九年级下第三章.doc[下学期]
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教 师 备 课 笔 记
上课日期 月 日 星期
课题 3．1 车轮为什么做成圆形 课型 新授
教学目标 1．理解圆的概念．2．理解点与圆的位置关系．3．经历通过实例归纳出圆的定义的过程．4．会利用点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系判定点和圆的位置关系．
重点和难点 教学重点 点和圆的三种位置关系．教学难点 用集合的观点研究圆的概念．
教具准备 投影片
师 生 活 动 过 程
Ⅱ．讲授新课
[师]日常生活中同学们经常见到的汽车，摩托车、自行车等一些交通运输工具的车轮是什么形状的 [生]圆形． [师]请同学们思考一个问题，为什么车轮要做成圆形呢 能否做成长方形或正方形 老师这里有两个车轮模具，一个是圆形，一个是正方形．我们一起观察一下这两个车轮在行进中有些什么特点 大家讨论．讨论如下图：[生]圆形车轮行进时，较平稳；方形车轮运转不方便，颠簸较大，行走不平稳…… [师]通过我们平常乘坐汽车，或骑自行车感受到，圆形的车轮只要路面平整，车子就不会上下颠簸，人坐在车上就感到平稳、舒服，假如车轮是方形的，那么车子在行进中，就会对人产生一种上下颠簸，坐着不舒服的感觉． 下面我们一起来探讨一下，是什么原因导致车轮要做成圆形，不能做成方形．看图，A、B表示车轮边缘上的两点，点O表示车轮的轴心，A、O之间的距离与B、O之间的距离有什么关系 用什么方法可以判断，大家动手做一做． [生]…… [师]同学们做得很好．大家通过不同的方法，得到的结果是什么 [生]OA=OB． [师)刚才是两个特殊点，现在我们在车轮边缘上任意取一点C，要使车轮能够平稳地滚动，C、O之间的距离与A、O之间的距离应有什么关系 [生]CO＝AO．这样才能保证车轮平稳地滚动． [师]同学们以前画过圆，画一个圆很简单．将圆规的一个脚固定，另一个带有铅笔头的脚转一圈．一个圆就画出来了．固定的那一点称为圆心，所画得的圆圈叫圆周．从画圆的过程中可以看到，圆规两个脚之间的长度始终保持不变，也就是说圆心到圆周上任意一点的距离都相等．这是圆的一个重要而又最基本的性质．人们就是用圆的这种性质来制造车轮的，车轴总是安装在车轮的圆心位置上，这样．车轴到车轮边缘的距离处处相等．也就是说，车子在行进中，车轴离路面的距离总是一样的．车子在乎路上行走较平稳，假如是方形的，车轴到路面的距离时大时小，车子就会产生颠簸． 下面我们再看一个游戏队形． 一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开． 这样的队形对每个人都公平吗 你认为他们应当排成什么样的队形 [师]大家讨论得很好，每个人都说出了各自的想法．就这个问题，如果单纯从队形来考虑，排成圆形或圆弧形比较公平．因为每个同学离要投的目标一样远近．这样我们就得到了圆的定义： 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆(circle)．其中，定点称为圆心(centre of a circle)，定长称为半径(radius)的长(通常也称为半径)．以点O为圆心的圆记作⊙O，读作“圆O”． 注意：确定一个圆需要两个要素，一是位置，二是大小；圆心确定其位置，半径确定其大小．只有圆心没有半径，虽圆的位置固定，但大小不定，因而圆不确定；只有半径而没有圆心，虽圆的大小固定，但圆心的位置不定．因而圆也不确定，只有圆心和半径都固定，圆才被唯一确定． 巩固练习：课本P85随堂练习！ 1．体育教师想利用一根3m长的绳子在操场上画一个半径为3 m的圆，你能帮他想想办法吗 答：将绳子的一端A固定，然后拉紧绳子的另一端B，并绕A在地上转一圈．B所经过的路径就是所希望的圆．接下来我们研究点和圆的位置关系． [师]请同学们在练习本上画一个圆，大家想一想这个圆把平面分成了几部分 互相讨论一下． [生甲]两部分，圆的内部和外部．[生乙]三部分，还有一部分在圆上． [师]同学们讨论得很好．一个圆应该将平面分成三部分：圆的内部、圆、圆的外部． [师]下面我们看书PH，想一想，图3—3．由图可以看出A、C在⊙O内，点B在⊙O上，点D、E在⊙O外，如果我们把这个靶看成一个以门为圆心．以r为半径的圆．飞镖落的位置看成点，那么我们可以发现点和圆的位置有三种情况：点在圆内、点在圆上、点在圆外． 若设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d．当点P与圆心的距离由小于半径变到等于半径再变到大于半径时，点和圆的位置关系就由圆内变到圆上再变到圆外．这说明由点和圆的位置关系可以得到d与r之间的关系，反过来，由d与r的数量关系也可以判定点和圆的位置关系． 注意：点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的数量关系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系． 2．做一做 设AB=3 cm，作图说明满足下列要求的图形． (1)到点A和点B的距离都等于2 cm的所有点组成的图形． (2)到点A和点B的距离都小于2 cm的所有点组成的图形． 提示：解决这类题的关键是明确用集合的观点定义的圆、圆的内部、外部的含义．向学生渗透一种常用的数学方法——交集法．注意(2)的图形不包括重叠部分的边界．可先让学生思考：满足条件的点分别与OA、OB有怎样的位置关系 解：(1)到点A和点B的距离都等于2 cm 的点组成的图形为⊙A和⊙B的交点C、D (2)到点A、B距离都小于2 cm的点组成的图形为⊙A和⊙B的公共部分(不包括公共部分的两条弧)． Ⅲ．课时小结 [师]通过这节课的学习，同学们谈一下你有何收获和体会． [生]我们知道了马轮为什么做成圆形以及圆的定义和确定一个圆的两个条件． [生]找还学会了如何确定点和圆的三种位置关系．…… Ⅳ．课后作业 课本P86，习题3．1，1～4题
教后随笔
教 师 备 课 笔 记
上课日期 月 日 星期
课题 3．2 圆的对称性（一） 课型 新授
教学目标 1．理解圆的轴对称性．垂径定理及其逆定理．2．运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明．3．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．
重点和难点 教学重点 垂径定理及其逆定理．教学难点 垂径定理及其逆定理的证明．
教具准备 投影片
师 生 活 动 过 程
I．创设问题情境，引入新课， [师]前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义 ， [生]如果一个图形沿着某一条直线折叠后。直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴． [师]我们是用什么方法研究了轴对称图形 [生]折叠． [师]今天我们继续用前面的方法来研究圆的对称性． Ⅱ．讲授新课 [师]同学们想一想：圆是轴对称图形吗 如果是，它的对称轴是什么 你能找到多少条对称轴 [生]圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴． [师]是吗 你是用什么方法解决上述问题的 大家互相讨论一下． [生]我们可以利用折叠的方法，解决上述问题．把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线，这样便可知圆有无数条对称轴． 教师板书：圆是轴对称图形图形，对称轴是任意一条过圆心的直线． 下面我们来认识一下弧、弦、直径这些与圆有关的概念． 1．圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)． 2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord)． 3．直径：经过圆心的弦叫直径(diameter)． 如右图。以A、B为端点的弧记作AB，渎作“圆弧AB”或“弧AB”；线段AB是⊙O的一条弦，弧CD是⊙O的一条直径． 注意： 1．弧包括优弧(major arc)和劣弧(minor are)，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．如上图中，以A、D为端点的弧有两条：优弧ACD(记作ACD)，劣弧ABD(记作AD)．半圆，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称半圆．半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧． 2．直径是弦，但弦不一定是直径． 下面我们一起来做一做：(出示投影片§3．2．1 A)按下面的步骤做一做：1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合．2．得到一条折痕CD．3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕 的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足．4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如上图 [师]老师和大家一起动手． (教师叙述步骤，师生共同操作) [师]通过第一步，我们可以得到什么 [生齐声]可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴． [师]很好．在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧 [生]我发现了，AM＝BM，弧AC=弧BC=弧AD=弧BD. [师]为什么呢 [生]因为折痕AM与BM互相重合，A点与D点重合． [师]还可以怎么说呢 能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系 [师生共析]如右图示，连接OA、OB得到等腰△OAB，即OA＝OB．因CD⊥AB，故△OAM与△OBM都是Rt△，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM＝BM．又⊙O关于直径CD对称，所以A点和B点关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，弧AC与弧BC重合.因此AM=BM，弧AC=弧BC=弧AD=弧BD.[师]在上述操作过程中，你会得出什么结论 [生]垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．[师]同学们总结得很好．这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质——垂径定理．在这里注意：①条件中的“弦”可以是直径．②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦． 下面，我们一起看一下定理的证明：(教师边板书，边叙述) 如上图，连结OA、OB，则OA＝OB．在Rt△OAM和Rt△OBM中， ∵OA=OB，OM＝OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM， ∴AM＝BM．∴点A和点墨关于CD对称．∵⊙O关于直径CD对称， ∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合， 弧AC与弧BC重合，弧AD与弧BD重合.∴AC=∴BC, 弧AD与弧BD重合 [师]为了运用的方便，不易出现错误，易于记忆，可将原定理叙述为：一条直线若满足：(1)过圆心；(2)垂直于弦，那么可推出：①平分弦，②平分弦所对的优弧，③平分弦所对的劣弧．即垂径定理的条件有两项，结论有三项．用符号语言可表述为：如图3—7，在⊙O中， AM=BM，CD是直径 弧AD=弧BD， CD⊥AB于M AC=弧BC. 下面，我们通过求解例1，来熟悉垂径定理： [例1]如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD，点O是弧CD的圆心)，其中CD=600m，E为弧CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m．求这段弯路的半径．[师生共析]要求弯路的半径，连结OC，只要求出OC的长便可以了．因为已知OE⊥CD，所以CF＝CD＝300 cm，OF＝OE-EF，此时就得到了一个Rt△CFO，哪位同学能口述一下如何求解 [生]连结OC，设弯路的半径为Rm，则 OF＝(R-90)m，∵OE⊥CD，∴CF＝CD=×600＝300(m)． 据勾股定理，得 OC2＝CF2+OF2， 即R2＝3002+(R-90)2． 解这个方程，得R＝545．∴这段弯路的半径为545 m． [师]在上述解题过程中使用了列方程的方法，用代数方法解决几何问题，这种思想应在今后的解题过程中注意运用． 随堂练习：P92．1．略 下面我们来想一想(出示投影片§3．2．1 B)如下图示，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M． [师]右图是轴对称图形吗 如果是，其对称轴是什么 [生]它是轴对称图形，其对称轴是直径CD所在的直线．[师]大家互相交流讨论一下，你还有什么发现 [生]通过折叠的方法，与刚才垂径定理的探索方法类似，在一张纸上画一个⊙O，作一条不是直径的弦AB，将圆对折，使点A与点D重合，便得到一条折痕CD与弦AB交于点M．CD就是⊙O的对称轴，A点、B点关于直径CD对称．由轴对称可知，AB⊥CD，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD[师]大家想想还有别的方法吗 互相讨论一下． [生]如上图，连接OA、OB便可得到一个等腰△OAB，即OA＝OB，又AM＝MB，即M点为等腰△OAB底边上的中线．由等腰三角形三线合一的性质可知CD⊥AB，又CD是⊙O的对称轴，当圆沿CD对折时，点A与点B重合，弧AC与弧BC重合，弧AD与弧BD重合． [师]在上述的探讨中，你会得出什么结论 [生]平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． [师]为什么上述条件要强调“弦不是直径” [生]因为圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的． [师]我们把上述结论称为垂径定理的一个逆定理． [师]同学们，你能写出它的证明过程吗 [生]如上图，连结OA、OB，则OA＝OB． 在等腰△OAB中，∵AM＝MB，∴CD⊥AB(等腰三角形的三线合一)． ∵⊙O关于直径CD对称．∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，弧AC与弧BC重合，弧AD与弧BD重合．∴弧AC=弧BC，弧AD=弧BD [师]接下来，做随堂练习：P92 2．如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗 为什么 答：相等． 理由：如右图示，过圆心O作垂直于弦的直径EF，由垂径定理设弧AF=弧BF，弧CF=弧DF，用等量减等量差相等，得弧AF-弧CF=弧BF-弧DF，即弧AC=弧BD，故结论成立． 符合条件的图形有三种情况：(1)圆心在平行弦外，(2)在其中一条线弦上，(3)在平行弦内，但理由相同． Ⅲ．课时小结 1．本节课我们探索了圆的对称性． 2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理． 3．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． Ⅳ．课后作业 (一)课本P93，习题3．2，1、2
教后随笔
教 师 备 课 笔 记
上课日期 月 日 星期
课题 3.2圆的对称性(二) 课型 新授
教学目标 1、理解圆的旋转不变性．掌握圆心角、弧、弦之间相等关系定理2．通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力．3．利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦之间相等关系定理．
重点和难点 教学重点 圆心角、弧、弦之间关系定理．教学难点 “圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．
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师 生 活 动 过 程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]我们研究过中心对称图形，我们是用什么方法来研究它的，它的定义是什么 哪位同学知道 [生]用旋转的方法．中心对称图形是指把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫中心对称图形．这个点就是它的对称中心． [师]圆是一个特殊的圆形，通过前面的学习，同学们已经了解到圆既是一个轴对称图形又是一个中心对称图形．那么，圆还有其他特性吗 下面我们继续来探讨． Ⅱ．讲授新课 [师]同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点 [生]大小一样．[师]现在老师把这两个圆叠在一起，使它俩重合，将圆心固定． 将上面这个圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗 [生]重合． [师]通过旋转的方法我们知道：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．即圆是中心对称图形，对称中心为圆心． [师]我们一起来做一做．(出示投影片§3．2．2 A) 按下面的步骤做一做：1．在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下．2．在⊙O和⊙O′，上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′(如下图示)，圆心固定．注意：在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与OA′重合时，OB与O′B′不能重合．3．将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合． [生]教师叙述步骤，同学们一起动手操作． [师]通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系 同学们互相交流一下，说一说你的理由． [生甲]由已知条件可知∠AOB＝∠A′O′B′． [生乙]由两圆的半径相等，可以得到∠OAB＝∠OBA＝∠O′A′B=∠O′B′A′． [生丙]由△AOB≌△A′O′B′，可得到AB＝A′B′． [生丁]由旋转法可知弧AB＝弧A′B′． [师]很好．大家说得思路很清晰，其实刚才丁同学说到弧AB＝弧A′B′的理由是一种新的证明弧相等的方法——叠合法． [师生共析]我们在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与O′A′重合时，由于∠AOB＝∠A′O′B′．这样便得到半径OB与O′B′重合．因为点A和点A′重合，点B和点B′重合，所以弧AB和弧A′B′重合，弦AB与弦A′B′重合，即=弧AB=弧A′B′，AB=A′B′． [师]在上述操作过程中，你会得出什么结论 [生]在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． [师]同学做得很好，这就是我们通过实验利用圆的旋转不变性探索到的圆的另一个特性：圆心角、弧、弦之间相等关系定理． 下面，我们一起来看一看命题的证明．(学生互相讨论交流．学生口述，教师板书) 如上图所示，已知：⊙O和⊙O′是两个半径相等的圆，∠AOB＝∠A′O′B′． 求证：弧AB＝弧A′B′，AB＝A′B′． 证明：将⊙O和⊙O′叠合在一起，固定圆心，将其中的一个圆旋转，一个角度，使得半径OA与O′A′重合，∵∠AOB=∠A′O′B′， ∴半径OB与O′B′重合． ∵点A与点A′重合，点D与点B′重合， ∴弧AB与弧A′B′重合，弦AB与弦A′B′重合．∴弧AB=弧A′B′，AB=A′B′． 上面的结论，在同圆中也成立．于是得到下面的定理， 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 注意：在运用这个定理时，一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提．否则也不一定有所对的弧相等、弦相等这样的结论．[师](通过举反例强化对定理的理解)请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图．(出示投影片§3．2．2 B)[生]如下图示，虽然∠AOB=∠A′O′B′，，但AB≠A′B′，弧AB=弧A′B′ 下面我们共同想一想． [师]如果我们把两个圆心角用①表示；两条弧用表示：两条弦用③表示．我们就可以得出这样的结论： 在同圆或等圆中 ② 也相等 ①相等 ③如果在同圆或等圆这个前提下，将题设和结论中任何一项交换一下，结论正确吗 你是怎么想的 请你说一说．(同学们互相交流、讨论) [生甲]如果将上述题设①和结论②换一下，结论仍正确．可以通过旋转法或叠合法得到证明． [生乙]如果将上述题设①和结论③互换一下，结论也正确，可以通过证明全等或叠合法得到， [师]好，通过上面的探索，你得到了什么结论 [生]在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．注意：(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则，丢掉这个前提，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等． (2)此定理中的“弧”一般指劣弧． (3)要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念和“所对”一词的含义．否则易错用此关系．(4)在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，择其有关部分．例如，右图中的∠1=∠2，有的同学认为∠1对AD，∠2对BC，就推出了AD=BC，显然这是错误的，因为AD、BC不是“等圆心角对等弦”的弦． [师]下面我们通过练习巩固本节课的所学内容． 课本P97 随堂练习1、2、3 Ⅲ．课时小结[师]通过这一节的学习，在得出本节结论的过程中，回忆一下我们使用了哪些研究图形的方法 [生]本节采用的方法有多种，利用折叠法研究了圆是轴对称图形，利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理；利用旋转的方法得到了圆的旋转不变性，由圆的旋转不变性，我们探究了圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理…… Ⅳ．课后作业 课本P98 习题3．3：1、2
