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8.5 空间直线、平面的平行
【学习要求】
1.能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题；
2.线线平行的判定（证明）；
3.线面、面面平行的判定定理和性质定理；
【思维导图】
【知识梳理】
1、基本事实4 ：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．
符号表述： a∥c. 作用：证明两条直线平行
2、等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
符号语言：,或
作用：判断和证明两个角相等或互补。
3、线线平行的证明方法：
1）定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；
2）利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；
3）利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．
4、空间直线与平面的位置关系有以下三种：
1）直线在平面内：如果一条直线a与平面α有两个不同的公共点，那么这条直线就在这个平面内，记作a α.
2）直线与平面相交：直线a与平面α只有一个公共点A，叫做直线与平面相交，记作a∩α＝A，公共点A叫做直线a与平面α的交点．
3）直线与平面平行：如果一条直线a与平面α没有公共点，叫做直线与平面平行，记作a∥α.
5、直线与平面平行的判定定理：
1）文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，该直线与此平面平行。
2）符号语言： l∥α 3）图形语言：
6、直线与平面平行的性质定理
1）文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．
2）符号语言：l∥α，l β，β∩α＝m l∥m. 3）图形语言：
7、平面与平面平行的判定定理
1）文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
(简记为“线面平行 面面平行”)
2）符号语言：∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a α，b α∴α∥β 3）图形语言：
4）判定定理推论：如果一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．
8、平面与平面平行的性质定理
1）文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
2）符号语言：∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b。 3）图形语言：
4）性质定理推论：推论1：如果两个平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面．
推论2：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例。
【高频考点】
高频考点1. 基本事实4的辨析及应用
【方法点拨】基本事实4 ：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．
1.（2022秋·四川乐山·高二校考阶段练习）如图，正方体中，分别是的中点，则下列结论正解的是（ ）
A． B． C．与相交 D．与相交
【答案】B
【解析】由分别是的中点可得，又易得，则.故选：B.
2.（2022·山东·高一课时练习）如图，把一张长方形的纸对折两次，然后打开，得到三条折痕，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．，且与相交 C．，且与相交 D．，，两两相交
【答案】A
【解析】因长方形的对边都是互相平行的，连续左右对折两次后，长方形上得到三条折痕，，，
这三条折痕中每两条折痕又互相平行，所以三条折痕互相平行，故选：A
3．（2022春·湖南·高二校联考阶段练习）已知三条不同的直线，，，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】解：若，又，则，故充分性成立，
反之，若，又，则，故必要性成立. 故“”是“”的充要条件.故选：C.
4．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中分别是边的中点，且，则四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】B
【详解】因为分别是边的中点，所以，所以；
同理可得，所以四边形是平行四边形；
又因为，所以，即四边形是矩形.故选：B.
5．（2022秋·陕西西安·高二西安中学校考阶段练习）如图所示，在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且＝＝，则下列说法正确的是（ ）
A．与平行 B．与异面
C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上
D．与的交点一定在直线上
【答案】D
【详解】解：如图所示：连接EH，FG.
因为F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，所以GF//BD，且GF＝BD.
因为点E，H分别是边AB，AD的中点，所以EH//BD，且EH＝BD，
所以EH//GF，且EH≠GF，所以EF与GH相交，设其交点为M，
则M∈平面ABC，同理M∈平面ACD.
又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以M在直线AC上．故选：D.
高频考点2 . 等角定理的辨析及应用
【方法点拨】等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
1．（2022秋·山东潍坊·高二校考开学考试）若，且与的方向相同，则与（ ）
A．一定平行且方向相同 B．一定平行且方向相反
C．一定不平行 D．不一定平行
【答案】D
【详解】如图，
若，且与的方向相同，与不一定平行． 故选：D．
2．（2022·全国·高一专题练习）在三棱锥中，，，，分别是，，的中点，则＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图所示，因为分别为的中点，可得，
又因为，所以，所以.故选：D.
3．（2022·上海浦东新·高二校考阶段）已知，，，则_________.
【答案】或
【详解】利用等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，
故，,则有或,
又,所以或，故答案为：或
4．（2022·高二课时练习）如图，在棱长为a的正方体中，M、N分别是棱CD、AD的中点．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；(2)证明：．
【答案】(1)等腰梯形，理由见解析(2)证明见解析
【详解】（1）等腰梯形，理由：
连接，，，，，
因为M，N分别是棱CD、AD的中点，所以，，
又因为且，所以四边形为平行四边形，
所以，且，所以且，所以四边形是梯形，
又因为，所以，所以梯形是等腰梯形.
（2）证明：由（1）知，
又根据正方体的性质可知，，且与的方向相同，
所以根据等角定理可得.
