一元二次方程的解法之因式分解法[下学期]

第二十四章 一元二次方程与二次函数
一 一元二次方程
24．2（1）一元二次方程的解法——因式分解法
教学目标：
1． 明确具备什么条件的一元二次方程可适用因式分解法；
2． 熟练正确地运用因式分解法解一元二次方程；
3． 掌握用因式分解法解一元二次方程的依据：AB = 0可得A = 0或B = 0；
4． 能把已知两数作为方程的两根来求作一个一元二次方程。
教学重点：熟练掌握用因式分解法解一元二次方程。
教学难点：能灵活地应用因式分解法解一元二次方程。
教学过程：
1、 引入新课：
你能解决这个问题吗？
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？
小明是这样解的：
解设这个数是x.
依题意得：x2 = 3x
两边同时约去x，得 x = 3
∴这个数是3
这个解法正确吗？答：不正确。
解设这个数是x.
依题意得：x2 = 3x
x2 – 3x = 0
x（x – 3）=0
解得 x1 = 0，x2 = 3 这步的理论依据是什么？
∴这个数是0或3。 如果A·B = 0 A = 0或B = 0
如果两个因式的积为零，则至少有一个因式为零。
2、 新课讲解：
1．当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法.
练习：书P11/试一试
2．方程 (x + a)(x + b) = 0的两个根为x1 = – a，x2 = – b
反过来，如果一个一元二次方程的两个根是x1 = – a，x2 = – b，那么这个方程是什么呢？
(x + a)(x + b) = 0 即x2 +（a + b）x + ab = 0
3、 例题讲解：
例1、
解： x（x – 8）=0提取公因式
∴x1 = 0，x2 = 8
例2、
解： 平方差公式
∴x1 = ，x2 =
例3、
解： 完全平方公式
∴x1=x2 = （又称为此方程的重根）
注：二次方程若有解应有两个解。
例4、
解：
十字相乘
∴x1 = 2，x2 = 9
老师提示：
（1）用因式分解法的条件是:方程左边易于分解而右边等于零;即一元二次方程可以转化为
A·B=0的形式
（2）因式分解法解一元二次方程的本质就是降次转化为解两个一元一次方程
（3）理论依据是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”
简记歌诀：左分解，右化零，两因式，各求解。
例5、用因式分解法解下列方程：
（1） （2）
（4）
（3）
例6、求作一个一元二次方程，使它的两个根分别是
（1）3， –8 （2）
解：（1）根据题意得：
（2）根据题意得：
所求的一元二次方程通常写成一般形式，且方程的各项系数可化为整数的要化为整数
4、 思维冲浪：
（4）当 k = – 1时，方程为一元一次方程 2x = 0 ∴x = 0
当k≠–1时，方程为一元二次方程 [(k+1)x – (k – 1)][x – (k + 1)]=0
（6）(x2 – 9)(x2 +2) = 0
(x – 3)(x + 3)(x2 +2) = 0
x1 = 3，x2 = – 3
（7）
（8）2(x – 1) + 3(x2 + 3) – 12=0
3x2 + 2x – 5=0
(x – 1)(3x + 5)=0
5、 小结：
1．当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法.
2．　因式分解法解一元二次方程的步骤是:
　 首先提取公因式，然后考虑用公式，十字相乘试一试，最后检查各因式
　 因式分解的方法，突出了转化的思想方法——“降次”，
鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程.
6、 作业
1． B册/24.2(1)，A册/24.2（2）
2． 预习用开平方法解一元二次方程的方法。