一元二次方程的概念[下学期]
图片预览
文档简介
第二十四章 一元二次方程与二次函数
一 一元二次方程
24．1 一元二次方程
教学目的：
1． 从实际中问题出发，引入概念；
2． 掌握一元二次方程的意义；
3． 掌握一元二次方程的一般式，能把方程整理成一元二次方程的标准式，并能说出各项名称及各项系数；
4． 理解方程的根的概念。
教学重点：
1． 能正确地把方程化成标准式；
2． 能根据一元二次方程的定义及方程的根的概念，确定方程中字母系数的值。
教学难点：
1． 一元二次方程的三要素；
2． 准确说出一元二次方程的各项及各项系数。
教学过程：
（1） 引入新课：
例1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ x + 10
解：设绿地的宽为x 米,那么长为(x+10)米
列出方程得： x(x＋10)＝900
x2 + 10x －900 = 0 x
例2、某校为绿化校园，在一块长20米、宽15米的长方形空地中央建造一个面积为150平方米的长方形花圃，要使四周留出一条宽相等的小路，怎样求小路的宽？
解：设小路宽为x 米 20m
列出方程得： (20 – 2x)(15 – 2x)＝150
化简得 2x2－35x +75 = 0 15m
由上面两个问题，我们可以得到两个方程：
x2 + 10x －900 = 0，2x2－35x +75 = 0
上述两个方程有什么共同特点？类比我们之前所学过的知识点，你能给它一个名字吗？
（2） 新课讲解：
1． 一元二次方程的概念：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.
一元：一个未知数；二次：最高次数是2； 整式方程是这个概念的三要素
2． 一元二次方程的一般形式：
任何关于x的一元二次方程，经过变形整理，都可化成ax2＋bx＋c＝0 (a、b、c是已知数，a≠0)的形式。这种形式叫做一元二次方程的一般式（或标准式）
其中，ax2叫做二次项，a叫做二次项的系数；bx叫做一次项，b叫做一次项的系数；c叫做常数项。
例：（1）x2 + 10x －900 = 0
x2叫做二次项，1叫做二次项的系数；10x叫做一次项，10叫做一次项的系数；– 900叫做常数项。
（2）2x2－35x +75 = 0
2x2叫做二次项，2叫做二次项的系数；– 35x叫做一次项，– 35叫做一次项的系数；75叫做常数项。
（3）3x2 – 2x =1
分析：先将一元二次方程化成标准式，然后再说明它的二次项，一次项，常数项等等。
3x2 – 2x =1化成标准式为3x2 – 2x – 1 = 0
3x2叫做二次项，3叫做二次项的系数；– 2x叫做一次项，– 2叫做一次项的系数；– 1叫做常数项。
3．一元二次方程的解：
先复习方程的解的定义：能够使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。只含有一个未知数的方程的解也叫方程的根
一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值就叫一元二次方程的解也叫做方程的根
（三）例题讲解：
请你判断：下列关于x的方程是一元二次方程的是：
分析：（1）（5）不是一元二次方程，理由它们不是整式方程；
（2）不是关于x的一元二次方程；
（6）化成一般式后不含有二次项，因此也不是一元二次方程；
（7）中二次项的系数不保证一定不为零，因此也不一定是一元二次方程。
解：（3）（4）是一元二次方程。
例题小结：
看一个方程是否是一元二次方程，只需先看是否是整式方程，如果分母或根号内有未知数则一定不是一元二次方程；其次看是不是只有一个未知数，最后把方程化成一般式，看是否未知数的最高次数是2。
请你尝试：将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）(x + 3)(3x – 4)=(x + 2)2
（2）2x2 = 2 – 3x
（3）
解：（1）3x2 – 4x + 9x – 12 = x2 + 4x + 4
2x2 + x – 16 = 0
方程化成一般式为2x2 + x – 16 = 0，其中二次项系数是2 ；一次项系数是1；常数项是 – 16