高频考点3 . 判断线面平行（选填类）
【方法点拨】掌握线线平行的判定方法，结合题目条件，进行求解，即可证明线线平行.
1．（2022春·山东聊城·高一校考期中）已知为三条不重合的直线，是两个不重合的平面，给出下列四个说法：①，则；②，则；
③，则；④，则.其中正确的是（ ）
A．①④ B．①② C．②④ D．③④
【答案】C
【详解】对①，，则，可以平行、相交或异面，故①不正确；
对②，根据平行线的传递性，可知②正确；
对③，，则或，故③不正确；
对④，根据线面平行的判定定理，可知④正确．故选：C
2．（2023秋·陕西咸阳·高三校考阶段练习）已知点E，F，G，H分别是四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，则四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】因为E，H分别是四面体ABCD的棱AB，DA的中点，所以，又因为平面EFGH，平面EFGH，所以由线面平行的判定定理可知BD平面EFGH，
因为点H，G分别是四面体ABCD的棱AD，CD的中点，以，又因为平面EFGH，
平面EFGH，所以由线面平行的判定定理可知AC平面EFGH，
所以四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是2条，故选：C.
3.直线是平面外的一条直线，下列条件中可推出的是（ ）
A．与内的一条直线不相交 B．与内的两条直线不相交
C．与内的无数条直线不相交 D．与内的任意一条直线不相交
【答案】D
【解析】对于选项A，与平面内的一条直线不相交，
则直线、与相交以及都有可能，A选项不正确；
对于B选项，与内的两条直线不相交，
则直线、与相交以及都有可能，B选项不正确；
对于C选项，若与内的无数条平行直线平行时，则或，C选项不正确；
对于D选项，，根据直线与平面平行的定义，
可知直线与平面内的任意一条直线都不相交，D选项正确.故选：D.
4.已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m，n，有下列四个说法：
（1）若m∥α，n∥α，则m∥n；（2）若m∥α，n∥α，m，n β，则α∥β；
（3）若m∥n，n α，则m∥α；（4）若α∥β，m α，则m∥β.其中正确说法的个数为________个.
【答案】1
【解析】说法（1）中，m∥α，n∥α，则m∥n或m与n相交或m与n异面，故（1）错；
说法（2）中，由面面平行的判定定理，当m与n相交时，可得α∥β，故（2）错；
说法（3）中，由线面平行的判定定理，当m在α外时，可得m∥α，故（3）错；
说法（4）中，由面面平行的性质知，（4）正确，即正确说法只有一个，故填1.
高频考点4. 线面平行的判定（证明类）
【方法点拨】使用直线与平面平行的判定定理时，关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线，具体操作中，我们可以利用几何体的特征，合理利用中位线定理，或者构造平行四边形等证明两直线平行.
1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面是正方形，与交于点，为的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【详解】∵四边形为正方形，∴O为的中点，
∵E为的中点，∴，
又∵平面平面，∴平面；
2．（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱中，E，F分别是，的中点，求证：平面.
【答案】证明见解析
【详解】证明：取的中点，连接，，
因为在直三棱柱中，E，F分别是，的中点，
所以且，又且，所以且，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面.
3.如图，已知四棱锥的底面为直角梯形， 且，是的中点，证明: 平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：取中点为，因为分别是中点，
所以，又因为，所以，所以四边形为平行四边形，
所以，平面，平面，所以平面.
4.如图，四棱锥中，底面为矩形，是的中点，是的中点，平面
【解析】连接，设与的交点为，连接.
因为四边形为矩形，所以为的中点，
又因为为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面.
5.如图，在四面体中，是的中点，是的中点，点在线段上，且求证：平面.
【答案】证明见解析
【解析】如下图所示，取的中点，在线段上取点，使得，
连接、、.
，，，且.
、分别为、的中点，，且.
为的中点，.且，四边形是平行四边形，
.平面，平面，平面.
高频考点5 . 探究线面平行的条件
【方法点拨】
1．（2022春·山东淄博·高二校考开学考试）如图，已知正方体，，分别为，的中点，点在上底面（含边界）上运动.请补充一个恰当条件，当点满足___________时，有平面.
【答案】在中点与中点连线上
【详解】取，，，的中点分别为，，，，
连接，，，，，，，
因为，分别为，的中点，所以，同理可得，
因为，，所以四边形是平行四边形，可得，
所以，同理可证明，，所以，，，，，共面，
因为，面，面，所以平面，
若平面，则点在平面内，又因为点在上底面（含边界），
所以点在面与面的交线上，
所以点在线段上，即点在中点与中点连线上，
故答案为：在中点与中点连线上.
