九年级下第一章.doc[下学期]
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教 师 备 课 笔 记
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课题 §1.1 从梯子的倾斜程度谈起 课型 新授
教学目标 1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系. 2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.
重点和难点 教学重点 1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系. 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.教学难点 理解正切的意义，并用它来表示两边的比.
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师 生 活 动 过 程
1.创设问题情境，引入新课 [师]梯子是我们日常生活中常见的物体.我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的 “陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的 请同学们看下图，并回答问题(用多媒体演示)(1)在图中，梯子AB和EF哪个更陡 你是怎样判断的 你有几种判断方法 [生]梯子AB比梯子EF更陡. [师]你是如何判断的 [生]从图中很容易发现∠ABC>∠EFD，所以梯子AB比梯子EF陡.[生]我觉得是因为AC＝ED，所以只要比较BC、FD的长度即可知哪个梯子陡.BC教后随笔
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课题 §1.1.2 从梯子的倾斜程度谈起(二) 课型 新授
2.能够运用sinA、cosA表示直角三角形两边的比.
3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算. 4.理解锐角三角函数的意义.
重点和难点 教学重点 1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明. 2.能用sinA、cosA表示直角三角形两边的比. 3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算.教学难点 用函数的观点理解正弦、余弦和正切.
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Ⅰ.创设情境，提出问题，引入新课 [师]我们在上一节课曾讨论过用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度，并且得出了当倾斜角确定时，其对边与斜边之比随之确定.也就是说这一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关.并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切. 现在我们提出两个问题： [问题1]当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗 [问题2]梯子的倾斜程度与这些比有关吗 如果有，是怎样的关系 Ⅱ.讲授新课 1.正弦、余弦及三角函数的定义 多媒体演示如下内容：想一想：如图(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系 (2) 有什么关系 呢 (3)如果改变A2在梯子A1B上的位置呢 你由此可得出什么结论 (4)如果改变梯子A1B的倾斜角的大小呢 你由此又可得出什么结论 请同学们讨论后回答. [生]∵A1C1⊥BC1，A2C2⊥BC2，∴A1C1//A2C2.∴Rt△BA1C1∽Rt△BA2C2. (相似三角形对应边成比例). 由于A2是梯子A1B上的任意—点，所以，如果改变A2在梯子A1B上的位置，上述结论仍成立. 由此我们可得出结论：只要梯子的倾斜角确定，倾斜角的对边.与斜边的比值，倾斜角的邻边与斜边的比值随之确定.也就是说，这一比值只与倾斜角有关，而与直角三角形大小无关. [生]如果改变梯子A1B的倾斜角的大小，如虚线的位置，倾斜角的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值随之改变. [师]我们会发现这是一个变化的过程.对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值都随着倾斜角的改变而改变，同时，如果给定一个倾斜角的值，它的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值是唯一确定的.这是一种什么关系呢 [生]函数关系. [师]很好!上面我们有了和定义正切相同的基础，接着我们类比正切还可以有如下定义：(用多媒体演示) 在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.如图，∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正弦(sine)，记作sinA，即 sinA＝ ∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(cosine)，记作cosA，即 cosA= 锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数(trigonometricfunction). [师]你能用自己的语言解释一下你是如何理解“sinA、cosA、tanA都是之A的三角函数”呢 [生]我们在前面已讨论过，当直角三角形中的锐角A确定时.∠A的对边与斜边的比值，∠A的邻边与斜边的比值，∠A的对边与邻边的比值也都唯一确定.在“∠A的三角函数”概念中，∠A是自变量，其取值范围是0°cosA1， 所以梯子的倾斜程度与cosA也有关系.cosA的值越小，梯子越陡. [师]同学们分析得很棒，能够结合图形分析就更为妙哉!从理论上讲正弦和余弦都可以刻画梯子的倾斜程度，但实际中通常使用正切. 3.例题讲解 多媒体演示.[例1]如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC＝200.sinA＝0.6，求BC的长.分析：sinA不是“sin”与“A”的乘积，sinA表示∠A所在直角三角形它的对边与斜边的比值，已知sinA＝0.6，＝0.6. 解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝200. sinA＝0.6，即=0.6，BC＝AC×0.6＝200×0.6=120. 思考：(1)cosA＝ (2)sinC＝？ cosC＝ (3)由上面计算，你能猜想出什么结论 解：根据勾股定理，得 AB＝=160. 在Rt△ABC中，CB＝90°. cosA＝＝0.8， sinC= =0.8， cosC＝ ＝0.6， 由上面的计算可知 sinA＝cosC＝O.6， cosA＝sinC＝0.8. 因为∠A+∠C＝90°，所以，结论为“一个锐角的正弦等于它余角的余弦”“一个锐角的余弦等于它余角的正弦”.[例2]做一做：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA＝，AC＝10，AB等于多少 sinB呢 cosB、sinA呢 你还能得出类似例1的结论吗 请用一般式表达.∵∠A+∠B=90°，∴sinA：cosB=cos(90-A)，即sinA＝cos(90°-A)； cosA＝sinB＝sin(90°-A)，即cosA＝sin(90°-A). Ⅲ.随堂练习 多媒体演示 1.在等腰三角形ABC中，AB=AC＝5，BC=6，求sinB，cosB，tanB. 分析：要求sinB，cosB，tanB，先要构造∠B所在的直角三角形.根据等腰三角形“三线合一”的性质，可过A作AD⊥BC，D为垂足. 2.在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC=20，求△ABC的周长和面积.Ⅳ.课时小结本节课我们类比正切得出了正弦和余弦的概念，用函数的观念认识了三种三角函数，即在锐角A的三角函数概念中，∠A是自变量，其取值范围是0°<∠A<90°；三个比值是因变量.当∠A确定时，三个比值分别唯一确定；当∠A变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应.类比前一节课的内容，我们又进一步思考了正弦和余弦的值与梯子倾斜程度之间的关系以及用正弦和余弦的定义来解决实际问题. Ⅴ.课后作业 习题1、2第1、2、3、4题
教后随笔
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课题 §1.2 30°、45°、60°角的三角函数值 课型 新授
教学目标 1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义. 2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.
重点和难点 教学重点 1.探索30°、45°、60°角的三角函数值. 2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 3.比较锐角三角函数值的大小.教学难点 进一步体会三角函数的意义.
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Ⅰ.创设问题情境，引入新课 [问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度. (用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法)[生]我们组设计的方案如下： 让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB的长度，BE的长度，因为DE=AB，所以只需在Rt△CDA中求出CD的长度即可. [生]在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AD＝BE，BE是已知的，设BE=a米，则AD＝a米，如何求CD呢 [生]含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质：30°的角所对的边等于斜边的一半，即AC＝2CD，根据勾股定理，(2CD)2＝CD2+a2. CD＝a. 则树的高度即可求出. [师]我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°的正切值，在上图中，tan30°=，则CD=atan30°，岂不简单.你能求出30°角的三个三角函数值吗 Ⅱ.讲授新课 1.探索30°、45°、60°角的三角函数值. [师]观察一副三角尺，其中有几个锐角 它们分别等于多少度 [生]一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°、60°、45°、45°.[师]sin30°等于多少呢 你是怎样得到的 与同伴交流.[生]sin30°＝. sin30°表示在直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值，与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边等于2a.根据勾股定理，可知30°角的邻边为a，所以sin30°＝. [师]cos30°等于多少 tan30°呢 [生]cos30°＝. tan30°= [师]我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少 你是如何得到的 [生]求60°的三角函数值可以利用求30°角三角函数值的三角形.因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边.利用上图，很容易求得sin60°=, cos60°=, tan60°＝. [生]也可以利用上节课我们得出的结论：一锐角的正弦等于它余角的余弦，一锐角的余弦等于它余角的正弦.可知sin60°＝cos(90°-60°)＝cos30°=cos60°=sin(90°-60°)=sin30°=.[师生共析]我们一同来求45°角的三角函数值.含45°角的直角三角形是等腰直角三角形.(如图)设其中一条直角边为a，则另一条直角边也为a，斜边a.由此可求得 sin45°=, cos45°＝, tan45°=[师]下面请同学们完成下表(用多媒体演示)30°、45°、60°角的三角函数值三角函数角sinαcoαtanα30°45°160°这个表格中的30°、45°、60°角的三角函数值需熟记，另一方面，要能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小. 为了帮助大家记忆，我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢 [生]30°、45°、60°角的正弦值分母都为2，分子从小到大分别为，，，随着角度的增大，正弦值在逐渐增大. [师]再来看第二列函数值，有何特点呢 [生]第二列是30°，45°、60°角的余弦值，它们的分母也都是2，而分子从大到小分别为，，，余弦值随角度的增大而减小. [师]第三列呢 [生]第三列是30°、45°、60°角的正切值，首先45°角是等腰直角三角形中的一个锐角，所以tan45°=1比较特殊. [师]很好，掌握了上述规律，记忆就方便多了.下面同桌之间可互相检查一下对30°、45°、60°角的三角函数值的记忆情况.相信同学们一定做得很棒. 2.例题讲解(多媒体演示) [例1]计算： (1)sin30°+cos45°； (2)sin260°+cos260°-tan45°. 分析：本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值，今后若无特别说明，用特殊角三角函数值进行计算时，一般不取近似值，另外sin260°表示(sin60°)2，cos260°表示(cos60°)2. 解：(1)sin30°+cos45°=, (2)sin260°+cos260°-tan45° =()2+()2-1 = + -1 ＝0. [例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m) 分析：引导学生自己根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. 解：根据题意(如图)可知，∠BOD=60°，OB=OA＝OD=2.5 m，∠AOD＝×60°＝30°， ∴OC=OD·cos30°=2.5×≈2.165(m). ∴AC＝2.5-2.165≈0.34(m). 所以，最高位置与最低位置的高度约为0.34 m. Ⅲ.随堂练习 多媒体演示 1.计算： (1)sin60°-tan45°； (2)cos60°+tan60°； (3) sin45°+sin60°-2cos45°. 解：(1)原式＝-1=； (2)原式=+=(3)原式=×+×；= 2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m，扶梯的长度是多少 解：扶梯的长度为=14(m)， 所以扶梯的长度为14 m. Ⅳ.课时小结 本节课总结如下： (1)探索30°、45°、60°角的三角函数值. sin30°＝，sin45°＝，sin60°＝； cos30°＝，cos45°＝ ，cos60°＝；tan30°= ，tan45°＝1，tan60°=. (2)能进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算. (3)能根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小. Ⅴ.课后作业 习题1.3第1、2题
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课题 §1.3 三角函数的有关计算(一) 课型 新授
教学目标 1.经历用计算器由已知锐角求三角函数值的过程.进一步体会三角函数的意义. 2.能够用计算器进行有关三角函数值的计算. 3.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.
