第6章平面向量及其应用章节练习解析版
一、单选题
1．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，a，则等于（ ）
A． B． C． D．2
3．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且=，＝y，则的值为( )
A．3 B． C．2 D．
4．设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A． B． C． D．
5．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图"中，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．在中，D在线段上，且，若，则下列说法错误的是（ ）
A．的面积为8 B．的周长为
C．为钝角三角形 D．
7．设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状为 （ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
8．的内角的对边分别为，且，若边的中线等于3，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知向量，则（ ）
A． B．
C． D．
10．下列说法错误的是（ ）
A．∥就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫相等向量
C．零向量的长度等于0
D．共线向量是在同一条直线上的向量
11．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且AB=4，AC=2，则下列各式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
12．如图所示，设在中，角、、所对的边分别为、、，，且．若点是外一点，、，下列说法中，错误的命题是（ ）
A．四边形周长的最小值为
B．四边形周长的最大值为
C．四边形面积的最小值为
D．四边形面积的最大值为
三、填空题
13．已知是的中线，若，，则的最小值是____________．
14．已知为单位向量，且=0，若 ，则___________.
15．已知在边长为的正三角形中，、分别为边、上的动点，且，则的最大值为_________．
16．设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为______．
四、解答题
17．已知在中，，分别是角所对的边.
（1）求；
（2）若，，求的面积.
18．已知向量的夹角为30°，且，求向量与的夹角θ的余弦值.
19．已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线.
（1）求实数的值；
（2）若，，求的坐标；
（3）已知，在（2）的条件下，若四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标.
20．在中，内角的对边分别为，设平面向量，且
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求中边上的高.
21．已知向量，，记函数.
（1）求函数在上的取值范围；
（2）若为偶函数，求的最小值.
22．在中，内角，，的对边分别为，，．已知
（1）求证：
（2）若，的面积为，求的周长．第6章平面向量及其应用章节练习解析版
一、单选题
1．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，a，则等于（ ）
A． B． C． D．2
3．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且=，＝y，则的值为( )
A．3 B． C．2 D．
4．设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A． B． C． D．
5．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图"中，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．在中，D在线段上，且，若，则下列说法错误的是（ ）
A．的面积为8 B．的周长为
C．为钝角三角形 D．
7．设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状为 （ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
8．的内角的对边分别为，且，若边的中线等于3，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知向量，则（ ）
A． B．
C． D．
10．下列说法错误的是（ ）
A．∥就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫相等向量
C．零向量的长度等于0
D．共线向量是在同一条直线上的向量
11．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且AB=4，AC=2，则下列各式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
12．如图所示，设在中，角、、所对的边分别为、、，，且．若点是外一点，、，下列说法中，错误的命题是（ ）
A．四边形周长的最小值为
B．四边形周长的最大值为
C．四边形面积的最小值为
D．四边形面积的最大值为
三、填空题
13．已知是的中线，若，，则的最小值是____________．
14．已知为单位向量，且=0，若 ，则___________.
15．已知在边长为的正三角形中，、分别为边、上的动点，且，则的最大值为_________．
16．设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为______．
四、解答题
17．已知在中，，分别是角所对的边.
（1）求；
（2）若，，求的面积.
18．已知向量的夹角为30°，且，求向量与的夹角θ的余弦值.
19．已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线.
（1）求实数的值；
（2）若，，求的坐标；
（3）已知，在（2）的条件下，若四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标.
20．在中，内角的对边分别为，设平面向量，且
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求中边上的高.
21．已知向量，，记函数.
（1）求函数在上的取值范围；
（2）若为偶函数，求的最小值.
22．在中，内角，，的对边分别为，，．已知
（1）求证：
（2）若，的面积为，求的周长．
参考答案：
1．C
【解析】利用余弦定理可求的值，从而可求三角形的面积.
【详解】因为，故，
而，故，
故，故三角形的面积为，
故选：C.
