解直角三角形讲练[下学期]
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文档简介
初三同步辅导材料
一、教学进度：第 六 章 解直角三角形
6.3 解直角三角形的基本方法
6.4 解直角三角形的应用
教学目标：
1．掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形；
2．综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；
3．使学生了解仰角、俯角的概念，能根据直角三角形的知识解决实际问题，会把实际问题转化为数学问题来解决.
二、重点、难点剖析
学习锐角三角函数后，在 RtΔABC中，∠C＝90o．有如下的关系：
边与边间的关系
a2＋b2＝c2 (勾股定理)．
角与角间的关系
∠A＋∠B＝90O（两锐角互为余角）．
边、角间的关系
sinA＝ , cosA＝,
tanA＝， （锐角三角函数定义）
上面这些关系是解直角三角形的工具，必须牢牢掌握．
在解直角三角形的问题中，除了要掌握好上述工具外，还应当注意哪些呢？
１．我们知道，三角形的三条边、三个角是三角形的六个元素．解直角三角形是给出其中某些元素，把其余元素都求出来的过程，除了要掌握上述的工具外，还应当知道给出哪些条件，才能求出其余元素．
显然，只有当所给条件能确定唯一的一个直角三角形时，这个直角三角形才是可解的．对照两个直角三角形全等的判定定理．我们将具有下面的条件之一的直角三角形，称为可解直角三角形：
（1） 已知直角三角形的两边；
（2） 已知直角三角形的一边及一锐角．
２．当一个直角三角形唯一确定时，它的周长、面积也应当是唯一确定的，因此解直角三角形时，除了边、角以外，还可求与周长、面积有关的问题．今后在学了“圆”以后，其内容将更加丰富．
解直角三角形的应用问题，一般有测高问题、坡度问题、航行问题和一些有关物体的几何图形的计算问题等，其中常会涉及到一些专用术语，正确了解这些术语，弄清它们的含义，对于理解实际问题，正确作出解答是十分必要的．
下面对几个常用的术语作简要分析．
(1)仰角与俯角．当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．从图1中，可以看出水平线是仰角或俯角的一条边．如在飞机上看地面目标时是俯角，而在测量物体高度时，往往给出仰角的大小．要注意的是对水平线而言．
(2)水平距离与垂直距离．平静的湖面和海面给我们以水平面的形象．与水平面平行的直线通常叫做水平线．教室的屋顶与墙壁的交线，悬挂的日光灯管，黑板的上沿与下沿，都使我们联想到水平线，沿着水平线取两点这两点间的距离，就是水平距离．
测量时一条细线被一重锤向下拉直，这条线是铅垂线，它与水平面和水平线是垂直的．沿铅垂线两点之间的距离叫做垂直距离．
如图2 所示，汽车沿斜坡向上行驶，AC就是水平距离，BC就是垂直距离，而它沿斜坡走过的距离AB通常叫做坡面距离．
(3)坡度与坡角．我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(或叫做坡比)，用字母i表示，即
坡面与水平面的夹角叫做坡角，一般记作α，那么
由上面的定义可知，如果在l这段水平距离内，坡面上升的高度(垂直距离)为h，那么坡度(h/l)则表示每单位长度的水平距离内，上升的垂直距离是多少。这样坡角的正切值tgα正表示了坡面的倾斜程度，坡度越大(于是α角越大)，坡面就越陡．
(4)方向角．指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．在图3中，目标方向线OA、OB、OC、OD的方向角分别是北偏东60°，北偏西20°、南偏西45°、南偏东60°．比如我们习惯上所说的“东南方”是指目标线为南偏东45°，等等．
了解这些术语的含义，在解应用题时，还应注意根据问题的实际意义，画出图形进行分析，正确运用这些术语表示已知或所求．
三、典型例题
例１ 根据下列条件解直角三角形
（１）在 RtΔABC中，∠C＝90o，c＝10，∠A＝30o.
（２）在RtΔABC中，∠C＝90o，a＝50，c＝.
解 （１）∵∠A＝30O， ∴∠Ｂ＝90O－30O＝60O.
又 ∵ sinA＝sin30O＝，∴ a＝＝５.
∵ cosA＝cos30O＝＝， ∴ b＝＝.
或由勾股定理得b＝＝.
说明 通过本例可看出在学习了三角函数后，通过边角间的三角函数关系解三角形更为简便．
（２）∵ sinA＝，又 ∵ A为锐角， ∴ ∠A＝45O.
