专题 5.1 导数的概念及意义
一、导数的概念
1.函数的平均变化率：
定义：一般地，已知函数 y = f (x) ， x ， x 是其定义域内不同的两点，记0 1 x = x x ， 1 0
f (x + x) f (x ) y
y = y y = f (x ) f (x ) = f (x + x) f (x ) ，则当 x 0 时，商 0 0 =1 0 1 0 0 0
x x
称作函数 y = f (x) 在区间[x0 , x0 + x]（或[x0 + x , x0 ]）的平均变化率．
注：这里 x ， y 可为正值，也可为负值．但 x 0 ， y 可以为 0 ．
2．函数的瞬时变化率、函数的导数：
瞬时变化率：设函数 y = f (x) 在 x0 附近有定义，当自变量在 x = x0 附近改变量为 x 时，函数
值 相 应 的 改 变 y = f (x0 + x) f (x0 ) ． 如 果 当 x 趋 近 于 0 时 ， 平 均 变 化 率
y f (x0 + x) f (x0 )= 趋近于一个常数 l（也就是说平均变化率与某个常数 l 的差的绝对值
x x
越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数 l 称为函数 f (x)在点 x 的瞬时变化率． 0
f (x + x) f (x
函数的导数：“当 x 趋近于零时， 0 0
)
趋近于常数 l ”可以用符号“→”记
x
作：
f (x0 + x) f (x ) f (x + x) f (x )“当 x → 0时， 0 → l ”，或记作“ lim 0 0 = l ”，符号“→”
x x→0 x
读作“趋近于”．函数在 x0 的瞬时变化率，通常称为 f (x)在 x = x0 处的导数，并记作 f (x0 )．
这时又称 f (x) 在 x = x0 处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当 x → 0 时，
f (x0 + x) f (x0 ) f (x + x) f (x )→ f (x0 ) ”或“ lim
0 0 = f (x0 ) ”．
x x→0 x
3．可导与导函数：
定义：如果 f (x)在开区间 (a , b) 内每一点都是可导的，则称 f (x)在区间 (a , b) 可导．这样，
对开区间 (a , b) 内每个值 x ，都对应一个确定的导数 f (x)．于是，在区间 (a , b) 内， f (x)
构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数 y = f (x) 的导函数．记为 f (x)或 y （或 y ）． x
注：导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函
数．
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二、导数的几何意义
1.导数的几何意义：
y D
意义：设函数 y = f (x) 的图象如图所示． AB 为过点 A(x0 , f (x0 )) 与
B
B(x + x , f (x + x)) 的 一 条 割 线 ． 由 此 割 线 的 斜 率 是0 0 A
C
y f (x0 + x) f (x= 0
)
，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当
x x
O x x
点 B 沿曲线趋近于点 A 时，割线 AB 绕点 A 转动，它的最终位置为直线 0 x
f (x + x) f (x )
AD ，这条直线 AD 叫做此曲线过点 A 的切线，即 lim 0 0 =切线 AD 的斜率．由
x→0 x
导数意义可知，曲线 y = f (x) 过点 (x0 , f (x0 ))的切线的斜率等于 f (x0 )．
2.求曲线的切线方程
方法：若曲线 y = f (x) 在点 P(x0 , y0 )及其附近有意义，给横坐标 x0 一个增量 x ，相应的纵
坐标也有一个增量 y = f (x0 + x) f (x ) ，对应的点0 Q(x0 + x , y + y) .则 为曲线0 PQ
y = f (x) 的割线.当 x → 0 时Q → P ,如果割线 PQ 趋近于一确定的直线，则这条确定的
y
直线即为曲线的切线.当然，此时割线 PQ 的斜率 就趋近于切线的斜率.切线的方程为
x
y y0 = k(x x0 ) .
一、单选题
1．曲线 y = x4 3x在点（1，－2）处的切线的倾斜角为（ ）
2
A． B． C． D．
6 4 3 3
2．若曲线 y = aex + x与 y=2x+1 相切，则实数 a=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
( ) f (1+ x) f (1)3．设函数 y = f x 在 R 上可导，则 lim 等于（ ）
x→0 3 x
1
A． f (1) B．3 f (1) C． f (1) D． f ( 1)
3
2 f (2 + x) f (2 x)
4．已知函数 f (x) = x +1，则 lim =（ ）
x→0 x
A．2 B．4 C．6 D．8
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5．已知函数 f1 (x)， f2 (x)， f3 (x)， f4 (x)，它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，
则 f1 (x0 )， f2 (x0 )， f3 (x0 )， f4 (x0 )的大小关系是（ ）
A． f1 (x0 ) f2 (x0 ) f3 (x0 ) f4 (x0 )
B． f1 (x0 ) f3 (x0 ) f2 (x0 ) f4 (x0 )
C． f4 (x0 ) f1 (x0 ) f3 (x0 ) f2 (x0 )
D． f1 (x0 ) f3 (x0 ) f4 (x0 ) f2 (x0 )
1
6．曲线 y = x
2 3ln x 在点 P 处的切线与直线 x + 2y 2 = 0垂直，则点 P 的横坐标为
2
（ ）
A． e B．1 C．3 D．2e
7．如图所示，函数 y = f (x)的图像在点 P 处的切线方程是 y = 2x +10，则 f (4)+ f (4)的
值为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．2
8．曲线 y = 2lnx上的点到直线 x y + 2ln2 = 0的最短距离是（ ）
A．2 B．2 ln2 C． ln2 D． 2
9．函数 y = 2ln(x +1)+ cos x 的图象在 x = 0处的切线对应的倾斜角为 ，则cos2 =
（ ）
3 3 3 3
A． B． C． D．- .
10 10 5 5
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10．已知 f (x)是定义在R 上的奇函数，当 x 0时， f (x) = ln( 2x)+1，则曲线 y = f (x)在
1
x = 处的切线方程是（ ）
2
A． y = x 4 B． y = x C． y = 2x D． y = 2x + 2
专题 5.2 导数的运算
1．导数的概念
(1)函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数记作 f′(x0)或 y ' | . x=x0
Δy f x0＋Δx －f x0
f′(x0)＝ lim ＝ lim .
Δx→0 Δx Δx→0 Δx
(2)函数 y＝f(x)的导函数
f x＋Δx －f x
f′(x)＝ lim .