重点和难点 教学重点 1.用计算器由已知锐角求三角函数值. 2.能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.教学难点 用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.
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Ⅰ.提出问题，引入新课 用多媒体演示： [问题]如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200米，已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠a＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少 [生]在Rt△ABC中，∠α＝16°，AB=200米，需求出BC. 根据正弦的定义，sin16°=, ∴BC＝ABsin16°＝200 sin16°(米). [师]200sin16°米中的“sin16°”是多少呢 我们知道，三角函数中，当角的大小确定时，三角函数值与直角三角形的大小无关，随着角度的确定而确定. 对于特殊角30°、45°、60°可以根据勾股定理和含这些特殊角的直角三角形的性质，求出它们的三角函数值，而对于一般锐角的三角函数值，我们需借助于科学计算器求出这些锐角的三角函数值. 怎样用科学计算器求三角函数值呢 Ⅱ.讲授新课 1.用科学计算器求一般锐角的三角函数值. [师]用科学计算器求三角函数值，要用到和键.例如sin16°，cos42°，tan85°和sin72°38′25″的按键顺序如表所示. [师]很好，同学们都能用自己的计算器计算出三角函数值.大家可能注意到用计算器求三角函数值时，结果一般有10个数位,我们的教材中有一个约定.如无特别说明，计算结果一般精确到万分位. 下面就清同学们利用计算器求出本节刚开始提出的问题. [生]用计算器求得BC＝200sin16°≈55.12(m). [师]下面请同学们用计算器计算下列各式的值. (1)sin56°；(2)sin15°49′； (3)cos20°；(4)tan29°； (5)tan44°59′59″；(6)sin15°+cos61°+tan76°. (以小组为单位，展开竞赛，看哪一组既快又准确) [师]你能用计算器计算说明下列等式成立吗 (用多媒体演示) 下列等式成立吗 (1)sin15°+sin25°＝sin40°； (2)cos20°+cos26°=cos46°； (3)tan25°+tan15°＝tan40°. [生]上面三个等式都不成立. [师]由此.你能得出什么结论 [生]两个锐角的正弦的和不等于这两个锐角的和的正弦.对于余弦、正切也一样. 2.用计算器辅助解决含有三角函数值计算的实际问题. [师]看来同学们已能很熟练地用计算器计算一个锐角的三角函数值.下面我们运用计算器辅助解决一个含有三角函数值计算的实际问题. 多媒体演示本节开始的问题：当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200 m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角是∠β＝42°，由此你能想到还能计算什么 [生]可以计算缆车从B点到D点垂直上升的高度. [生]可以计算缆车从A点到D点，一共垂直上升的高度、水平移动的距离. [师]下面我们就请三位同学分别就上面的问题用计算器辅助计算出结果.其余同学可在小组内交流、讨论完成. [生]在Rt△DBE中，∠β＝42°，BD＝200 m，缆车上升的垂直高度DE＝BDsin42°=200sin42°≈133.83(米). [生]由前面的计算可知，缆车从A→B→D上升的垂直高度为BC+DE=55.12+133.83＝188.95(米). [生]在Rt△ABC中，∠α＝16°，AB=200米，AC＝ABcos16°≈200×0.9613＝192.23(米). 在RtADBE中，∠β＝42°，BD＝200米.BE＝BD·cos42°≈200×0.7431=148.63(米). 缆车从A→B→D移动的水平距离为BE+AC＝192.23+148.63=340.86(米). Ⅲ.随堂练习 一个人从山底爬到山顶，需先爬40°的山坡300 m，再爬30°的山坡100 m，求山高.(结果精确到0.01 m) Ⅳ.课时小结 本节课主要内容如下： (1)运用计算器计算由已知锐角求它的三角函数值. (2)运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题. Ⅴ.课后作业 习题1.4的第1、2题
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课题 §1.3.2 三角函数的有关计算(二) 课型 新授
教学目标 1.经历用计算器由三角函数值求相应锐角的过程，进一步体会三角函数的意义. 2.能够利用计算器进行有关三角函数值的计算. 3.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.
重点和难点 教学重点 1.用计算器由已知三角函数值求锐角. 2.能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.教学难点 用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.
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Ⅰ.创设问题情境，引入新课 [师]随着人民生活水平的提高，农用小轿车越来越多，为了交通安全，某市政府要修建10 m高的天桥，为了方便行人推车过天桥，需在天桥两端修建40m长的斜道.(如图所示，用多媒体演示) 这条斜道的倾斜角是多少 [生]在Rt△ABC中，BC=10 m，AC＝40 m， sinA＝.可是我求不出∠A. [师]我们知道，给定一个锐角的度数，这个锐角的三角函数值都唯一确定.给定一个锐角的三角函数值，这个锐角的大小也唯一确定吗 为什么 [生]我们曾学习过两个直角三角形的判定定理——HL定理.在上图中，斜边AC和直角边BC是定值，根据HL定理可知这样的直角三角形形状和大小是唯一确定的，当然∠A的大小也是唯一确定的. [师]这位同学能将前后知识联系起来很有条理地解释此问题，很不简单.我们知道了sinA=时，锐角A是唯一确定的.现在我要告诉大家的是要解决这个问题，我们可以借助于科学计算器来完成.这节课，我们就来学习如何用科学计算器由锐角三角函数值求相应锐角的大小. Ⅱ.讲授新课 1.用计算器由锐角三角函数值求相应锐角的大小.[师]已知三角函数求角度，要用到键的第二功能、、和 键.键的第二功能 “sin-1,cos-1,tan-1”和 键 例如：已知sinA=0.9816，求锐角A， 已知cosA＝0.8607，求锐角A； 已知tanA：0.1890，求锐角A； 已知tanA＝56.78，求锐角A. 上表的显示结果是以“度”为单位的.再按 键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果. (教学时，给学生以充分交流的时间和空间，教师要引导学生根据自己使用的计算器，探索具体操作步骤) [师]你能求出上图中∠A的大小吗 [生]sinA=＝0.25.按键顺序为，显示结果为14.47751219°，再按 键可显示14°28′39″.所以∠A=14°28′39″. [师]很好.我们以后在用计算器求角度时如果无特别说明，结果精确到1″即可. 你还能完成下列已知三角函数值求角度的题吗 (多媒体演示) 1.根据下列条件求锐角θ的大小： (1)tanθ＝2.9888；(2)sinθ=0.3957；(3)cosθ＝0.7850；(4)tanθ＝0.8972； 2.某段公路每前进100米，路面就升高4米，求这段公路的坡角.(请同学们完成后，在小组内讨论、交流.教师巡视，对有困难的学生予以及时指导) 2.运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题. [例1]如图，工件上有-V形槽.测得它的上口宽加20 mm深19.2mm。求V形角(∠ACB)的大小.(结果精确到1°) 分析：根据题意，可知AB＝20 mm，CD⊥AB，AC＝BC，CD=19.2 mm，要求∠ACB，只需求出∠ACD(或∠DCB)即可. 解：tanACD=≈0.5208， ∴∠ACD＝27.5°， ∠ACB＝2∠ACD≈2×27.5°＝55°.[例2]如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤.在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤.已知肿瘤在皮下6.3 cm的A处，射线从肿瘤右侧9.8cm的B处进入身体，求射线的入射角度， 解：如图，在Rt△ABC中， AC＝6.3 cm，BC=9.8 cm， ∴tanB=≈0.6429. ∴∠B≈32°44′13″. 因此，射线的入射角度约为32°44′13″. 注：这两例都是实际应用问题，确实需要知道角度，而且角度又不易测量，这时我们根据直角三角形边的关系.即可用计算器计算出角度，用以解决实际问题. 3.解直角三角形 [师]我们讨论锐角三角形函数，都是将锐角放到直角三角形中讨论，又一次揭示了直角三角形中的边角关系.你知道在直角三角形中，除直角外，有几个元素组成 [生]5个元素，两个锐角，两条直角边和一条斜边.[师]根据我们所学知识，你知道这些边、角有什么样的关系吗 [生]在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c. (1)边的关系：a2+b2=c2(勾股定理)； (2)角的关系：∠A+∠B=90°； (3)边角关系：sinA=，cosA=，tanA= ；sinB＝，cosB＝，tanB= . [师]由前面的两个例题以及上节的内容我们可以发现，很多实际问题中的数量关系都可归结为直角三角形中元素之间的关系，使实际问题都得到解决. Ⅲ.随堂练习 1.已知sinθ＝0.82904.求∠θ的大小. 解：∠θ≈56°1″ 2.一梯子斜靠在一面墙上.已知梯长4 m，梯子位于地面上的一端离墙壁2.5 m，求梯子与地面所成的锐角. Ⅳ.课时小结 本节课我们学习了用计算器由三角函数值求相应的锐角的过程，进一步体会三角函数的意义.并且用计算器辅助解决含有三角函数值计算的实际问题. Ⅴ.课后作业 习题1.5第1、2、3题
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课题 §1.4 船有触礁的危险吗 课型 新授
教学目标 1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用. 2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.
重点和难点 教学重点 1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用. 2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力.教难点 根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.