∴ ∠B＝90O－∠A＝45O.
∵ sinB＝， ∴ b＝c sinB＝＝50.
说明 熟记三角函数定义和特殊角的三角函数值，在解题中可提高解题速度.
例2 已知ΔABC中，AB＝AC，BC＝30，SΔ＝，求此三角形顶角的度数及周长．
分析 作等腰三角形底边上的高AD，这样就把斜
三角形问题转化为解直角三角形的问题．由ΔABC的
面积和底边长可求得高AD的长，则直角三角形ABD
是一个可解三角形．
解 作ADBC，D为垂足．
∴ SΔABC＝BC×AD＝，
∴ AD＝．
∵ BD＝DC＝BC＝15,
在RtΔABD中，ctg∠BAD＝．
则∠BAD＝60O, ∴ ∠BAC＝120O.
又 ∵ sin60O＝， ∴ AB＝．
∴ AB＋AC＋BC＝．
答 ΔABC的顶角度数为120O，周长为．
例3 在海岸旁高200米的山顶上测得正西和正东两船的俯角为15o和75o，求两船间的距离．（已知tan15o＝２－）．
分析 为了使实际问题表现得更直观、形
象，通常都是画个示意图（见右图），这样就
十分清楚的看到欲求BC之长，可通过解直角
三角形ABD和ADC去解决．
解 如图， 在RtΔABD中，∠B＝15O,AB＝200米，
∴ BD＝AD /tan15O＝200(２＋).
在RtΔACD中，∠C＝75O, AD＝200米，
∴ DC＝AD tan15O ＝200(２－).
则BC＝BD＋DC＝200(２＋)＋200(２－)＝800（米）．
答 两船间的距离为800米．
说明 由点A观察点B的俯角就是点B观察点A的仰角，即∠ABD；
例4 如图，铁路的路基横断面是等腰梯形，斜坡AB的坡度为１∶，坡面AB的水平宽度为３米，基面AD宽２米，求路基高AE、坡角B和基底BC的宽．
分析 由已知，垂足E和点B间的线段BE的长．
是坡面AB的水平宽度，斜坡AB的坡度１∶就是
指tanB＝，由此可见ΔABE是可解的直角三
角形．由于等腰三角形是轴对称图形．从RtΔABE中
求得BE后，就不难得到基底BC的值．
解 在RtΔABE中，BE＝３米．
∵ 斜坡AB的坡度为１∶， ∴ tanＢ＝，则∠B＝30O.
AE＝BE tanB＝＝3（米）．
又∵ 等腰梯形是轴对称图形， ∴ BC＝AD＋２BE＝２＋６（米）．
答 路基高AE的长为3米，坡角B为30o，基底BC宽为（2＋6）米．
说明 由于题中没有精确度的要求，所以结果中可保留根号．
例5 某灯塔B在观测点A的北30°的方向，船M在灯塔正东方向，且在观测点A的北60°东的方向距A30海里，求若船M在上午11点10分出发，下午1点40分时驶抵灯塔B处，求船的速度（精确到0.1海里）.
分析 只需延长MB，归结为解直角三角形问题来加以解决.
解：延长MB和正北的方向线相交于C，得.在中，有，所以
又，在中，，所以
.
于是，有
.
据题意，船M行驶到B只用时2.5小时，所以，船的速度为
（海里/时）
答：这艘船的速度是6.9海里/时.
说明 由于南北方向线和东西方向线互相垂直.所以航海问题大都能归结为解直角三角形问题；本例由于所给的已知角都是特殊角，所以也可用平面几何图形的性质和勾股定理来解.如设（海里），证
于是，根据勾股定理，有
由于，所以得
.
例6 在矩形ABCD中，对角线AC＝10,面积为25,求两对角线所夹角的度数．
分析 如图，求矩形ABCD的两条对角线夹角
指∠AOB与∠BOC，由于ΔAOB、ΔBOC都
不是直角三角形，而∠AOB＝２∠ACB，因此，
从RtΔABC考虑问题解决的途径．
解 设∠ACB＝α，AB＝x，BC＝y．
根据题意，得x2＋y2＝102, xy＝25.