教后随笔
教 师 备 课 笔 记
上课日期 月 日 星期
课题 3.3圆周角和圆心角的关系（一） 课型 新授
教学目标 1．了解圆周角的概念．理解圆周角定理的证明．2、经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想．
重点和难点 教学重点圆周角概念及圆周角定理．教学难点认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性．
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师 生 活 动 过 程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]前面我们学习了与圆有关的哪种角？它有什么特点？请同学们画一个圆心角．[生]学习了圆心角，它的顶点在圆心．[师]圆心是圆中一个特殊的点，当角的顶点在圆心时，就有圆心角．这样角与圆两种不同的图形产生了联系，在圆中还有比较特殊的点吗？如果有，把这样的点作为角的顶点，会是怎样的图形？Ⅱ．讲授新课1．圆周角的概念[师]同学们请观察下面的图(1)．(出示投影片3．3．1A)这是一个射门游戏，球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关．[师]图中的∠ABC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？[生]∠ABC的顶点B在圆上，它的两边分别和圆有另一个交点．(通过学生观察，类比得到定义)圆周角(angle in a circular segment)定义：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角．[师]请同学们考虑两个问题：(1)顶点在圆上的角是圆周角吗？(2)圆和角的两边都相交的角是圆周角吗？请同学们画图回答上述问题．[师]通过画图，相互交流，讨论认清圆周角概念的本质特征，从而总结出圆周角的两个特征：(1)角的顶点在圆上；(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦．2．补充练习1(出示投影片§3．3．1B)判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由．答：由圆周角的两个特征知，只有C是圆周角，而A、B、D、E都不是．3．研究圆周角和圆心角的关系．[师]在图(1)中，当球员在B、D、E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC．这三个角的大小有什么关系？我们知道，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．那么，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角有什么关系？[师]请同学们动手画出⊙O中所对的圆心角和圆周角．观察所对的圆周角有几个？它们的大小有什么关系？你是通过什么方法得到的？所对的圆心角和所对的圆周角之间有什么关系？[生] 所对的圆周角有无数个．通过测量的方法得知：所对的圆周角相等，所对的圆周角都等于它所对的圆心角的一半．[师]对于有限次的测量得到的结论，必须通过其论证，怎么证明呢？说说你的想法，并与同伴交流．[生]互相讨论、交流，寻找解题途径．[师生共析]能否考虑从特殊情况入手试一下．圆周角一边经过圆心．由下图可知，显然∠ABC＝∠AOC，结论成立．(学生口述，教师板书)如上图，已知：⊙O中，所对的圆周角是∠ABC，圆心角是∠AOC．求证：∠ABC＝AOC．证明：∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC＝∠ABO＋∠BAO．∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO．∴∠AOC＝2∠ABO．即∠ABC＝∠AOC．[师]如果∠ABC的两边都不经过圆心(如下图)，那么结果怎样？特殊情况会给我们什么启发吗？你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗？(学生互相交流、讨论)[生甲]如图(1)，点O在∠ABC内部时，只要作出直径BD，将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出．由刚才的结论可知：∠ABD＝∠AOD，∠CBD＝∠COD，∴∠ABD＋∠CBD＝(∠AOD＋∠COD)，即∠ABC＝∠AOC．[生乙]在图(2)中，当点O在∠ABC外部时，仍然是作出直径BD，将这个角转化成上述情形的两个角的差即可．由前面的结果，有∠ABD＝∠AOD，∠CBD＝∠COD．∴∠ABD－∠CBD＝(∠AOD－∠COD)，即∠ABC＝∠AOC．[师]还会有其他情况吗？请思考．[生]不会有．[师]经过刚才我们一起探讨，得到了什么结论？[生]一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．[师]这一结论称为圆周角定理．在上述经历探索圆周角和圆心角的关系的过程中，我们学到了什么方法？[生]由“特殊到一般”的思想方法，转化的方法，分类讨论的方法，……[师]好，同学们总结得很好．由此我们可以知道，当解决一问题有困难时，可以首先考虑其特殊情形，然后再设法解决一般问题，这是解决问题时常用的策略．今后我们在处理问题时，注意运用．4．课本P103，随堂练习1、2Ⅲ．课时小结[师]到目前为止，我们学习到和圆有关系的角有几个？它们各有什么特点？相互之间有什么关系？[生]和圆有关系的角有圆心角和圆周角．圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在圆上，角的两边和圆相交．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．[师]这节课我们学会了什么定理？是如何进行探索的？[生]我们学会了圆周角定理．通过分类讨论的思想方法，渗透了由特殊到一般的转化方法．对定理进行了研究和证明．[师]好，同学们今后在学习中，要注意探索问题方法的应用．注意：(1)定理的条件是同一条弧所对的圆周角和圆心角，结论是圆周角等于圆心角的一半．(2)不能丢掉“一条弧所对的”而简单说成“圆周角等于圆心角的一半”．Ⅳ．课后作业习题3．4
教后随笔
教 师 备 课 笔 记
上课日期 月 日 星期
课题 3.3圆周角和圆心角的关系(二) 课型 新授
教学目标 1．掌握圆周角定理几个推论的内容． 2．会熟练运用推论解决问题． 3．培养学生观察、分析及理解问题的能力．
重点和难点 教学重点 圆周角定理的几个推论的应用．教学难点 理解几个推论的“题设”和“结论”．
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Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]请同学们回忆一下我们前几节课学习了哪些和圆有关系的角 它们之间有什么关系 [生]学习了圆心角和圆周角、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．即圆周角定理． [师]我们在分析、证明上述定理证明过程中，用到了些什么数学思想方法 [生]分类讨论、化归、转化思想方法． [师]同学们请看下面这个问题：(出示投影片§3．3．2 A)已知弦AB和CD交于⊙O内一点P，如下图．求证：PA·PB=PC·PD [师生共析]要证PA·PB＝PC·PD，可证．由此考虑证明以PA、PC为边的三角形与以PD、PB为边的三角形相似．由于图中没有这两个三角形，所以考虑作辅助线AC和BD．要证△PAC∽△PDB．由已知条件可得∠APC与∠DPB相等，如能再找到一对角相等．如∠A＝∠D或∠C＝∠B．便可证得所求结论．如何寻找∠A=∠D或∠C=∠B.要想解决这个问题．我们需先进行下面的学习． Ⅱ．讲授新课 [师]请同学们画一个圆，以A、C为端点的弧所对的圆周角有多少个 (至少画三个)它们的大小有什么关系 你是如何得到的 [生] 弧AC所对的圆周角有无数个，它们的大小相等，我是通过度量得到的． [师]大家想一想，我们能否用验证的方法得到上图中的∠ABC＝∠ADC＝∠AEC (同学们互相交流、讨论) [生]由图可以看出，∠ABC、∠ADC和∠AEC是同弧(弧AC)所对的圆周角，根据上节课我们所学的圆周角定理可知，它们都等于圆心角∠AOC的一半，所以这几个圆周角相等． [师]通过刚才同学的学习，我们上面提出的问题∠A=∠D或∠C＝∠B找到答案了吗 [生]找到了，它们属于同弧所对的圆周角．由于它们都等于同弧所对圆心角的一半，这样可知∠A＝∠D或∠C＝∠B． [师]如果我们把上面的同弧改成等弧，结论一样吗 [生]一样，等弧所对的圆心角相等，而圆周角等于圆心角的一半，这样，我们便可得到等弧所对的圆周角相等． [师]通过我们刚才的探讨，我们可以得到一个推论． 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． [师]若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论成立吗 请同学们互相议一议． [生]如右图，结论不成立．因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在弦不是 直径的情况下是不相等的. 注意：(1)“同弧”指“同一个圆”． (2)“等弧”指“在同圆或等圆中”． (3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”． [师]接下来我们看下面的问题： 如右图，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角是锐角、直角，还是钝角 你是如何判断的 (同学们互相交流，讨论) [生]直径BC所对的圆周角是直角，因为一条直径将圆分成了两个半圆，而半圆所对的圆心角是∠BOC=180°，所以∠BAC=∠90°． [师]反过来，在右图中，如果圆周角∠BAC=90°，那么它所对的弦BC经过圆心O吗 为什么 [生]弦BC经过圆心O，因为圆周角∠BAC=90°．连结OB、OC，所以圆心角∠BOC=180°，即BOC是一条线段，也就是BC是⊙O的一条直径． [师]通过刚才大家的交流，我们又得到了圆周角定理的又一个推论： 直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 注意：这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角：如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题． [师]为了进一步熟悉推论，我们看下面的例题．(出示投影片§3．3．2 B) [例]如图示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系 为什么 [师生共析]由于AB是⊙O的直径，故连接AD．由推论直径所对的圆周角是直角，便可得AD⊥BC，又因为△ABC中，AC＝AB，所以由等腰三角形的二线合一，可证得BD=CD． 下面哪位同学能叙述一下理由 [生]BD=CD．理由是： 连结AD． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°． 即AD⊥BC．又∵AC＝AB,∴BD＝CD． [师]通过我们学习圆周角定理及推论，大家互相交流，讨论一下，我们探索上述问题时，用到了哪些方法 试举例说明． [生]在得出本节的结论过程中，我们用到了度量与证明的方法，比如说在研究同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；还学到了分类与转化的方法．比如说在探索圆周角定理过程中，定理的证明应分三种情况，在这三种情况中，第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决，再比如说，学习圆周角定义时，可由前面学习列的圆心角类比得出圆周角的概念…… Ⅲ.P107 随堂练习 1．为什么有些电影院的坐位排列(横排)呈圆弧形？说一说这种设计的合理性． 答：有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等． 2．如下图，哪个角与∠BAC相等 答：∠BDC＝∠BAC． 3. 如下图，⊙O的直径AB＝10 cm，C为⊙O上的一点，∠ABC＝30°，求AC的长． 解：∵AB为⊙O的直径． ∴ACB=90°． 又∵∠ABC=30°， ∴AC=AB=×10=5(cm)． 4．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形，根据下图，你能判断哪个是半圆形 为什么 答：图(2)是半圆形、理由是：90°的圆周角所对的弦是直径． Ⅳ．下面我们一起来看一个问题：做一做(出示投影片§ 3．3．2 C)船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁，如下图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”．当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁．(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域 为什么 (2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域 为什么 分析：这是一个有实际背景的问题，由题意可知：“危险角” ∠ACB实际上就是圆周角，船P与两个灯塔的夹角为∠α，P有可能在⊙O外，P有可能在⊙O内，当∠α＞∠C时，船位于暗礁区域内；当∠α＜∠C时，船位于暗礁区域外，我们可采用反证法进行论证． 解：(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角” ∠C时，船位于暗礁区域内(即⊙O内)，理由是： 连结BE，假设船在(⊙O上，则有∠α=∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O外，则有∠α＜∠AEB，即∠α＜∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O外．因此．船只能位于⊙O内． (2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角” ∠C时，船位于暗礁区域外(即⊙O外)．理由是： 假设船在⊙O上，则有∠α＝∠C，这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O内，则有∠α>∠AEB，即∠α>∠C．这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O内，因此，船只能位于⊙O外． 注意：用反证法证明命题的一般步骤： (1)假设命题的结论不成立； (2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾． (3)山矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确． Ⅴ．课时小结 本节课我们学习了圆周角定理的2个推论，结合我们上节课学到的圆周角定理，我们知道，在同圆或等圆中，根据弦及其所对的圆心角，弧，弦、弦心距之间的关系，实现了圆中这些量之间相等关系的转化，而圆周角定理建立了圆心角与圆周角之间的关系，因此，最终实现了圆中的角(圆心角和圆周角)，线段(弦、弦心距)、弧等量与量之间相等关系的相等相互转化，从而为研究圆的性质提供了有力的工具和方法． Ⅵ.课后作业 课本P108 习题3．5
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课题 3．4 确定圆的条件 课型 新授
教学目标 1、了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念． 2．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力． 3．通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略．
重点和难点 教学重点 1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论． 2．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法． 3．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．教学难点 经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆．
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Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线，那么，经过一点能作几个圆 经过两点、三点……呢 本节课我们将进行有关探索． Ⅱ．新课讲解 1．回忆及思考 投影片(§ 3．4 A)1．线段垂直平分线的性质及作法．2．作圆的关键是什么 [生]1．线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 作法：如右图，分别以A、B为圆心，以大于AB长为半径画弧，在AB的两侧找出两交点C、D，作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线，直线CD上的任一点到A与B的距离相等． [师]我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．定点即为圆心，定长即为半径，根据定义大家觉得作圆的关键是什么 [生]由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题．因此作圆的关键是确定圆心和半径的大小．确定了圆心和半径，圆就随之确定． 2．做一做(投影片§3．4 B)(1)作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆 (2)作圆，使它经过已知点A、B.你是如何作的 你能作出几个这样的圆 其圆心的分布有什么特点 与线段AB有什么关系 为什么 (3)作圆，使它经过已知点A、B、C(A、B、C三点不在同一条直线上)．你是如何作的 你能作出几个这样的圆 [师]根据刚才我们的分析已知，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家互相交换意见并作出解答．[生](1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来．所以以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个，如图(1)． (2)已知点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到A、B的距离相等．根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB的垂直平分线上．在AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、B两点的距离相等，所以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径．圆就确定下来了．由于线段AB的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)． (3)要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心． 因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆． [师]大家的分析很有道理．究竟应该怎样找圆心呢 3．过不在同一条直线上的三点作圆． 投影片(§3．4 C)作法图示1．连结AB、BC2．分别作AB、BC的垂直平分线DE和FG，DE和FG相交于点O3．以O为圆心，OA为半径作圆⊙O就是所要求作的圆 他作的圆符合要求吗 与同伴交流． [生]符合要求． 因为连结AB，作AB的垂直平分线ED，则ED上任意一点到A、B的距离相等，连结BC，作BC的垂直平分线FG，则FG上的任一点到B、C的距离相等．ED与FG的交点O满足OA=OB=OC，因此这样的画法满足条件． [师]由上可知，过已知一点可作无数个圆，过已知两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆． 不在同一直线上的三个点确定一个圆． 4．有关定义 由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆(circumcircle of triangle)．这个三角：形叫这个圆的内接三角形． 外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter)． Ⅲ．课堂练习 已知锐角三角形、直角-三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆．它们外心的位置有怎样的特点 解：如下图． 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 O为外接圆的圆心，即外心． 锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部． Ⅳ．课时小结本节课所学内容如下： 1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程． 2．过不在同一条直线上的二个点作圆的方法． 3．了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念． Ⅴ．课后作业 习题3．6