2．D
【解析】由已知结合正弦定理即可直接求解．
【详解】A＝60°，a，
由正弦定理可得，2，
∴b＝2sinB，c＝2sinC，
则2．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础试题．
3．B
【分析】特殊化，令计算出x、y的值，带入即可。
【详解】利用三角形的性质，过重心作平行于底边BC的直线，得x＝y＝，则＝。
【点睛】本题考查平面向量基本定理，属于基础题。
4．D
【分析】根据平面向量共线定理得存在实数，使，代入条件列式计算即可.
【详解】若向量与向量共线，
则存在实数，使，
，
，
解得.
故选：D.
5．D
【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可.
【详解】由题意
，
所以，，
.
故选：D.
6．D
【分析】在中用余弦定理求出BC长及，再在中用余弦定理求出AC长，然后对各选项逐一分析计算并判断作答.
【详解】如图，在中，因，由余弦定理得，
则有，即，而，解得，，
又由余弦定理得，在中，由余弦定理得：
，
显然，的面积，A正确；
的周长为，B正确；
显然AB是最大边，，角为钝角，C正确；
，D不正确.
故选：D
7．B
【分析】利用正弦定理可得，结合三角形内角和定理与诱导公式可得，从而可得结果.
【详解】因为，
所以由正弦定理可得，
，
所以，所以是直角三角形.
【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
8．C
【解析】由正弦定理及三角函数恒等变换化简已知条件可得，由，求得，可求得，取的中点，延长至点，使得是中点，连接，则四边形是平行四边形，在三角形中，由余弦定理可求得，之后利用面积公式求得结果.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以．
取的中点，延长至点，使得是中点，
连接，则四边形是平行四边形，
在三角形中，，
，，，
由余弦定理得，解得，
所以三角形的面积为，
故选：C.
【点睛】该题考查的是有关三角形的问题，涉及到的知识点有应用正弦定理和余弦定理解三角形，三角形的面积公式，属于简单题目.
9．BD
【分析】根据向量的平行与垂直坐标公式及加减运算对选项一一判断即可．
【详解】因为，所以不平行，则A错；
由，所以，则B正确；
由，，故C错；
由，故D正确.
故选：BD
10．ABD
【分析】根据平行（共线）向量、相等向量、零向量的定义判断．
【详解】对于A：向量∥时，所在的直线与所在的直线可能重合，故A不正确；
对于B：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故B不正确；
对于C：按定义，零向量的长度等于0，C正确；
对于D：非零的共线向量是方向相同或相反的向量，可以在同一直线上，也可不在同一直线上，故D不正确；
故选：ABD．
11．BCD
【分析】利用三角形外心、重心、垂心的性质，结合平面向量的线性运算法则以及平面向量的数量积的定义及运算律逐项分析即可求出结果.
【详解】由G是三角形ABC的重心可得，所以=，故A项错误；
过三角形ABC的外心O分别作AB、AC的垂线，垂足为D、E，如图（1），易知D、E分别是AB、AC的中点，则
，故B项正确；
因为G是三角形ABC的重心，所以有，故，
由欧拉线定理可得，故C项正确；
如图（2），由可得，即，则有，D项正确，
故选：BCD.
12．ABC
【分析】利用正弦定理对已知化简变形可求出，从而可得为正三角形，再由、，可求出的周长的取值范围，从而可求出四边形周长的取值范围，则可判断AB，利用面积公式和余弦定理可表示出四边形面积，从而可求出其范围，进而可判断CD
【详解】在中，，由正弦定理得：，
∴，∵，
∴，∴，
又∵，∴，
∴，∴为正三角形，
∵、，∴
∵的周长的取值范围为，
∴四边形周长的取值范围为，
所以AB错误，
四边形面积
，
∵，
∴四边形面积的取值范围为，
所以C错误，D正确，
故选：ABC．
13． 1
【详解】试题分析：因为，又，所以，即，的最小值是1.
考点：向量数量积
14．.
【分析】根据结合向量夹角公式求出，进一步求出结果.