解方程组 x2＋y2＝102,
x2 y2＝252 ×3
设x2 、y2是一元二次方程t2－102t＋3 ×252＝０的两个根，解此方程得t１＝75, t2＝25,
则x2＝25，x＝5(舍去负值)， y2＝75， y＝5 (舍去负值)．
在RtΔABC中，∵ tanα＝, ∴ α＝30o.
则∠AOB＝60O, ∠BOC＝120O.
答 两条对角线所夹角的度数是60O或120O.
说明 虽然RtΔABC是可解的三角形，但是在等式xy＝25中不易求出x、y的值，因此必须要组成一个关于x、y的方程组，在解答中之所以把xy＝25变为x2 y2＝25 ×3，
是因为既可避免开方的困难，又能达到利用根与系数关系的目的．
例7 已知锐角ΔABC中，AC＝4,sinA、sinＢ是方程4x2－2＝0的两个根，且sinA＜sinB．求AB、BC、∠C．
分析 由于ΔABC不是直角三角形，∠A、∠B不是互余的两角，所以sinA与sinB没有直接关系，因此只能从解方程入手．
解 解方程4x2－2＝０
得 ＝０， ∴ x1＝， x2＝ ．
∵ sinA＜sinB， ∴ sinA＝， sinB＝．
又∵ ∠A、∠B均为锐角， ∴∠A＝45o, ∠Ｂ＝60o，则∠Ｃ＝75O.
见图，作CDAB，D为垂足．
在RtΔACD中，∠A＝45o, AC＝4,
则AD＝CD＝AC cos45o＝＝２．
在RtΔBCD中，∠B＝60o, CD＝２,
则BD＝CD ctg60o＝, BC＝２BD＝．
∴ AB＝AD＋BD＝．
答 AB＝， BC＝， ∠C＝75o.
例8 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝60o，∠B＝∠D＝90o，BC＝11,CD＝2, 求对面线AC的长．
分析 虽然ΔABC与ΔACD都是直角三
角形，但都不可能利用边角关系直接求得AC的
长，考虑到∠BAD＝60o, ∠B＝90o的特殊条件，
因此可设法得到一个特殊的直角三角形．从而再
去寻求途径．
解 延长AD、BC相交于点E.
在RtΔABE中，∠BAE＝60o, ∴ ∠E＝30O.
在RtΔCDE中，∠E＝30O，CD＝2， ∴ CE＝4．
∵ BC＝11， ∴ BE＝BC＋CE＝15．
则RtΔABE中，AB＝BE tanE＝.
在RtΔABC中，由勾股定理，得
AC＝
＝．
巩固练习
一、选择题
１．在ΔABC中，∠C＝90O，若AC∶AB＝1:2，则∠A与∠B的度数比为（ ）
Ａ．１∶３ Ｂ．１∶２ Ｃ．１∶１ Ｄ．２∶１
２．已知等腰三角形三边长分别为１、１和，则它的一个底角为（ ）
Ａ.150O Ｂ.60O Ｃ.45O Ｄ.30O
３．等边三角形的高为5,则它的面积为（ ）
Ａ.150 Ｂ.150 Ｃ.50 Ｄ.25
４．直角三角形中，一锐角的正切值为3/4，周长为24，则斜边长为（ ）
Ａ.10 Ｂ.12 Ｃ.14 Ｄ.15
５．菱形的边长为，一条对角线的长是另一条对角线长的２倍，则菱形的面积是（ ）
Ａ．2 Ｂ．1 Ｃ． Ｄ．4
二、填空题
６．在RtΔABC中，∠C＝90O，若a＝2，sinA＝，则c＝ ，b＝ ．
SΔABC＝ ．
７．在ΔABC中，∠C＝90O，AB＝，tanB＝，则AC＝ ．
BC＝ ．
８．ΔABC中，AB＝AC，ADBC，D为垂足，若AD∶BC＝∶２，
则sinB＝ ，∠BAC＝ Ｏ．
９．ΔABC中，∠C＝90O，SΔABC＝，a＝10,则∠A＝ O．
10. ΔABC中，∠A＋∠B＝90O,cosA＝，则sinB＝ ，若c＝10,
则a＝ ．
三、解答题
11. 如图，甲、乙两幢楼相距30米，从乙楼底B望
甲楼顶D仰角为45o,从甲楼顶D望乙楼顶A的
俯角为30o.