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课题 3．5 直线和圆的位置关系（一） 课型 新授
教学目标 1．理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系． 2．了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系． 3．经历探索直线与圆位置关系的过程，培养学生的探索能力． 4．通过观察得出“圆心到直线的距离d和半径r的数量关系”与“直线和圆的位置关系”的对应与等价，从而实现位置关系与数量关系的相互转化．
重点和难点 教学重点经历探索直线与圆位置关系的过程．理解直线与圆的三种位置关系． 了解切线的概念以及切线的性质．教学难点 经历探索：直线与圆的位置关系的过程，归纳总结出直线与圆的三种位置关系．探索圆的切线的性质．
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Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]我们在前面学过点和圆的位置关系，请大家回忆它们的位置关系有哪些 [生]圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．即圆上的点到圆心的距离等于半径；圆的内部到圆心的距离小于半径；圆的外部到圆心的距离大于半径．因此点和圆的位置关系有三种，即点在圆上、点在圆内和点在圆外．也可以把点与圆心的距离和半径作比较，若距离大于半径在圆外，等于半径在圆上，小于半径在圆内． [师]本节课我们将类比地学习直线和圆的位置关系． Ⅱ．新课讲解 1．复习点到直线的距离的定义 [生]从已知点向已知直线作垂线，已知点与垂足之间的线段的长度叫做这个点到这条直线的距离． 如右图，C为直线AB外一点，从C向AB引垂线，D为垂足，则线段CD即为点C到直线AB的距离． 2．探索直线与圆的三种位置关系[师]直线和圆的位置关系，我们在现实生活中随处可见，只要大家注意观察，这样的例子是很多的．如大家请看课本113页，观察图中的三幅照片，地平线和太阳的位置关系怎样 作一个圆，把直尺的边缘看成一条直线，固定圆，平移直尺，直线和圆有几种位置关系 [生]把太阳看作圆，地平线看作直线，则直线和圆有三种位置关系；把直尺的边缘看成一条直线，则直线和圆有三种位置关系． [师]从上面的举例中，大家能否得出结论，直线和圆的位置关系有几种呢 [生]有三种位置关系．[师]直线和圆有三种位置关系，如下图： 它们分别是相交、相切、相离． 当直线与圆相切时(即直线和圆有唯一公共点)，这条直线叫做圆的切线(tangent line)． 当直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交． 当直线与圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 因此，从直线与圆有公共点的个数可以断定是哪一种位置关系，你能总结吗 [生]当直线与圆有唯一公共点时，这时直线与圆相切； 当直线与圆有两个公共点时，这时直线与圆相交； 当直线与圆没有公共点时，这时直线与圆相离． [师]能否根据点和圆的位置关系，点到圆心的距离d和半径r作比较，类似地推导出如何用点到直线的距离d和半径r之间的关系来确定三种位置关系呢 [生]如上图中，圆心O到直线l的距离为d，圆的半径为r，当直线与圆相交时，dr，因此可以用d与r间的大小关系断定直线与圆的位置关系． [师]由此可知：判断直线与圆的位置关系有两种方法．一种是从直线与圆的公共点的个数来断定；一种是用d与r的大小关系来断定． 投影片(§ 3．5．1 A) (1)从公共点的个数来判断； 直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交； 直线与圆有唯一公共点时，直线与圆相切； 直线与圆没有公共点时，直线与圆相离． (2)从点到直线的距离(d与半径r的大小关系来判断：dr时，相离． 解：(1)如上图，过点C作AB的垂线段CD． ∵AC=4 cm，AB＝8 cm； ∴cosA==， ∴∠A=60°． ∴CD=ACsinA=4sin60°=2 (cm)． 因此，当半径长为2cm时，AB与⊙C相切． (2)由(1)可知，圆心C到AB的距离d=2cm，所以，当r=2cm时，d>r，⊙C与AB相离； 当r=4 cm时．d教后随笔
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课题 3.5直线和圆的位置关系(二) 课型 新授
教学目标 1．能判定一条直线是否为圆的切线． 2．会过圆上一点画圆的切线． 3．会作三角形的内切圆．4．通过判定一条直线是否为圆的切线，训练学生的推理判断能力．
重点和难点 教学重点 探索圆的切线的判定方法，并能运用． 作三角形内切圆的方法．教学难点 探索圆的切线的判定方法．
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Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]上节课我们学习了直线和圆的位置关系，圆的切线的性质，懂得了直线和圆有三种位置关系：相离、相切、相交．判断直线和圆属于哪一种位置关系，可以从公共点的个数和圆心到直线的距离与半径作比较两种方法进行判断，还掌握了圆的切线的性质、圆的切线垂直于过切点的直径． 由上可知，判断直线和圆相切的方法有两种，是否仅此两种呢 本节课我们就继续探索切线的判定条件． Ⅱ．新课讲解 1．探索切线的判定条件 投影片(§3．5．2 A)如下图，AB是⊙O的直径，直线l经过点A，l与AB的夹角为∠α，当l绕点A旋转时，(1)随着∠α的变化，点O到l的距离(d如何变化 直线l与⊙O的位置关系如何变化 (2)当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r 此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系 为什么 [师]大家可以先画一个圆，并画出直径AB，拿直尺当直线，让直尺绕着点A移动．观察∠α发生变化时，点O到l的距离d如何变化，然后互相交流意见． [生](1)如上图，直线l1与AB的夹角为α,点O到l的距离为d1，d1教后随笔
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课题 3．6 圆和圆的位置关系 课型 新授
教学目标 1．了解圆与圆之间的几种位置关系．2．了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系． 3. 经历探索两个圆之间位置关系的过程，训练学生的探索能力．4．通过平移实验直观地探索圆和圆的位置关系，发展学生的识图能力和动手操作能力．
重点和难点 教学重点 探索圆与圆之间的几种位置关系，了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系．教学难点 探索两个圆之间的位置关系，以及外切、 内切时两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的过程．
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Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]我们已经研究过点和圆的位置关系，分别为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种；还探究了直线和圆的位置关系，分别为相离、相切、相交．它们的位置关系都有三种．今天我们要学习的内容是圆和圆的位置关系，那么结果是不是也是三种呢 没有调查就没有发言权．下面我们就来进行有关探讨． Ⅱ．新课讲解 一、想一想 [师]大家思考一下，在现实生活中你见过两个圆的哪些位置关系呢 [生]如自行车的两个车轮间的位置关系；车轮轮胎的两个边界圆间的位置关系；用一只手拿住大小两个圆环时两个圆环间的位置关系等． [师]很好，现实生活中我们见过的有关两个圆的位置很多．下面我们就来讨沦这些位置关系分别是什么． 二、探索圆和圆的位置关系 在一张透明纸上作一个⊙O．再在另一张透明纸上作一个与⊙O1半径不等的⊙O2．把两张透明纸叠在一起，固定⊙O1，平移⊙O2，⊙O1与⊙O2有几种位置关系 [师]请大家先自己动手操作，总结出不同的位置关系，然后互相交流．[生]我总结出共有五种位置关系，如下图：
[师]大家的归纳、总结能力很强，能说出五种位置关系中各自有什么特点吗 从公共点的个数和一个圆上的点在另一个圆的内部还是外部来考虑． [生]如图：(1)外离：两个圆没有公共点，并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部； (2)外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部； (3)相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆的内部； (4)内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，⊙O2上的点在⊙O1的内部； (5)内含：两个圆没有公共点，⊙O2上的点都在⊙O1的内部． [师]总结得很出色，如果只从公共点的个数来考虑，上面的五种位置关系中有相同类型吗 [生]外离和内含都没有公共点；外切和内切都有一个公共点，相交有两个公共点． [师]因此只从公共点的个数来考虑，可分为相离、相切、相交三种． 经过大家的讨论我们可知： 投影片(§3．6 A)(1)如果从公共点的个数，和一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部来考虑，两个圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含．(2)如果只从公共点的个数来考虑分三种：相离、相切、相交，并且相离外离 外切，相切内含 内切 三、例题讲解 投影片(§ 3．6 B)两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图所示(点O，O′是圆心)，分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小． 分析：因为两个圆大小相同，所以半径OP=O′P＝OO′，又TP、NP分别为两圆的切线，所以PT⊥OP，PN⊥O′P，即∠OPT＝∠O′PN=90°，所以∠TPN等于360°减去∠OPT+∠O′PN+∠OPO°即可． 解：∵OP＝OO′＝PO′， ∴△ PO′O是一个等边三角形． ∴∠OPO′=60°． 又∵TP与NP分别为两圆的切线， ∴∠TPO=∠NPO′=90°． ∴∠TPN=360°-2× 90°-60°=120°． 四、想一想如图(1)，⊙O1与⊙O2外切，这个图是轴对称图形吗 如果是，它的对称轴是什么 切点与对称轴有什么位置关系 如果⊙O1与⊙O2内切呢 [如图(2)] [师]我们知道圆是轴对称图形，对称轴是任一直径所在的直线，两个圆是否也组成一个轴对称图形呢 这就要看切点了是否在连接两个圆心的直线上，下面我们用反证法来证明．反证法的步骤有三步：第一步是假设结论不成立；第二步是根据假设推出和已知条件或定理相矛盾的结论；第三步是证明假设错误，则原来的结论成立． 证明：假设切点丁不在O1O2上． 因为圆是轴对称图形．所以T关于O1O2的对称点广也是两圆的公共点，这与已知条件⊙O1和⊙O2相切矛盾，因此假没不成立． 则T在O1O2上． 由此可知图(1)是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线，切点与对称轴的位置关系是切点在对称轴上． 在图(2)中应有同样的结论． 通过上面的讨论，我们可以得出结论：两圆相内切或外切时，两圆的连心线一定经过切点，图(1)和图(2)都是轴对称图形，对称轴是它们的连心线． 五、议一议 投影片(§ 3．6 C)设两圆的半径分别为R和r．(1)当两圆外切时，两圆圆心之间的距离(简称圆心距)d与R和r具有怎样的关系 反之当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定外切吗 (2)当两圆内切时(R>r)，圆心距d与R和r具有怎样的关系 反之，当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定内切吗 [师]如图，请大家互相交流． [生]在图(1)中，两圆相外切，切点是A．因为切点A在连心线O1O2上，所以O1O2＝O1A+O2A＝R+r，即d=R+r：反之，当d＝R+r时，说明圆心距等于两圆半径之和，O1、A、O2在一条直线上，所以⊙O1与⊙O2只有一个交点A，即⊙O1与⊙O2外切． 在图(2)中，⊙O1与⊙O2相内切，切点是B.因为切点B在连心线O1O2，所以O1O2＝O1B-O2B，即d＝R-r：反之，当d＝R-r时，圆心距等于两半径之差，即O1O2=O1B-O2B，说明O1、O2、B在一条直线上，B既在⊙O1上，又在⊙O2上，所以⊙O1与⊙O2内切． [师]由此可知，当两圆相外切时，有d=R+r，反过来，当d=R+r时，两圆相外切，即两圆相外切d＝R+r 当两圆相内切时，有d=R-r，反过来，当d＝R-r时，两圆相内切，即两圆相内切d＝R-r． Ⅲ．课堂练习 随堂练习 Ⅳ．课时小结 本节课学习了如下内容： 1．探索圆和圆的五种位置关系； 2．讨论在两圆外切或内切情况下，图形的轴对称性及对称轴，以及切点和对称轴的位置关系； 3．探讨在两圆外切或内切时，圆心距d与R和r之间的关系． Ⅴ．课后作业 习题3．9
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课题 3．7 弧长及扇形面积 课型 新授
教学目标 1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程； 2．了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题． 3．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力． 4．了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力．
重点和难点 教学重点 1．经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程． 2．了解弧长及扇形面积计算公式． 3．会用公式解决问题．教学难点 1．探索弧长及扇形面积计算公式． 2．用公式解决实际问题．
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Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的—部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算 它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢 本节课我们将进行探索． Ⅱ．新课讲解 一、复习 1．圆的周长如何汁算 2.圆的面积如何计算 3．圆的圆心角是多少度 [生]若圆的半径为r，则周长l＝2πr，面积S＝πr2，圆的圆心角是360°． 二、探索弧长的计算公式投影片(§ 3．7 A)如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm． (1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米 (2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米 (3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米 [师]分析：转动轮转一周，传送带上的物品应被传送一个圆的周长；因为圆的周长对应360°的圆心角，所以转动轮转1°，传送带上的物品A被传送圆周长的；转动轮转n°，传送带上的物品A被传送转l°时传送距离的n倍． [生]解：(1)转动轮转一周．传送带上的物品A被传送2π×10＝20πcm； (2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送cm； (3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送n×cm． [师]根据上面的计算，你能猜想出在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式吗 请大家互相交流． [生]根据刚才的讨论可知，360°的圆心角对应圆周长2πR，那么1°的圆心角对应的弧长为，n°的圆心角对应的弧长应为1°的圆心角对应的弧长的n倍，即n×.[师]表述得非常棒．在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长(arclength)的计算公式为： l=.下面我们看弧长公式的运用． 三、例题讲解投影片(§3．7 B)制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即弧AB的长(结果精确到0．1 mm)． 分析：要求管道的展直长度．即求弧AB的长，根据弧长公式l＝可求得弧AB的长，其中n为圆心角，R为半径． 解：R＝40mm，n=110． ∴弧AB的长= πR=弧×40π≈76．8 mm． 因此．管道的展直长度约为76．8 mm． 四、想一想 投影片(§3．7 C)在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3 m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗．(1)这只狗的最大活动区域有多大？(2)如果这只狗只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大 [师]请大家互相交流．[生](1)如图(1)，这只狗的最大活动区域是圆的面积，即9π； (2)如图(2)，狗的活动区域是扇形，扇形是圆的一部分，360°的圆心角对应的圆面积，1°的圆心角对应圆面积的弧，即×9π=，n°的圆心角对应的圆面积为n×=． [师]清大家根据刚才的例题归纳总结扇形的面积公式． [生]如果圆的半径为R，则圆的面积为πR2，1°的圆心角对应的扇形面积为，n°的圆心角对应的扇形面积为n·=．因此扇形面积的计算公式为S扇形＝πR2，其中R为扇形的半径，n为圆心角． 五、弧长与扇形面积的关系 [师]我们探讨了弧长和扇形面积的公式，在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l＝πR，n°的圆心角的扇形面积公式为S扇形＝πR2，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n．半径R有关系，因此l和S之间也有一定的关系，你能猜得出吗 请大家互相交流． [生]∵l=πR，S扇形=πR2， ∴πR2=R·πR．∴S扇形=lR． 六、扇形面积的应用 投影片(§3．7 D)扇形AOB的半径为12 cm，∠AOB＝120°，求弧AB的长(结果精确到0．1 cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0．1 cm2) 分析：要求弧长和扇形面积，根据公式需要知道半径尺和圆心角n即可，本题中这些条件已经告诉了，因此这个问题就解决了． 解：弧AB的长=π×12≈25．1cm： S扇形=π×122≈150．7 cm2． 因此，弧AB的长约为25．1 cm，扇形AOB的面积约为150．7 cm2． Ⅲ．课堂练习 随堂练习 Ⅳ．课时小结 本节课学习了如下内容： 1．探索弧长的计算公式l＝πR，并运用公式进行计算； 2．探索扇形的面积公式S＝πR2，并运用公式进行计算； 3．探索弧长l及扇形的面积S之间的关系，并能已知一方求另一方． Ⅴ．课后作业 习题3．10
教后随笔
教 师 备 课 笔 记
上课日期 月 日 星期
课题 3.8圆锥的侧面积 课型 新授
教学目标 1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程．2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．3．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，发展学生的实践探索能力．4．了解圆锥的侧面积计算公式后，能用公式进行计算，训练学生的数学应用能力．
重点和难点 教学重点1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程．2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．教学难点经历探索圆锥侧面积计算公式．