（2）方程化成一般式为2x2 + 3x – 2 = 0，其中二次项系数是2 ；一次项系数是3；常数项是 – 2
（3）
方程化成一般式为，其中二次项系数是 ；一次项系数是；常数项是
试一试：从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．
解：设竹竿的长为x尺，则门的宽 度为(x－4)尺，长为(x－2)尺，
依题意得：(x－4)2＋ (x－2)2＝ x2
可化为一般式为：x2－12 x ＋20 ＝ 0
（四）拓展
1． 方程（2a – 4）x2 – 2bx+a=0,
1）在什么条件下此方程为一元二次方程？
2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
解：（1） a=2 且 b ≠0 时是一元一次方程
（2） 当 2a – 4≠0，即a ≠2 时是一元二次方程
2．关于x的方程（2m2＋m－3)xm＋1＋5x＝13可能是一元二次方程吗？
解：当m = 2时，2m2＋m－3不等于零，所以当m = 2时原方程是一元二次方程。
3．已知关于x的一元二次方程 (m– 1)x2 + 3x – 5m + 4 = 0有一根为2，求m。
分析：一根为2即x = 2,只需把x = 2代入原方程。
解：把x = 2代入原方程，得 4m– 4 + 6 – 5m + 4 = 0
解得 m = 6
（五）学生练习：
1.当m= – 1 时，方程x2+(m+1)x+m+1=0有解x=0
3．
解： ∵ m， n是原方程的解
∴m2+2006m–2008=0， n2+2006n–2008=0
即m2+2006m=2008， n2+2006n=2008
∴(m2+2006m– 2007)( n2+2006n+2007)=4015
4． x = 1
x = – 1
x = 2
（六）小结：
1．一元二次方程的概念
注意三要素，一看分母，二化一般式，三看二次项系数
2．一元二次方程的一般式
注意二次项与二次项的系数的区别。
注意在写某一项时，应包括系数与未知数及其次数，常数项不要忘记符号.
3． 一元二次方程的根
注意保证二次项系数不为零。
（七）作业
1．A册/24.1
2．预习因式分解法解一元二次方程。
教学反思：
学生做一课一练P16/二时，其中有判断下列方程是否是一元二次方程
（1）学生认为当y是已知数时，就是关于x的一元一次方程。
当时有点懵，幸亏有学生说，如果y是已知数，那么应该写在x前面，而现在写在后面表示的一定是未知数，所以这个方程是二元方程，就不是一元二次方程。非常感谢这位学生替我解围，说明在概念的强调上要重视，这样一些与概念有关的题目学生就容易解决了，如一课一练P16/6有五个解。
150m2
一 一元二次方程
24．1 一元二次方程
教学目的：
1． 从实际中问题出发，引入概念；
2． 掌握一元二次方程的意义；
3． 掌握一元二次方程的一般式，能把方程整理成一元二次方程的标准式，并能说出各项名称及各项系数；
4． 理解方程的根的概念。
教学重点：
1． 能正确地把方程化成标准式；
2． 能根据一元二次方程的定义及方程的根的概念，确定方程中字母系数的值。
教学难点：
1． 一元二次方程的三要素；
2． 准确说出一元二次方程的各项及各项系数。
教学过程：
（1） 引入新课：
例1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ x + 10
解：设绿地的宽为x 米,那么长为(x+10)米
列出方程得： x(x＋10)＝900
x2 + 10x －900 = 0 x
例2、某校为绿化校园，在一块长20米、宽15米的长方形空地中央建造一个面积为150平方米的长方形花圃，要使四周留出一条宽相等的小路，怎样求小路的宽？
解：设小路宽为x 米 20m
列出方程得： (20 – 2x)(15 – 2x)＝150
化简得 2x2－35x +75 = 0 15m
由上面两个问题，我们可以得到两个方程：
x2 + 10x －900 = 0，2x2－35x +75 = 0
上述两个方程有什么共同特点？类比我们之前所学过的知识点，你能给它一个名字吗？
（2） 新课讲解：
1． 一元二次方程的概念：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.