求乙楼高AB（保留两个有效数字）
12. 如图，在RtΔABC中，∠C＝90O，AC＝6，AC边上的中线BD＝，解
这个直角三角形．
(第２题) （第３题）
13. 如图，海岸上有相距120米的A、B两点，分别由A、B观察海上的一艘船C，
测得∠CAB＝45o, ∠CBA＝60O,求船到海岸AB的距离CD.
14. 如图，在小山顶上有座电视塔，塔高AB为32米，从地面上一点D测得塔顶仰角
为60o,从山顶B测得点D的俯角为45o,求小山的高BC（精确到１米）．
15．某日上午8时半，在灯塔A的东南68.6海里的B处有一只船向正西方向航行，上午11时到达该灯塔的正南C处，求这只船航行的速度（精确到0.1海里/小时）.
16．如图，铁路的路基横断面是等腰梯形，斜坡AB的坡度为，坡面AB的水平宽度，基面AD宽2m，求路基高AE、坡角B和基底BC的宽.
参考答案与提示
［答案］
1、 Ｄ、Ｄ、Ｄ、Ａ、Ｄ．
2、 ６．c＝６, b＝, SΔ＝； ７．AC＝6, BC＝4；
８．sinB＝，∠BAC＝60O； ９．60O； 10. , 8.
三、11. 13米； 12. BC＝２， AB＝4，∠A＝30O, ∠ABC＝60O；
13. (180－60)米； 14. 44米．
［提示］
７．设AC＝3x，则BC＝2x，由勾股定理得
(3x)2＋(2x)2＝（）2, 解得x＝2.
11. 作AECD于E，则AE＝BC＝30米.
在RtΔADE中，∠DAE＝30O，AE＝30,
∴ DE＝AEtan30o＝.
又∵ BC＝DC＝30， ∴ AB＝CE＝DC－DE≈11(米)．
12. RtΔBDC中，DC＝３，BD＝，则RtΔBDC是可解三角形，求得
BC＝２．
RtΔABC中，AC＝６，BC＝２，则RtΔABC也是可解三角形．
13. 设BD＝x，则BC＝2x, CD＝AD＝x.
根据题意，得方程x＋x＝120.
14. 设BC＝x，则CD＝x，AC＝x＋32.在RtΔACD中，∠ADC＝60O，
则tan60o＝＝．
15．（海里/小时）.
16．
12
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一、教学进度：第 六 章 解直角三角形
6.3 解直角三角形的基本方法
6.4 解直角三角形的应用
教学目标：
1．掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形；
2．综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；
3．使学生了解仰角、俯角的概念，能根据直角三角形的知识解决实际问题，会把实际问题转化为数学问题来解决.
二、重点、难点剖析
学习锐角三角函数后，在 RtΔABC中，∠C＝90o．有如下的关系：
边与边间的关系
a2＋b2＝c2 (勾股定理)．
角与角间的关系
∠A＋∠B＝90O（两锐角互为余角）．
边、角间的关系
sinA＝ , cosA＝,
tanA＝， （锐角三角函数定义）
上面这些关系是解直角三角形的工具，必须牢牢掌握．
在解直角三角形的问题中，除了要掌握好上述工具外，还应当注意哪些呢？
１．我们知道，三角形的三条边、三个角是三角形的六个元素．解直角三角形是给出其中某些元素，把其余元素都求出来的过程，除了要掌握上述的工具外，还应当知道给出哪些条件，才能求出其余元素．
显然，只有当所给条件能确定唯一的一个直角三角形时，这个直角三角形才是可解的．对照两个直角三角形全等的判定定理．我们将具有下面的条件之一的直角三角形，称为可解直角三角形：
（1） 已知直角三角形的两边；
（2） 已知直角三角形的一边及一锐角．
２．当一个直角三角形唯一确定时，它的周长、面积也应当是唯一确定的，因此解直角三角形时，除了边、角以外，还可求与周长、面积有关的问题．今后在学了“圆”以后，其内容将更加丰富．
解直角三角形的应用问题，一般有测高问题、坡度问题、航行问题和一些有关物体的几何图形的计算问题等，其中常会涉及到一些专用术语，正确了解这些术语，弄清它们的含义，对于理解实际问题，正确作出解答是十分必要的．
下面对几个常用的术语作简要分析．
(1)仰角与俯角．当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．从图1中，可以看出水平线是仰角或俯角的一条边．如在飞机上看地面目标时是俯角，而在测量物体高度时，往往给出仰角的大小．要注意的是对水平线而言．