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师 生 活 动 过 程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]大家见过圆锥吗？你能举出实例吗？[生]见过，如漏斗、蒙古包．[师]你们知道圆锥的表面是由哪些面构成的吗？请大家互相交流．[生]圆锥的表面是由一个圆面和一个曲面围成的．[师]圆锥的曲面展开图是什么形状呢？应怎样计算它的面积呢？本节课我们将解决这些问题．Ⅲ．新课讲解一、探索圆锥的侧面展开图的形状[师](向学生展示圆锥模型)请大家先观察模型，再展开想象，讨论圆锥的侧面展开图是什么形状．[生]圆锥的侧面展开图是扇形．[师]能说说理由吗？[生甲]因为数学知识是一环扣一环的，后面的知识是在前面知识的基础上学习的．上节课的内容是弧长及扇形面积，本节课的内容是圆锥的侧面积，而弧长不是面积，所以我猜想圆锥的侧面展开图应该是扇形．[师]这位同学用的虽然是猜想，但也是有一定的道理的，并不是凭空瞎想，还有其他理由吗？[生乙]我是自己实践得出结论的，我拿一个扇形的纸片卷起来，就得到了一个圆锥模型．[师]很好，究竟大家的猜想是否正确呢？下面我就给大家做个演示(把圆锥沿一母线剪开)，请大家观察侧面展开图是什么形状的？[生]是扇形．[师]大家的猜想非常正确，既然已经知道侧面展开图是扇形，那么根据上节课的扇形面积公式就能计算出圆锥的侧面积，由于我们不能把所有圆锥都剖开，在展开图中的扇形的半径和圆心角与不展开图形中的哪些因素有关呢？这将是我们进一步研究的对象．二、探索圆锥的侧面积公式[师]圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图，设圆锥的母线(generating line)长为l，底面圆的半径为r，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为母线长l，扇形的弧长即为底面圆的周长2πr，根据扇形面积公式可知S＝·2πr·l＝πrl．因此圆锥的侧面积为S侧＝πrl．圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积(surfacearea)，全面积为S全＝πr2＋πrl．三、利用圆锥的侧面积公式进行计算．投影片(§3．8A)圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽．已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？(结果精确到0.1cm)2分析：根据题意，要求纸帽的面积，即求圆锥的侧面积．现在已知底面圆的周长，从中可求出底面圆的半径，从而可求出扇形的弧长．在高h、底面圆的半径r、母线l组成的直角三角形中，根据勾股定理求出母线l，代入S侧＝πrl中即可．解：设纸帽的底面半径为r cm，母线长为l cm，则r＝l＝≈22.03cm，S圆锥侧＝πrl≈×58×22.03＝638.87cm2．638.87×20＝12777.4cm2．所以，至少需要12777.4cm2的纸．投影片(§3．8B)如图，已知Rt△ABC的斜边AB＝13cm，一条直角边AC＝5cm，以直线AB为轴旋转一周得一个几何体．求这个几何体的表面积．分析：首先应了解这个几何体的形状是上下两个圆锥，共用一个底面，表面积即为两个圆锥的侧面积之和．根据S侧＝πR2或S侧＝πrl可知，用第二个公式比较好求，但是得求出底面圆的半径，因为AB垂直于底面圆，在Rt△ABC中，由OC、AB＝BC、AC可求出r，问题就解决了．解：在Rt△ABC中，AB＝13cm，AC＝5cm，∴BC＝12cm．∵OC·AB＝BC·AC，∴r＝OC＝．∴S表＝πr(BC＋AC)＝π××(12＋5)＝π cm2．Ⅲ．课堂练习随堂练习Ⅳ．课时小结本节课学习了如下内容：探索圆锥的侧面展开图的形状，以及面积公式，并能用公式进行计算．Ⅴ．课后作业习题3．11
教后随笔
教 师 备 课 笔 记
上课日期 月 日 星期
课题 回顾与思考（一） 课型 新授
教学目标 1．掌握本章的知识结构图．2．探索圆及其相关结论．3．掌握并理解垂径定理．4．认识圆心角、弧、弦之间相等关系的定理．5．掌握圆心角和圆周角的关系定理．6．通过探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力．7．用折叠、旋转的方法探索圆的对称性，以及圆心角、弧、弦之间关系的定理，发展学生的动手操作能力．
重点和难点 教学重点掌握圆的定义，圆的对称性，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，圆心角和圆周角的关系．对这些内容不仅仅是知道结论，要注重它们的推导过程和运用．教学难点上面这些内容的推导及应用．
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师 生 活 动 过 程
Ⅰ．回顾本章内容[师]本章的内容已全部学完，大家能总结一下我们都学过哪些内容吗？[生]首先，我们学习了圆的定义；知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，并且有旋转不变性的特点；利用轴对称变换的方法探索出垂径定理及逆定理；用旋转变换的方法探索圆心角、弧、弦之间相等关系的定理；用推理证明的方法研究了圆心角和圆周角的关系；又研究了确定圆的条件；点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系；圆的切线的性质和判断；探究了圆弧长和扇形面积公式，圆锥的侧面积．[师]很好，大家对所学知识掌握得不错．本章的内容可归纳为三大部分，第一部分由圆引出了圆的概念、对称性，圆周角与圆心角的关系，弧长、扇形面积，圆锥的侧面积，在对称性方面又学习了垂径定理，圆心角、孤、弦之间的关系定理；第二部分讨论直线与圆的位置关系，其中包括切线的性质与判定，切线的作图；第三部分是圆和圆的位置关系．这三部分构成了全章内容，结构如下：(投影片A)Ⅱ．具体内容巩固[师]上面我们大致梳理了一下本章内容，现在我们具体地进行回顾．一、圆的有关概念及性质[生]圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．定点为圆心，定长为半径．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线，对称中心是圆心，圆还具有旋转不变性．[师]圆的这些性质在日常生活中有哪些应用呢？你能举出例子吗？[生]车轮做成圆形的就是利用了圆的旋转不变性．车轮在平坦的地面上行驶时，它与地面线相切，当它向前滚动时，轮子的中心与地面的距离总是不变的，这个距离就是半径．把车厢装在过轮子中心的车轴上，则车辆在平坦的公路上行驶时，人坐在车厢里会感觉非常平稳．如果车轮不是圆形，坐在车上的人会觉得非常颠．二、垂径定理及其逆定理[生]垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．[师]这两个定理大家一定要弄清楚、不能混淆，所以我们应先对他们进行区分．每个定理都是一个命题，每个命题都有条件和结论．在垂径定理中，条件是：一条直径垂直于一条弦，结论是：这条直径平分这条弦，且平分弦所对的弧(有两对弧相等)．在逆定理中，条件是：一条直径平分一条弦(不是直径)，结论是：这条直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧(也有两对弧相等)．从上面的分析可知，垂径定理中的条件是逆定理中的结论，垂径定理中的一个结论是逆定理中的条件，在具体的运用中，是根据已知条件提供的信息来决定用垂径定理还是其逆定理，若已知直径垂直于弦，则用垂径定理；若已知直径平分弦，则用逆定理．下面我们就用一些具体例子来区别它们．(投影片B)1．如图(1)，在⊙O中，AB、AC为互相垂直的两条相等的弦，OD⊥AB，OE⊥AC，D、E为垂足，则四边形ADOE是正方形吗？请说明理由．2．如图(2)，在⊙O中，半径为50mm，有长50mm的弦AB，C为AB的中点，则OC垂 直于AB吗？OC的长度是多少？[师]在上面的两个题中，大家能分析一下应该用垂径定理呢，还是用逆定理呢？[生]在第1题中，OD、OE都是过圆心的，又OD⊥AB、OE⊥AC，所以已知条件是直径垂直于弦，应用垂径定理；在第2题中，C是弦AB的中点，因此已知条件是平分弦(不是直径)的直径，应用逆定理．[师]很好，在家能用这两个定理完成这两个题吗？[生]1．解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，AB⊥AC，∴四边形ADOE是矩形．∵AC＝AB，∴AE＝AD．∴四边形ADOE是正方形．2．解：∵C为AB的中点，∴OC⊥AB，在Rt△OAC中，AC＝AB＝25mm，OA＝50mm．∴由勾股定理得OC＝(mm)．三、圆心角、弧、弦之间关系定理[师]大家先回忆一下本部分内容．[生]在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．[师]下面我们进行有关练习(投影片C)1．如图在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的，圆的半径为2cm，求AB的长．[生]解：由题意可知的度数为120°，∴∠AOB＝120°．作OC⊥AB，垂足为C，则∠AOC＝60°，AC＝BC．在Rt△ABC中，AC＝OAsin60°＝2×sin60°＝2×．∴AB＝2AC＝2(cm)．四、圆心角与圆周角的关系[生]一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．五、弧长，扇形面积，圆锥的侧面积和全面积[师]我们经过探索，归纳出弧长、扇形面积、圆锥的侧面积公式，大家不仅要牢记公式，而且要把它的由来表述清楚，由于时间关系，我们在这里不推导公式的由来，只是让学生掌握公式并能运用．[生]弧长公式l＝，π是圆心角，R为半径．扇形面积公式S＝或S＝lR．n为圆心角，R为扇形的半径，l为扇形弧长．圆锥的侧面积S侧＝πrl，其中l为圆锥的母线长，r为底面圆的半径．S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2．Ⅲ．课时小结本节课我们复习巩固了圆的概念及对称性；垂径定理及其逆定理；圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系；圆心角和圆周角的关系；弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积．Ⅳ．课后作业复习题 A组
教后随笔
教 师 备 课 笔 记
上课日期 月 日 星期
课题 回顾与思考（二） 课型 新授
教学目标 1．了解点与圆，直线与圆以及圆和圆的位置关系．2．了解切线的概念，切线的性质及判定．3．会过圆上一点画圆的切线．4．通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，使学生明确图形在运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力．5．通过探索弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式，发展学生的探索能力．6．通过画圆的切线，训练学生的作图能力．7．通过全章内容的归纳总结，训练学生各方面的能力．
重点和难点 教学重点1．探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系．2．探索切线的性质；能判断一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线．教学难点探索各种位置关系及切线的性质．
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师 生 活 动 过 程
Ⅰ．回顾本章内容[师]上节课我们对本章的所有知识进行了回顾，并讨论了这些知识间的关系，绘制了本章知识结构图，还对一部分内容进行了回顾，本节课继续进行有关知识的巩固．Ⅱ．具体内容巩固一、确定圆的条件[师]作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题，确定了圆心和半径，圆就随之确定．我们在探索这一问题时，与作直线类比，研究了经过一个点、两个点、三个点可以作几个圆，圆心的分布和半径的大小有什么特点．下面请大家自己总结．[生]经过一个点可以作无数个圆．因为以这个点以外的任意一点为圆心，以这两点所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的，因此这样的圆有无数个．经过两点也可以作无数个圆．设这两点为A、B，经过A、B两点的圆，其圆心到A、B两点的距离一定相等，所以圆心应在线段AB的垂直平分线上，在AB的垂直平分线上任意取一点为圆心，这一点到A或B的距离为半径都可以作一个经过A、B两点的圆．因此这样的圆也有无数个．经过在同一直线上的三点不能作圆．经过不在同一直线上的三点只能作一个圆．要作一个圆经过A、B、C三点，就要确定一个点作为圆心，使它到三点A、B、C的距离相等，到A、B两点距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到B、C两点距离相等的点应在线段B、C的垂直平分线上，那么同时满足到A、B、C三点距离相等的点应既在AB的垂直平分线上，又在BC的垂直平分线上，既两条直线的交点，因为交点只有一个，即确定了圆心．这个交点到A点的距离为半径，所以这样的圆只能作出一个．[师]经过不在同一条直线上的四个点A、B、C、D能确定一个圆吗？[生]不一定，过不在同一条直线上的三点，我们可以确定一个圆，如果另外一个点到圆心的距离等于半径，则说明四个点在同一个圆上，如果另外一个点到圆心的距离不等于半径，说明四个点不在同一个圆上．例题讲解(投影片A)矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上吗？为什么？[师]请大家互相交流．[生]解：如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O． ∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝OC＝OB＝OD．∴A、B、C、D四点到定点O的距离都等于矩形对角线的一半．∴A、B、C、D四点在以O为圆心，OA为半径的圆上．二、三种位置关系[师]我们在本章学习了三种位置关系，即点和圆的位置关系；直线和圆的位置关系；圆和圆的位置关系．下面我们逐一来回顾．1．点和圆的位置关系[生]点和圆的位置关系有三种，即点在圆外；点在圆上；点在圆内．判断一个点是在圆的什么部位，就是看这一点与圆心的距离和半径的大小关系，如果这个距离大于半径，说明这个点在圆外；如果这个距离等于半径，说明这个点在圆上；如果这个距离小于半径，说明这个点在圆内．[师]总结得不错，下面看具体的例子．(投影片B)1．⊙O的半径r＝5cm，圆心O到直线l的 距离d＝OD＝3 m．在直线l上有P、Q、R三点，且有PD＝4cm，QD＞4cm，RD＜4cm，P、Q、R三点对于⊙O的位置各是怎样的？2．菱形各边的中点在同一个圆上吗？分析：要判断某些点是否在圆上，只要看这些点到圆心的距离是否等于半径．[生]1．解：如图(1)，在Rt△OPD中，∵OD＝3，PD＝4，∴OP＝＝5＝r．所以点P在圆上．同理可知OR＝＜5，OQ＝＞5．所以点R在圆内，点Q在圆外．2．如图(2)，菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E、F、G、H分别是各边的中点．因为菱形的对角线互相垂直，所以△AOB、△BOC、△COD、△DOA都是直角三角形，又由于E、F、G、H分别是各直角三角形斜边上的中点，所以OE、OF、OG、OH分别是各直角三角形斜边上的中线，因此有OE＝AB，OF＝BC，OG＝CD，OH＝AD，而AB＝BC＝CD＝DA．所以OE＝OF＝OG＝OH．即各中点E、F、G、H到对角线的交点O的距离相等，所以菱形各边的中点在同一个圆上．2．直线和圆的位置关系[生]直线和圆的位置关系也有三种，即相离、相切、相交，当直线和圆有两个公共点时，此时直线与圆相交；当直线和圆有且只有一个公共点时，此时直线和圆相切；当直线和圆没有公共点时，此时直线和圆相离．[师]总结得不错，判断一条直线和圆的位置关系有哪些方法呢？[生]有两种方法，一种就是从公共点的个数来判断，上面已知讨论过了，另一种是比较圆心到直线的距离d与半径的大小．当d＜r时，直线和圆相交；当d＝r时，直线和圆相切；当d＞r时，直线和圆相离．[师]很好，下面我们做一个练习．(投影片C)如图，点A的坐标是(－4，3)，以点A为圆心，4为半径作圆，则⊙A与x轴、y轴、原点有怎样的位置关系？分析：因为x轴、y轴是直线，所以要判断⊙A与x轴、y轴的位置关系，即是判断直线与圆的位置关系，根据条件需用圆心A到直线的距离d与半径r比较．O是点，⊙A与原点即是求点和圆的位置关系，通过求OA与r作比较即可．[生]解：∵A点的坐标是(－4，3)，∴A点到x轴、y轴的距离分别是3和4．又因为⊙A的半径为4，∴A点到x轴的距离小于半径，到y轴的距离等于半径．∴⊙A与x轴、y轴的位置关系分别为相交、相切．由勾股定理可求出OA的距离等于5，因为OA＞4，所以点O在圆外．[师]上面我们讨论了直线和圆的三种位置关系，下面我们要对相切这种位置关系进行深层次的研究，即切线的性质和判定．[生]切线的性质是：圆的切线垂直于过切点的直径．切线的判定是：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．[师]下面我们看它们的应用．(投影片D)1．如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，D是AB上一点，以BD为直径的⊙O切AC于点E，求AD的长．2．如图(2)，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，∠CAE＝∠B，你认为AE与⊙O相切吗？为什么？分析：1．由⊙O与AC相切可知OE⊥AC，又∠C＝90°，所以△AOE∽△ABC，则对应边成比例，．求出半径和OA后，由OA－OD＝AD，就求出了AD．2．根据切线的判定，要求AE与⊙O相切，需求∠BAE＝90°，由AB为⊙O的直径得∠ACB＝90°，则∠BAC＋∠B＝90°，所以∠CAE＋∠BAC＝90°，即∠BAE＝90°．[师]请大家按照我们刚才的分析写出步骤．[生]1．解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，∴由勾股定理得AB＝15．∵⊙O切AC于点E，连接OE，∴OE⊥AC．∴OE∥BC．∴△OAE∽△BAC．∴，即．∴．∴OE＝∴AD＝AB－2OD＝AB－2OE＝15－×2＝．2．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∴∠CAB＋∠B＝90°．∴∠CAE＝∠B，∴∠CAB＋∠CAE＝90°，即BA⊥AE．∵BA为⊙O的直径， ∴AE与⊙O相切．3．圆和圆的位置关系[师]还是请大家先总结内容，再进行练习．[生]圆和圆的位置关系有三大类，即相离、相切、相交，其中相离包括外离和内含，相切包括外切和内切，因此也可以说圆和圆的位置关系有五种，即外离、外切、相交、内切、内含．[师]那么应根据什么条件来判断它们之间的关系呢？[生]判断圆和圆的位置关系；是根据公共点的个数以及一个圆上的点在另一个圆的内部还是外部来判断．当两个圆没有公共点时有两种情况，即外离和内含两种位置关系．当每个圆上的点都在另一个圆的外部时是外离；当其中一个圆上的点都在另一个圆的内部时是内含．当两个圆有唯一公共点时，有外切和内切两种位置关系，当除公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时是外切；当除公共点外，其中一个圆上的点都在另一个圆的内部时是内切．两个圆有两个公共点时，一个圆上的点有的在另一个圆的内部，有的在另一个圆的外部时是相交．两圆相交只要有两个公共点就可判定它们的位置关系是相交．[师]只有这一种判定方法吗？[生]还有用圆心距d和两圆的半径R、r之间的关系能判断外切和内切两种位置关系，当d＝R＋r时是外切，当d＝R－r(R＞r)时是内切．[师]下面我们还可以用d与R，r的关系来讨论出另外三种两圆的位置关系，大家分别画出外离、内含和相交这三种位置关系．探索它们之间的关系，它们的关系可能是存在相等关系，也有可能是存在不等关系．(让学生探索)大家得出结论了吗？是不是这样的．当d＞R＋r时，两圆外离；当R－r＜d＜R＋r时，两圆相交；当d＜R－r(R＞r)时，两圆内含．(投影片E)设⊙O1和⊙O2的半径分别为R、r，圆心距为d，在下列情况下，⊙O1和⊙O2的位置关系怎样？①R＝6cm，r＝3cm，d＝4cm；②R＝6cm，r＝3cm，d＝0；③R＝3cm，r＝7cm，d＝4cm；④R＝1cm，r＝6cm，d＝7cm；⑤R＝6cm，r＝3cm，d＝10cm；⑥R＝5cm，r＝3cm，d＝3cm；⑦R＝3cm，r＝5cm，d＝1cm．[生](1)∵R－r＝3cm＜4cm＜R＋r＝9cm，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相交；(2)∵d＜R－r，∴两圆的位置关系是内含；(3)∵d＝r－R，∴两圆的位置关系是内切；(4)∵d＝R＋r，∴两圆的位置关系是外切；(5)∵d＞R＋r，∴两圆的位置关系是外离；(6)∵R－r＜d＜R＋r，∴两圆的位置关系是相交；(7)∵d＜r－R，∴两圆的位置关系是内含．三、有关外接圆和内切圆的定义及画法[生]过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫三角形的外心，它是三角形三边垂直平分线的交点．因为画圆的关键是确定圆心和半径，所以作三角形的外接圆时，只要找三边垂直平分线的交点，这就是圆心，以这点到三角形任一顶点间的距离为半径就可作出三角形的外接圆．和三角形三边都相切的圆；叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫三角形的内心．因此，作三角形的内切圆时，只要作两条角平分线就找到了圆心，以这点与任一边之间的距离为半径，就可作出三角形的内切圆．Ⅲ．课堂练习1．画三个半径分别为2cm、2.5cm、4cm的圆，使它他们两两外切．2．两个同心圆中，大圆的弦AB和AC分别和小圆相切于点D和E，则DE与BC的位置关系怎样？DE与BC之间有怎样的数量关系？(DEBC)Ⅳ．课时小结本节课巩固了如何确定圆；点和圆、直线和圆、圆和圆之间的位置关系；如何作三角形的外接圆和内切圆．Ⅴ．课后作业 复习题 B组