一元：一个未知数；二次：最高次数是2； 整式方程是这个概念的三要素
2． 一元二次方程的一般形式：
任何关于x的一元二次方程，经过变形整理，都可化成ax2＋bx＋c＝0 (a、b、c是已知数，a≠0)的形式。这种形式叫做一元二次方程的一般式（或标准式）
其中，ax2叫做二次项，a叫做二次项的系数；bx叫做一次项，b叫做一次项的系数；c叫做常数项。
例：（1）x2 + 10x －900 = 0
x2叫做二次项，1叫做二次项的系数；10x叫做一次项，10叫做一次项的系数；– 900叫做常数项。
（2）2x2－35x +75 = 0
2x2叫做二次项，2叫做二次项的系数；– 35x叫做一次项，– 35叫做一次项的系数；75叫做常数项。
（3）3x2 – 2x =1
分析：先将一元二次方程化成标准式，然后再说明它的二次项，一次项，常数项等等。
3x2 – 2x =1化成标准式为3x2 – 2x – 1 = 0
3x2叫做二次项，3叫做二次项的系数；– 2x叫做一次项，– 2叫做一次项的系数；– 1叫做常数项。
3．一元二次方程的解：
先复习方程的解的定义：能够使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。只含有一个未知数的方程的解也叫方程的根
一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值就叫一元二次方程的解也叫做方程的根
（三）例题讲解：
请你判断：下列关于x的方程是一元二次方程的是：
分析：（1）（5）不是一元二次方程，理由它们不是整式方程；
（2）不是关于x的一元二次方程；
（6）化成一般式后不含有二次项，因此也不是一元二次方程；
（7）中二次项的系数不保证一定不为零，因此也不一定是一元二次方程。
解：（3）（4）是一元二次方程。
例题小结：
看一个方程是否是一元二次方程，只需先看是否是整式方程，如果分母或根号内有未知数则一定不是一元二次方程；其次看是不是只有一个未知数，最后把方程化成一般式，看是否未知数的最高次数是2。
请你尝试：将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）(x + 3)(3x – 4)=(x + 2)2
（2）2x2 = 2 – 3x
（3）
解：（1）3x2 – 4x + 9x – 12 = x2 + 4x + 4
2x2 + x – 16 = 0
方程化成一般式为2x2 + x – 16 = 0，其中二次项系数是2 ；一次项系数是1；常数项是 – 16
（2）方程化成一般式为2x2 + 3x – 2 = 0，其中二次项系数是2 ；一次项系数是3；常数项是 – 2
（3）
方程化成一般式为，其中二次项系数是 ；一次项系数是；常数项是
试一试：从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．
解：设竹竿的长为x尺，则门的宽 度为(x－4)尺，长为(x－2)尺，
依题意得：(x－4)2＋ (x－2)2＝ x2
可化为一般式为：x2－12 x ＋20 ＝ 0
（四）拓展
1． 方程（2a – 4）x2 – 2bx+a=0,
1）在什么条件下此方程为一元二次方程？
2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
解：（1） a=2 且 b ≠0 时是一元一次方程
（2） 当 2a – 4≠0，即a ≠2 时是一元二次方程
2．关于x的方程（2m2＋m－3)xm＋1＋5x＝13可能是一元二次方程吗？
解：当m = 2时，2m2＋m－3不等于零，所以当m = 2时原方程是一元二次方程。
3．已知关于x的一元二次方程 (m– 1)x2 + 3x – 5m + 4 = 0有一根为2，求m。
分析：一根为2即x = 2,只需把x = 2代入原方程。
解：把x = 2代入原方程，得 4m– 4 + 6 – 5m + 4 = 0
解得 m = 6
（五）学生练习：
1.当m= – 1 时，方程x2+(m+1)x+m+1=0有解x=0
3．
解： ∵ m， n是原方程的解
∴m2+2006m–2008=0， n2+2006n–2008=0
即m2+2006m=2008， n2+2006n=2008
∴(m2+2006m– 2007)( n2+2006n+2007)=4015
4． x = 1
x = – 1
x = 2
（六）小结：
1．一元二次方程的概念
注意三要素，一看分母，二化一般式，三看二次项系数
2．一元二次方程的一般式
注意二次项与二次项的系数的区别。
注意在写某一项时，应包括系数与未知数及其次数，常数项不要忘记符号.
3． 一元二次方程的根
注意保证二次项系数不为零。
（七）作业
1．A册/24.1
2．预习因式分解法解一元二次方程。
教学反思：
学生做一课一练P16/二时，其中有判断下列方程是否是一元二次方程
（1）学生认为当y是已知数时，就是关于x的一元一次方程。
当时有点懵，幸亏有学生说，如果y是已知数，那么应该写在x前面，而现在写在后面表示的一定是未知数，所以这个方程是二元方程，就不是一元二次方程。非常感谢这位学生替我解围，说明在概念的强调上要重视，这样一些与概念有关的题目学生就容易解决了，如一课一练P16/6有五个解。
150m2