Δx→0 Δx
2．导数的几何意义
函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数的几何意义就是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率，
相应的切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c 为常数) f′(x)＝0
－
f(x)＝xα(α∈Q，且 α≠0) f′(x)＝αxα 1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax(a>0，且 a≠1) f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
1
f(x)＝logax(a>0，且 a≠1) f′(x)＝
xln a
1
f(x)＝ln x f′(x)＝
x
4.导数的运算法则
若 f′(x)，g′(x)存在，则有
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[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
f x f′ x g x －f x g′ x
′＝ (g(x)≠0)； g x [g x ]2
[cf(x)]′＝cf′(x)．
5．复合函数的定义及其导数
复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 y′x＝y′u·u′x，即 y 对 x 的
导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积．
【常用结论】
1．区分在点处的切线与过点处的切线
(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．
(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．
1 －f′ x2. ′＝ (f(x)≠0)． f x [f x ]2
6．函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增
函数 y＝f(x)在区
f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减
间(a，b)上可导
f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第 1 步，确定函数的定义域；
第 2 步，求出导数 f′(x)的零点；
第 3 步，用 f′(x)的零点将 f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出 f′(x)在各区间上的正负，
由此得出函数 y＝f(x)在定义域内的单调性．
【常用结论】
1．若函数 f(x)在(a，b)上单调递增，则 x∈(a，b)时，f′(x)≥0 恒成立；若函数 f(x)在(a，b)上
单调递减，则 x∈(a，b)时，f′(x)≤0 恒成立．
2．若函数 f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则 x∈(a，b)时，f′(x)>0 有解；若函数 f(x)在(a，b)上
存在单调递减区间，则 x∈(a，b)时，f′(x)<0 有解．
7．函数的极值
(1)函数的极小值
函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且
在点 x＝a 附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0，则 a 叫做函数 y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数
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y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值
函数 y＝f(x)在点 x＝b 的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且
在点 x＝b 附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0，则 b 叫做函数 y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数
y＝f(x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
8．函数的最大(小)值
(1)函数 f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求 y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数 y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数 y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最
小的一个是最小值．
【常用结论】
对于可导函数 f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数 f(x)在 x＝x0 处有极值”的必要不充分条件．
1．下列求导结果正确的是（ ）
x 1 x
A． (2x ) = x 2x 1 B． cos = sin
3 3 3
1C．
2
= ln x D． (sin x) = 2sin x
x
1
f (x) = x32．已知 + 2xf (1)，则 f (1)等于（ ）
3
A．0 B． 1 C．2 D．1
3．已知函数 f (x) = sin x， f (x)是函数 f (x)的导函数，则 f =（ ）
2
A．0 B． 1 C．1 D． 2
4．以点P ( 1,2)为切点的曲线C : y = x (x + 2)(x 1)的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
（ ）
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1 3
A． B．1 C． D．2
2 2
4
5．已知函数 f (x) = e x 2 (2x +1) ，则 f (0) =（ ）
A．e 2 B．1 C．7e 2 D．9e 2
6．已知函数 f (x) = cos(2x )，则 f ( ) =（ ）
6 6
1
A． 1 B．0 C． D．1
2
7．已知 f (x)是函数 f (x)的导数，且对任意的实数 x 都有 f (x) = e x (2 2x) f (x)，
f (0) = 8则不等式 f (x) 0的解集是（ ）
A． ( 2,4) B． ( ,0) (2,+ )
C． ( , 4) (2,+ ) D． ( , 2) (4,+ )
x +1
8．设曲线 y = 在点 (3，2)处的切线与直线ax+ y +1= 0垂直，则a =
x 1
1 1
A．2 B． C． D． 2
2 2
2
9．已知曲线 y = x + ln x 在点 (1,1)处的切线与曲线 y = ax + (a + 2) x+1相切，则 a=
（ ）
A．4 B．8 C．2 D．1
10．如图所示为函数 y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么 y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能
是( )
A． B．
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C． D．
x
11．已知函数 f (x)的解析式唯一，且满足 xf (x)+ f (x) = e , f (1) = 2e .则函数 f (x)的图象
在点 (1, f (1))处的切线方程为___________.
ln x，0 x 3，
12．已知函数 f (x) = 若函数 g(x) = f (x)+ kx有两个不同的零点，则实数
f (6 x)，3 x 6，
k 的取值范围为__________.
专题 5.3 导数的应用
1．导数与函数的单调性
一般地，在某个区间(a,b)内：
（1）如果 f (x) 0，函数 f (x)在这个区间内单调递增;
（2）如果 f (x) 0，函数 f (x)在这个区间内单调递减;
（3）如果 f (x)=0 ，函数 f (x)在这个区间内是常数函数．
注意：（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；
（2）在某个区间内， f (x) 0 ( f (x) 0 )是函数 f (x)在此区间内单调递增(减)的充分
条件，而不是必要条件 .例如，函数 f (x) = x
3
在定义域 ( ,+ ) 上是增函数，但
f (x) = 3x2 0 .
（3）函数 f (x)在(a,b)内单调递增(减)的充要条件是 f (x) 0 ( f (x) 0 )在(a,b)内恒成
立，且 f (x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于 0.这就是说，在区间内的个别点处有
f (x) = 0 ,不影响函数 f (x)在区间内的单调性.
2．函数的极值
一般地，对于函数 y=f (x)，
（1）若在点 x=a 处有 f ′(a)=0，且在点 x=a 附近的左侧 f '(x) 0，右侧 f '(x) 0，则
称 x=a 为 f (x)的极小值点， f (a)叫做函数 f (x)的极小值.
（2）若在点 x=b 处有 f '(b) =0，且在点 x=b 附近的左侧 f '(x) 0，右侧 f '(x) 0，
则称 x=b 为 f (x)的极大值点， f (b)叫做函数 f (x)的极大值．
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（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
3．函数的最值
函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，
对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间[a,b]上函数 y = f (x)的图象是一条
连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
设函数 f (x)在[a,b]上连续，在 (a,b)内可导，求 f (x)在[a,b]上的最大值与最小值的
步骤为：
（1）求 f (x)在 (a,b)内的极值；
（2）将函数 f (x)的各极值与端点处的函数值 f (a) ， f (b)比较，其中最大的一个是最
大值，最小的一个是最小值.
4．函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间[a,b]的整体而言；
（2）在函数的定义区间[a,b]内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）
值只有一个（或者没有）；
（3）函数 f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
（5）导数与函数变化快慢的关系：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么
函数在这个范围内变化得快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数
的图象就“平缓”一些.
（6）导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图
象与 x 轴的交点的横坐标为函数的极值点.
5．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式
f (x) 0（ f (x) 0）在给定区间上恒成立．一般步骤为：
（1）求 f ′(x)；
（2）确认 f ′(x)在(a,b)内的符号；
（3）作出结论， f (x) 0时为增函数， f (x) 0时为减函数．
注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类
讨论．
6．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义
域内讨论，定义域为实数集R 可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导
数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.