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Ⅰ.创设问题情境，引入新课 [师]直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等. 下面我们就来看一个问题(多媒体演示).海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗 你是如何想的 与同伴进行交流. 下面就请同学们用锐角三角函数知识解决此问题.(板书：船有触礁的危险吗) Ⅱ.讲授新课 [师]我们注意到题中有很多方位，在平面图形中，方位是如何规定的 [生]应该是“上北下南，左西右东”.[生]首先我们可将小岛A确定，货轮B在小岛A的南偏西55°的B处，C在B的正东方，且在A南偏东25°处.示意图如下. [师]货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定 [生]根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里，则无触礁的危险，如果小于10海里则有触礁的危险.A到BC所在直线的最短距离为过A作AD⊥BC，D为垂足，即AD的长度.我们需根据题意，计算出AD的长度，然后与10海里比较. [师]这位同学分析得很好，能将实际问题清晰条理地转化成数学问题.下面我们就来看AD如何求.根据题意，有哪些已知条件呢 [生]已知BC＝20海里，∠BAD＝55°，∠CAD＝25°. [师]在示意图中，有两个直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD.你能在哪一个三角形中求出AD呢 [生]在Rt△ACD中，只知道∠CAD=25°，不能求AD. [生]在Rt△ABD中，知道∠BAD=55°，虽然知道BC＝20海里，但它不是Rt△ABD的边，也不能求出AD. [师]那该如何是好 是不是可以将它们结合起来，站在一个更高的角度考虑 [生]我发现这两个三角形有联系，AD是它们的公共直角边.而且BC是这两个直角三角形BD与CD的差，即BC＝BD-CD.BD、CD的对角是已知的，BD、CD和边AD都有联系. [生]在Rt△ABD中，tan55°＝，BD=ADtan55°；在Rt△ACD中，tan25°＝，CD＝ADtan25°.利用BC＝BD-CD就可以列出关于AD的一元一次方程，即ADtan55°-ADtan25°＝20. [师]太棒了!没想到方程在这个地方帮了我们的忙.其实，在解决数学问题时，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一. 下面我们一起完整地将这个题做完. [师生共析]解：过A作BC的垂线，交BC于点D.得到Rt△ABD和Rt△ACD，从而BD=ADtan55°，CD＝ADtan25°，由BD-CD＝BC，又BC＝20海里.得 ADtan55°-ADtan25°＝20. AD(tan55°-tan25°)＝20， AD=≈20.79(海里). 这样AD≈20.79海里>10海里，所以货轮没有触礁的危险. [师]接下来，我们再来研究一个问题.还记得本章开头小明要测塔的高度吗 现在我们来看他是怎样测的，并根据他得到的数据帮他求出塔的高度.想一想你会更聪明：如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处.测得仰角为60°.那么该塔有多高 (小明的身高忽略不计，结果精确到1 m)[师]我想请一位同学告诉我什么是仰角 在这个图中，30°的仰角、60°的仰角分别指哪两个角 [生]当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角.30°的仰角指∠DAC，60°的仰角指∠DBC. [师]很好!请同学们独立思考解决这个问题的思路，然后回答. [生]首先，我们可以注意到CD是两个直角三角形Rt△ADC和Rt△BDC的公共边，在Rt△ADC中，tan30°=， 即AC＝在Rt△BDC中，tan60°=,即BC＝，又∵AB=AC-BC＝50 m，得 -=50. 解得CD≈43(m)， 即塔CD的高度约为43 m. Ⅲ.随堂练习 1.如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5 m，现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少 2.如图，水库大坝的截面是梯形ABCD，坝顶AD＝6 m，坡长CD＝8 m.坡底BC＝30 m，∠ADC=135°. (1)求∠ABC的大小： (2)如果坝长100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料 (结果精确到0.01 m3) Ⅳ.课时小结 本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题，提高了我们分析和解决实际问题的能力. 其实，我们这一章所学的内容属于“三角学”的范畴.请同学们阅读“读一读”，了解“三角学”的发展，相信你会对“三角学”更感兴趣. Ⅴ.课后作业 习题1.6第1、2、3题.
教后随笔
教 师 备 课 笔 记
上课日期 月 日 星期
课题 §1.5.1 测量物体的高度(一) 课型 新授
教学目标 1.经历活动设计方案，自制仪器.2.能够设计方案、步骤，能够说明测量的理由.3.回顾、整理已学过的测高方法以及相关知识.综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题.
设计活动方案、自制仪器.
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师 生 活 动 过 程
Ⅰ.提出问题，引入新课 [师]我们在前几节的学习过程中，曾遇到用直角三角形的边角关系求物体的高度，例如习题1.4第2题.小伟测大厦的高度，上一节小明测塔的高度等，这些都是小伟、小明已将测量的数据直接告诉我们，让我们利用直角三角形的边角关系直接求得即可. 可现实生活中测量物体的高度，特别像旗杆、高楼大厦、塔等较高的不可到达的物体的高度，需要我们自己去测量，自己去制作仪器，获得数据，然后利用所学的数学知识解决问题. 请同学们思考小明在测塔的高度时，用到了哪些仪器 [生]测角仪和皮尺. [师]它们有何用途 [生]测角仪是用来测量仰角和俯角的大小的，皮尺是用来测距离.[师]很好.首先我们来制作一个测角仪，并思考如何用测角仪测量角的大小，并说明它的工作原理. Ⅱ. 设计活动方案，自制仪器 活动一：测量倾斜角 [师]首先我们来自制一个测倾器(或测角仪、经纬仪等).一般的测倾器由底盘、铅锤和支杆组成.下面请同学们以组为单位，分组制作如图所示的测倾器. (关注学生是否积极地投入到活动中去，能否积极想办法.利用手中的现有材料，制作一个规范、标准的测角仪) [师]制作测角仪时应注意什么 [生]支杆的中心线、铅垂线、0刻度线要重合，否则测出的角度就不准确.度盘的顶线PQ与支杆的中心线、铅垂线、0刻度线要互相垂直，并且度盘有一个旋转中心是铅垂线与PQ的交点.当度盘转动时，铅垂线始终垂直向下. 一个组制作测角仪，小组内总结，讨论测角仪的使用步骤) [师]用测角仪如何测仰角 [生]1.把测角仪的支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置. 2.转动度盘，使度盘的直经对准较高目标M，记下此时铅垂线指的度数.那么这个度数就是较高目标M的仰角. [师]你能说明你的理由吗 [生]如图，要测点M的仰角，我们将支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置.我们转动度盘，使度盘的直径对准目标M，此时铅垂线指向一个度数.即∠BCA的度数.根据图形我们不难发现∠BCA+∠ECB＝90°，而∠MCE+∠ECB=90°，即∠BCA、∠MCE都是∠ECB的余角，根据同角的余角相等，得∠BCA＝∠MCE.因此读出∠BCA的度数，也就读出了仰角∠MCE的度数. [师]如何用测角仪测量一个低处物体的俯角呢 [生]和测量仰角的步骤是一样的，只不过测量俯角时，转动度盘，使度盘的直径对准低处的目标，记下此时铅垂线所指的度数，同样根据“同角的余角相等”，铅垂线所指的度数就是低处的俯角. 活动二：测量底部可以到达的物体的高度. [师]你是如何理解“底部可以到达的物体”的 [生]“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体底部之间的距离. [师]现在我们手边有测角仪和皮尺，你能设计一个方案测量底部可以到达的物体的高度吗 [生]我们在初二时曾利用三角形相似测量过旗杆的高度.现在手里有测角仪和直尺.可以利用直角三角形的边角关系，测出旗杆的高度(设旗杆的底部可以到达). 要测旗杆MN的高度，可按下列步骤进行：(如下图) 1.在测点A处安置测倾器(即测角仪)，测得M的仰角∠MCE=α. 2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN＝l.3.量出测倾器(即测角仪)的高度AC＝a(即顶线PQ成水平位置时，它与地面的距离).根据测量数据，就能求出物体MN的高度. [师]很好!为什么这样就能求出物体的高度，你能说明理由吗 [生]可以.因为在Rt△MEC中，∠MCE=α，AN=EC=l，所以tanα=，即ME=tana·EC＝l·tanα. 又因为NE＝AC＝a，所以MN＝ME+EN＝l·tanα+a. [师]同学们能利用自角三角形的边角关系用测角仪和皮尺测出底部可以到达的物体的高度.但现实生活中，还存在有底部不呵以到达的物体.它们的高度如何测量呢 活动三：测量底部不可以到达的物体的高度. [师]所凋“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.例如测量一个山峰的高度. [生]前一节中小明测量塔的高度就是底部不可以到达的物体的高度的测量.我们从小明的测量过程中得到启示，要测量底部不可以到达的物体的高度，可按下面的步骤进行(如图所示)： 1.在测点A处安置测角仪，测得此时物体MN的顶端M的仰角∠MCE＝α. 2.在测点A与物体之间的B处安置测角仪(A、B与N都在同一条直线上)，此时测得M的仰角∠MDE=β. 3.量出测角仪的高度AC＝BD＝a，以及测点A，B之间的距离AB=b 根据测量的AB的长度，AC、BD的高度以及∠MCE、∠MDE的大小，根据直角三角形的边角关系.即可求出MN的高度。 [师]你能说说你的理由吗 [生]可以.在Rt△MEC中，∠MCE＝α，则tanα＝，EC=； 在Rt△MED中，∠MDE＝β则tanβ＝ ，ED＝； 根据CD＝AB＝b，且CD＝EC-ED=b. 所以-=b, ME= MN=+a即为所求物体MN的高度. [师]今天，我们分组讨论并制作了测角仪，学会使用了测角仪，并研讨㈩测量可到达底部和不可以到达底部的物体高度的方案.下一节课就清同学们选择我们学校周围的物体.利用我们这节课设计的方案测量它们的高度，相信同学们收获会更大. Ⅲ.课时小结 本节课同学们在各个小组内都能积极地投入到方案的设计活动中，想办法.献计策，并能用直角三角形的边角关系的知识解释设计方案的可行之处.相信同学们在下节课的具体活动中会更加积极地参与到其中. Ⅳ.课后作业 制作简单的测角仪 Ⅴ.活动与探究 (2003年辽宁)如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD.且建筑物周围没有开阔平整地带.该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可以直接测得。从A、D、C三点可看到塔顶端H.可供使用的测员工具有皮尺，测倾器(即测角仪). (1)清你根据现有条件，充分利用矩形建筑物.设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案.具体要求如下： ①测量数据尽可能少；②在所给图形上，画出你设计的测量的平面图，并将应测数据标记在图形上(如果测A、D间距离，用m表示；如果测D、C间距离，用n表示；如果测角，用α、β、γ等表示.测倾器高度不计) (2)根据你测量的数据，计算塔顶到地面的高度HG(用字母表示),I 方案1：(1)如图(a)(测四个数据) AD＝m.CD＝n，∠HDM＝α,∠HAM＝β (2)设HG＝x，HM＝x-n， 在Rt△HDM中，tanα,DM= 在Rt△HAM中，tanα,DM=∵AM-DM＝AD，∴-=m,x=+n.方案2：(1)如图(b)(测三个数据) CD＝n，∠HDM＝α，∠HCG＝γ. (2)设HG＝x，HM＝x-n， 在Rt△CHG中，tanγ=,CG=,在Rt△HDM中，tanα,DM=,∵CG＝DM. ∴=,x=课后作业 习题1.7
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教 师 备 课 笔 记
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课题 1.5.2 测量物体的高度(二) 课型 新授
教学目标 1.经历运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程.2.能够对所得到的数据进行分析，能够对仪器进行调整和对测量结果进行矫正，从而得出符合实际的结果. 3.能综合应用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题.