(2)水平距离与垂直距离．平静的湖面和海面给我们以水平面的形象．与水平面平行的直线通常叫做水平线．教室的屋顶与墙壁的交线，悬挂的日光灯管，黑板的上沿与下沿，都使我们联想到水平线，沿着水平线取两点这两点间的距离，就是水平距离．
测量时一条细线被一重锤向下拉直，这条线是铅垂线，它与水平面和水平线是垂直的．沿铅垂线两点之间的距离叫做垂直距离．
如图2 所示，汽车沿斜坡向上行驶，AC就是水平距离，BC就是垂直距离，而它沿斜坡走过的距离AB通常叫做坡面距离．
(3)坡度与坡角．我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(或叫做坡比)，用字母i表示，即
坡面与水平面的夹角叫做坡角，一般记作α，那么
由上面的定义可知，如果在l这段水平距离内，坡面上升的高度(垂直距离)为h，那么坡度(h/l)则表示每单位长度的水平距离内，上升的垂直距离是多少。这样坡角的正切值tgα正表示了坡面的倾斜程度，坡度越大(于是α角越大)，坡面就越陡．
(4)方向角．指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．在图3中，目标方向线OA、OB、OC、OD的方向角分别是北偏东60°，北偏西20°、南偏西45°、南偏东60°．比如我们习惯上所说的“东南方”是指目标线为南偏东45°，等等．
了解这些术语的含义，在解应用题时，还应注意根据问题的实际意义，画出图形进行分析，正确运用这些术语表示已知或所求．
三、典型例题
例１ 根据下列条件解直角三角形
（１）在 RtΔABC中，∠C＝90o，c＝10，∠A＝30o.
（２）在RtΔABC中，∠C＝90o，a＝50，c＝.
解 （１）∵∠A＝30O， ∴∠Ｂ＝90O－30O＝60O.
又 ∵ sinA＝sin30O＝，∴ a＝＝５.
∵ cosA＝cos30O＝＝， ∴ b＝＝.
或由勾股定理得b＝＝.
说明 通过本例可看出在学习了三角函数后，通过边角间的三角函数关系解三角形更为简便．
（２）∵ sinA＝，又 ∵ A为锐角， ∴ ∠A＝45O.
∴ ∠B＝90O－∠A＝45O.
∵ sinB＝， ∴ b＝c sinB＝＝50.
说明 熟记三角函数定义和特殊角的三角函数值，在解题中可提高解题速度.
例2 已知ΔABC中，AB＝AC，BC＝30，SΔ＝，求此三角形顶角的度数及周长．
分析 作等腰三角形底边上的高AD，这样就把斜
三角形问题转化为解直角三角形的问题．由ΔABC的
面积和底边长可求得高AD的长，则直角三角形ABD
是一个可解三角形．
解 作ADBC，D为垂足．
∴ SΔABC＝BC×AD＝，
∴ AD＝．
∵ BD＝DC＝BC＝15,
在RtΔABD中，ctg∠BAD＝．
则∠BAD＝60O, ∴ ∠BAC＝120O.
又 ∵ sin60O＝， ∴ AB＝．
∴ AB＋AC＋BC＝．
答 ΔABC的顶角度数为120O，周长为．
例3 在海岸旁高200米的山顶上测得正西和正东两船的俯角为15o和75o，求两船间的距离．（已知tan15o＝２－）．
分析 为了使实际问题表现得更直观、形
象，通常都是画个示意图（见右图），这样就
十分清楚的看到欲求BC之长，可通过解直角
三角形ABD和ADC去解决．
解 如图， 在RtΔABD中，∠B＝15O,AB＝200米，
∴ BD＝AD /tan15O＝200(２＋).
在RtΔACD中，∠C＝75O, AD＝200米，
∴ DC＝AD tan15O ＝200(２－).
则BC＝BD＋DC＝200(２＋)＋200(２－)＝800（米）．
答 两船间的距离为800米．
说明 由点A观察点B的俯角就是点B观察点A的仰角，即∠ABD；
例4 如图，铁路的路基横断面是等腰梯形，斜坡AB的坡度为１∶，坡面AB的水平宽度为３米，基面AD宽２米，求路基高AE、坡角B和基底BC的宽．
分析 由已知，垂足E和点B间的线段BE的长．
是坡面AB的水平宽度，斜坡AB的坡度１∶就是
指tanB＝，由此可见ΔABE是可解的直角三
角形．由于等腰三角形是轴对称图形．从RtΔABE中
求得BE后，就不难得到基底BC的值．
解 在RtΔABE中，BE＝３米．
∵ 斜坡AB的坡度为１∶， ∴ tanＢ＝，则∠B＝30O.