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7．由函数 f (x)的单调性求参数的取值范围的方法
（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上 f (x) 0 (或
f (x) 0 )( f (x)在该区间的任意子区间内都不恒等于 0)恒成立，然后分离参数，转
化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；
（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是 f (x) 0 (或 f (x) 0 )在该区
间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；
（3）若已知 f (x)在区间 I 上的单调性，区间 I 中含有参数时，可先求出 f (x)的单调区
间，令 I 是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.
8．函数极值问题的常见类型及解题策略
（1）函数极值的判断：先确定导数为 0 的点，再判断导数为 0 的点的左、右两侧的导
数符号．
（2）求函数 f (x)极值的方法：
①确定函数 f (x)的定义域．
②求导函数 f (x)．
③求方程 f (x) = 0的根．
④检查 f (x)在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么
f (x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f (x)在这个根处取得极小值；
如果 f (x)在这个根的左、右两侧符号不变，则 f (x)在这个根处没有极值．
（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数 f (x)，求方程 f (x) = 0
的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.
9．求函数 f (x)在[a,b]上最值的方法
（1）若函数 f (x)在[a,b]上单调递增或递减，f (a)与 f (b)一个为最大值，一个为最小值．
（2）若函数 f (x)在区间(a,b)内有极值，先求出函数 f (x)在区间(a,b)上的极值，与 f (a)、
f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
（3）函数 f (x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．
注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.
（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，
函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要
注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.
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1．函数 f (x) = (x + 2)ex 的单调递减区间是（ ）
A． ( , 3) B． (0,3) C． ( 3,0) D． ( 3,+ )
2．已知定义在［0，3］上的函数 f (x)的图像如图，则不等式 f (x) ＜0 的解集为（ ）
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(0，1) (2，3)
3
3．函数 y = f (x)在定义域 ,3 内可导，图像如图所示，记 y = f (x)的导函数为
2
y = f (x)，则不等式 f (x) 0的解集为（ ）
1 1 4 8
A． ,1 2,3) B． 1,3 2
,3 3
3 1 3 1 4 8
C． , 1, 2 D． , 2 3 2 3
,
3 3
f (x) = x2
1 1
4．若函数 + ax + 在 ,+ 是增函数，则a 的取值范围是（ ）
x 2
A． (3,+ ) B． ( ,3 C． 0,3 D． 3,+ )
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5． 若函数 f (x) = ax2 ln x 在定义域内有两个零点，则实数 a 的取值范围是（ ）
1 1 1
A． 0, B． , e C． (e,+ ) D． 0,
e e 2e
6．已知 f (x) = 2 x + cos x, x R ，若 f (1 t ) f (1 2t ) 0成立，则实数 t 的取值范围是
（ ）
2 2 2 2
A． 0, B． 0, C． ( ,0) ,+ D． ( ,0) 0,3 3 3
3
7．设函数 f (x)的导函数为 f (x)， y = f (x)的部分图象如图所示，则（ ）
1
A．函数 f (x)在 ,1 上单调递增
2
B．函数 f (x)在 (0,4)上单调递增
C．函数 f (x)在 x = 3处取得极小值
D．函数 f (x)在 x = 0处取得极大值
8．若函数 f (x)在 R上可导，且满足 f (x) xf (x) 0，则（ ）
A．2 f (3) 3 f (2) B．2 f (3) 3 f (2)
C．3 f (3) 2 f (2) D．3 f (3) 2 f (2)
9．设 f (x)， g (x)分别是定义在 R上的奇函数和偶函数，当 x 0时，
f (x)g (x)+ f (x)g (x) 0，且 f (2) = 0，则不等式 f (x) g (x) 0的解集是（ ）
A． ( , 2) (0,2) B． ( 2,0) (0,2)
C． ( , 2) (2,+ ) D． ( 2,0) (2,+ )
3 4 2
10. 已知函数 f (x) = x x e
x
的定义域为 1,+ )．
3
第 12 页 共 13 页
（1）求 f (x)的单调区间；
（2）讨论函数 g (x) = f (x) a在 1,2 上的零点个数
1
11. 已知函数 f (x) = x
2 ax .
2
（1）若 g(x) = f (x) x+ a ln x ，讨论 g(x) 的单调性；
1
（2）已知h(x) = 2 f (x) x ln x 4a + 2，若方程h(x) = 0在 ,+ 有且只有两个解，求
2
实数a 的取值范围.
第 13 页 共 13 页专题 5.1 导数的概念及意义
一、导数的概念
1.函数的平均变化率：
定义：一般地，已知函数 y = f (x) ， x ， x 是其定义域内不同的两点，记0 1 x = x1 x ， 0
y = y1 y0 = f (x1) f (x0 ) = f (x + x) f (x ) ， 则 当 x 0 时 ， 商0 0
f (x0 + x) f (x0 ) y= 称作函数 y = f (x) 在区间[x0 , x0 + x]（或[x0 + x , x0 ]）的平均
x x
变化率．
注：这里 x ， y 可为正值，也可为负值．但 x 0 ， y 可以为 0 ．
2．函数的瞬时变化率、函数的导数：
瞬时变化率：设函数 y = f (x) 在 x0 附近有定义，当自变量在 x = x0 附近改变量为 x 时，
函数值相应的改变 y = f (x0 + x) f (x ) ．如果当 x 趋近于 00 时，平均变化率
y f (x0 + x) f (x= 0
)
趋近于一个常数 l （也就是说平均变化率与某个常数 l 的差的绝
x x
对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数 l 称为函数 f (x)在点 x0 的瞬时变化
率．
f (x + x) f (x )
函数的导数：“当 x 趋近于零时， 0 0 趋近于常数 l ”可以用符号“→”
x
记作：
f (x0 + x) f (x ) f (x + x) f (x )“当 x → 0时， 0 → l ”，或记作“ lim 0 0 = l ”，符号
x x→0 x
“→”读作“趋近于”．函数在 x0 的瞬时变化率，通常称为 f (x) 在 x = x0 处的导数，
并记作 f (x0 )．
这时又称 f (x) 在 x = x0 处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当 x → 0 时，
f (x0 + x) f (x0 ) f (x + x) f (x )→ f (x0 ) ”或“ lim
0 0 = f (x0 ) ”．
x x→0 x
3．可导与导函数：
定义：如果 f (x)在开区间 (a , b) 内每一点都是可导的，则称 f (x)在区间 (a , b) 可导．这
样，对开区间 (a , b) 内每个值 x ，都对应一个确定的导数 f (x)．于是，在区间 (a , b) 内，
f (x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数 y = f (x) 的导函数．记为 f (x)或 y
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（或 y ）． x
注：导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求
导函数．
二、导数的几何意义
1.导数的几何意义：
y D
意义：设函数 y = f (x) 的图象如图所示． AB 为过点 A(x0 , f (x )) 与0
B
B(x + x , f (x + x)) 的 一 条 割 线 ． 由 此 割 线 的 斜 率 是 A0 0 C
y f (x0 + x) f (x )= 0 ，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当
x x
O x x 0 x
点 B 沿曲线趋近于点 A 时，割线 AB 绕点 A 转动，它的最终位置为直线
f (x + x) f (x )
AD ，这条直线 AD 叫做此曲线过点 A 的切线，即 lim 0 0 =切线 AD 的斜
x→0 x
率．由导数意义可知，曲线 y = f (x) 过点 (x0 , f (x0 ))的切线的斜率等于 f (x0 )．
2.求曲线的切线方程
方法：若曲线 y = f (x) 在点 P(x0 , y0 )及其附近有意义，给横坐标 x0 一个增量 x ，相应
的纵坐标也有一个增量 y = f (x0 + x) f (x0 )，对应的点Q(x .则 为曲0 + x , y0 + y) PQ
线 y = f (x) 的割线.当 x → 0 时Q → P ,如果割线 PQ 趋近于一确定的直线，则这条确
y
定的直线即为曲线的切线.当然，此时割线 PQ的斜率 就趋近于切线的斜率.切线的
x
方程为 y y0 = k(x x0 ) .