重点和难点 教学重点 1.运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告. 2.综合运用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题.教学难点 1.活动时的组织和凋控 2.撰写活动报告
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Ⅰ.每组提出测量的对象及方案 [师]上节课我们已获得测量底部可以到达或不可以到达的物体的高度的测量方案，这节课我们就来具体实施. [教师活动)1.把学生分成5～6人一组进行讨论.引导学生选定测量对象，根据上节课的分析设计出本组测量的方案，非做好分工. 2.引导学生展示自己设计的方案.并帮助完善. 3、教师提示要注意的实验的细节： (1)注意实验时的安全. (2)在测量的过程中.要产生测量误差，因此，需多测两组数据.并取它们的平均值较妥. (3)正确地使用测倾器，特别要注意测量过程中正确、规范地读数. (4)积极参与测量活动.并能对在测量过程中遇到的困难，想方没法，团结协作，共同解决. [学生活动]1.学生分组开展小组讨论、交流，初步确定测量对象和方案，并在全班发言，其他学生帮助完善. 2.学生讨论得出实验活动过程中测角和距离的方法.并特别注重测量的精确度，在活动中.还应注意相互协作、合理安排，让活动能有序、高效率地进行. [设计思想]培养学生独立设计方案的能力.培养学生科学的思维方式和思维能力.Ⅱ.户外活动——测量物体的高度 [教师活动]教师指导个别活动能力差的小组. [学生活动]学生按小组自觉测量，获得相关的数据，并进行初步的计算过程，可以用计算器辅助. [设计思想]培养学生动手操作，积极参与数学活动的能力，在活动中体现相互尊重和协调的能力，发展合作意识和科学精神. Ⅲ.分析实验结果，撰写活动报告 活动结束后，应要求学生整理活动过程，并撰写活动报告，活动报告可因组而异. [教师活动]如帮助学生设计活动报告表，并提供一份活动报告表供学生参考.活动报告 年 月 日 课题测量示意图测得数据测量项目第一次第二次平均值计算过程活动感受负责人及参加人员计算者和复核者指导教师审核意见备注[学生活动]1.填写活动报告表. 2.反思实验过程，在全班交流各组的实验活动感受. 3.根据活动报告表，汇报各组实验活动的结果. [设计思想]1.总结数学活动经验，培养学生理论联系实际的能力. 2.培养学生反思的习惯，提高学生活动的能力. Ⅳ.议一议——深入思考 (1)到目前为止，你有哪些测量物体高度的方法 (2)如果一个物体的高度已知或容易测量，那么如何测量某测点到该物体的水平距离 (教学时，可先由学生小组讨论，然后师生共同分析总结) [生]我们在初二时曾测量过旗杆的高度.方法有三个：(1)利用太阳光下的影子测旗杆的高度；(2)利用标杆测旗杆的高度：(3)利用镜子的反射测旗杆的高度，通过今天的学习，我们还知道了利用直角三角形的边角关系测量物体的高度. [师]前三种方法主要利用什么数学知识来测量 [生]利用三角形相似的知识.[生]我还有一种方法.我可以站在旗杆照一张照片，让我和旗杆都全部拍入照片中，测量出照片上我的身高和旗杆的高度.利用图上距离的比等于实际距离的比，也可以求出旗杆的高度. [师]我们再来看一下第(2)问，在现实生活中.一个物体的高度已知或很容易得到，你能想办法测量某测点到该物体的水平距离吗 特别是该物体从测点不容易到达时. [生]如图，可以测出M的仰角∠MCE=α，以及测倾器的高AC＝a，然后根据AN= 即可求出测点A到物体MN的水平距离AN. Ⅴ.课时小结这节课我们在前面已研讨过设计方案的基础上，分组进行了实地测量，使我们所学的数学知识应用到了实践中.整节课，每个小组的成员都能积极地投入到活动中，在活动中积极想办法，克服困难，团结协作高效地完成了活动课题，并在活动结束后，整理了活动过程，书写了活动报告，进一步回顾整理了已经学过的测高方法及相关知识.总之，同学们这一节课的表现相当出色、成功，祝贺你们． Ⅵ．课后作业 习题1．7
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课题 回顾与思考 课型 复习课
教学目标 1．经历回顾与思考，建立本章的知识框架图． 2．利用计算器，发现同角的正弦、余弦、正切之间的关系。 3．进一步体会直角三角形边角关系在现实生活中的广泛应用． 4．体会数形之间的联系，逐步学会利用数形结合的思想分析问题和解决问题． 5．在独立思考问题的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点．并尊重与理解他人的见解，在交流中获益．
重点和难点 教学重点 1．建立本章的知识结构框架图． 2．应用三角函数解决现实生活中的问题，进一步理解三角函数的意义．教学难点 应用三角函数解决问题
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师 生 活 动 过 程
Ⅰ．回顾、思考下列问题，建立本章的知识框架图 [师]直角三角形的边角关系，是现实世界中应用广泛的关系之一．通过本章的学习，我们知道了锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用．如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，—般来说，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角的关系． 利用锐角三角函数解决实际问题是本章的重要内容，很多实际问题穿插于各节内容之中． [问题门举例说明，三角函数在现实生活中的应用． [生]例如：甲、乙两楼相距30 m，甲楼高40 m，自甲楼楼顶看乙楼楼顶．仰角为30°，乙楼有多高 (结果精确到1 m) 解：根据题意可知：乙楼的高度为30tn30°=40+30× =40+10 ≈57(m)， 即乙楼的高度约为57 m．[生]例如，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距180 m的P和Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正南方向，在Q南偏西50°的方向，求河宽(结果精确到1 m)． 解：根据题意，∠TPQ＝90°，∠PQT=90°-50°＝40°，PQ＝180 m． 则：PT就是所求的河宽． 在Rt△TPQ中，PT=180×tan40° =180×0．839≈151 m， 即河宽为151 m． [师]三角函数在现实生活中的应用很广泛，下面我们来看一个例子．如图．MN表示某引水工程的一段设计路线从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°的方向上有一点A，以A为圆心，500 m为半径的圆形区域为居民区，取MN上的另一点B，测得BA的方向为南偏东75°，已知MB＝400 m，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区 [师生共析]解：根据题意可知∠CMB=30°，∠CMA＝60°，∠EBA＝75°，MB=400 m，输水路线是否会穿过居民区，关键看A到MN的最短距离大于400 m还是等于400 m，于是过A作AD⊥MN．垂足为D． ∵BE//MC．∴∠EBD＝∠CMB＝30°． ∴∠ABN=45°． ∠AMD＝∠CMA-∠CMB＝60°-30°=30°． 在Rt△ADB中，∠ABD＝45°， ∴tan45°＝ ，BD＝＝AD， 在Rt△AMD中．∠AMD=30°，tan30° =，MD＝=AD， ∵MD=MD-BD， 即 AD-AD＝400， AD-200(+1)m>400m．所以输水路线不会穿过居民区． [问题2]任意给定一个角，用计算器探索这个角的正弦、余弦、正切之间的关系． 例如∠α＝25°，sinα、cosα、tanα的值是多少 它们有何关系呢 [生]sin25°≈0．4226，cos25°≈0．9063， tan25°≈0．4663． 而 ≈0．4663． 我们可以发现 ＝tanα． [师]这个关系是否对任意锐角都成立呢 我们不妨从三角函数的定义出发来推证一下． [师生共析]如图，在Rt△ABC中．∠C＝90°， ∵sinA＝cosA＝ tanA＝， ∴=tanA, tanA=. 这就是说，对于任意锐角A，∠A的正弦与余弦的商等于∠A的正切． [师]下面请同学们继续用计算器探索sinα，cosα之间的关系． [生]sin225°≈0．1787,cos225°≈0．8213，可以发现： sin225°+cos225°≈0．1787+0．8213＝1． [师]我们可以猜想任意锐角都有关系：sin2α+cos2α＝1，你能证明吗 [师生共析]如上图．sinA= ，cosA= sin2A+ cos2A＝， 根据勾股定理，得BC2+AC2＝AB2， ∴sin2A+cos2A＝1，这就是说,对于任意锐角A，∠A的正弦与余弦的平方和等于1． [师]我们来看一个例题，看是否可以应用上面的tanA、sinA、cosA之间的关系． 已知cosA=，求sinA．tanA． [生]解：根据sin2A+cos2A＝1．得 sinA＝ tanA=.[生]我还有另外一种解法,用三角函数的定义来解． 解： ∵cosA＝ 设∠A的邻边＝3k．斜边＝5k．则∠A的对边＝ ∴sinA= tanA= [师]问题3：你能应用三角函数解决哪些问题 [生]锐角三角函数反映了直角三角形的边角关系．凡是属于直角三角形的问题或可以转化为直角三角形的问题，都可以用三角函数来解决． [师]我们知道在直角三角形中，除直角外，有两个锐角．两条直角边以及斜边共5个元素，它们之间的关系很丰富．如图： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c． (1)边的关系：a2+b2=c2(勾股定理)： (2)角的关系：∠A+∠B＝90； (3)sinA=，cosA=，tanA=； sinB=，cosB=，tanB=． 利用三角形的全等和直角三角形全等，以及作图，我们知道：当一直角边和斜边确定时，直角三角形唯一确定，即直角三角形的一直角边和斜边已知，则直角三角形中其他元素都可以求出．同学们不妨试一试． [生]例如Rt△ABC中，∠C＝90°．a＝4，c=8求b，∠A及∠B 解：∵a＝4，c＝8，根据勾股定理可得 b=. ∵sinA==， ∴∠A＝30°．又∵∠A+∠B＝90°，∴∠B＝60°． [师]很好，是不是只要知道直角三角形除直角外的两个元素，其余元素就都可以求出呢 [生甲]可以． [生乙]不可以．例如Rt△ABC中，∠c＝90°，∠A＝25°．∠B=65°．这样的直角三角形有无数多个，是不唯一确定的，所以其余的元素无法确定．[生丙]我认为已知直角三角形中除直角外的两个元素．其中至少有一个边，就可以求出其余元素． [师]很好，我们来做一个练习． 多媒体演示：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A，∠B、∠C的对边．(1)已知a＝3，b＝3，求C，∠A，∠B．(2)已知b＝5，c＝10，求a，∠A，∠B．(3)已知∠A=45°，c＝8，求a，b，∠B．[生]解：(1)根据勾股定理c．=. 又∵tanA∴∠A===1, ∴∠A=45°． 又∵∠A+∠B＝90，∴∠B＝45°． (2)根据勾股定理，得a=, 又∵sinB＝∴∠B=30°． 又∵∠A+∠B=90°∴∠A=60°. (3) ∵sinA= ∴=csinA=8×sin45°=4,又∵cosA＝ ∴b=c·cosA＝8×cos45°=4， 又∵∠A+∠B＝90°，∴∠B=45°． [师]实践证明，在直角三角形中，已知除直角外的两个元素(至少有一个是边)，利用直角三角形中特殊的边的关系、角的关系、边角关系，就可求出其余所有元素．因此，在现实生活中，如测量、建筑、工程技术和物理学中，常遇到的距离、高度、角度都可以转化到直角三角形中，这些实际问题的数量关系往往就归结为直角三角形中边和角的关系问题． 接下来，我们看问题4： 如何测量一座楼的高度 你能想出几种办法 [生]有四种方法： 第一种：用太阳光下的影子来测量．因为在同一时刻，物体的高度与它的影子的比值是一个定值．测量出物体的高度和它的影子的长度，再测出高楼在同一时刻的影子的长度．利用物体的高度：物体影子的长度＝高楼的高度，高楼影子的长度．便可求出高楼的高． 第二种：在地面上放一面镜子，利用三角形相似，也可以测量出楼的高度． 第三种：用标杆的方法． 第四种：利用直角三角形的边角关系求楼的高度． [师]下面就请同学们对本章的内容小结，建立本章内容框架图．Ⅱ．随堂练习 1．计算 (1) (2)sin230°+2sin60°+tan45°-tan60°+cos230°； 解：（1）原式==1； （2）原式=（）2+2×+1-+（）2==1+1=2 2．如图，大楼高30 m，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D测得塔顶的仰角为30°，求塔高BC及楼与塔之间的距离AC(结果19确到0．0l m)． 解：没AC=x，BC＝y， 在Rt△ABC中，tan60°=， ①在Rt△BDE中．tan30°=， ②由①得y＝x，代入②得 =. x=15≈25．98(m)． 将x＝15代入y=x=×15 ＝45(m)． 所以塔高BC为45 m，大楼与塔之间的距离为25．98 m． Ⅲ．课时小结 本节课针对回顾与思考中的四个问题作了研讨，并以此为基础，建立本章的知识框植架结构图．进一步体验三角函数在现实生活中的广泛应用． Ⅳ．课后作业 复习题A组1，2，5，6，8 B组2．3，4，5，6
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课题 §1.1 从梯子的倾斜程度谈起 课型 新授
教学目标 1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系. 2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.