【详解】因为，，
所以，
，所以，
所以 ．
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．
15．##
【分析】如图建立直角坐标系，设（），则（），然后表示出可求得其最大值
【详解】如图建系，则、、，
则，，设（），
则（），则，，
∴，
∴，
当时，取最大值．
故答案为：
16．
【分析】利用复数模的平方等于复数的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值．
【详解】，解得：，
，
设，
，
当时，，∴的最小值是．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解题关键是合理转化，应用函数求最值．本题的特点是注重基础，本题考查了利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查转化与化归思想，考查数学运算、数学建模等学科素养．
17．（1）；（2）.
【分析】（1）因为且，可得：，代入正切的倍角公式即可得解；
（2）由题意可得：，所以，，由正弦定理，得，代入面积公式即可得解.
【详解】（1）因为且，
∴
∴
（2）由，得，
由，所以，
则，
由正弦定理，得，
∴的面积为.
【点睛】本题考查了三角恒等变换和解三角形，考查了正弦定理和面积公式，是对三角形基本量的计算，该类题型只需正确应用公式即可得解，属于常规考查，是基础题.
18．
【分析】设，∠AOB＝30°.，以为邻边作平行四边形OACB，从而得到，∠ADC＝θ，然后利用余弦定理分别求得 AB，OC，然后在中，利用余弦定理求解.
【详解】如图：
设，∠AOB＝30°.，以为邻边作平行四边形OACB，连接OC，AB交于点D，
则，∠ADC＝θ.
在中，由余弦定理得，，
，
所以AB＝1，同理在中，求得，
在中，由，得CD＝，
由余弦定理得，
所以cos θ＝cos(180°－∠BDC)＝.
故答案为：
19．（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）根据平面向量的加法运算，得出，再利用，，三点共线，利用向量的共线定理可知存在实数，使得，解出的值，即可得出结果；
（2）根据平面向量坐标的加法运算，得出，可求出的坐标；
（3）由平行四边形的性质，可知，设，则，计算得出点的坐标.
【详解】解：（1）由题可知，，，，
，
，，三点共线，
存在实数，使得，
即，
得．
，是平面内两个不共线的非零向量，
，解得：，.
（2）已知，，
.
（3）四点按逆时针顺序构成平行四边形，且，
，
设，则，
，
，解得，即点的坐标为．
20．(1);(2).
【详解】分析：（1）由向量的数量积的运算，得，
根据正弦、余弦定理得，即可得到；
（2）由余弦定理和，得，再利用三角形的面积公式，求得，即可得到结论．
详解：（1）因为，
所以，即，
即，
根据正弦定理得，所以，
所以 ；
（2）由余弦定理，又，所以，
根据△的面积，即， 解得，
所以中边上的高．
点睛：本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
21．（1）；（2）.
【分析】（1）先根据向量数量积坐标表示化简、再根据二倍角正弦公式与余弦公式、辅助角公式化简函数为，最后根据余弦函数性质求值域；
（2）先根据为偶函数求得，再求的最小值.
【详解】解：（1）
则∵，
∴的取值范围为.
（2）因为为偶函数，
所以
因此当时.
【点睛】本题考查向量数量积、二倍角正弦公式与余弦公式、辅助角公式、余弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.
22．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）法一：由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的内角和定理，诱导公式可得，结合范围，可证．
法二：由余弦定理化简已知等式即可证明．
（2）由已知及（1）可知，利用三角形的面积公式可求，的值，利用余弦定理可求的值，即可得解三角形的周长．
【详解】解：（1）法一：∵，
∴由正弦定理，可得，即：，
又∵，
∴，
又∵，
∴或（舍去），
∴．
法二：∵，
∴由余弦定理可得，整理可得，
∴ ，
∴.
（2）∵，由（1）可知，
又∵的面积为，且，
∴，
∴，
∵由余弦定理可得，
∴，
∴的周长．
【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，是中档题．