一、单选题
1．曲线 y = x4 3x在点（1，－2）处的切线的倾斜角为（ ）
2
A． B． C． D．
6 4 3 3
【来源】吉林省白山市 2021-2022 学年高二下学期期末数学试题
【答案】B
3 【解析】因为 y = 4x 3，所以 y =1，故所求切线的倾斜角为 ．
x=1 4
故选：B．
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2．若曲线 y = aex + x与 y=2x+1 相切，则实数 a=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【来源】贵州省黔东南州 2021-2022 学年度高二下学期期末联考数学（文）试题
【答案】A
【解析】设切点坐标为 (x0 , y0 )，由 y = ae
x +1，则 xae 0 +1= 2，且
x
ae 0 + x0 = y0 = 2x0 +1，将
x
ae 0 =1代入得 x0 = 0，故 a=1.故选：A
3．设函数 y = f (x)
f (1+ x) f (1)
在 R 上可导，则 lim 等于（ ）
x→0 3 x
1
A． f (1) B．3 f (1) C． f (1) D． f ( 1)
3
【来源】山东省枣庄市滕州市 2021-2022 学年高二下学期期中数学试题
【答案】C
f (1+ x) f (1)
【解析】 lim = f (1)
x→0 x
f (1+ x) f (1) 1 f (1+ x) f (1) 1
lim = lim = f (1) 故选：C
x→0 3 x 3 x→0 x 3
2 f (2 + x) f (2 x)
4．已知函数 f (x) = x +1，则 lim =（ ）
x→0 x
A．2 B．4 C．6 D．8
【来源】广东省深圳市宝安第一外国语学校 2021-2022 学年高二下学期期中数学试题
【答案】D
【解析】解：因为 f (x) = x2 +1，
2 2
f (2+ x) f (2 x) (2+ x) +1 (2 x) 1
所以 lim = lim
x→0 x x→0 x
8 x
= lim = 8故选：D
x→0 x
5．已知函数 f1 (x)， f f x2 (x)， 3 ( )， f4 (x)，它们在平面直角坐标系中的图象如图所
示，则 f1 (x0 )， f2 (x0 )， f3 (x0 )， f4 (x0 )的大小关系是（ ）
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A． f1 (x0 ) f2 (x0 ) f3 (x0 ) f4 (x0 )
B． f1 (x0 ) f3 (x0 ) f2 (x0 ) f4 (x0 )
C． f4 (x0 ) f1 (x0 ) f3 (x0 ) f2 (x0 )
D． f1 (x0 ) f3 (x0 ) f4 (x0 ) f2 (x0 )
【来源】北京市通州区 2021-2022 学年高二下学期期中质量检测数学试题
【答案】A
【解析】依次作出 f1 (x)， f2 (x)， f x = x3 (x)， f4 (x)在 0的切线，如图所示：
根据图形中切线的斜率可知 f (x ．故选：A． 1 0 ) f2 (x0 ) f3 (x0 ) f4 (x0 )
1 2
6．曲线 y = x 3ln x 在点 P 处的切线与直线 x + 2y 2 = 0垂直，则点 P 的横坐标为
2
（ ）
A． e B．1 C．3 D．2e
【来源】四川省雅安市 2021-2022 学年高二下学期期末数学（理）试题
【答案】C
1 2 3
【解析】设切点P (m,n) ,(m 0)， y = x 3ln x 的导数为 y = x ，
2 x
3
可得切线的斜率为 k = m ，
m
由切线与直线 x + 2y 2 = 0垂直，
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3
可得m = 2，解得m = 3或m = 1（舍），
m
所以 P 的横坐标为3，故选：C
7．如图所示，函数 y = f (x)的图像在点 P 处的切线方程是 y = 2x +10，则
f (4)+ f (4)的值为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．2
【来源】山东省日照市 2021-2022 学年高二下学期期末校际联合考试数学试题
【答案】A
【解析】因为切线方程为： y = 2x +10，故 f (4) = 2，且 f (4) = 2，故
f (4)+ f (4) = 0
故选：A
8．曲线 y = 2lnx上的点到直线 x y + 2ln2 = 0的最短距离是（ ）
A．2 B．2 ln2 C． ln2 D． 2
【来源】河南省南阳市 2021-2022 学年高二下学期期末终摸底考试数学试题
【答案】D
2 2
【解析】 y = ，令 y = =1，得 x = 2，
x x
则点 (2,2ln2)到直线 x y + 2ln2 = 0的距离就是所求的最短距离，
2 2ln2+ 2ln2
即 = 2 .故选：D.
12 + ( 1)2
9．函数 y = 2ln(x +1)+ cos x 的图象在 x = 0处的切线对应的倾斜角为 ，则cos2 =
（ ）
3 3 3 3
A． B． C． D．- .