重点和难点 教学重点 1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系. 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.教学难点 理解正切的意义，并用它来表示两边的比.
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1.创设问题情境，引入新课 [师]梯子是我们日常生活中常见的物体.我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的 “陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的 请同学们看下图，并回答问题(用多媒体演示)(1)在图中，梯子AB和EF哪个更陡 你是怎样判断的 你有几种判断方法 [生]梯子AB比梯子EF更陡. [师]你是如何判断的 [生]从图中很容易发现∠ABC>∠EFD，所以梯子AB比梯子EF陡.[生]我觉得是因为AC＝ED，所以只要比较BC、FD的长度即可知哪个梯子陡.BC
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上课日期 月 日 星期
课题 §1.1.2 从梯子的倾斜程度谈起(二) 课型 新授
2.能够运用sinA、cosA表示直角三角形两边的比.
3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算. 4.理解锐角三角函数的意义.
重点和难点 教学重点 1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明. 2.能用sinA、cosA表示直角三角形两边的比. 3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算.教学难点 用函数的观点理解正弦、余弦和正切.
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Ⅰ.创设情境，提出问题，引入新课 [师]我们在上一节课曾讨论过用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度，并且得出了当倾斜角确定时，其对边与斜边之比随之确定.也就是说这一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关.并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切. 现在我们提出两个问题： [问题1]当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗 [问题2]梯子的倾斜程度与这些比有关吗 如果有，是怎样的关系 Ⅱ.讲授新课 1.正弦、余弦及三角函数的定义 多媒体演示如下内容：想一想：如图(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系 (2) 有什么关系 呢 (3)如果改变A2在梯子A1B上的位置呢 你由此可得出什么结论 (4)如果改变梯子A1B的倾斜角的大小呢 你由此又可得出什么结论 请同学们讨论后回答. [生]∵A1C1⊥BC1，A2C2⊥BC2，∴A1C1//A2C2.∴Rt△BA1C1∽Rt△BA2C2. (相似三角形对应边成比例). 由于A2是梯子A1B上的任意—点，所以，如果改变A2在梯子A1B上的位置，上述结论仍成立. 由此我们可得出结论：只要梯子的倾斜角确定，倾斜角的对边.与斜边的比值，倾斜角的邻边与斜边的比值随之确定.也就是说，这一比值只与倾斜角有关，而与直角三角形大小无关. [生]如果改变梯子A1B的倾斜角的大小，如虚线的位置，倾斜角的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值随之改变. [师]我们会发现这是一个变化的过程.对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值都随着倾斜角的改变而改变，同时，如果给定一个倾斜角的值，它的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值是唯一确定的.这是一种什么关系呢 [生]函数关系. [师]很好!上面我们有了和定义正切相同的基础，接着我们类比正切还可以有如下定义：(用多媒体演示) 在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.如图，∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正弦(sine)，记作sinA，即 sinA＝ ∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(cosine)，记作cosA，即 cosA= 锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数(trigonometricfunction). [师]你能用自己的语言解释一下你是如何理解“sinA、cosA、tanA都是之A的三角函数”呢 [生]我们在前面已讨论过，当直角三角形中的锐角A确定时.∠A的对边与斜边的比值，∠A的邻边与斜边的比值，∠A的对边与邻边的比值也都唯一确定.在“∠A的三角函数”概念中，∠A是自变量，其取值范围是0°
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课题 §1.2 30°、45°、60°角的三角函数值 课型 新授
教学目标 1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义. 2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.
重点和难点 教学重点 1.探索30°、45°、60°角的三角函数值. 2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 3.比较锐角三角函数值的大小.教学难点 进一步体会三角函数的意义.
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Ⅰ.创设问题情境，引入新课 [问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度. (用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法)[生]我们组设计的方案如下： 让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB的长度，BE的长度，因为DE=AB，所以只需在Rt△CDA中求出CD的长度即可. [生]在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AD＝BE，BE是已知的，设BE=a米，则AD＝a米，如何求CD呢 [生]含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质：30°的角所对的边等于斜边的一半，即AC＝2CD，根据勾股定理，(2CD)2＝CD2+a2. CD＝a. 则树的高度即可求出. [师]我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°的正切值，在上图中，tan30°=，则CD=atan30°，岂不简单.你能求出30°角的三个三角函数值吗 Ⅱ.讲授新课 1.探索30°、45°、60°角的三角函数值. [师]观察一副三角尺，其中有几个锐角 它们分别等于多少度 [生]一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°、60°、45°、45°.[师]sin30°等于多少呢 你是怎样得到的 与同伴交流.[生]sin30°＝. sin30°表示在直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值，与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边等于2a.根据勾股定理，可知30°角的邻边为a，所以sin30°＝. [师]cos30°等于多少 tan30°呢 [生]cos30°＝. tan30°= [师]我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少 你是如何得到的 [生]求60°的三角函数值可以利用求30°角三角函数值的三角形.因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边.利用上图，很容易求得sin60°=, cos60°=, tan60°＝. [生]也可以利用上节课我们得出的结论：一锐角的正弦等于它余角的余弦，一锐角的余弦等于它余角的正弦.可知sin60°＝cos(90°-60°)＝cos30°=cos60°=sin(90°-60°)=sin30°=.[师生共析]我们一同来求45°角的三角函数值.含45°角的直角三角形是等腰直角三角形.(如图)设其中一条直角边为a，则另一条直角边也为a，斜边a.由此可求得 sin45°=, cos45°＝, tan45°=[师]下面请同学们完成下表(用多媒体演示)30°、45°、60°角的三角函数值三角函数角sinαcoαtanα30°45°160°这个表格中的30°、45°、60°角的三角函数值需熟记，另一方面，要能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小. 为了帮助大家记忆，我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢 [生]30°、45°、60°角的正弦值分母都为2，分子从小到大分别为，，，随着角度的增大，正弦值在逐渐增大. [师]再来看第二列函数值，有何特点呢 [生]第二列是30°，45°、60°角的余弦值，它们的分母也都是2，而分子从大到小分别为，，，余弦值随角度的增大而减小. [师]第三列呢 [生]第三列是30°、45°、60°角的正切值，首先45°角是等腰直角三角形中的一个锐角，所以tan45°=1比较特殊. [师]很好，掌握了上述规律，记忆就方便多了.下面同桌之间可互相检查一下对30°、45°、60°角的三角函数值的记忆情况.相信同学们一定做得很棒. 2.例题讲解(多媒体演示) [例1]计算： (1)sin30°+cos45°； (2)sin260°+cos260°-tan45°. 分析：本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值，今后若无特别说明，用特殊角三角函数值进行计算时，一般不取近似值，另外sin260°表示(sin60°)2，cos260°表示(cos60°)2. 解：(1)sin30°+cos45°=, (2)sin260°+cos260°-tan45° =()2+()2-1 = + -1 ＝0. [例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m) 分析：引导学生自己根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. 解：根据题意(如图)可知，∠BOD=60°，OB=OA＝OD=2.5 m，∠AOD＝×60°＝30°， ∴OC=OD·cos30°=2.5×≈2.165(m). ∴AC＝2.5-2.165≈0.34(m). 所以，最高位置与最低位置的高度约为0.34 m. Ⅲ.随堂练习 多媒体演示 1.计算： (1)sin60°-tan45°； (2)cos60°+tan60°； (3) sin45°+sin60°-2cos45°. 解：(1)原式＝-1=； (2)原式=+=(3)原式=×+×；= 2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m，扶梯的长度是多少 解：扶梯的长度为=14(m)， 所以扶梯的长度为14 m. Ⅳ.课时小结 本节课总结如下： (1)探索30°、45°、60°角的三角函数值. sin30°＝，sin45°＝，sin60°＝； cos30°＝，cos45°＝ ，cos60°＝；tan30°= ，tan45°＝1，tan60°=. (2)能进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算. (3)能根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小. Ⅴ.课后作业 习题1.3第1、2题
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课题 §1.3 三角函数的有关计算(一) 课型 新授
教学目标 1.经历用计算器由已知锐角求三角函数值的过程.进一步体会三角函数的意义. 2.能够用计算器进行有关三角函数值的计算. 3.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.
重点和难点 教学重点 1.用计算器由已知锐角求三角函数值. 2.能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.教学难点 用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.
