第六章平面向量及其应用 单元检测-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含答案）

第六章 平面向量及其应用 单元检测
一、单选题（共8小题）
1. 在四边形ABCD中，设＝a，＝b，且＝a＋b，|a＋b|＝|a－b|，则四边形ABCD的形状是(　　)
A. 梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
2. 已知|a|＝1，|b|＝1，|c|＝，a与b的夹角为90°，b与c的夹角为45°，则a(b·c)的化简结果是(　　)
A. 0 B. a C. b D. c
3. 已知|b|＝3，a在b上的投影向量为b，则a·b的值为(　　)
A. 3 B. C. 2 D.
4. 如果向量a＝(k,1)，b＝(4，k)共线且方向相反，则k等于(　　)
A. ±2 B. －2 C. 2 D. 0
5. 在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝1，＝3，2＝＋，则·等于(　　)
A. B. C. － D. －
6. 已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且满足＝＝，则△ABC的形状是(　　)
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
7. 已知＝(－5，4)，＝(3，－2)，BC边的中点为D，则AD的长为(　　)
A. B. 1 C. 2 D.
8. 如图所示，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(　　)
(精确到0.1 km，参考数据：≈1.732)
A. 11.4 km B. 6.6 km C. 6.5 km D. 5.6 km
二、多选题（共4小题）
9. 在 ABCD中，设＝a，＝b，＝c，＝d，则下列等式中成立的是(　　)
A. a＋b＝c B. a＋d＝b C. b＋d＝a D. |a＋b|＝|c|
10. 在平面α中，已知A(1,2)，B(3，－2)，点P在直线AB上，且|AP|＝2|PB|，则P点的坐标为(　　)
A. (4,3) B. C. (2，－6) D. (5，－6)
11. 关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是(　　)
A. 船垂直到达对岸所用时间最少
B. 当船速v的方向与河岸垂直时用时最少
C. 沿任意直线运动到达对岸的时间都一样
D. 船垂直到达对岸时航行的距离最短
12. 在锐角三角形ABC中，b＝1，c＝2，则a的值不可以是(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
三、填空题（共4小题）
13. 已知向量a＝(1，)，向量b为单位向量，且a·b＝1，则2b－a与2b的夹角为________．
14. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则sinB＝________，b＝________.
15. 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，A，D分别为x轴，y轴正半轴上的动点，过点B作BE⊥OC于点E，则|OC|·|OE|的最大值为________.
16. 已知|a|＝1，向量b满足2|b－a|＝b·a，设a与b的夹角为θ，则cosθ的最小值为______．
四、解答题（共6小题）
17. 已知在平行四边形OABC中，若P是该平面上任意一点，且满足＝λ＋μ(λ，μ∈R)．
(1)若P是BC的中点，求λ＋μ的值；
(2)若A，B，P三点共线，求证：λ＋μ＝1.
18. 在△ABC中，已知cosA＝，B＝，b＝，求a，c.
19. 已知|a|=1,a·b=,(a-b)·(a+b)=,求:
(1)a与b的夹角;
(2)a-b与a+b的夹角的余弦值.
20. 已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝，求a与b的夹角．
21. 已知⊙O的半径为R，在它的内接△ABC中有2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)sinB成立，求角C的大小．
22. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝3，cos 2B＝cos (A＋C)，asinA＋csinC＝6sinB.
(1)求B；
(2)求△ABC的周长．
参考答案
1. B
2. B
3. B
4. B
5. A
6. C
7. D
8. B
9. ABD
10. BD
11. BD
12. ACD
13.
14. 　
15. 2
16.
17. (1)解　若P是BC的中点，
则＝(＋)＝(＋)＝(＋－)
＝－＋，
又因为＝λ＋μ，
所以根据平面向量基本定理得
所以λ＋μ＝.
(2)证明　因为A，B，P三点共线，所以和共线，
所以存在实数k使＝k，
所以－＝k(－)，
所以＝(1－k)＋k.
又＝λ＋μ，
所以根据平面向量基本定理得λ＋μ＝1－k＋k＝1.
18. 解　由cosA＝，得sinA＝＝＝.
由正弦定理，得
a＝＝＝＝.
sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB
＝×＋×＝，
c＝＝＝.
19. 解 (1)∵(a-b)·(a+b)=,∴|a|2-|b|2=
∵|a|=1,∴|b|=
设a与b的夹角为θ,则cosθ=
∵0°≤θ≤180°,∴θ=45°.
(2)∵(a-b)2=a2-2a·b+b2=,∴|a-b|=
∵(a+b)2=a2+2a·b+b2=,∴|a+b|=
设a-b与a+b的夹角为α,则
cosα=
20. 解　设a与b的夹角为θ，
由题意得(3a－2b)2＝7，
∴9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，
又|a|＝|b|＝1，∴a·b＝，
∴|a||b|cosθ＝，
即cosθ＝.
又θ∈[0，π]，∴θ＝，即a与b的夹角为.
21. 解　由正弦定理，得
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.
因为2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)sinB，
所以(2R)2(sin2A－sin2C)＝2R(a－b)sinB，
所以a2－c2＝(a－b)b，
即a2＋b2－c2＝ab.
因为cosC＝，
所以cosC＝.
因为0°22. 解 (1)因为cos 2B＝cos (A＋C)，
所以2cos2B－1＝－cosB，
解得，cosB＝或cosB＝－1(舍)，
由B为三角形内角得B＝.
(2)因为asinA＋csinC＝6sinB，b＝3.
由正弦定理得，a2＋c2＝6b＝18，
因为cosB＝＝＝，故ac＝9，
所以(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝18＋18＝36，
故a＋c＝6，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝9.