10 10 5 5
【来源】北京市十一学校 2021-2022 学年高二下学期期末考试数学试题
【答案】D
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【解析】因为 y = 2ln(x +1)+ cos x ，
2
所以 y = sin x，
x +1
当 x = 0时， y = 2 ，此时 tan = 2，
cos2 sin2 1 tan2 3
∴ cos 2 = cos2 sin2 = = = ．故选：D.
sin2 + cos2 tan2 +1 5
10．已知 f (x)是定义在R 上的奇函数，当 x 0时， f (x) = ln( 2x)+1，则曲线
1
y = f (x)在 x = 处的切线方程是（ ）
2
A． y = x 4 B． y = x C． y = 2x D． y = 2x + 2
【来源】湖北省部分市州 2021-2022 学年高二下学期 7 月期末联考数学试题
【答案】C
1 1
【解析】：因为 f (x)为奇函数，所以 f = f = 1，且 f
(x) 为偶函数．
2 2
1 1 1
又当 x 0时， f (x) = ，所以 f = f = 2．
x 2 2
1 1
所以 f (x)在 x = 处的切线方程为 y +1= 2 x ，即 y = 2x ．故选：C．
2 2
专题 5.2 导数的运算
1．导数的概念
(1)函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数记作 f′(x0)或 y ' | . x=x0
Δy f x0＋Δx －f x0
f′(x0)＝ lim ＝ lim .
Δx→0 Δx Δx→0 Δx
(2)函数 y＝f(x)的导函数
f x＋Δx －f x
f′(x)＝ lim .
Δx→0 Δx
2．导数的几何意义
函数 y＝f(x)在 x＝x0处的导数的几何意义就是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜
率，相应的切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c 为常数) f′(x)＝0
－
f(x)＝xα(α∈Q，且 α≠0) f′(x)＝αxα 1
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f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax(a>0，且 a≠1) f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
1
f(x)＝logax(a>0，且 a≠1) f′(x)＝
xln a
1
f(x)＝ln x f′(x)＝
x
4.导数的运算法则
若 f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
f x f′ x g x －f x g′ x
′＝ (g(x)≠0)； g x [g x ]2
[cf(x)]′＝cf′(x)．
5．复合函数的定义及其导数
复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 y′x＝y′u·u′x，即 y 对
x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积．
【常用结论】
1．区分在点处的切线与过点处的切线
(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．
(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．
1 －f′ x2. ′＝ 2 (f(x)≠0)． f x [f x ]
6．函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增
函数 y＝f(x)在区
f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减
间(a，b)上可导
f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第 1 步，确定函数的定义域；
第 2 步，求出导数 f′(x)的零点；
第 3 步，用 f′(x)的零点将 f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出 f′(x)在各区间上的
正负，由此得出函数 y＝f(x)在定义域内的单调性．
【常用结论】
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1．若函数 f(x)在(a，b)上单调递增，则 x∈(a，b)时，f′(x)≥0 恒成立；若函数 f(x)在(a，
b)上单调递减，则 x∈(a，b)时，f′(x)≤0 恒成立．
2．若函数 f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则 x∈(a，b)时，f′(x)>0 有解；若函数 f(x)在(a，
b)上存在单调递减区间，则 x∈(a，b)时，f′(x)<0 有解．
7．函数的极值
(1)函数的极小值
函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；
而且在点 x＝a 附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0，则 a 叫做函数 y＝f(x)的极小值点，f(a)
叫做函数 y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值
函数 y＝f(x)在点 x＝b 的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；
而且在点 x＝b 附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0，则 b 叫做函数 y＝f(x)的极大值点，f(b)
叫做函数 y＝f(x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
8．函数的最大(小)值
(1)函数 f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最
小值．
(2)求 y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数 y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数 y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，
最小的一个是最小值．
【常用结论】
对于可导函数 f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数 f(x)在 x＝x0 处有极值”的必要不充分条件．
1．下列求导结果正确的是（ ）
x 1 x
A． (2x ) = x 2x 1 B． cos = sin
3 3 3
1 C． = ln x D． (
sin2 x) = 2sin x
x
【来源】广东省佛山市南海区狮山石门高级中学 2021-2022 学年高二下学期第一次大
测数学试题
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【答案】B
x 1 x
【解析】A 选项： ( 2x ) = 2x ln 2，故 A 选项错误；B 选项： cos = sin ，故 B
3 3 3
1 1选项正确；C 选项： = ，故 C 选项错误； 2
x x
D 选项： ( sin2 x) = 2sin x cos x，故 D 选项错误；故选：B
1
2．已知 f (x) = x3 + 2xf (1)，则 f (1)等于（ ）
3
A．0 B． 1 C．2 D．1
【来源】青海省西宁市大通县、湟源县 2021-2022 学年高二下学期期末考试数学（理
科）试题
【答案】B
1 3
【解析】∵ f (x) = x + 2xf (1)，
3
∴ f (x) = x2 + 2 f (1)，∴ f (1) =1+ 2 f (1)，∴ f (1) = 1．故选：B.
3．已知函数 f (x) = sin x， f (x)是函数 f (x)的导函数，则 f =（ ）
2
A．0 B． 1 C．1 D． 2
【来源】广东省肇庆市 2021-2022 学年高二下学期期末数学试题
【答案】A
【解析】因为 f (x) = cos x，所以 f = cos = 0 .故选：A.
2 2
4．以点P ( 1,2)为切点的曲线C : y = x (x + 2)(x 1)的切线与坐标轴围成的三角形的面
积为（ ）
1 3
A． B．1 C． D．2
2 2
【来源】河南省信阳市 2021-2022 学年高二上学期期末数学文科试题
【答案】A
【解析】 y = x (x+ 2)(x 1) = x3 + x2 2x， y ' = 3x2 + 2x 2 ，
'
所以切线的斜率为 y |x= 1= 1 ，
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切线方程为 y 2 = 1(x +1)，即 x + y =1，
与 x 轴 y 轴的交点坐标分别为（0，1），（1，0），
1 1
所围成的面积 = 1 1= ；故选：A.
2 2
x 2 45．已知函数 f (x) = e (2x +1) ，则 f (0) =（ ）
A．e 2 B．1 C．7e 2 D．9e 2
【答案】C
【解析】 (e x 2 ) = e x 2
4 3
， (2x +1) = 8(2x +1) ，
4 3
∴ f (x) = e x 2 (2x +1) + e x 2 8(2x +1) ．
当 x = 0时， f (0) = e 2 +8e 2 = 7e 2 ．故选：C
6．已知函数 f (x) = cos(2x )，则 f ( ) =（ ）
6 6
1
A． 1 B．0 C． D．1
2
【来源】吉林省长春外国语学校 2021-2022 学年高二下学期阶段测试数学试题
【答案】A
【解析】因为 f (x) = cos(2x )为复合函数，
6
所以 f (x) = 2sin(2x )，
6
所以 f ( ) = 2sin(2 ) = 2sin = 1，故选：A.