AE＝BE tanB＝＝3（米）．
又∵ 等腰梯形是轴对称图形， ∴ BC＝AD＋２BE＝２＋６（米）．
答 路基高AE的长为3米，坡角B为30o，基底BC宽为（2＋6）米．
说明 由于题中没有精确度的要求，所以结果中可保留根号．
例5 某灯塔B在观测点A的北30°的方向，船M在灯塔正东方向，且在观测点A的北60°东的方向距A30海里，求若船M在上午11点10分出发，下午1点40分时驶抵灯塔B处，求船的速度（精确到0.1海里）.
分析 只需延长MB，归结为解直角三角形问题来加以解决.
解：延长MB和正北的方向线相交于C，得.在中，有，所以
又，在中，，所以
.
于是，有
.
据题意，船M行驶到B只用时2.5小时，所以，船的速度为
（海里/时）
答：这艘船的速度是6.9海里/时.
说明 由于南北方向线和东西方向线互相垂直.所以航海问题大都能归结为解直角三角形问题；本例由于所给的已知角都是特殊角，所以也可用平面几何图形的性质和勾股定理来解.如设（海里），证
于是，根据勾股定理，有
由于，所以得
.
例6 在矩形ABCD中，对角线AC＝10,面积为25,求两对角线所夹角的度数．
分析 如图，求矩形ABCD的两条对角线夹角
指∠AOB与∠BOC，由于ΔAOB、ΔBOC都
不是直角三角形，而∠AOB＝２∠ACB，因此，
从RtΔABC考虑问题解决的途径．
解 设∠ACB＝α，AB＝x，BC＝y．
根据题意，得x2＋y2＝102, xy＝25.
解方程组 x2＋y2＝102,
x2 y2＝252 ×3
设x2 、y2是一元二次方程t2－102t＋3 ×252＝０的两个根，解此方程得t１＝75, t2＝25,
则x2＝25，x＝5(舍去负值)， y2＝75， y＝5 (舍去负值)．
在RtΔABC中，∵ tanα＝, ∴ α＝30o.
则∠AOB＝60O, ∠BOC＝120O.
答 两条对角线所夹角的度数是60O或120O.
说明 虽然RtΔABC是可解的三角形，但是在等式xy＝25中不易求出x、y的值，因此必须要组成一个关于x、y的方程组，在解答中之所以把xy＝25变为x2 y2＝25 ×3，
是因为既可避免开方的困难，又能达到利用根与系数关系的目的．
例7 已知锐角ΔABC中，AC＝4,sinA、sinＢ是方程4x2－2＝0的两个根，且sinA＜sinB．求AB、BC、∠C．
分析 由于ΔABC不是直角三角形，∠A、∠B不是互余的两角，所以sinA与sinB没有直接关系，因此只能从解方程入手．
解 解方程4x2－2＝０
得 ＝０， ∴ x1＝， x2＝ ．
∵ sinA＜sinB， ∴ sinA＝， sinB＝．
又∵ ∠A、∠B均为锐角， ∴∠A＝45o, ∠Ｂ＝60o，则∠Ｃ＝75O.
见图，作CDAB，D为垂足．
在RtΔACD中，∠A＝45o, AC＝4,
则AD＝CD＝AC cos45o＝＝２．
在RtΔBCD中，∠B＝60o, CD＝２,
则BD＝CD ctg60o＝, BC＝２BD＝．
∴ AB＝AD＋BD＝．
答 AB＝， BC＝， ∠C＝75o.
例8 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝60o，∠B＝∠D＝90o，BC＝11,CD＝2, 求对面线AC的长．
分析 虽然ΔABC与ΔACD都是直角三
角形，但都不可能利用边角关系直接求得AC的
长，考虑到∠BAD＝60o, ∠B＝90o的特殊条件，
因此可设法得到一个特殊的直角三角形．从而再
去寻求途径．
解 延长AD、BC相交于点E.
在RtΔABE中，∠BAE＝60o, ∴ ∠E＝30O.