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上课日期 月 日 星期
课题 3．1 车轮为什么做成圆形 课型 新授
教学目标 1．理解圆的概念．2．理解点与圆的位置关系．3．经历通过实例归纳出圆的定义的过程．4．会利用点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系判定点和圆的位置关系．
重点和难点 教学重点 点和圆的三种位置关系．教学难点 用集合的观点研究圆的概念．
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Ⅱ．讲授新课
[师]日常生活中同学们经常见到的汽车，摩托车、自行车等一些交通运输工具的车轮是什么形状的 [生]圆形． [师]请同学们思考一个问题，为什么车轮要做成圆形呢 能否做成长方形或正方形 老师这里有两个车轮模具，一个是圆形，一个是正方形．我们一起观察一下这两个车轮在行进中有些什么特点 大家讨论．讨论如下图：[生]圆形车轮行进时，较平稳；方形车轮运转不方便，颠簸较大，行走不平稳…… [师]通过我们平常乘坐汽车，或骑自行车感受到，圆形的车轮只要路面平整，车子就不会上下颠簸，人坐在车上就感到平稳、舒服，假如车轮是方形的，那么车子在行进中，就会对人产生一种上下颠簸，坐着不舒服的感觉． 下面我们一起来探讨一下，是什么原因导致车轮要做成圆形，不能做成方形．看图，A、B表示车轮边缘上的两点，点O表示车轮的轴心，A、O之间的距离与B、O之间的距离有什么关系 用什么方法可以判断，大家动手做一做． [生]…… [师]同学们做得很好．大家通过不同的方法，得到的结果是什么 [生]OA=OB． [师)刚才是两个特殊点，现在我们在车轮边缘上任意取一点C，要使车轮能够平稳地滚动，C、O之间的距离与A、O之间的距离应有什么关系 [生]CO＝AO．这样才能保证车轮平稳地滚动． [师]同学们以前画过圆，画一个圆很简单．将圆规的一个脚固定，另一个带有铅笔头的脚转一圈．一个圆就画出来了．固定的那一点称为圆心，所画得的圆圈叫圆周．从画圆的过程中可以看到，圆规两个脚之间的长度始终保持不变，也就是说圆心到圆周上任意一点的距离都相等．这是圆的一个重要而又最基本的性质．人们就是用圆的这种性质来制造车轮的，车轴总是安装在车轮的圆心位置上，这样．车轴到车轮边缘的距离处处相等．也就是说，车子在行进中，车轴离路面的距离总是一样的．车子在乎路上行走较平稳，假如是方形的，车轴到路面的距离时大时小，车子就会产生颠簸． 下面我们再看一个游戏队形． 一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开． 这样的队形对每个人都公平吗 你认为他们应当排成什么样的队形 [师]大家讨论得很好，每个人都说出了各自的想法．就这个问题，如果单纯从队形来考虑，排成圆形或圆弧形比较公平．因为每个同学离要投的目标一样远近．这样我们就得到了圆的定义： 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆(circle)．其中，定点称为圆心(centre of a circle)，定长称为半径(radius)的长(通常也称为半径)．以点O为圆心的圆记作⊙O，读作“圆O”． 注意：确定一个圆需要两个要素，一是位置，二是大小；圆心确定其位置，半径确定其大小．只有圆心没有半径，虽圆的位置固定，但大小不定，因而圆不确定；只有半径而没有圆心，虽圆的大小固定，但圆心的位置不定．因而圆也不确定，只有圆心和半径都固定，圆才被唯一确定． 巩固练习：课本P85随堂练习！ 1．体育教师想利用一根3m长的绳子在操场上画一个半径为3 m的圆，你能帮他想想办法吗 答：将绳子的一端A固定，然后拉紧绳子的另一端B，并绕A在地上转一圈．B所经过的路径就是所希望的圆．接下来我们研究点和圆的位置关系． [师]请同学们在练习本上画一个圆，大家想一想这个圆把平面分成了几部分 互相讨论一下． [生甲]两部分，圆的内部和外部．[生乙]三部分，还有一部分在圆上． [师]同学们讨论得很好．一个圆应该将平面分成三部分：圆的内部、圆、圆的外部． [师]下面我们看书PH，想一想，图3—3．由图可以看出A、C在⊙O内，点B在⊙O上，点D、E在⊙O外，如果我们把这个靶看成一个以门为圆心．以r为半径的圆．飞镖落的位置看成点，那么我们可以发现点和圆的位置有三种情况：点在圆内、点在圆上、点在圆外． 若设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d．当点P与圆心的距离由小于半径变到等于半径再变到大于半径时，点和圆的位置关系就由圆内变到圆上再变到圆外．这说明由点和圆的位置关系可以得到d与r之间的关系，反过来，由d与r的数量关系也可以判定点和圆的位置关系． 注意：点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的数量关系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系． 2．做一做 设AB=3 cm，作图说明满足下列要求的图形． (1)到点A和点B的距离都等于2 cm的所有点组成的图形． (2)到点A和点B的距离都小于2 cm的所有点组成的图形． 提示：解决这类题的关键是明确用集合的观点定义的圆、圆的内部、外部的含义．向学生渗透一种常用的数学方法——交集法．注意(2)的图形不包括重叠部分的边界．可先让学生思考：满足条件的点分别与OA、OB有怎样的位置关系 解：(1)到点A和点B的距离都等于2 cm 的点组成的图形为⊙A和⊙B的交点C、D (2)到点A、B距离都小于2 cm的点组成的图形为⊙A和⊙B的公共部分(不包括公共部分的两条弧)． Ⅲ．课时小结 [师]通过这节课的学习，同学们谈一下你有何收获和体会． [生]我们知道了马轮为什么做成圆形以及圆的定义和确定一个圆的两个条件． [生]找还学会了如何确定点和圆的三种位置关系．…… Ⅳ．课后作业 课本P86，习题3．1，1～4题
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教 师 备 课 笔 记
上课日期 月 日 星期
课题 3．2 圆的对称性（一） 课型 新授
教学目标 1．理解圆的轴对称性．垂径定理及其逆定理．2．运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明．3．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．
重点和难点 教学重点 垂径定理及其逆定理．教学难点 垂径定理及其逆定理的证明．
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I．创设问题情境，引入新课， [师]前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义 ， [生]如果一个图形沿着某一条直线折叠后。直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴． [师]我们是用什么方法研究了轴对称图形 [生]折叠． [师]今天我们继续用前面的方法来研究圆的对称性． Ⅱ．讲授新课 [师]同学们想一想：圆是轴对称图形吗 如果是，它的对称轴是什么 你能找到多少条对称轴 [生]圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴． [师]是吗 你是用什么方法解决上述问题的 大家互相讨论一下． [生]我们可以利用折叠的方法，解决上述问题．把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线，这样便可知圆有无数条对称轴． 教师板书：圆是轴对称图形图形，对称轴是任意一条过圆心的直线． 下面我们来认识一下弧、弦、直径这些与圆有关的概念． 1．圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)． 2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord)． 3．直径：经过圆心的弦叫直径(diameter)． 如右图。以A、B为端点的弧记作AB，渎作“圆弧AB”或“弧AB”；线段AB是⊙O的一条弦，弧CD是⊙O的一条直径． 注意： 1．弧包括优弧(major arc)和劣弧(minor are)，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．如上图中，以A、D为端点的弧有两条：优弧ACD(记作ACD)，劣弧ABD(记作AD)．半圆，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称半圆．半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧． 2．直径是弦，但弦不一定是直径． 下面我们一起来做一做：(出示投影片§3．2．1 A)按下面的步骤做一做：1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合．2．得到一条折痕CD．3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕 的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足．4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如上图 [师]老师和大家一起动手． (教师叙述步骤，师生共同操作) [师]通过第一步，我们可以得到什么 [生齐声]可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴． [师]很好．在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧 [生]我发现了，AM＝BM，弧AC=弧BC=弧AD=弧BD. [师]为什么呢 [生]因为折痕AM与BM互相重合，A点与D点重合． [师]还可以怎么说呢 能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系 [师生共析]如右图示，连接OA、OB得到等腰△OAB，即OA＝OB．因CD⊥AB，故△OAM与△OBM都是Rt△，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM＝BM．又⊙O关于直径CD对称，所以A点和B点关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，弧AC与弧BC重合.因此AM=BM，弧AC=弧BC=弧AD=弧BD.[师]在上述操作过程中，你会得出什么结论 [生]垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．[师]同学们总结得很好．这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质——垂径定理．在这里注意：①条件中的“弦”可以是直径．②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦． 下面，我们一起看一下定理的证明：(教师边板书，边叙述) 如上图，连结OA、OB，则OA＝OB．在Rt△OAM和Rt△OBM中， ∵OA=OB，OM＝OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM， ∴AM＝BM．∴点A和点墨关于CD对称．∵⊙O关于直径CD对称， ∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合， 弧AC与弧BC重合，弧AD与弧BD重合.∴AC=∴BC, 弧AD与弧BD重合 [师]为了运用的方便，不易出现错误，易于记忆，可将原定理叙述为：一条直线若满足：(1)过圆心；(2)垂直于弦，那么可推出：①平分弦，②平分弦所对的优弧，③平分弦所对的劣弧．即垂径定理的条件有两项，结论有三项．用符号语言可表述为：如图3—7，在⊙O中， AM=BM，CD是直径 弧AD=弧BD， CD⊥AB于M AC=弧BC. 下面，我们通过求解例1，来熟悉垂径定理： [例1]如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD，点O是弧CD的圆心)，其中CD=600m，E为弧CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m．求这段弯路的半径．[师生共析]要求弯路的半径，连结OC，只要求出OC的长便可以了．因为已知OE⊥CD，所以CF＝CD＝300 cm，OF＝OE-EF，此时就得到了一个Rt△CFO，哪位同学能口述一下如何求解 [生]连结OC，设弯路的半径为Rm，则 OF＝(R-90)m，∵OE⊥CD，∴CF＝CD=×600＝300(m)． 据勾股定理，得 OC2＝CF2+OF2， 即R2＝3002+(R-90)2． 解这个方程，得R＝545．∴这段弯路的半径为545 m． [师]在上述解题过程中使用了列方程的方法，用代数方法解决几何问题，这种思想应在今后的解题过程中注意运用． 随堂练习：P92．1．略 下面我们来想一想(出示投影片§3．2．1 B)如下图示，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M． [师]右图是轴对称图形吗 如果是，其对称轴是什么 [生]它是轴对称图形，其对称轴是直径CD所在的直线．[师]大家互相交流讨论一下，你还有什么发现 [生]通过折叠的方法，与刚才垂径定理的探索方法类似，在一张纸上画一个⊙O，作一条不是直径的弦AB，将圆对折，使点A与点D重合，便得到一条折痕CD与弦AB交于点M．CD就是⊙O的对称轴，A点、B点关于直径CD对称．由轴对称可知，AB⊥CD，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD[师]大家想想还有别的方法吗 互相讨论一下． [生]如上图，连接OA、OB便可得到一个等腰△OAB，即OA＝OB，又AM＝MB，即M点为等腰△OAB底边上的中线．由等腰三角形三线合一的性质可知CD⊥AB，又CD是⊙O的对称轴，当圆沿CD对折时，点A与点B重合，弧AC与弧BC重合，弧AD与弧BD重合． [师]在上述的探讨中，你会得出什么结论 [生]平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． [师]为什么上述条件要强调“弦不是直径” [生]因为圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的． [师]我们把上述结论称为垂径定理的一个逆定理． [师]同学们，你能写出它的证明过程吗 [生]如上图，连结OA、OB，则OA＝OB． 在等腰△OAB中，∵AM＝MB，∴CD⊥AB(等腰三角形的三线合一)． ∵⊙O关于直径CD对称．∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，弧AC与弧BC重合，弧AD与弧BD重合．∴弧AC=弧BC，弧AD=弧BD [师]接下来，做随堂练习：P92 2．如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗 为什么 答：相等． 理由：如右图示，过圆心O作垂直于弦的直径EF，由垂径定理设弧AF=弧BF，弧CF=弧DF，用等量减等量差相等，得弧AF-弧CF=弧BF-弧DF，即弧AC=弧BD，故结论成立． 符合条件的图形有三种情况：(1)圆心在平行弦外，(2)在其中一条线弦上，(3)在平行弦内，但理由相同． Ⅲ．课时小结 1．本节课我们探索了圆的对称性． 2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理． 3．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． Ⅳ．课后作业 (一)课本P93，习题3．2，1、2
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教 师 备 课 笔 记
上课日期 月 日 星期
课题 3.2圆的对称性(二) 课型 新授
教学目标 1、理解圆的旋转不变性．掌握圆心角、弧、弦之间相等关系定理2．通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力．3．利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦之间相等关系定理．
重点和难点 教学重点 圆心角、弧、弦之间关系定理．教学难点 “圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．
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Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]我们研究过中心对称图形，我们是用什么方法来研究它的，它的定义是什么 哪位同学知道 [生]用旋转的方法．中心对称图形是指把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫中心对称图形．这个点就是它的对称中心． [师]圆是一个特殊的圆形，通过前面的学习，同学们已经了解到圆既是一个轴对称图形又是一个中心对称图形．那么，圆还有其他特性吗 下面我们继续来探讨． Ⅱ．讲授新课 [师]同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点 [生]大小一样．[师]现在老师把这两个圆叠在一起，使它俩重合，将圆心固定． 将上面这个圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗 [生]重合． [师]通过旋转的方法我们知道：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．即圆是中心对称图形，对称中心为圆心． [师]我们一起来做一做．(出示投影片§3．2．2 A) 按下面的步骤做一做：1．在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下．2．在⊙O和⊙O′，上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′(如下图示)，圆心固定．注意：在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与OA′重合时，OB与O′B′不能重合．3．将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合． [生]教师叙述步骤，同学们一起动手操作． [师]通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系 同学们互相交流一下，说一说你的理由． [生甲]由已知条件可知∠AOB＝∠A′O′B′． [生乙]由两圆的半径相等，可以得到∠OAB＝∠OBA＝∠O′A′B=∠O′B′A′． [生丙]由△AOB≌△A′O′B′，可得到AB＝A′B′． [生丁]由旋转法可知弧AB＝弧A′B′． [师]很好．大家说得思路很清晰，其实刚才丁同学说到弧AB＝弧A′B′的理由是一种新的证明弧相等的方法——叠合法． [师生共析]我们在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与O′A′重合时，由于∠AOB＝∠A′O′B′．这样便得到半径OB与O′B′重合．因为点A和点A′重合，点B和点B′重合，所以弧AB和弧A′B′重合，弦AB与弦A′B′重合，即=弧AB=弧A′B′，AB=A′B′． [师]在上述操作过程中，你会得出什么结论 [生]在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． [师]同学做得很好，这就是我们通过实验利用圆的旋转不变性探索到的圆的另一个特性：圆心角、弧、弦之间相等关系定理． 下面，我们一起来看一看命题的证明．(学生互相讨论交流．学生口述，教师板书) 如上图所示，已知：⊙O和⊙O′是两个半径相等的圆，∠AOB＝∠A′O′B′． 求证：弧AB＝弧A′B′，AB＝A′B′． 证明：将⊙O和⊙O′叠合在一起，固定圆心，将其中的一个圆旋转，一个角度，使得半径OA与O′A′重合，∵∠AOB=∠A′O′B′， ∴半径OB与O′B′重合． ∵点A与点A′重合，点D与点B′重合， ∴弧AB与弧A′B′重合，弦AB与弦A′B′重合．∴弧AB=弧A′B′，AB=A′B′． 上面的结论，在同圆中也成立．于是得到下面的定理， 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 注意：在运用这个定理时，一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提．否则也不一定有所对的弧相等、弦相等这样的结论．[师](通过举反例强化对定理的理解)请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图．(出示投影片§3．2．2 B)[生]如下图示，虽然∠AOB=∠A′O′B′，，但AB≠A′B′，弧AB=弧A′B′ 下面我们共同想一想． [师]如果我们把两个圆心角用①表示；两条弧用表示：两条弦用③表示．我们就可以得出这样的结论： 在同圆或等圆中 ② 也相等 ①相等 ③如果在同圆或等圆这个前提下，将题设和结论中任何一项交换一下，结论正确吗 你是怎么想的 请你说一说．(同学们互相交流、讨论) [生甲]如果将上述题设①和结论②换一下，结论仍正确．可以通过旋转法或叠合法得到证明． [生乙]如果将上述题设①和结论③互换一下，结论也正确，可以通过证明全等或叠合法得到， [师]好，通过上面的探索，你得到了什么结论 [生]在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．注意：(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则，丢掉这个前提，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等． (2)此定理中的“弧”一般指劣弧． (3)要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念和“所对”一词的含义．否则易错用此关系．(4)在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，择其有关部分．例如，右图中的∠1=∠2，有的同学认为∠1对AD，∠2对BC，就推出了AD=BC，显然这是错误的，因为AD、BC不是“等圆心角对等弦”的弦． [师]下面我们通过练习巩固本节课的所学内容． 课本P97 随堂练习1、2、3 Ⅲ．课时小结[师]通过这一节的学习，在得出本节结论的过程中，回忆一下我们使用了哪些研究图形的方法 [生]本节采用的方法有多种，利用折叠法研究了圆是轴对称图形，利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理；利用旋转的方法得到了圆的旋转不变性，由圆的旋转不变性，我们探究了圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理…… Ⅳ．课后作业 课本P98 习题3．3：1、2