6 6 6 6
7．已知 f (x)是函数 f (x)的导数，且对任意的实数 x 都有
f (x) = e x (2 2x) f (x)， f (0) = 8则不等式 f (x) 0的解集是（ ）
A． ( 2,4) B． ( ,0) (2,+ )
C． ( , 4) (2,+ ) D． ( , 2) (4,+ )
【来源】第 02 讲 一元函数的导数及其应用-【寒假自学课】2022 年高二数学寒假精品
课（人教 A 版 2019 选择性必修第二册）
【答案】D
【解析】设 g(x) = ex f (x)， g(0) = e0 f (0) = 8，
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f (x) = e x因为 (2 2x) f (x)，所以 f (x) + f (x) = e x (2 2x)，
所以 g (x) = ex f (x) + ex f (x) = ex ( f (x) + f (x)) = 2 2x．
因此 g(x) = 2x x2 + c， g(0) = c = 8，所以 g(x) = x2 + 2x + 8，
x2 + 2x +8
f (x) = ，
ex
x2 + 2x +8
不等式 f (x) 0即为 0 ， x2 2x 8 0，解得 x 2或 x 4．故选：
ex
D．
x +1
8．设曲线 y = 在点 (3，2)处的切线与直线ax+ y +1= 0垂直，则a =
x 1
1 1
A．2 B． C． D． 2
2 2
【答案】D
x 1 (x +1) 2 2 1
【解析】 y = = , y |x=3= = ,直线ax+ y +1= 0的斜率为-
(x 1)2 (x 1)2 (3 1)2 2
a.所以 a=-2, 故选 D
9．已知曲线 y = x + ln x在点 (1,1) 2处的切线与曲线 y = ax + (a + 2) x+1相切，则 a=
（ ）
A．4 B．8 C．2 D．1
【答案】B
1
【解析】解： y = x + ln x的导数为 y =1+ ，
x
曲线 y = x + ln x在 x =1处的切线斜率为k = 2，
则曲线 y = x + ln x在 x =1处的切线方程为 y 1= 2(x 1)，即 y = 2x 1.
2
由于切线与曲线 y = ax + (a + 2) x+1相切，
y = ax2 + (a + 2) x+1可联立 y = 2x 1，
得 ax2 + ax + 2 = 0，又a 0，两线相切有一切点，
所以有△= a2 8a = 0，解得a = 8 .故选：B.
10．如图所示为函数 y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么 y＝f(x)，y＝g(x)的图象
可能是( )
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A． B．
C． D．
【来源】江苏省苏州中学 2021-2022 学年高二下学期线上教学阶段调研（期中）数学
试题
【答案】D
【解析】从导函数的图象可知两个函数在 x0 处斜率相同，可以排除 B 答案，再者导函
数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出 y=f(x)的导函数的值在减小，所以
原函数应该斜率慢慢变小，排除 AC，最后就只有答案 D 了，可以验证 y=g(x)．
x
11．已知函数 f (x)的解析式唯一，且满足 xf (x)+ f (x) = e , f (1) = 2e .则函数 f (x)的
图象在点 (1, f (1))处的切线方程为___________.
【来源】福建省漳州市第三中学 2021-2022 学年高二下学期期末考试数学试题
【答案】 y = ex +3e
【解析】由 xf (x)+ f (x) = [xf (x)]' [xf (x)]' = ex，可得 ，设 xf (x) = ex +m ，
又由 f (1) = 2e，有 f (1) = e+m = 2e，得m = e，
ex + e xe
x (ex + e)
可得 ' (x 1)e
x e
f (x) = , f (x) = = , f (1) = e，
x x2 x2
故所求切线方程为 y 2e = e(x 1)，整理为 y = ex +3e .故答案为： y = ex +3e
ln x，0 x 3，
12．已知函数 f (x) = 若函数 g(x) = f (x)+ kx有两个不同的零点，则
f (6 x)，3 x 6，
实数 k 的取值范围为__________.
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1
【答案】 ,+
e
ln x ,0 x 3
【解析】依题意得 f (x) = ，
ln (6 x) ,3 x 6
1 ln x0
设过原点的直线与 y = ln x切于点 (x0 , ln x0 )，则切线斜率 = ，解得 xx x 0
= e .
0 0
1
所以 y = ln x与 y = x切于点 (e,1)，
e
g (x) = 0即 f (x) = kx ，作出 y = f (x)的简图，
由图可知，要使动直线 y = kx与 y = f (x)的图象有两个不同的交点，
1 1 1
则 k ，解得 k .故答案为： ,+ .
e e e
专题 5.3 导数的应用
1．导数与函数的单调性
一般地，在某个区间(a,b)内：
（1）如果 f (x) 0，函数 f (x)在这个区间内单调递增;
（2）如果 f (x) 0，函数 f (x)在这个区间内单调递减;
（3）如果 f (x)=0 ，函数 f (x)在这个区间内是常数函数．
注意：（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；
（2）在某个区间内， f (x) 0 ( f (x) 0 )是函数 f (x)在此区间内单调递增(减)的
3
充分条件，而不是必要条件.例如，函数 f (x) = x 在定义域 ( ,+ )上是增函数，
但 f (x) = 3x
2 0 .
（3）函数 f (x)在(a,b)内单调递增(减)的充要条件是 f (x) 0 ( f (x) 0 )在(a,b)内
恒成立，且 f (x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于 0.这就是说，在区间内的个别
点处有 f (x) = 0 ,不影响函数 f (x)在区间内的单调性.
2．函数的极值
一般地，对于函数 y=f (x)，
第 13 页 共 23 页
（1）若在点 x=a 处有 f ′(a)=0，且在点 x=a 附近的左侧 f '(x) 0，右侧 f '(x) 0，
则称 x=a 为 f (x)的极小值点， f (a)叫做函数 f (x)的极小值.
（2）若在点 x=b 处有 f '(b) =0，且在点 x=b 附近的左侧 f '(x) 0，右侧 f '(x) 0，
则称 x=b 为 f (x)的极大值点， f (b)叫做函数 f (x)的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
3．函数的最值
函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最
小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间[a,b]上函数 y = f (x)的
图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
设函数 f (x)在[a,b]上连续，在 (a,b)内可导，求 f (x)在[a,b]上的最大值与最小
值的步骤为：
（1）求 f (x)在 (a,b)内的极值；
（2）将函数 f (x)的各极值与端点处的函数值 f (a) ， f (b)比较，其中最大的一个
是最大值，最小的一个是最小值.
4．函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间[a,b]的整体而言；
（2）在函数的定义区间[a,b]内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）
值只有一个（或者没有）；
（3）函数 f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
（5）导数与函数变化快慢的关系：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，
那么函数在这个范围内变化得快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反
之，函数的图象就“平缓”一些.