在RtΔCDE中，∠E＝30O，CD＝2， ∴ CE＝4．
∵ BC＝11， ∴ BE＝BC＋CE＝15．
则RtΔABE中，AB＝BE tanE＝.
在RtΔABC中，由勾股定理，得
AC＝
＝．
巩固练习
一、选择题
１．在ΔABC中，∠C＝90O，若AC∶AB＝1:2，则∠A与∠B的度数比为（ ）
Ａ．１∶３ Ｂ．１∶２ Ｃ．１∶１ Ｄ．２∶１
２．已知等腰三角形三边长分别为１、１和，则它的一个底角为（ ）
Ａ.150O Ｂ.60O Ｃ.45O Ｄ.30O
３．等边三角形的高为5,则它的面积为（ ）
Ａ.150 Ｂ.150 Ｃ.50 Ｄ.25
４．直角三角形中，一锐角的正切值为3/4，周长为24，则斜边长为（ ）
Ａ.10 Ｂ.12 Ｃ.14 Ｄ.15
５．菱形的边长为，一条对角线的长是另一条对角线长的２倍，则菱形的面积是（ ）
Ａ．2 Ｂ．1 Ｃ． Ｄ．4
二、填空题
６．在RtΔABC中，∠C＝90O，若a＝2，sinA＝，则c＝ ，b＝ ．
SΔABC＝ ．
７．在ΔABC中，∠C＝90O，AB＝，tanB＝，则AC＝ ．
BC＝ ．
８．ΔABC中，AB＝AC，ADBC，D为垂足，若AD∶BC＝∶２，
则sinB＝ ，∠BAC＝ Ｏ．
９．ΔABC中，∠C＝90O，SΔABC＝，a＝10,则∠A＝ O．
10. ΔABC中，∠A＋∠B＝90O,cosA＝，则sinB＝ ，若c＝10,
则a＝ ．
三、解答题
11. 如图，甲、乙两幢楼相距30米，从乙楼底B望
甲楼顶D仰角为45o,从甲楼顶D望乙楼顶A的
俯角为30o.
求乙楼高AB（保留两个有效数字）
12. 如图，在RtΔABC中，∠C＝90O，AC＝6，AC边上的中线BD＝，解
这个直角三角形．
(第２题) （第３题）
13. 如图，海岸上有相距120米的A、B两点，分别由A、B观察海上的一艘船C，
测得∠CAB＝45o, ∠CBA＝60O,求船到海岸AB的距离CD.
14. 如图，在小山顶上有座电视塔，塔高AB为32米，从地面上一点D测得塔顶仰角
为60o,从山顶B测得点D的俯角为45o,求小山的高BC（精确到１米）．
15．某日上午8时半，在灯塔A的东南68.6海里的B处有一只船向正西方向航行，上午11时到达该灯塔的正南C处，求这只船航行的速度（精确到0.1海里/小时）.
16．如图，铁路的路基横断面是等腰梯形，斜坡AB的坡度为，坡面AB的水平宽度，基面AD宽2m，求路基高AE、坡角B和基底BC的宽.
参考答案与提示
［答案］
1、 Ｄ、Ｄ、Ｄ、Ａ、Ｄ．
2、 ６．c＝６, b＝, SΔ＝； ７．AC＝6, BC＝4；
８．sinB＝，∠BAC＝60O； ９．60O； 10. , 8.
三、11. 13米； 12. BC＝２， AB＝4，∠A＝30O, ∠ABC＝60O；
13. (180－60)米； 14. 44米．
［提示］
７．设AC＝3x，则BC＝2x，由勾股定理得
(3x)2＋(2x)2＝（）2, 解得x＝2.
11. 作AECD于E，则AE＝BC＝30米.
在RtΔADE中，∠DAE＝30O，AE＝30,
∴ DE＝AEtan30o＝.
又∵ BC＝DC＝30， ∴ AB＝CE＝DC－DE≈11(米)．
12. RtΔBDC中，DC＝３，BD＝，则RtΔBDC是可解三角形，求得
BC＝２．
RtΔABC中，AC＝６，BC＝２，则RtΔABC也是可解三角形．
13. 设BD＝x，则BC＝2x, CD＝AD＝x.
根据题意，得方程x＋x＝120.
14. 设BC＝x，则CD＝x，AC＝x＋32.在RtΔACD中，∠ADC＝60O，
则tan60o＝＝．
15．（海里/小时）.
16．
12
9