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Ⅰ.提出问题，引入新课 用多媒体演示： [问题]如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200米，已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠a＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少 [生]在Rt△ABC中，∠α＝16°，AB=200米，需求出BC. 根据正弦的定义，sin16°=, ∴BC＝ABsin16°＝200 sin16°(米). [师]200sin16°米中的“sin16°”是多少呢 我们知道，三角函数中，当角的大小确定时，三角函数值与直角三角形的大小无关，随着角度的确定而确定. 对于特殊角30°、45°、60°可以根据勾股定理和含这些特殊角的直角三角形的性质，求出它们的三角函数值，而对于一般锐角的三角函数值，我们需借助于科学计算器求出这些锐角的三角函数值. 怎样用科学计算器求三角函数值呢 Ⅱ.讲授新课 1.用科学计算器求一般锐角的三角函数值. [师]用科学计算器求三角函数值，要用到和键.例如sin16°，cos42°，tan85°和sin72°38′25″的按键顺序如表所示. [师]很好，同学们都能用自己的计算器计算出三角函数值.大家可能注意到用计算器求三角函数值时，结果一般有10个数位,我们的教材中有一个约定.如无特别说明，计算结果一般精确到万分位. 下面就清同学们利用计算器求出本节刚开始提出的问题. [生]用计算器求得BC＝200sin16°≈55.12(m). [师]下面请同学们用计算器计算下列各式的值. (1)sin56°；(2)sin15°49′； (3)cos20°；(4)tan29°； (5)tan44°59′59″；(6)sin15°+cos61°+tan76°. (以小组为单位，展开竞赛，看哪一组既快又准确) [师]你能用计算器计算说明下列等式成立吗 (用多媒体演示) 下列等式成立吗 (1)sin15°+sin25°＝sin40°； (2)cos20°+cos26°=cos46°； (3)tan25°+tan15°＝tan40°. [生]上面三个等式都不成立. [师]由此.你能得出什么结论 [生]两个锐角的正弦的和不等于这两个锐角的和的正弦.对于余弦、正切也一样. 2.用计算器辅助解决含有三角函数值计算的实际问题. [师]看来同学们已能很熟练地用计算器计算一个锐角的三角函数值.下面我们运用计算器辅助解决一个含有三角函数值计算的实际问题. 多媒体演示本节开始的问题：当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200 m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角是∠β＝42°，由此你能想到还能计算什么 [生]可以计算缆车从B点到D点垂直上升的高度. [生]可以计算缆车从A点到D点，一共垂直上升的高度、水平移动的距离. [师]下面我们就请三位同学分别就上面的问题用计算器辅助计算出结果.其余同学可在小组内交流、讨论完成. [生]在Rt△DBE中，∠β＝42°，BD＝200 m，缆车上升的垂直高度DE＝BDsin42°=200sin42°≈133.83(米). [生]由前面的计算可知，缆车从A→B→D上升的垂直高度为BC+DE=55.12+133.83＝188.95(米). [生]在Rt△ABC中，∠α＝16°，AB=200米，AC＝ABcos16°≈200×0.9613＝192.23(米). 在RtADBE中，∠β＝42°，BD＝200米.BE＝BD·cos42°≈200×0.7431=148.63(米). 缆车从A→B→D移动的水平距离为BE+AC＝192.23+148.63=340.86(米). Ⅲ.随堂练习 一个人从山底爬到山顶，需先爬40°的山坡300 m，再爬30°的山坡100 m，求山高.(结果精确到0.01 m) Ⅳ.课时小结 本节课主要内容如下： (1)运用计算器计算由已知锐角求它的三角函数值. (2)运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题. Ⅴ.课后作业 习题1.4的第1、2题
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课题 §1.3.2 三角函数的有关计算(二) 课型 新授
教学目标 1.经历用计算器由三角函数值求相应锐角的过程，进一步体会三角函数的意义. 2.能够利用计算器进行有关三角函数值的计算. 3.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.
重点和难点 教学重点 1.用计算器由已知三角函数值求锐角. 2.能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.教学难点 用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.
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Ⅰ.创设问题情境，引入新课 [师]随着人民生活水平的提高，农用小轿车越来越多，为了交通安全，某市政府要修建10 m高的天桥，为了方便行人推车过天桥，需在天桥两端修建40m长的斜道.(如图所示，用多媒体演示) 这条斜道的倾斜角是多少 [生]在Rt△ABC中，BC=10 m，AC＝40 m， sinA＝.可是我求不出∠A. [师]我们知道，给定一个锐角的度数，这个锐角的三角函数值都唯一确定.给定一个锐角的三角函数值，这个锐角的大小也唯一确定吗 为什么 [生]我们曾学习过两个直角三角形的判定定理——HL定理.在上图中，斜边AC和直角边BC是定值，根据HL定理可知这样的直角三角形形状和大小是唯一确定的，当然∠A的大小也是唯一确定的. [师]这位同学能将前后知识联系起来很有条理地解释此问题，很不简单.我们知道了sinA=时，锐角A是唯一确定的.现在我要告诉大家的是要解决这个问题，我们可以借助于科学计算器来完成.这节课，我们就来学习如何用科学计算器由锐角三角函数值求相应锐角的大小. Ⅱ.讲授新课 1.用计算器由锐角三角函数值求相应锐角的大小.[师]已知三角函数求角度，要用到键的第二功能、、和 键.键的第二功能 “sin-1,cos-1,tan-1”和 键 例如：已知sinA=0.9816，求锐角A， 已知cosA＝0.8607，求锐角A； 已知tanA：0.1890，求锐角A； 已知tanA＝56.78，求锐角A. 上表的显示结果是以“度”为单位的.再按 键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果. (教学时，给学生以充分交流的时间和空间，教师要引导学生根据自己使用的计算器，探索具体操作步骤) [师]你能求出上图中∠A的大小吗 [生]sinA=＝0.25.按键顺序为，显示结果为14.47751219°，再按 键可显示14°28′39″.所以∠A=14°28′39″. [师]很好.我们以后在用计算器求角度时如果无特别说明，结果精确到1″即可. 你还能完成下列已知三角函数值求角度的题吗 (多媒体演示) 1.根据下列条件求锐角θ的大小： (1)tanθ＝2.9888；(2)sinθ=0.3957；(3)cosθ＝0.7850；(4)tanθ＝0.8972； 2.某段公路每前进100米，路面就升高4米，求这段公路的坡角.(请同学们完成后，在小组内讨论、交流.教师巡视，对有困难的学生予以及时指导) 2.运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题. [例1]如图，工件上有-V形槽.测得它的上口宽加20 mm深19.2mm。求V形角(∠ACB)的大小.(结果精确到1°) 分析：根据题意，可知AB＝20 mm，CD⊥AB，AC＝BC，CD=19.2 mm，要求∠ACB，只需求出∠ACD(或∠DCB)即可. 解：tanACD=≈0.5208， ∴∠ACD＝27.5°， ∠ACB＝2∠ACD≈2×27.5°＝55°.[例2]如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤.在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤.已知肿瘤在皮下6.3 cm的A处，射线从肿瘤右侧9.8cm的B处进入身体，求射线的入射角度， 解：如图，在Rt△ABC中， AC＝6.3 cm，BC=9.8 cm， ∴tanB=≈0.6429. ∴∠B≈32°44′13″. 因此，射线的入射角度约为32°44′13″. 注：这两例都是实际应用问题，确实需要知道角度，而且角度又不易测量，这时我们根据直角三角形边的关系.即可用计算器计算出角度，用以解决实际问题. 3.解直角三角形 [师]我们讨论锐角三角形函数，都是将锐角放到直角三角形中讨论，又一次揭示了直角三角形中的边角关系.你知道在直角三角形中，除直角外，有几个元素组成 [生]5个元素，两个锐角，两条直角边和一条斜边.[师]根据我们所学知识，你知道这些边、角有什么样的关系吗 [生]在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c. (1)边的关系：a2+b2=c2(勾股定理)； (2)角的关系：∠A+∠B=90°； (3)边角关系：sinA=，cosA=，tanA= ；sinB＝，cosB＝，tanB= . [师]由前面的两个例题以及上节的内容我们可以发现，很多实际问题中的数量关系都可归结为直角三角形中元素之间的关系，使实际问题都得到解决. Ⅲ.随堂练习 1.已知sinθ＝0.82904.求∠θ的大小. 解：∠θ≈56°1″ 2.一梯子斜靠在一面墙上.已知梯长4 m，梯子位于地面上的一端离墙壁2.5 m，求梯子与地面所成的锐角. Ⅳ.课时小结 本节课我们学习了用计算器由三角函数值求相应的锐角的过程，进一步体会三角函数的意义.并且用计算器辅助解决含有三角函数值计算的实际问题. Ⅴ.课后作业 习题1.5第1、2、3题
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课题 §1.4 船有触礁的危险吗 课型 新授
教学目标 1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用. 2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.
重点和难点 教学重点 1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用. 2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力.教难点 根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.
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Ⅰ.创设问题情境，引入新课 [师]直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等. 下面我们就来看一个问题(多媒体演示).海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗 你是如何想的 与同伴进行交流. 下面就请同学们用锐角三角函数知识解决此问题.(板书：船有触礁的危险吗) Ⅱ.讲授新课 [师]我们注意到题中有很多方位，在平面图形中，方位是如何规定的 [生]应该是“上北下南，左西右东”.[生]首先我们可将小岛A确定，货轮B在小岛A的南偏西55°的B处，C在B的正东方，且在A南偏东25°处.示意图如下. [师]货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定 [生]根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里，则无触礁的危险，如果小于10海里则有触礁的危险.A到BC所在直线的最短距离为过A作AD⊥BC，D为垂足，即AD的长度.我们需根据题意，计算出AD的长度，然后与10海里比较. [师]这位同学分析得很好，能将实际问题清晰条理地转化成数学问题.下面我们就来看AD如何求.根据题意，有哪些已知条件呢 [生]已知BC＝20海里，∠BAD＝55°，∠CAD＝25°. [师]在示意图中，有两个直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD.你能在哪一个三角形中求出AD呢 [生]在Rt△ACD中，只知道∠CAD=25°，不能求AD. [生]在Rt△ABD中，知道∠BAD=55°，虽然知道BC＝20海里，但它不是Rt△ABD的边，也不能求出AD. [师]那该如何是好 是不是可以将它们结合起来，站在一个更高的角度考虑 [生]我发现这两个三角形有联系，AD是它们的公共直角边.而且BC是这两个直角三角形BD与CD的差，即BC＝BD-CD.BD、CD的对角是已知的，BD、CD和边AD都有联系. [生]在Rt△ABD中，tan55°＝，BD=ADtan55°；在Rt△ACD中，tan25°＝，CD＝ADtan25°.利用BC＝BD-CD就可以列出关于AD的一元一次方程，即ADtan55°-ADtan25°＝20. [师]太棒了!没想到方程在这个地方帮了我们的忙.其实，在解决数学问题时，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一. 下面我们一起完整地将这个题做完. [师生共析]解：过A作BC的垂线，交BC于点D.得到Rt△ABD和Rt△ACD，从而BD=ADtan55°，CD＝ADtan25°，由BD-CD＝BC，又BC＝20海里.得 ADtan55°-ADtan25°＝20. AD(tan55°-tan25°)＝20， AD=≈20.79(海里). 这样AD≈20.79海里>10海里，所以货轮没有触礁的危险. [师]接下来，我们再来研究一个问题.还记得本章开头小明要测塔的高度吗 现在我们来看他是怎样测的，并根据他得到的数据帮他求出塔的高度.想一想你会更聪明：如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处.测得仰角为60°.那么该塔有多高 (小明的身高忽略不计，结果精确到1 m)[师]我想请一位同学告诉我什么是仰角 在这个图中，30°的仰角、60°的仰角分别指哪两个角 [生]当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角.30°的仰角指∠DAC，60°的仰角指∠DBC. [师]很好!请同学们独立思考解决这个问题的思路，然后回答. [生]首先，我们可以注意到CD是两个直角三角形Rt△ADC和Rt△BDC的公共边，在Rt△ADC中，tan30°=， 即AC＝在Rt△BDC中，tan60°=,即BC＝，又∵AB=AC-BC＝50 m，得 -=50. 解得CD≈43(m)， 即塔CD的高度约为43 m. Ⅲ.随堂练习 1.如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5 m，现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少 2.如图，水库大坝的截面是梯形ABCD，坝顶AD＝6 m，坡长CD＝8 m.坡底BC＝30 m，∠ADC=135°. (1)求∠ABC的大小： (2)如果坝长100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料 (结果精确到0.01 m3) Ⅳ.课时小结 本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题，提高了我们分析和解决实际问题的能力. 其实，我们这一章所学的内容属于“三角学”的范畴.请同学们阅读“读一读”，了解“三角学”的发展，相信你会对“三角学”更感兴趣. Ⅴ.课后作业 习题1.6第1、2、3题.