（6）导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函
数图象与 x 轴的交点的横坐标为函数的极值点.
5．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等
式 f (x) 0（ f (x) 0）在给定区间上恒成立．一般步骤为：
（1）求 f ′(x)；
（2）确认 f ′(x)在(a,b)内的符号；
（3）作出结论， f (x) 0时为增函数， f (x) 0时为减函数．
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注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行
分类讨论．
6．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在
定义域内讨论，定义域为实数集R 可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须
确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.
7．由函数 f (x)的单调性求参数的取值范围的方法
（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上 f (x) 0 (或
f (x) 0 )( f (x)在该区间的任意子区间内都不恒等于 0)恒成立，然后分离参
数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；
（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是 f (x) 0 (或 f (x) 0 )在
该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；
（3）若已知 f (x)在区间 I 上的单调性，区间 I 中含有参数时，可先求出 f (x)的单
调区间，令 I 是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.
8．函数极值问题的常见类型及解题策略
（1）函数极值的判断：先确定导数为 0 的点，再判断导数为 0 的点的左、右两侧
的导数符号．
（2）求函数 f (x)极值的方法：
①确定函数 f (x)的定义域．
②求导函数 f (x)．
③求方程 f (x) = 0的根．
④检查 f (x)在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那
么 f (x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f (x)在这个根处取得极小
值；如果 f (x)在这个根的左、右两侧符号不变，则 f (x)在这个根处没有极
值．
（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数 f (x)，求方程
f (x) = 0的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范
围.
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9．求函数 f (x)在[a,b]上最值的方法
（1）若函数 f (x)在[a,b]上单调递增或递减，f (a)与 f (b)一个为最大值，一个为最小
值．
（2）若函数 f (x)在区间(a,b)内有极值，先求出函数 f (x)在区间(a,b)上的极值，与 f
(a)、
f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
（3）函数 f (x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值
点．
注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.
（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概
念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是
极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确
定.
1．函数 f (x) = (x + 2)ex 的单调递减区间是（ ）
A． ( , 3) B． (0,3) C． ( 3,0) D． ( 3,+ )
【答案】A
x x x
【解析】解： f (x) = e + (x + 2)e = (x + 3)e ，
令 f (x) 0，得 x 3，所以函数 f (x)的单调递减区间是 ( , 3)，故选：A.
2．已知定义在［0，3］上的函数 f (x)的图像如图，则不等式 f (x) ＜0 的解集为
（ ）
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(0，1) (2，
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3)
【答案】B
【解析】由图象知 f (x)在 (1,2)上是减函数，所以 f (x) 0的解集是 (1,2)．故选：B．
3
3．函数 y = f (x)在定义域 ,3 内可导，图像如图所示，记 y = f (x)的导函数为
2
y = f (x)，则不等式 f (x) 0的解集为（ ）
1 1 4 8
A． ,1 2,3) B．3
1, ,
2
3 3
3 1 3 1 4 8
C． , 1, 2 D． , ,
2 3 2 3 3 3
【答案】C
【解析】 f (x) 0的解集即为 y = f (x)单调递增区间
3 1
结合图像可得 y = f (x)单调递增区间为 , , 1,2
2 3
3 1
则 f (x) 0的解集为 , 1, 2
2 3
故选：C．
1 1
4．若函数 f (x) = x2 + ax + 在 ,+ 是增函数，则a 的取值范围是（ ）
x 2
A． (3,+ ) B． ( ,3 C． 0,3 D． 3,+ )
【答案】D
【解析】
【分析】
1
问题转化为 f (x) 0在 ( ,+ )上恒成立，分离数数后转化为求新函数的最值可得．
2
【详解】
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1 1
∵ f (x) = x2 + ax + 在 ,+ 上是增函数，
x 2
1 1 1 1
故 f (x) = 2x + a 0在 ,+ 上恒成立，即a 2x2 在 ,+ 上恒成立， x2 2 x 2
1 2
令 h (x) = 2x ，则h (x) = 2，
x2 x3
1
当 x ,+ 时，h (x) 0，则h(x)为减函数.
2
1
∴ h ( x) h = 3，故a 3 .
2
故选：D.
2
5． 若函数 f (x) = ax ln x 在定义域内有两个零点，则实数 a 的取值范围是
（ ）
1 1 1
A． 0, B． , e C． (e,+ ) D． 0,
e e 2e
【答案】D
【解析】函数定义域为 (0,+ ) .
1 2ax2 1
f (x) = 2ax = ， x 0
x x
若 a 0，则 f ( x) < 0，故 f (x)在 (0,+ )上为减函数，
故 f (x)在 (0,+ )上至多一个零点，与题设不合，舍.
故a 0，
1 1
则当0 x 时， f ( x) < 0；当 x 时， f ( x) >0；
2a 2a
1 1
故 f (x)在 0, 上为减函数，在 ,+ 2a
上为增函数，
2a
1
故 f (x) = f
min ，
2a
1
因为函数 f (x)在 (0,+ )上有两个零点，故 f 02a
，
1 1 1
所以 ln 0，故0 a .
2 2a 2e
1 1 1
此时 e ，而 f (1) = a 0，1 ， f (x)在 0, 上有一个零点； 2a 2a 2a
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1 1 1
又由0 a 可得0 a 2，故 ，
2e 2a a
1 1 1
而 f = ln ，
a a a
x 1
设 h(x) = x ln x, x 0，则h (x) = ，
x
当0 x 1时，h (x) 0，当 x 1时，h (x) 0，
故 h(x)在(0,1) 上为减函数，在 (1,+ )上为增函数，
1
故 h(x) = h(1) =1 0 0，故 f
min 0，
a
1
所以 f (x)在 ,+ 上有一个零点；
2a
1
综上，当0 a 时， f (x)在 (0,+ )上有两个不同的零点，
2e
故选：D.
6．已知 f (x) = 2 x + cos x, x R ，若 f (1 t ) f (1 2t ) 0成立，则实数 t 的取值范围
是（ ）
2 2 2
A． 0, B． 0, C． ( ,0) ,+
3 3 3
2
D． ( ,0) 0,
3
【答案】B
【解析】解：函数 y = f (x)的定义域为R ，关于原点对称，
Q f ( x) = 2 x + cos( x) = 2 x + cos x = f (x)， 函数 y = f (x)为偶函数，
当 x 0时， f (x) = 2x + cos x， f (x) = 2 sin x 0，
则函数 y = f (x)在 0,+ )上为增函数，
由 f (1 t ) f (1 2t ) 0得 f (1 t ) f (1 2t )，
由偶函数的性质得 f (1 t ) f (1 2t )，
2 2
由于函数 y = f (x)在 0,+ )上为增函数，则 1 t 1 2t ，即 (1 t ) (1 2t ) ，
2 2
整理得3t2 2t 0，解得0 t ，因此，实数 t 的取值范围是 0,3
.