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课题 3.3圆周角和圆心角的关系（一） 课型 新授
教学目标 1．了解圆周角的概念．理解圆周角定理的证明．2、经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想．
重点和难点 教学重点圆周角概念及圆周角定理．教学难点认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性．
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Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]前面我们学习了与圆有关的哪种角？它有什么特点？请同学们画一个圆心角．[生]学习了圆心角，它的顶点在圆心．[师]圆心是圆中一个特殊的点，当角的顶点在圆心时，就有圆心角．这样角与圆两种不同的图形产生了联系，在圆中还有比较特殊的点吗？如果有，把这样的点作为角的顶点，会是怎样的图形？Ⅱ．讲授新课1．圆周角的概念[师]同学们请观察下面的图(1)．(出示投影片3．3．1A)这是一个射门游戏，球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关．[师]图中的∠ABC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？[生]∠ABC的顶点B在圆上，它的两边分别和圆有另一个交点．(通过学生观察，类比得到定义)圆周角(angle in a circular segment)定义：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角．[师]请同学们考虑两个问题：(1)顶点在圆上的角是圆周角吗？(2)圆和角的两边都相交的角是圆周角吗？请同学们画图回答上述问题．[师]通过画图，相互交流，讨论认清圆周角概念的本质特征，从而总结出圆周角的两个特征：(1)角的顶点在圆上；(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦．2．补充练习1(出示投影片§3．3．1B)判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由．答：由圆周角的两个特征知，只有C是圆周角，而A、B、D、E都不是．3．研究圆周角和圆心角的关系．[师]在图(1)中，当球员在B、D、E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC．这三个角的大小有什么关系？我们知道，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．那么，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角有什么关系？[师]请同学们动手画出⊙O中所对的圆心角和圆周角．观察所对的圆周角有几个？它们的大小有什么关系？你是通过什么方法得到的？所对的圆心角和所对的圆周角之间有什么关系？[生] 所对的圆周角有无数个．通过测量的方法得知：所对的圆周角相等，所对的圆周角都等于它所对的圆心角的一半．[师]对于有限次的测量得到的结论，必须通过其论证，怎么证明呢？说说你的想法，并与同伴交流．[生]互相讨论、交流，寻找解题途径．[师生共析]能否考虑从特殊情况入手试一下．圆周角一边经过圆心．由下图可知，显然∠ABC＝∠AOC，结论成立．(学生口述，教师板书)如上图，已知：⊙O中，所对的圆周角是∠ABC，圆心角是∠AOC．求证：∠ABC＝AOC．证明：∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC＝∠ABO＋∠BAO．∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO．∴∠AOC＝2∠ABO．即∠ABC＝∠AOC．[师]如果∠ABC的两边都不经过圆心(如下图)，那么结果怎样？特殊情况会给我们什么启发吗？你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗？(学生互相交流、讨论)[生甲]如图(1)，点O在∠ABC内部时，只要作出直径BD，将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出．由刚才的结论可知：∠ABD＝∠AOD，∠CBD＝∠COD，∴∠ABD＋∠CBD＝(∠AOD＋∠COD)，即∠ABC＝∠AOC．[生乙]在图(2)中，当点O在∠ABC外部时，仍然是作出直径BD，将这个角转化成上述情形的两个角的差即可．由前面的结果，有∠ABD＝∠AOD，∠CBD＝∠COD．∴∠ABD－∠CBD＝(∠AOD－∠COD)，即∠ABC＝∠AOC．[师]还会有其他情况吗？请思考．[生]不会有．[师]经过刚才我们一起探讨，得到了什么结论？[生]一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．[师]这一结论称为圆周角定理．在上述经历探索圆周角和圆心角的关系的过程中，我们学到了什么方法？[生]由“特殊到一般”的思想方法，转化的方法，分类讨论的方法，……[师]好，同学们总结得很好．由此我们可以知道，当解决一问题有困难时，可以首先考虑其特殊情形，然后再设法解决一般问题，这是解决问题时常用的策略．今后我们在处理问题时，注意运用．4．课本P103，随堂练习1、2Ⅲ．课时小结[师]到目前为止，我们学习到和圆有关系的角有几个？它们各有什么特点？相互之间有什么关系？[生]和圆有关系的角有圆心角和圆周角．圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在圆上，角的两边和圆相交．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．[师]这节课我们学会了什么定理？是如何进行探索的？[生]我们学会了圆周角定理．通过分类讨论的思想方法，渗透了由特殊到一般的转化方法．对定理进行了研究和证明．[师]好，同学们今后在学习中，要注意探索问题方法的应用．注意：(1)定理的条件是同一条弧所对的圆周角和圆心角，结论是圆周角等于圆心角的一半．(2)不能丢掉“一条弧所对的”而简单说成“圆周角等于圆心角的一半”．Ⅳ．课后作业习题3．4
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课题 3.3圆周角和圆心角的关系(二) 课型 新授
教学目标 1．掌握圆周角定理几个推论的内容． 2．会熟练运用推论解决问题． 3．培养学生观察、分析及理解问题的能力．
重点和难点 教学重点 圆周角定理的几个推论的应用．教学难点 理解几个推论的“题设”和“结论”．
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Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]请同学们回忆一下我们前几节课学习了哪些和圆有关系的角 它们之间有什么关系 [生]学习了圆心角和圆周角、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．即圆周角定理． [师]我们在分析、证明上述定理证明过程中，用到了些什么数学思想方法 [生]分类讨论、化归、转化思想方法． [师]同学们请看下面这个问题：(出示投影片§3．3．2 A)已知弦AB和CD交于⊙O内一点P，如下图．求证：PA·PB=PC·PD [师生共析]要证PA·PB＝PC·PD，可证．由此考虑证明以PA、PC为边的三角形与以PD、PB为边的三角形相似．由于图中没有这两个三角形，所以考虑作辅助线AC和BD．要证△PAC∽△PDB．由已知条件可得∠APC与∠DPB相等，如能再找到一对角相等．如∠A＝∠D或∠C＝∠B．便可证得所求结论．如何寻找∠A=∠D或∠C=∠B.要想解决这个问题．我们需先进行下面的学习． Ⅱ．讲授新课 [师]请同学们画一个圆，以A、C为端点的弧所对的圆周角有多少个 (至少画三个)它们的大小有什么关系 你是如何得到的 [生] 弧AC所对的圆周角有无数个，它们的大小相等，我是通过度量得到的． [师]大家想一想，我们能否用验证的方法得到上图中的∠ABC＝∠ADC＝∠AEC (同学们互相交流、讨论) [生]由图可以看出，∠ABC、∠ADC和∠AEC是同弧(弧AC)所对的圆周角，根据上节课我们所学的圆周角定理可知，它们都等于圆心角∠AOC的一半，所以这几个圆周角相等． [师]通过刚才同学的学习，我们上面提出的问题∠A=∠D或∠C＝∠B找到答案了吗 [生]找到了，它们属于同弧所对的圆周角．由于它们都等于同弧所对圆心角的一半，这样可知∠A＝∠D或∠C＝∠B． [师]如果我们把上面的同弧改成等弧，结论一样吗 [生]一样，等弧所对的圆心角相等，而圆周角等于圆心角的一半，这样，我们便可得到等弧所对的圆周角相等． [师]通过我们刚才的探讨，我们可以得到一个推论． 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． [师]若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论成立吗 请同学们互相议一议． [生]如右图，结论不成立．因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在弦不是 直径的情况下是不相等的. 注意：(1)“同弧”指“同一个圆”． (2)“等弧”指“在同圆或等圆中”． (3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”． [师]接下来我们看下面的问题： 如右图，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角是锐角、直角，还是钝角 你是如何判断的 (同学们互相交流，讨论) [生]直径BC所对的圆周角是直角，因为一条直径将圆分成了两个半圆，而半圆所对的圆心角是∠BOC=180°，所以∠BAC=∠90°． [师]反过来，在右图中，如果圆周角∠BAC=90°，那么它所对的弦BC经过圆心O吗 为什么 [生]弦BC经过圆心O，因为圆周角∠BAC=90°．连结OB、OC，所以圆心角∠BOC=180°，即BOC是一条线段，也就是BC是⊙O的一条直径． [师]通过刚才大家的交流，我们又得到了圆周角定理的又一个推论： 直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 注意：这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角：如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题． [师]为了进一步熟悉推论，我们看下面的例题．(出示投影片§3．3．2 B) [例]如图示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系 为什么 [师生共析]由于AB是⊙O的直径，故连接AD．由推论直径所对的圆周角是直角，便可得AD⊥BC，又因为△ABC中，AC＝AB，所以由等腰三角形的二线合一，可证得BD=CD． 下面哪位同学能叙述一下理由 [生]BD=CD．理由是： 连结AD． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°． 即AD⊥BC．又∵AC＝AB,∴BD＝CD． [师]通过我们学习圆周角定理及推论，大家互相交流，讨论一下，我们探索上述问题时，用到了哪些方法 试举例说明． [生]在得出本节的结论过程中，我们用到了度量与证明的方法，比如说在研究同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；还学到了分类与转化的方法．比如说在探索圆周角定理过程中，定理的证明应分三种情况，在这三种情况中，第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决，再比如说，学习圆周角定义时，可由前面学习列的圆心角类比得出圆周角的概念…… Ⅲ.P107 随堂练习 1．为什么有些电影院的坐位排列(横排)呈圆弧形？说一说这种设计的合理性． 答：有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等． 2．如下图，哪个角与∠BAC相等 答：∠BDC＝∠BAC． 3. 如下图，⊙O的直径AB＝10 cm，C为⊙O上的一点，∠ABC＝30°，求AC的长． 解：∵AB为⊙O的直径． ∴ACB=90°． 又∵∠ABC=30°， ∴AC=AB=×10=5(cm)． 4．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形，根据下图，你能判断哪个是半圆形 为什么 答：图(2)是半圆形、理由是：90°的圆周角所对的弦是直径． Ⅳ．下面我们一起来看一个问题：做一做(出示投影片§ 3．3．2 C)船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁，如下图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”．当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁．(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域 为什么 (2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域 为什么 分析：这是一个有实际背景的问题，由题意可知：“危险角” ∠ACB实际上就是圆周角，船P与两个灯塔的夹角为∠α，P有可能在⊙O外，P有可能在⊙O内，当∠α＞∠C时，船位于暗礁区域内；当∠α＜∠C时，船位于暗礁区域外，我们可采用反证法进行论证． 解：(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角” ∠C时，船位于暗礁区域内(即⊙O内)，理由是： 连结BE，假设船在(⊙O上，则有∠α=∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O外，则有∠α＜∠AEB，即∠α＜∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O外．因此．船只能位于⊙O内． (2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角” ∠C时，船位于暗礁区域外(即⊙O外)．理由是： 假设船在⊙O上，则有∠α＝∠C，这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O内，则有∠α>∠AEB，即∠α>∠C．这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O内，因此，船只能位于⊙O外． 注意：用反证法证明命题的一般步骤： (1)假设命题的结论不成立； (2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾． (3)山矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确． Ⅴ．课时小结 本节课我们学习了圆周角定理的2个推论，结合我们上节课学到的圆周角定理，我们知道，在同圆或等圆中，根据弦及其所对的圆心角，弧，弦、弦心距之间的关系，实现了圆中这些量之间相等关系的转化，而圆周角定理建立了圆心角与圆周角之间的关系，因此，最终实现了圆中的角(圆心角和圆周角)，线段(弦、弦心距)、弧等量与量之间相等关系的相等相互转化，从而为研究圆的性质提供了有力的工具和方法． Ⅵ.课后作业 课本P108 习题3．5
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课题 3．4 确定圆的条件 课型 新授
教学目标 1、了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念． 2．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力． 3．通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略．
重点和难点 教学重点 1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论． 2．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法． 3．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．教学难点 经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆．
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Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线，那么，经过一点能作几个圆 经过两点、三点……呢 本节课我们将进行有关探索． Ⅱ．新课讲解 1．回忆及思考 投影片(§ 3．4 A)1．线段垂直平分线的性质及作法．2．作圆的关键是什么 [生]1．线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 作法：如右图，分别以A、B为圆心，以大于AB长为半径画弧，在AB的两侧找出两交点C、D，作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线，直线CD上的任一点到A与B的距离相等． [师]我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．定点即为圆心，定长即为半径，根据定义大家觉得作圆的关键是什么 [生]由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题．因此作圆的关键是确定圆心和半径的大小．确定了圆心和半径，圆就随之确定． 2．做一做(投影片§3．4 B)(1)作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆 (2)作圆，使它经过已知点A、B.你是如何作的 你能作出几个这样的圆 其圆心的分布有什么特点 与线段AB有什么关系 为什么 (3)作圆，使它经过已知点A、B、C(A、B、C三点不在同一条直线上)．你是如何作的 你能作出几个这样的圆 [师]根据刚才我们的分析已知，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家互相交换意见并作出解答．[生](1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来．所以以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个，如图(1)． (2)已知点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到A、B的距离相等．根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB的垂直平分线上．在AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、B两点的距离相等，所以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径．圆就确定下来了．由于线段AB的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)． (3)要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心． 因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆． [师]大家的分析很有道理．究竟应该怎样找圆心呢 3．过不在同一条直线上的三点作圆． 投影片(§3．4 C)作法图示1．连结AB、BC2．分别作AB、BC的垂直平分线DE和FG，DE和FG相交于点O3．以O为圆心，OA为半径作圆⊙O就是所要求作的圆 他作的圆符合要求吗 与同伴交流． [生]符合要求． 因为连结AB，作AB的垂直平分线ED，则ED上任意一点到A、B的距离相等，连结BC，作BC的垂直平分线FG，则FG上的任一点到B、C的距离相等．ED与FG的交点O满足OA=OB=OC，因此这样的画法满足条件． [师]由上可知，过已知一点可作无数个圆，过已知两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆． 不在同一直线上的三个点确定一个圆． 4．有关定义 由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆(circumcircle of triangle)．这个三角：形叫这个圆的内接三角形． 外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter)． Ⅲ．课堂练习 已知锐角三角形、直角-三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆．它们外心的位置有怎样的特点 解：如下图． 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 O为外接圆的圆心，即外心． 锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部． Ⅳ．课时小结本节课所学内容如下： 1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程． 2．过不在同一条直线上的二个点作圆的方法． 3．了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念． Ⅴ．课后作业 习题3．6