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课题 §1.5.1 测量物体的高度(一) 课型 新授
教学目标 1.经历活动设计方案，自制仪器.2.能够设计方案、步骤，能够说明测量的理由.3.回顾、整理已学过的测高方法以及相关知识.综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题.
设计活动方案、自制仪器.
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Ⅰ.提出问题，引入新课 [师]我们在前几节的学习过程中，曾遇到用直角三角形的边角关系求物体的高度，例如习题1.4第2题.小伟测大厦的高度，上一节小明测塔的高度等，这些都是小伟、小明已将测量的数据直接告诉我们，让我们利用直角三角形的边角关系直接求得即可. 可现实生活中测量物体的高度，特别像旗杆、高楼大厦、塔等较高的不可到达的物体的高度，需要我们自己去测量，自己去制作仪器，获得数据，然后利用所学的数学知识解决问题. 请同学们思考小明在测塔的高度时，用到了哪些仪器 [生]测角仪和皮尺. [师]它们有何用途 [生]测角仪是用来测量仰角和俯角的大小的，皮尺是用来测距离.[师]很好.首先我们来制作一个测角仪，并思考如何用测角仪测量角的大小，并说明它的工作原理. Ⅱ. 设计活动方案，自制仪器 活动一：测量倾斜角 [师]首先我们来自制一个测倾器(或测角仪、经纬仪等).一般的测倾器由底盘、铅锤和支杆组成.下面请同学们以组为单位，分组制作如图所示的测倾器. (关注学生是否积极地投入到活动中去，能否积极想办法.利用手中的现有材料，制作一个规范、标准的测角仪) [师]制作测角仪时应注意什么 [生]支杆的中心线、铅垂线、0刻度线要重合，否则测出的角度就不准确.度盘的顶线PQ与支杆的中心线、铅垂线、0刻度线要互相垂直，并且度盘有一个旋转中心是铅垂线与PQ的交点.当度盘转动时，铅垂线始终垂直向下. 一个组制作测角仪，小组内总结，讨论测角仪的使用步骤) [师]用测角仪如何测仰角 [生]1.把测角仪的支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置. 2.转动度盘，使度盘的直经对准较高目标M，记下此时铅垂线指的度数.那么这个度数就是较高目标M的仰角. [师]你能说明你的理由吗 [生]如图，要测点M的仰角，我们将支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置.我们转动度盘，使度盘的直径对准目标M，此时铅垂线指向一个度数.即∠BCA的度数.根据图形我们不难发现∠BCA+∠ECB＝90°，而∠MCE+∠ECB=90°，即∠BCA、∠MCE都是∠ECB的余角，根据同角的余角相等，得∠BCA＝∠MCE.因此读出∠BCA的度数，也就读出了仰角∠MCE的度数. [师]如何用测角仪测量一个低处物体的俯角呢 [生]和测量仰角的步骤是一样的，只不过测量俯角时，转动度盘，使度盘的直径对准低处的目标，记下此时铅垂线所指的度数，同样根据“同角的余角相等”，铅垂线所指的度数就是低处的俯角. 活动二：测量底部可以到达的物体的高度. [师]你是如何理解“底部可以到达的物体”的 [生]“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体底部之间的距离. [师]现在我们手边有测角仪和皮尺，你能设计一个方案测量底部可以到达的物体的高度吗 [生]我们在初二时曾利用三角形相似测量过旗杆的高度.现在手里有测角仪和直尺.可以利用直角三角形的边角关系，测出旗杆的高度(设旗杆的底部可以到达). 要测旗杆MN的高度，可按下列步骤进行：(如下图) 1.在测点A处安置测倾器(即测角仪)，测得M的仰角∠MCE=α. 2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN＝l.3.量出测倾器(即测角仪)的高度AC＝a(即顶线PQ成水平位置时，它与地面的距离).根据测量数据，就能求出物体MN的高度. [师]很好!为什么这样就能求出物体的高度，你能说明理由吗 [生]可以.因为在Rt△MEC中，∠MCE=α，AN=EC=l，所以tanα=，即ME=tana·EC＝l·tanα. 又因为NE＝AC＝a，所以MN＝ME+EN＝l·tanα+a. [师]同学们能利用自角三角形的边角关系用测角仪和皮尺测出底部可以到达的物体的高度.但现实生活中，还存在有底部不呵以到达的物体.它们的高度如何测量呢 活动三：测量底部不可以到达的物体的高度. [师]所凋“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.例如测量一个山峰的高度. [生]前一节中小明测量塔的高度就是底部不可以到达的物体的高度的测量.我们从小明的测量过程中得到启示，要测量底部不可以到达的物体的高度，可按下面的步骤进行(如图所示)： 1.在测点A处安置测角仪，测得此时物体MN的顶端M的仰角∠MCE＝α. 2.在测点A与物体之间的B处安置测角仪(A、B与N都在同一条直线上)，此时测得M的仰角∠MDE=β. 3.量出测角仪的高度AC＝BD＝a，以及测点A，B之间的距离AB=b 根据测量的AB的长度，AC、BD的高度以及∠MCE、∠MDE的大小，根据直角三角形的边角关系.即可求出MN的高度。 [师]你能说说你的理由吗 [生]可以.在Rt△MEC中，∠MCE＝α，则tanα＝，EC=； 在Rt△MED中，∠MDE＝β则tanβ＝ ，ED＝； 根据CD＝AB＝b，且CD＝EC-ED=b. 所以-=b, ME= MN=+a即为所求物体MN的高度. [师]今天，我们分组讨论并制作了测角仪，学会使用了测角仪，并研讨㈩测量可到达底部和不可以到达底部的物体高度的方案.下一节课就清同学们选择我们学校周围的物体.利用我们这节课设计的方案测量它们的高度，相信同学们收获会更大. Ⅲ.课时小结 本节课同学们在各个小组内都能积极地投入到方案的设计活动中，想办法.献计策，并能用直角三角形的边角关系的知识解释设计方案的可行之处.相信同学们在下节课的具体活动中会更加积极地参与到其中. Ⅳ.课后作业 制作简单的测角仪 Ⅴ.活动与探究 (2003年辽宁)如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD.且建筑物周围没有开阔平整地带.该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可以直接测得。从A、D、C三点可看到塔顶端H.可供使用的测员工具有皮尺，测倾器(即测角仪). (1)清你根据现有条件，充分利用矩形建筑物.设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案.具体要求如下： ①测量数据尽可能少；②在所给图形上，画出你设计的测量的平面图，并将应测数据标记在图形上(如果测A、D间距离，用m表示；如果测D、C间距离，用n表示；如果测角，用α、β、γ等表示.测倾器高度不计) (2)根据你测量的数据，计算塔顶到地面的高度HG(用字母表示),I 方案1：(1)如图(a)(测四个数据) AD＝m.CD＝n，∠HDM＝α,∠HAM＝β (2)设HG＝x，HM＝x-n， 在Rt△HDM中，tanα,DM= 在Rt△HAM中，tanα,DM=∵AM-DM＝AD，∴-=m,x=+n.方案2：(1)如图(b)(测三个数据) CD＝n，∠HDM＝α，∠HCG＝γ. (2)设HG＝x，HM＝x-n， 在Rt△CHG中，tanγ=,CG=,在Rt△HDM中，tanα,DM=,∵CG＝DM. ∴=,x=课后作业 习题1.7
教后随笔
教 师 备 课 笔 记
上课日期 月 日 星期
课题 1.5.2 测量物体的高度(二) 课型 新授
教学目标 1.经历运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程.2.能够对所得到的数据进行分析，能够对仪器进行调整和对测量结果进行矫正，从而得出符合实际的结果. 3.能综合应用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题.