3
故选：B.
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7．设函数 f (x)的导函数为 f (x)， y = f (x)的部分图象如图所示，则（ ）
1
A．函数 f (x)在 ,1 上单调递增
2
B．函数 f (x)在 (0,4)上单调递增
C．函数 f (x)在 x = 3处取得极小值
D．函数 f (x)在 x = 0处取得极大值
【答案】B
1
【解析】由图象可知，函数 f (x)在 ,0 上单调递减，A 错误；函数 f (x)在 (0,4)
2
上单调递增，B 正确，C 错误；
函数 f (x)在 x = 0处取得极小值，D 错误.
故选：B.
8．若函数 f (x)在 R上可导，且满足 f (x) xf (x) 0，则（ ）
A．2 f (3) 3 f (2) B．2 f (3) 3 f (2)
C．3 f (3) 2 f (2) D．3 f (3) 2 f (2)
【答案】A
【解析】
f (x)
【分析】构造函数 g(x) = (x 0)，
x
函数 f (x)在 R 上可导，且满足 f (x) xf (x) 0，
xf (x) f (x)
g (x) = 0
2 ， x
x 0时，函数 g(x)单调递增，
g （3） g （2），
f (2) f (3)
即 ，即3 f (2) 2 f (3) ，
2 3
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故选：A
9．设 f (x)， g (x)分别是定义在 R上的奇函数和偶函数，当 x 0时，
f (x)g (x)+ f (x)g (x) 0，且 f (2) = 0，则不等式 f (x) g (x) 0的解集是（ ）
A． ( , 2) (0,2) B． ( 2,0) (0,2)
C． ( , 2) (2,+ ) D． ( 2,0) (2,+ )
【答案】D
【解析】设h(x) = f (x)g(x) ，则h (x) = f (x)g(x)+ f (x)g (x)，
x 0时，h (x) 0， h(x) 递增，
又 f (x)是奇函数，所以 f ( 2) = f (2) = 0，从而h( 2) = f ( 2)g( 2) = 0，
由 h(x) = f (x)g(x) 0得 2 x 0，
h(0) = f (0)g(0) = 0，
h( x) = f ( x)g( x) = f (x)g(x) = h(x)，所以h(x) 是奇函数，
所以h(x) 在 x 0时也是增函数，h(2) = f (2)g(2) = 0，
所以由h(x) = f (x)g(x) 0得 x 2，
综上，不等式的解为 ( 2,0) (2,+ )．
故选：D．
4
f (x) = x3 x2 ex10. 已知函数 的定义域为 1,+ )．
3
（1）求 f (x)的单调区间；
（2）讨论函数 g (x) = f (x) a在 1,2 上的零点个数
5 8 x
【解析】（1） f (x) = x
3 + x2 x e
x = (3x +8)(x 1)ex ，
3 3 3
因为 x [ 1,+ )
，所以 f (x) 的零点为 0 和 1.
令 f (x) 0，得0 x 1；令 f (x) 0，得 x 1或 1 x 0 .
所以 f (x)的单调递减区间为 (0,1) ，单调递增区间为[ 1,0) ， (1,+ ) .
e
（2）由（1）知， f (x) 在 1,2 上的极大值为 f (0) = 0，极小值为 f (1) = ，
3
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7 f ( 1) 7 7 8e2
因为 f ( 1) = ， = 1，所以 f (1) f ( 1) 02 2 . f (2) = ，由
3e f (1) e 2.7 3
g(x) = 0 ，得 f (x) = a .
e 8e2
当 a 或a 时， g(x) 的零点个数为 0；
3 3
e 8e2
当 a = 或0 a 时， g(x) 的零点个数为 1；
3 3
e 7
当 a 或a = 0时， g(x) 的零点个数为 2；
3 3e
7
当 a 0时， g(x) 的零点个数为 3.
3e
1 2
11. 已知函数 f (x) = x ax .
2
（1）若 g(x) = f (x) x+ a ln x ，讨论 g(x) 的单调性；
1
（2）已知h(x) = 2 f (x) x ln x 4a + 2，若方程h(x) = 0在 ,+ 有且只有两个解，
2
求实数a 的取值范围.
1 2
【解析】（1）依题可得 g(x) = x (a +1) x + a ln x ，
2
函数 g(x) 的定义域为 (0,+ )，
a x2 (a +1)x + a (x 1)(x a)
所以 g (x) = x (a +1)+ = = .
x x x
当 a 0 时，由 g (x) 0，得 x 1，则 g(x) 的减区间为 (0,1) ；
由 g (x) 0，得 x 1，则 g(x) 的增区间为 (1,+ ) .
当0 a 1时，由 g (x) 0，得a x 1，则 g(x) 的减区间为 (a,1)；
由 g (x) 0，得 x a 或 x 1，则 g(x) 的增区间为 (0,a)和 (1,+ ) .
当 a =1时， g (x) 0，则 g(x) 的增区间为 (0,+ ) .
当 a 1时，由 g (x) 0，得1 x a ，则 g(x) 的减区间为 (1,a)；
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由 g (x) 0，得 x 1或 x a，则 g(x) 的增区间为 (0,1) 和 (a,+ ) .
2
（2）h(x) = 2 f (x) x ln x 4a + 2 = x 2ax x ln x 4a + 2 .
1 x2 x ln x + 2 1
h(x) 在 ,+ 上有两个零点，即关于 x 方程2a = 在 ,+ 上有两
2 x + 2 2
个不相等的实数根.
x2
2
x ln x + 2 1 x +3x 2ln x 4
令 t(x) = ， x ,+ ，则 t (x) = . 2
x + 2 2 (x + 2)
2 1 (2x 1)(x + 2)
令 p(x) = x + 3x 2ln x 4 ， x ,+ ，则 p (x) = ，
2 x
1 1
显然 p (x) 0在 ,+ 上恒成立，故 p(x)在 ,+ 上单调递增.
2 2
1
因为 p(1) = 0，所以当 x ,1 时，有 p(x) 0，即 t (x) 0 ，所以 t(x)单调递减；
2
当 x [1,+ )
时，有 p(x) 0，即 t (x) 0，所以 t(x)单调递增.
1 9 ln 2 4 1
因为 t = + ， t(1) =1， t(4) = 3 ln 2 t ，
2 10 5 3 2
1 9 ln 2
所以a 的取值范围是 , +
2 20 10
.
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