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课题 3．5 直线和圆的位置关系（一） 课型 新授
教学目标 1．理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系． 2．了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系． 3．经历探索直线与圆位置关系的过程，培养学生的探索能力． 4．通过观察得出“圆心到直线的距离d和半径r的数量关系”与“直线和圆的位置关系”的对应与等价，从而实现位置关系与数量关系的相互转化．
重点和难点 教学重点经历探索直线与圆位置关系的过程．理解直线与圆的三种位置关系． 了解切线的概念以及切线的性质．教学难点 经历探索：直线与圆的位置关系的过程，归纳总结出直线与圆的三种位置关系．探索圆的切线的性质．
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Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]我们在前面学过点和圆的位置关系，请大家回忆它们的位置关系有哪些 [生]圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．即圆上的点到圆心的距离等于半径；圆的内部到圆心的距离小于半径；圆的外部到圆心的距离大于半径．因此点和圆的位置关系有三种，即点在圆上、点在圆内和点在圆外．也可以把点与圆心的距离和半径作比较，若距离大于半径在圆外，等于半径在圆上，小于半径在圆内． [师]本节课我们将类比地学习直线和圆的位置关系． Ⅱ．新课讲解 1．复习点到直线的距离的定义 [生]从已知点向已知直线作垂线，已知点与垂足之间的线段的长度叫做这个点到这条直线的距离． 如右图，C为直线AB外一点，从C向AB引垂线，D为垂足，则线段CD即为点C到直线AB的距离． 2．探索直线与圆的三种位置关系[师]直线和圆的位置关系，我们在现实生活中随处可见，只要大家注意观察，这样的例子是很多的．如大家请看课本113页，观察图中的三幅照片，地平线和太阳的位置关系怎样 作一个圆，把直尺的边缘看成一条直线，固定圆，平移直尺，直线和圆有几种位置关系 [生]把太阳看作圆，地平线看作直线，则直线和圆有三种位置关系；把直尺的边缘看成一条直线，则直线和圆有三种位置关系． [师]从上面的举例中，大家能否得出结论，直线和圆的位置关系有几种呢 [生]有三种位置关系．[师]直线和圆有三种位置关系，如下图： 它们分别是相交、相切、相离． 当直线与圆相切时(即直线和圆有唯一公共点)，这条直线叫做圆的切线(tangent line)． 当直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交． 当直线与圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 因此，从直线与圆有公共点的个数可以断定是哪一种位置关系，你能总结吗 [生]当直线与圆有唯一公共点时，这时直线与圆相切； 当直线与圆有两个公共点时，这时直线与圆相交； 当直线与圆没有公共点时，这时直线与圆相离． [师]能否根据点和圆的位置关系，点到圆心的距离d和半径r作比较，类似地推导出如何用点到直线的距离d和半径r之间的关系来确定三种位置关系呢 [生]如上图中，圆心O到直线l的距离为d，圆的半径为r，当直线与圆相交时，d
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课题 3.5直线和圆的位置关系(二) 课型 新授
教学目标 1．能判定一条直线是否为圆的切线． 2．会过圆上一点画圆的切线． 3．会作三角形的内切圆．4．通过判定一条直线是否为圆的切线，训练学生的推理判断能力．
重点和难点 教学重点 探索圆的切线的判定方法，并能运用． 作三角形内切圆的方法．教学难点 探索圆的切线的判定方法．
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Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]上节课我们学习了直线和圆的位置关系，圆的切线的性质，懂得了直线和圆有三种位置关系：相离、相切、相交．判断直线和圆属于哪一种位置关系，可以从公共点的个数和圆心到直线的距离与半径作比较两种方法进行判断，还掌握了圆的切线的性质、圆的切线垂直于过切点的直径． 由上可知，判断直线和圆相切的方法有两种，是否仅此两种呢 本节课我们就继续探索切线的判定条件． Ⅱ．新课讲解 1．探索切线的判定条件 投影片(§3．5．2 A)如下图，AB是⊙O的直径，直线l经过点A，l与AB的夹角为∠α，当l绕点A旋转时，(1)随着∠α的变化，点O到l的距离(d如何变化 直线l与⊙O的位置关系如何变化 (2)当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r 此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系 为什么 [师]大家可以先画一个圆，并画出直径AB，拿直尺当直线，让直尺绕着点A移动．观察∠α发生变化时，点O到l的距离d如何变化，然后互相交流意见． [生](1)如上图，直线l1与AB的夹角为α,点O到l的距离为d1，d1
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课题 3．6 圆和圆的位置关系 课型 新授
教学目标 1．了解圆与圆之间的几种位置关系．2．了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系． 3. 经历探索两个圆之间位置关系的过程，训练学生的探索能力．4．通过平移实验直观地探索圆和圆的位置关系，发展学生的识图能力和动手操作能力．
重点和难点 教学重点 探索圆与圆之间的几种位置关系，了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系．教学难点 探索两个圆之间的位置关系，以及外切、 内切时两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的过程．
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Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]我们已经研究过点和圆的位置关系，分别为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种；还探究了直线和圆的位置关系，分别为相离、相切、相交．它们的位置关系都有三种．今天我们要学习的内容是圆和圆的位置关系，那么结果是不是也是三种呢 没有调查就没有发言权．下面我们就来进行有关探讨． Ⅱ．新课讲解 一、想一想 [师]大家思考一下，在现实生活中你见过两个圆的哪些位置关系呢 [生]如自行车的两个车轮间的位置关系；车轮轮胎的两个边界圆间的位置关系；用一只手拿住大小两个圆环时两个圆环间的位置关系等． [师]很好，现实生活中我们见过的有关两个圆的位置很多．下面我们就来讨沦这些位置关系分别是什么． 二、探索圆和圆的位置关系 在一张透明纸上作一个⊙O．再在另一张透明纸上作一个与⊙O1半径不等的⊙O2．把两张透明纸叠在一起，固定⊙O1，平移⊙O2，⊙O1与⊙O2有几种位置关系 [师]请大家先自己动手操作，总结出不同的位置关系，然后互相交流．[生]我总结出共有五种位置关系，如下图：
[师]大家的归纳、总结能力很强，能说出五种位置关系中各自有什么特点吗 从公共点的个数和一个圆上的点在另一个圆的内部还是外部来考虑． [生]如图：(1)外离：两个圆没有公共点，并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部； (2)外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部； (3)相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆的内部； (4)内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，⊙O2上的点在⊙O1的内部； (5)内含：两个圆没有公共点，⊙O2上的点都在⊙O1的内部． [师]总结得很出色，如果只从公共点的个数来考虑，上面的五种位置关系中有相同类型吗 [生]外离和内含都没有公共点；外切和内切都有一个公共点，相交有两个公共点． [师]因此只从公共点的个数来考虑，可分为相离、相切、相交三种． 经过大家的讨论我们可知： 投影片(§3．6 A)(1)如果从公共点的个数，和一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部来考虑，两个圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含．(2)如果只从公共点的个数来考虑分三种：相离、相切、相交，并且相离外离 外切，相切内含 内切 三、例题讲解 投影片(§ 3．6 B)两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图所示(点O，O′是圆心)，分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小． 分析：因为两个圆大小相同，所以半径OP=O′P＝OO′，又TP、NP分别为两圆的切线，所以PT⊥OP，PN⊥O′P，即∠OPT＝∠O′PN=90°，所以∠TPN等于360°减去∠OPT+∠O′PN+∠OPO°即可． 解：∵OP＝OO′＝PO′， ∴△ PO′O是一个等边三角形． ∴∠OPO′=60°． 又∵TP与NP分别为两圆的切线， ∴∠TPO=∠NPO′=90°． ∴∠TPN=360°-2× 90°-60°=120°． 四、想一想如图(1)，⊙O1与⊙O2外切，这个图是轴对称图形吗 如果是，它的对称轴是什么 切点与对称轴有什么位置关系 如果⊙O1与⊙O2内切呢 [如图(2)] [师]我们知道圆是轴对称图形，对称轴是任一直径所在的直线，两个圆是否也组成一个轴对称图形呢 这就要看切点了是否在连接两个圆心的直线上，下面我们用反证法来证明．反证法的步骤有三步：第一步是假设结论不成立；第二步是根据假设推出和已知条件或定理相矛盾的结论；第三步是证明假设错误，则原来的结论成立． 证明：假设切点丁不在O1O2上． 因为圆是轴对称图形．所以T关于O1O2的对称点广也是两圆的公共点，这与已知条件⊙O1和⊙O2相切矛盾，因此假没不成立． 则T在O1O2上． 由此可知图(1)是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线，切点与对称轴的位置关系是切点在对称轴上． 在图(2)中应有同样的结论． 通过上面的讨论，我们可以得出结论：两圆相内切或外切时，两圆的连心线一定经过切点，图(1)和图(2)都是轴对称图形，对称轴是它们的连心线． 五、议一议 投影片(§ 3．6 C)设两圆的半径分别为R和r．(1)当两圆外切时，两圆圆心之间的距离(简称圆心距)d与R和r具有怎样的关系 反之当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定外切吗 (2)当两圆内切时(R>r)，圆心距d与R和r具有怎样的关系 反之，当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定内切吗 [师]如图，请大家互相交流． [生]在图(1)中，两圆相外切，切点是A．因为切点A在连心线O1O2上，所以O1O2＝O1A+O2A＝R+r，即d=R+r：反之，当d＝R+r时，说明圆心距等于两圆半径之和，O1、A、O2在一条直线上，所以⊙O1与⊙O2只有一个交点A，即⊙O1与⊙O2外切． 在图(2)中，⊙O1与⊙O2相内切，切点是B.因为切点B在连心线O1O2，所以O1O2＝O1B-O2B，即d＝R-r：反之，当d＝R-r时，圆心距等于两半径之差，即O1O2=O1B-O2B，说明O1、O2、B在一条直线上，B既在⊙O1上，又在⊙O2上，所以⊙O1与⊙O2内切． [师]由此可知，当两圆相外切时，有d=R+r，反过来，当d=R+r时，两圆相外切，即两圆相外切d＝R+r 当两圆相内切时，有d=R-r，反过来，当d＝R-r时，两圆相内切，即两圆相内切d＝R-r． Ⅲ．课堂练习 随堂练习 Ⅳ．课时小结 本节课学习了如下内容： 1．探索圆和圆的五种位置关系； 2．讨论在两圆外切或内切情况下，图形的轴对称性及对称轴，以及切点和对称轴的位置关系； 3．探讨在两圆外切或内切时，圆心距d与R和r之间的关系． Ⅴ．课后作业 习题3．9
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课题 3．7 弧长及扇形面积 课型 新授
教学目标 1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程； 2．了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题． 3．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力． 4．了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力．
重点和难点 教学重点 1．经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程． 2．了解弧长及扇形面积计算公式． 3．会用公式解决问题．教学难点 1．探索弧长及扇形面积计算公式． 2．用公式解决实际问题．
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Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的—部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算 它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢 本节课我们将进行探索． Ⅱ．新课讲解 一、复习 1．圆的周长如何汁算 2.圆的面积如何计算 3．圆的圆心角是多少度 [生]若圆的半径为r，则周长l＝2πr，面积S＝πr2，圆的圆心角是360°． 二、探索弧长的计算公式投影片(§ 3．7 A)如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm． (1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米 (2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米 (3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米 [师]分析：转动轮转一周，传送带上的物品应被传送一个圆的周长；因为圆的周长对应360°的圆心角，所以转动轮转1°，传送带上的物品A被传送圆周长的；转动轮转n°，传送带上的物品A被传送转l°时传送距离的n倍． [生]解：(1)转动轮转一周．传送带上的物品A被传送2π×10＝20πcm； (2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送cm； (3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送n×cm． [师]根据上面的计算，你能猜想出在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式吗 请大家互相交流． [生]根据刚才的讨论可知，360°的圆心角对应圆周长2πR，那么1°的圆心角对应的弧长为，n°的圆心角对应的弧长应为1°的圆心角对应的弧长的n倍，即n×.[师]表述得非常棒．在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长(arclength)的计算公式为： l=.下面我们看弧长公式的运用． 三、例题讲解投影片(§3．7 B)制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即弧AB的长(结果精确到0．1 mm)． 分析：要求管道的展直长度．即求弧AB的长，根据弧长公式l＝可求得弧AB的长，其中n为圆心角，R为半径． 解：R＝40mm，n=110． ∴弧AB的长= πR=弧×40π≈76．8 mm． 因此．管道的展直长度约为76．8 mm． 四、想一想 投影片(§3．7 C)在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3 m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗．(1)这只狗的最大活动区域有多大？(2)如果这只狗只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大 [师]请大家互相交流．[生](1)如图(1)，这只狗的最大活动区域是圆的面积，即9π； (2)如图(2)，狗的活动区域是扇形，扇形是圆的一部分，360°的圆心角对应的圆面积，1°的圆心角对应圆面积的弧，即×9π=，n°的圆心角对应的圆面积为n×=． [师]清大家根据刚才的例题归纳总结扇形的面积公式． [生]如果圆的半径为R，则圆的面积为πR2，1°的圆心角对应的扇形面积为，n°的圆心角对应的扇形面积为n·=．因此扇形面积的计算公式为S扇形＝πR2，其中R为扇形的半径，n为圆心角． 五、弧长与扇形面积的关系 [师]我们探讨了弧长和扇形面积的公式，在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l＝πR，n°的圆心角的扇形面积公式为S扇形＝πR2，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n．半径R有关系，因此l和S之间也有一定的关系，你能猜得出吗 请大家互相交流． [生]∵l=πR，S扇形=πR2， ∴πR2=R·πR．∴S扇形=lR． 六、扇形面积的应用 投影片(§3．7 D)扇形AOB的半径为12 cm，∠AOB＝120°，求弧AB的长(结果精确到0．1 cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0．1 cm2) 分析：要求弧长和扇形面积，根据公式需要知道半径尺和圆心角n即可，本题中这些条件已经告诉了，因此这个问题就解决了． 解：弧AB的长=π×12≈25．1cm： S扇形=π×122≈150．7 cm2． 因此，弧AB的长约为25．1 cm，扇形AOB的面积约为150．7 cm2． Ⅲ．课堂练习 随堂练习 Ⅳ．课时小结 本节课学习了如下内容： 1．探索弧长的计算公式l＝πR，并运用公式进行计算； 2．探索扇形的面积公式S＝πR2，并运用公式进行计算； 3．探索弧长l及扇形的面积S之间的关系，并能已知一方求另一方． Ⅴ．课后作业 习题3．10
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课题 3.8圆锥的侧面积 课型 新授
教学目标 1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程．2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．3．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，发展学生的实践探索能力．4．了解圆锥的侧面积计算公式后，能用公式进行计算，训练学生的数学应用能力．
重点和难点 教学重点1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程．2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．教学难点经历探索圆锥侧面积计算公式．