重点和难点 教学重点 1.运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告. 2.综合运用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题.教学难点 1.活动时的组织和凋控 2.撰写活动报告
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师 生 活 动 过 程
Ⅰ.每组提出测量的对象及方案 [师]上节课我们已获得测量底部可以到达或不可以到达的物体的高度的测量方案，这节课我们就来具体实施. [教师活动)1.把学生分成5～6人一组进行讨论.引导学生选定测量对象，根据上节课的分析设计出本组测量的方案，非做好分工. 2.引导学生展示自己设计的方案.并帮助完善. 3、教师提示要注意的实验的细节： (1)注意实验时的安全. (2)在测量的过程中.要产生测量误差，因此，需多测两组数据.并取它们的平均值较妥. (3)正确地使用测倾器，特别要注意测量过程中正确、规范地读数. (4)积极参与测量活动.并能对在测量过程中遇到的困难，想方没法，团结协作，共同解决. [学生活动]1.学生分组开展小组讨论、交流，初步确定测量对象和方案，并在全班发言，其他学生帮助完善. 2.学生讨论得出实验活动过程中测角和距离的方法.并特别注重测量的精确度，在活动中.还应注意相互协作、合理安排，让活动能有序、高效率地进行. [设计思想]培养学生独立设计方案的能力.培养学生科学的思维方式和思维能力.Ⅱ.户外活动——测量物体的高度 [教师活动]教师指导个别活动能力差的小组. [学生活动]学生按小组自觉测量，获得相关的数据，并进行初步的计算过程，可以用计算器辅助. [设计思想]培养学生动手操作，积极参与数学活动的能力，在活动中体现相互尊重和协调的能力，发展合作意识和科学精神. Ⅲ.分析实验结果，撰写活动报告 活动结束后，应要求学生整理活动过程，并撰写活动报告，活动报告可因组而异. [教师活动]如帮助学生设计活动报告表，并提供一份活动报告表供学生参考.活动报告 年 月 日 课题测量示意图测得数据测量项目第一次第二次平均值计算过程活动感受负责人及参加人员计算者和复核者指导教师审核意见备注[学生活动]1.填写活动报告表. 2.反思实验过程，在全班交流各组的实验活动感受. 3.根据活动报告表，汇报各组实验活动的结果. [设计思想]1.总结数学活动经验，培养学生理论联系实际的能力. 2.培养学生反思的习惯，提高学生活动的能力. Ⅳ.议一议——深入思考 (1)到目前为止，你有哪些测量物体高度的方法 (2)如果一个物体的高度已知或容易测量，那么如何测量某测点到该物体的水平距离 (教学时，可先由学生小组讨论，然后师生共同分析总结) [生]我们在初二时曾测量过旗杆的高度.方法有三个：(1)利用太阳光下的影子测旗杆的高度；(2)利用标杆测旗杆的高度：(3)利用镜子的反射测旗杆的高度，通过今天的学习，我们还知道了利用直角三角形的边角关系测量物体的高度. [师]前三种方法主要利用什么数学知识来测量 [生]利用三角形相似的知识.[生]我还有一种方法.我可以站在旗杆照一张照片，让我和旗杆都全部拍入照片中，测量出照片上我的身高和旗杆的高度.利用图上距离的比等于实际距离的比，也可以求出旗杆的高度. [师]我们再来看一下第(2)问，在现实生活中.一个物体的高度已知或很容易得到，你能想办法测量某测点到该物体的水平距离吗 特别是该物体从测点不容易到达时. [生]如图，可以测出M的仰角∠MCE=α，以及测倾器的高AC＝a，然后根据AN= 即可求出测点A到物体MN的水平距离AN. Ⅴ.课时小结这节课我们在前面已研讨过设计方案的基础上，分组进行了实地测量，使我们所学的数学知识应用到了实践中.整节课，每个小组的成员都能积极地投入到活动中，在活动中积极想办法，克服困难，团结协作高效地完成了活动课题，并在活动结束后，整理了活动过程，书写了活动报告，进一步回顾整理了已经学过的测高方法及相关知识.总之，同学们这一节课的表现相当出色、成功，祝贺你们． Ⅵ．课后作业 习题1．7
教后随笔
教 师 备 课 笔 记
上课日期 月 日 星期
课题 回顾与思考 课型 复习课
教学目标 1．经历回顾与思考，建立本章的知识框架图． 2．利用计算器，发现同角的正弦、余弦、正切之间的关系。 3．进一步体会直角三角形边角关系在现实生活中的广泛应用． 4．体会数形之间的联系，逐步学会利用数形结合的思想分析问题和解决问题． 5．在独立思考问题的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点．并尊重与理解他人的见解，在交流中获益．
重点和难点 教学重点 1．建立本章的知识结构框架图． 2．应用三角函数解决现实生活中的问题，进一步理解三角函数的意义．教学难点 应用三角函数解决问题
教具准备 多媒体
师 生 活 动 过 程
Ⅰ．回顾、思考下列问题，建立本章的知识框架图 [师]直角三角形的边角关系，是现实世界中应用广泛的关系之一．通过本章的学习，我们知道了锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用．如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，—般来说，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角的关系． 利用锐角三角函数解决实际问题是本章的重要内容，很多实际问题穿插于各节内容之中． [问题门举例说明，三角函数在现实生活中的应用． [生]例如：甲、乙两楼相距30 m，甲楼高40 m，自甲楼楼顶看乙楼楼顶．仰角为30°，乙楼有多高 (结果精确到1 m) 解：根据题意可知：乙楼的高度为30tn30°=40+30× =40+10 ≈57(m)， 即乙楼的高度约为57 m．[生]例如，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距180 m的P和Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正南方向，在Q南偏西50°的方向，求河宽(结果精确到1 m)． 解：根据题意，∠TPQ＝90°，∠PQT=90°-50°＝40°，PQ＝180 m． 则：PT就是所求的河宽． 在Rt△TPQ中，PT=180×tan40° =180×0．839≈151 m， 即河宽为151 m． [师]三角函数在现实生活中的应用很广泛，下面我们来看一个例子．如图．MN表示某引水工程的一段设计路线从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°的方向上有一点A，以A为圆心，500 m为半径的圆形区域为居民区，取MN上的另一点B，测得BA的方向为南偏东75°，已知MB＝400 m，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区 [师生共析]解：根据题意可知∠CMB=30°，∠CMA＝60°，∠EBA＝75°，MB=400 m，输水路线是否会穿过居民区，关键看A到MN的最短距离大于400 m还是等于400 m，于是过A作AD⊥MN．垂足为D． ∵BE//MC．∴∠EBD＝∠CMB＝30°． ∴∠ABN=45°． ∠AMD＝∠CMA-∠CMB＝60°-30°=30°． 在Rt△ADB中，∠ABD＝45°， ∴tan45°＝ ，BD＝＝AD， 在Rt△AMD中．∠AMD=30°，tan30° =，MD＝=AD， ∵MD=MD-BD， 即 AD-AD＝400， AD-200(+1)m>400m．所以输水路线不会穿过居民区． [问题2]任意给定一个角，用计算器探索这个角的正弦、余弦、正切之间的关系． 例如∠α＝25°，sinα、cosα、tanα的值是多少 它们有何关系呢 [生]sin25°≈0．4226，cos25°≈0．9063， tan25°≈0．4663． 而 ≈0．4663． 我们可以发现 ＝tanα． [师]这个关系是否对任意锐角都成立呢 我们不妨从三角函数的定义出发来推证一下． [师生共析]如图，在Rt△ABC中．∠C＝90°， ∵sinA＝cosA＝ tanA＝， ∴=tanA, tanA=. 这就是说，对于任意锐角A，∠A的正弦与余弦的商等于∠A的正切． [师]下面请同学们继续用计算器探索sinα，cosα之间的关系． [生]sin225°≈0．1787,cos225°≈0．8213，可以发现： sin225°+cos225°≈0．1787+0．8213＝1． [师]我们可以猜想任意锐角都有关系：sin2α+cos2α＝1，你能证明吗 [师生共析]如上图．sinA= ，cosA= sin2A+ cos2A＝， 根据勾股定理，得BC2+AC2＝AB2， ∴sin2A+cos2A＝1，这就是说,对于任意锐角A，∠A的正弦与余弦的平方和等于1． [师]我们来看一个例题，看是否可以应用上面的tanA、sinA、cosA之间的关系． 已知cosA=，求sinA．tanA． [生]解：根据sin2A+cos2A＝1．得 sinA＝ tanA=.[生]我还有另外一种解法,用三角函数的定义来解． 解： ∵cosA＝ 设∠A的邻边＝3k．斜边＝5k．则∠A的对边＝ ∴sinA= tanA= [师]问题3：你能应用三角函数解决哪些问题 [生]锐角三角函数反映了直角三角形的边角关系．凡是属于直角三角形的问题或可以转化为直角三角形的问题，都可以用三角函数来解决． [师]我们知道在直角三角形中，除直角外，有两个锐角．两条直角边以及斜边共5个元素，它们之间的关系很丰富．如图： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c． (1)边的关系：a2+b2=c2(勾股定理)： (2)角的关系：∠A+∠B＝90； (3)sinA=，cosA=，tanA=； sinB=，cosB=，tanB=． 利用三角形的全等和直角三角形全等，以及作图，我们知道：当一直角边和斜边确定时，直角三角形唯一确定，即直角三角形的一直角边和斜边已知，则直角三角形中其他元素都可以求出．同学们不妨试一试． [生]例如Rt△ABC中，∠C＝90°．a＝4，c=8求b，∠A及∠B 解：∵a＝4，c＝8，根据勾股定理可得 b=. ∵sinA==， ∴∠A＝30°．又∵∠A+∠B＝90°，∴∠B＝60°． [师]很好，是不是只要知道直角三角形除直角外的两个元素，其余元素就都可以求出呢 [生甲]可以． [生乙]不可以．例如Rt△ABC中，∠c＝90°，∠A＝25°．∠B=65°．这样的直角三角形有无数多个，是不唯一确定的，所以其余的元素无法确定．[生丙]我认为已知直角三角形中除直角外的两个元素．其中至少有一个边，就可以求出其余元素． [师]很好，我们来做一个练习． 多媒体演示：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A，∠B、∠C的对边．(1)已知a＝3，b＝3，求C，∠A，∠B．(2)已知b＝5，c＝10，求a，∠A，∠B．(3)已知∠A=45°，c＝8，求a，b，∠B．[生]解：(1)根据勾股定理c．=. 又∵tanA∴∠A===1, ∴∠A=45°． 又∵∠A+∠B＝90，∴∠B＝45°． (2)根据勾股定理，得a=, 又∵sinB＝∴∠B=30°． 又∵∠A+∠B=90°∴∠A=60°. (3) ∵sinA= ∴=csinA=8×sin45°=4,又∵cosA＝ ∴b=c·cosA＝8×cos45°=4， 又∵∠A+∠B＝90°，∴∠B=45°． [师]实践证明，在直角三角形中，已知除直角外的两个元素(至少有一个是边)，利用直角三角形中特殊的边的关系、角的关系、边角关系，就可求出其余所有元素．因此，在现实生活中，如测量、建筑、工程技术和物理学中，常遇到的距离、高度、角度都可以转化到直角三角形中，这些实际问题的数量关系往往就归结为直角三角形中边和角的关系问题． 接下来，我们看问题4： 如何测量一座楼的高度 你能想出几种办法 [生]有四种方法： 第一种：用太阳光下的影子来测量．因为在同一时刻，物体的高度与它的影子的比值是一个定值．测量出物体的高度和它的影子的长度，再测出高楼在同一时刻的影子的长度．利用物体的高度：物体影子的长度＝高楼的高度，高楼影子的长度．便可求出高楼的高． 第二种：在地面上放一面镜子，利用三角形相似，也可以测量出楼的高度． 第三种：用标杆的方法． 第四种：利用直角三角形的边角关系求楼的高度． [师]下面就请同学们对本章的内容小结，建立本章内容框架图．Ⅱ．随堂练习 1．计算 (1) (2)sin230°+2sin60°+tan45°-tan60°+cos230°； 解：（1）原式==1； （2）原式=（）2+2×+1-+（）2==1+1=2 2．如图，大楼高30 m，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D测得塔顶的仰角为30°，求塔高BC及楼与塔之间的距离AC(结果19确到0．0l m)． 解：没AC=x，BC＝y， 在Rt△ABC中，tan60°=， ①在Rt△BDE中．tan30°=， ②由①得y＝x，代入②得 =. x=15≈25．98(m)． 将x＝15代入y=x=×15 ＝45(m)． 所以塔高BC为45 m，大楼与塔之间的距离为25．98 m． Ⅲ．课时小结 本节课针对回顾与思考中的四个问题作了研讨，并以此为基础，建立本章的知识框植架结构图．进一步体验三角函数在现实生活中的广泛应用． Ⅳ．课后作业 复习题A组1，2，5，6，8 B组2．3，4，5，6
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