时，为直角三角形.证明如下：
当时，由，，，则，，
此时，即，即，
所以，为直角三角形.
（2）由题意，，，则，
所以，，当且仅当时取等号.
故当时，取得最小值为.
（3）由题意，，，因，
所以，解得.
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算及数量积运算，考查了向量共线，训练了利用配方法求函数的最值，属于基础题.
19．（1）；（2）．
【分析】（1）先转化得到，，再表示出，求出λ，μ，最后求λ+μ的值；
（2）先得到和，再建立方程求解λ，最后求DF的长.
【详解】（1）∵点E是BC边上中点，点F是CD上靠近C的三等分点，
∴，，
∴，
∴λ，μ，
故λ+μ.
（2）设λ，则λ，
又，0，
∴（） （λ）＝﹣λ24λ+2＝1，
故λ，
∴DF＝（1﹣λ）×2．
【点睛】本题考查利用向量的运算求参数，是基础题
20．（1）
（2）
【分析】（Ⅰ）根据，由，利用正弦定理求解；
（II）利用余弦定理得到，再利用三角形面积公式求解.
【详解】解：（Ⅰ）因为 ，
所以，
所以，
所以，
即，
因为，
所以，
所以；
（II）由余弦定理可得 ，
，
即，
所以 .
21．（1）1000；（2）未超速.
【分析】（1）在中，利用正弦定理计算可得；
（2）利用正弦定理求出，再利用余弦定理求出，即可求出平均速度，即可判断；
【详解】解：（1）如图在中，
，
由正弦定理得：，即，解得：；
（2）在中，
，即，解得：
在中，，
，所以，所以未超速.
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据定义求出的坐标，进而求得点Q的坐标；
（2）把问题转化为，根据的范围可求得的范围可得答案.
【详解】（1）因为，，所以，
所以，依据题设定义得，
所以，
设点Q的坐标为，则有，
从而，解得，
所以点；
（2）因为向量是向量在向量上的投影向量，
所以
， ，
则不等式恒成立，
可得，
恒成立，
因为，所以，
所以，
所以.
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