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Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]大家见过圆锥吗？你能举出实例吗？[生]见过，如漏斗、蒙古包．[师]你们知道圆锥的表面是由哪些面构成的吗？请大家互相交流．[生]圆锥的表面是由一个圆面和一个曲面围成的．[师]圆锥的曲面展开图是什么形状呢？应怎样计算它的面积呢？本节课我们将解决这些问题．Ⅲ．新课讲解一、探索圆锥的侧面展开图的形状[师](向学生展示圆锥模型)请大家先观察模型，再展开想象，讨论圆锥的侧面展开图是什么形状．[生]圆锥的侧面展开图是扇形．[师]能说说理由吗？[生甲]因为数学知识是一环扣一环的，后面的知识是在前面知识的基础上学习的．上节课的内容是弧长及扇形面积，本节课的内容是圆锥的侧面积，而弧长不是面积，所以我猜想圆锥的侧面展开图应该是扇形．[师]这位同学用的虽然是猜想，但也是有一定的道理的，并不是凭空瞎想，还有其他理由吗？[生乙]我是自己实践得出结论的，我拿一个扇形的纸片卷起来，就得到了一个圆锥模型．[师]很好，究竟大家的猜想是否正确呢？下面我就给大家做个演示(把圆锥沿一母线剪开)，请大家观察侧面展开图是什么形状的？[生]是扇形．[师]大家的猜想非常正确，既然已经知道侧面展开图是扇形，那么根据上节课的扇形面积公式就能计算出圆锥的侧面积，由于我们不能把所有圆锥都剖开，在展开图中的扇形的半径和圆心角与不展开图形中的哪些因素有关呢？这将是我们进一步研究的对象．二、探索圆锥的侧面积公式[师]圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图，设圆锥的母线(generating line)长为l，底面圆的半径为r，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为母线长l，扇形的弧长即为底面圆的周长2πr，根据扇形面积公式可知S＝·2πr·l＝πrl．因此圆锥的侧面积为S侧＝πrl．圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积(surfacearea)，全面积为S全＝πr2＋πrl．三、利用圆锥的侧面积公式进行计算．投影片(§3．8A)圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽．已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？(结果精确到0.1cm)2分析：根据题意，要求纸帽的面积，即求圆锥的侧面积．现在已知底面圆的周长，从中可求出底面圆的半径，从而可求出扇形的弧长．在高h、底面圆的半径r、母线l组成的直角三角形中，根据勾股定理求出母线l，代入S侧＝πrl中即可．解：设纸帽的底面半径为r cm，母线长为l cm，则r＝l＝≈22.03cm，S圆锥侧＝πrl≈×58×22.03＝638.87cm2．638.87×20＝12777.4cm2．所以，至少需要12777.4cm2的纸．投影片(§3．8B)如图，已知Rt△ABC的斜边AB＝13cm，一条直角边AC＝5cm，以直线AB为轴旋转一周得一个几何体．求这个几何体的表面积．分析：首先应了解这个几何体的形状是上下两个圆锥，共用一个底面，表面积即为两个圆锥的侧面积之和．根据S侧＝πR2或S侧＝πrl可知，用第二个公式比较好求，但是得求出底面圆的半径，因为AB垂直于底面圆，在Rt△ABC中，由OC、AB＝BC、AC可求出r，问题就解决了．解：在Rt△ABC中，AB＝13cm，AC＝5cm，∴BC＝12cm．∵OC·AB＝BC·AC，∴r＝OC＝．∴S表＝πr(BC＋AC)＝π××(12＋5)＝π cm2．Ⅲ．课堂练习随堂练习Ⅳ．课时小结本节课学习了如下内容：探索圆锥的侧面展开图的形状，以及面积公式，并能用公式进行计算．Ⅴ．课后作业习题3．11
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课题 回顾与思考（一） 课型 新授
教学目标 1．掌握本章的知识结构图．2．探索圆及其相关结论．3．掌握并理解垂径定理．4．认识圆心角、弧、弦之间相等关系的定理．5．掌握圆心角和圆周角的关系定理．6．通过探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力．7．用折叠、旋转的方法探索圆的对称性，以及圆心角、弧、弦之间关系的定理，发展学生的动手操作能力．
重点和难点 教学重点掌握圆的定义，圆的对称性，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，圆心角和圆周角的关系．对这些内容不仅仅是知道结论，要注重它们的推导过程和运用．教学难点上面这些内容的推导及应用．
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Ⅰ．回顾本章内容[师]本章的内容已全部学完，大家能总结一下我们都学过哪些内容吗？[生]首先，我们学习了圆的定义；知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，并且有旋转不变性的特点；利用轴对称变换的方法探索出垂径定理及逆定理；用旋转变换的方法探索圆心角、弧、弦之间相等关系的定理；用推理证明的方法研究了圆心角和圆周角的关系；又研究了确定圆的条件；点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系；圆的切线的性质和判断；探究了圆弧长和扇形面积公式，圆锥的侧面积．[师]很好，大家对所学知识掌握得不错．本章的内容可归纳为三大部分，第一部分由圆引出了圆的概念、对称性，圆周角与圆心角的关系，弧长、扇形面积，圆锥的侧面积，在对称性方面又学习了垂径定理，圆心角、孤、弦之间的关系定理；第二部分讨论直线与圆的位置关系，其中包括切线的性质与判定，切线的作图；第三部分是圆和圆的位置关系．这三部分构成了全章内容，结构如下：(投影片A)Ⅱ．具体内容巩固[师]上面我们大致梳理了一下本章内容，现在我们具体地进行回顾．一、圆的有关概念及性质[生]圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．定点为圆心，定长为半径．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线，对称中心是圆心，圆还具有旋转不变性．[师]圆的这些性质在日常生活中有哪些应用呢？你能举出例子吗？[生]车轮做成圆形的就是利用了圆的旋转不变性．车轮在平坦的地面上行驶时，它与地面线相切，当它向前滚动时，轮子的中心与地面的距离总是不变的，这个距离就是半径．把车厢装在过轮子中心的车轴上，则车辆在平坦的公路上行驶时，人坐在车厢里会感觉非常平稳．如果车轮不是圆形，坐在车上的人会觉得非常颠．二、垂径定理及其逆定理[生]垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．[师]这两个定理大家一定要弄清楚、不能混淆，所以我们应先对他们进行区分．每个定理都是一个命题，每个命题都有条件和结论．在垂径定理中，条件是：一条直径垂直于一条弦，结论是：这条直径平分这条弦，且平分弦所对的弧(有两对弧相等)．在逆定理中，条件是：一条直径平分一条弦(不是直径)，结论是：这条直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧(也有两对弧相等)．从上面的分析可知，垂径定理中的条件是逆定理中的结论，垂径定理中的一个结论是逆定理中的条件，在具体的运用中，是根据已知条件提供的信息来决定用垂径定理还是其逆定理，若已知直径垂直于弦，则用垂径定理；若已知直径平分弦，则用逆定理．下面我们就用一些具体例子来区别它们．(投影片B)1．如图(1)，在⊙O中，AB、AC为互相垂直的两条相等的弦，OD⊥AB，OE⊥AC，D、E为垂足，则四边形ADOE是正方形吗？请说明理由．2．如图(2)，在⊙O中，半径为50mm，有长50mm的弦AB，C为AB的中点，则OC垂 直于AB吗？OC的长度是多少？[师]在上面的两个题中，大家能分析一下应该用垂径定理呢，还是用逆定理呢？[生]在第1题中，OD、OE都是过圆心的，又OD⊥AB、OE⊥AC，所以已知条件是直径垂直于弦，应用垂径定理；在第2题中，C是弦AB的中点，因此已知条件是平分弦(不是直径)的直径，应用逆定理．[师]很好，在家能用这两个定理完成这两个题吗？[生]1．解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，AB⊥AC，∴四边形ADOE是矩形．∵AC＝AB，∴AE＝AD．∴四边形ADOE是正方形．2．解：∵C为AB的中点，∴OC⊥AB，在Rt△OAC中，AC＝AB＝25mm，OA＝50mm．∴由勾股定理得OC＝(mm)．三、圆心角、弧、弦之间关系定理[师]大家先回忆一下本部分内容．[生]在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．[师]下面我们进行有关练习(投影片C)1．如图在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的，圆的半径为2cm，求AB的长．[生]解：由题意可知的度数为120°，∴∠AOB＝120°．作OC⊥AB，垂足为C，则∠AOC＝60°，AC＝BC．在Rt△ABC中，AC＝OAsin60°＝2×sin60°＝2×．∴AB＝2AC＝2(cm)．四、圆心角与圆周角的关系[生]一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．五、弧长，扇形面积，圆锥的侧面积和全面积[师]我们经过探索，归纳出弧长、扇形面积、圆锥的侧面积公式，大家不仅要牢记公式，而且要把它的由来表述清楚，由于时间关系，我们在这里不推导公式的由来，只是让学生掌握公式并能运用．[生]弧长公式l＝，π是圆心角，R为半径．扇形面积公式S＝或S＝lR．n为圆心角，R为扇形的半径，l为扇形弧长．圆锥的侧面积S侧＝πrl，其中l为圆锥的母线长，r为底面圆的半径．S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2．Ⅲ．课时小结本节课我们复习巩固了圆的概念及对称性；垂径定理及其逆定理；圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系；圆心角和圆周角的关系；弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积．Ⅳ．课后作业复习题 A组
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课题 回顾与思考（二） 课型 新授
教学目标 1．了解点与圆，直线与圆以及圆和圆的位置关系．2．了解切线的概念，切线的性质及判定．3．会过圆上一点画圆的切线．4．通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，使学生明确图形在运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力．5．通过探索弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式，发展学生的探索能力．6．通过画圆的切线，训练学生的作图能力．7．通过全章内容的归纳总结，训练学生各方面的能力．
重点和难点 教学重点1．探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系．2．探索切线的性质；能判断一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线．教学难点探索各种位置关系及切线的性质．
教具准备 投影片
师 生 活 动 过 程
Ⅰ．回顾本章内容[师]上节课我们对本章的所有知识进行了回顾，并讨论了这些知识间的关系，绘制了本章知识结构图，还对一部分内容进行了回顾，本节课继续进行有关知识的巩固．Ⅱ．具体内容巩固一、确定圆的条件[师]作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题，确定了圆心和半径，圆就随之确定．我们在探索这一问题时，与作直线类比，研究了经过一个点、两个点、三个点可以作几个圆，圆心的分布和半径的大小有什么特点．下面请大家自己总结．[生]经过一个点可以作无数个圆．因为以这个点以外的任意一点为圆心，以这两点所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的，因此这样的圆有无数个．经过两点也可以作无数个圆．设这两点为A、B，经过A、B两点的圆，其圆心到A、B两点的距离一定相等，所以圆心应在线段AB的垂直平分线上，在AB的垂直平分线上任意取一点为圆心，这一点到A或B的距离为半径都可以作一个经过A、B两点的圆．因此这样的圆也有无数个．经过在同一直线上的三点不能作圆．经过不在同一直线上的三点只能作一个圆．要作一个圆经过A、B、C三点，就要确定一个点作为圆心，使它到三点A、B、C的距离相等，到A、B两点距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到B、C两点距离相等的点应在线段B、C的垂直平分线上，那么同时满足到A、B、C三点距离相等的点应既在AB的垂直平分线上，又在BC的垂直平分线上，既两条直线的交点，因为交点只有一个，即确定了圆心．这个交点到A点的距离为半径，所以这样的圆只能作出一个．[师]经过不在同一条直线上的四个点A、B、C、D能确定一个圆吗？[生]不一定，过不在同一条直线上的三点，我们可以确定一个圆，如果另外一个点到圆心的距离等于半径，则说明四个点在同一个圆上，如果另外一个点到圆心的距离不等于半径，说明四个点不在同一个圆上．例题讲解(投影片A)矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上吗？为什么？[师]请大家互相交流．[生]解：如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O． ∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝OC＝OB＝OD．∴A、B、C、D四点到定点O的距离都等于矩形对角线的一半．∴A、B、C、D四点在以O为圆心，OA为半径的圆上．二、三种位置关系[师]我们在本章学习了三种位置关系，即点和圆的位置关系；直线和圆的位置关系；圆和圆的位置关系．下面我们逐一来回顾．1．点和圆的位置关系[生]点和圆的位置关系有三种，即点在圆外；点在圆上；点在圆内．判断一个点是在圆的什么部位，就是看这一点与圆心的距离和半径的大小关系，如果这个距离大于半径，说明这个点在圆外；如果这个距离等于半径，说明这个点在圆上；如果这个距离小于半径，说明这个点在圆内．[师]总结得不错，下面看具体的例子．(投影片B)1．⊙O的半径r＝5cm，圆心O到直线l的 距离d＝OD＝3 m．在直线l上有P、Q、R三点，且有PD＝4cm，QD＞4cm，RD＜4cm，P、Q、R三点对于⊙O的位置各是怎样的？2．菱形各边的中点在同一个圆上吗？分析：要判断某些点是否在圆上，只要看这些点到圆心的距离是否等于半径．[生]1．解：如图(1)，在Rt△OPD中，∵OD＝3，PD＝4，∴OP＝＝5＝r．所以点P在圆上．同理可知OR＝＜5，OQ＝＞5．所以点R在圆内，点Q在圆外．2．如图(2)，菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E、F、G、H分别是各边的中点．因为菱形的对角线互相垂直，所以△AOB、△BOC、△COD、△DOA都是直角三角形，又由于E、F、G、H分别是各直角三角形斜边上的中点，所以OE、OF、OG、OH分别是各直角三角形斜边上的中线，因此有OE＝AB，OF＝BC，OG＝CD，OH＝AD，而AB＝BC＝CD＝DA．所以OE＝OF＝OG＝OH．即各中点E、F、G、H到对角线的交点O的距离相等，所以菱形各边的中点在同一个圆上．2．直线和圆的位置关系[生]直线和圆的位置关系也有三种，即相离、相切、相交，当直线和圆有两个公共点时，此时直线与圆相交；当直线和圆有且只有一个公共点时，此时直线和圆相切；当直线和圆没有公共点时，此时直线和圆相离．[师]总结得不错，判断一条直线和圆的位置关系有哪些方法呢？[生]有两种方法，一种就是从公共点的个数来判断，上面已知讨论过了，另一种是比较圆心到直线的距离d与半径的大小．当d＜r时，直线和圆相交；当d＝r时，直线和圆相切；当d＞r时，直线和圆相离．[师]很好，下面我们做一个练习．(投影片C)如图，点A的坐标是(－4，3)，以点A为圆心，4为半径作圆，则⊙A与x轴、y轴、原点有怎样的位置关系？分析：因为x轴、y轴是直线，所以要判断⊙A与x轴、y轴的位置关系，即是判断直线与圆的位置关系，根据条件需用圆心A到直线的距离d与半径r比较．O是点，⊙A与原点即是求点和圆的位置关系，通过求OA与r作比较即可．[生]解：∵A点的坐标是(－4，3)，∴A点到x轴、y轴的距离分别是3和4．又因为⊙A的半径为4，∴A点到x轴的距离小于半径，到y轴的距离等于半径．∴⊙A与x轴、y轴的位置关系分别为相交、相切．由勾股定理可求出OA的距离等于5，因为OA＞4，所以点O在圆外．[师]上面我们讨论了直线和圆的三种位置关系，下面我们要对相切这种位置关系进行深层次的研究，即切线的性质和判定．[生]切线的性质是：圆的切线垂直于过切点的直径．切线的判定是：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．[师]下面我们看它们的应用．(投影片D)1．如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，D是AB上一点，以BD为直径的⊙O切AC于点E，求AD的长．2．如图(2)，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，∠CAE＝∠B，你认为AE与⊙O相切吗？为什么？分析：1．由⊙O与AC相切可知OE⊥AC，又∠C＝90°，所以△AOE∽△ABC，则对应边成比例，．求出半径和OA后，由OA－OD＝AD，就求出了AD．2．根据切线的判定，要求AE与⊙O相切，需求∠BAE＝90°，由AB为⊙O的直径得∠ACB＝90°，则∠BAC＋∠B＝90°，所以∠CAE＋∠BAC＝90°，即∠BAE＝90°．[师]请大家按照我们刚才的分析写出步骤．[生]1．解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，∴由勾股定理得AB＝15．∵⊙O切AC于点E，连接OE，∴OE⊥AC．∴OE∥BC．∴△OAE∽△BAC．∴，即．∴．∴OE＝∴AD＝AB－2OD＝AB－2OE＝15－×2＝．2．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∴∠CAB＋∠B＝90°．∴∠CAE＝∠B，∴∠CAB＋∠CAE＝90°，即BA⊥AE．∵BA为⊙O的直径， ∴AE与⊙O相切．3．圆和圆的位置关系[师]还是请大家先总结内容，再进行练习．[生]圆和圆的位置关系有三大类，即相离、相切、相交，其中相离包括外离和内含，相切包括外切和内切，因此也可以说圆和圆的位置关系有五种，即外离、外切、相交、内切、内含．[师]那么应根据什么条件来判断它们之间的关系呢？[生]判断圆和圆的位置关系；是根据公共点的个数以及一个圆上的点在另一个圆的内部还是外部来判断．当两个圆没有公共点时有两种情况，即外离和内含两种位置关系．当每个圆上的点都在另一个圆的外部时是外离；当其中一个圆上的点都在另一个圆的内部时是内含．当两个圆有唯一公共点时，有外切和内切两种位置关系，当除公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时是外切；当除公共点外，其中一个圆上的点都在另一个圆的内部时是内切．两个圆有两个公共点时，一个圆上的点有的在另一个圆的内部，有的在另一个圆的外部时是相交．两圆相交只要有两个公共点就可判定它们的位置关系是相交．[师]只有这一种判定方法吗？[生]还有用圆心距d和两圆的半径R、r之间的关系能判断外切和内切两种位置关系，当d＝R＋r时是外切，当d＝R－r(R＞r)时是内切．[师]下面我们还可以用d与R，r的关系来讨论出另外三种两圆的位置关系，大家分别画出外离、内含和相交这三种位置关系．探索它们之间的关系，它们的关系可能是存在相等关系，也有可能是存在不等关系．(让学生探索)大家得出结论了吗？是不是这样的．当d＞R＋r时，两圆外离；当R－r＜d＜R＋r时，两圆相交；当d＜R－r(R＞r)时，两圆内含．(投影片E)设⊙O1和⊙O2的半径分别为R、r，圆心距为d，在下列情况下，⊙O1和⊙O2的位置关系怎样？①R＝6cm，r＝3cm，d＝4cm；②R＝6cm，r＝3cm，d＝0；③R＝3cm，r＝7cm，d＝4cm；④R＝1cm，r＝6cm，d＝7cm；⑤R＝6cm，r＝3cm，d＝10cm；⑥R＝5cm，r＝3cm，d＝3cm；⑦R＝3cm，r＝5cm，d＝1cm．[生](1)∵R－r＝3cm＜4cm＜R＋r＝9cm，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相交；(2)∵d＜R－r，∴两圆的位置关系是内含；(3)∵d＝r－R，∴两圆的位置关系是内切；(4)∵d＝R＋r，∴两圆的位置关系是外切；(5)∵d＞R＋r，∴两圆的位置关系是外离；(6)∵R－r＜d＜R＋r，∴两圆的位置关系是相交；(7)∵d＜r－R，∴两圆的位置关系是内含．三、有关外接圆和内切圆的定义及画法[生]过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫三角形的外心，它是三角形三边垂直平分线的交点．因为画圆的关键是确定圆心和半径，所以作三角形的外接圆时，只要找三边垂直平分线的交点，这就是圆心，以这点到三角形任一顶点间的距离为半径就可作出三角形的外接圆．和三角形三边都相切的圆；叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫三角形的内心．因此，作三角形的内切圆时，只要作两条角平分线就找到了圆心，以这点与任一边之间的距离为半径，就可作出三角形的内切圆．Ⅲ．课堂练习1．画三个半径分别为2cm、2.5cm、4cm的圆，使它他们两两外切．2．两个同心圆中，大圆的弦AB和AC分别和小圆相切于点D和E，则DE与BC的位置关系怎样？DE与BC之间有怎样的数量关系？(DEBC)Ⅳ．课时小结本节课巩固了如何确定圆；点和圆、直线和圆、圆和圆之间的位置关系；如何作三角形的外接圆和内切圆．Ⅴ．课后作业 复习题 B组
教后随笔
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