2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是上一点，当点满足条件：________时，平面.
【答案】答案表述不唯一)
【详解】连接交于O，连接OE，
平面平面，平面平面 ，.
又 底面为平行四边形，为对角线与的交点，
故为的中点, 为的中点，故当满足条件: 时，面.
故答案为: 答案表述不唯一)
3．（2022·全国·高三专题练习）在直三棱柱中，为中点，点在侧面上运动，当点满足条件___________时，平面(答案不唯一，填一个满足题意的条件即可)
【答案】P是CC1中点
【详解】取CC1中点P，连结A1P，
∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，
∴当点P满足条件P是CC1中点时，A1PCD，
∵A1P 平面BCD，CD 平面BCD，
∴当点P满足条件P是CC1中点时，A1P平面BCD故答案为：P是CC1中点.
4．（2022春·河南焦作·高一统考期末）在正三棱柱中，，过且与平行的平面交直线于点，则＝______．
【答案】6
【详解】连接交于点,取的中点为,连接,延长交于点
因为是的中点，所以,故过且与平行的平面为平面,由于在中，是的中点，,所以是的中点，故.
故答案为：
5．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二校考开学考试）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点是上一点，当________时，平面.
【答案】
【详解】如图，连接AC，设AC与BD的交点为O，连接EO，
因为四边形ABCD是平行四边形，所以点O是AC的中点．
因为平面，且平面平面，又平面，所以，
所以点E是SA的中点，即SE∶SA＝1∶2.故答案为：.
高频考点6. 线面平行的性质及其应用
【方法点拨】应用线面平行的性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线与已知直线平行.还可以利用交线判断已知平面内任意一条直线与已知直线的位置关系，即在已知平面内，所有与交线平行的直线都与已知直线平行，所有与交线相交的直线都与已知直线异面.
1.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，N是PB的中点，过A、N、D三点的平面交PC于点M，求证：AD ∥MN.
【解析】∵ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，
又BC 平面PBC，AD 平面PBC，∴AD∥平面PBC，
又AD 平面ADMN，平面PBC∩平面ADMN＝MN，∴AD∥MN.
2.如图所示，三棱锥A BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH.求证：CD∥EF.
【解析】∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥GH，
又GH 平面BCD，EF 平面BCD，∴EF∥平面BCD．
而EF所在的平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD．
3．（2022秋·河北衡水·高二校考开学考试）长方体的底面是正方形，，分别是侧棱，上的动点，，在棱上，且.若平面，则_________.
【答案】2
【详解】连接，交于点，连接，过点作，交于点.
∵平面，平面，平面平面，∴.
∵，∴，又，∴四边形为平行四边形，∴.
∵四边形是正方形，∴是的中点，又，∴.
∵，∴.故答案为：2
4．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形ABCD为长方形，平面ABCD，，，点E、F分别为AD、PC的中点．设平面平面．(1)证明：平面PBE；(2)证明：；(3)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)
【详解】（1）取PB中点，连接FG，EG，因为点E、F分别为AD、PC的中点
所以，，因为四边形ABCD为长方形，所以，且，所以，，所以四边形DEGF为平行四边形，所以
因为平面PBE，平面PBE，平面PBE
（2）由（1）知平面PBE，又平面PDC，平面平面所以
（3）因为平面ABCD，所以PD为三棱锥的高，
所以．
5．（2022秋·河北衡水·高二校考开学考试）已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】连接，，则过点.如图所示
∵平面，平面平面，平面，
∴，∵，∴.故选：B.
高频考点7 . 判定面面平行（选填题）
【方法点拨】
1．（2023·全国·高三专题练习）在下列判断两个平面与平行的4个命题中，真命题的个数是（ ）．
①都垂直于平面，那么；②都平行于平面，那么；③都垂直于直线，那么；④如果，是两条异面直线，且，，，，那么
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】如图，易知在正方体中相邻两个侧面都垂直于底面，故①错误；
由平面平行的传递性可知②正确；由线面垂直的性质可知③正确；
过直线l做平面与分别交于，过直线m做平面与分别交于，
因为，，所以，所以
因为，，所以 同理，
又l、m是两条异面直线，所以相交，且，
所以，故④正确. 故选：D
2．（2023·全国·高三专题练习）设为两个不同的平面，则的充要条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行 B．垂直于同一平面
C．平行于同一条直线 D．内的任何直线都与平行
【答案】D
【详解】A选项，内有无数条直线与平行，与可能相交，A选项错误.
B选项，垂直于同一平面，与可能相交，B选项错误.
C选项，平行于同一条直线，与可能相交，C选项错误.
D选项，内的任何直线都与平行，则，D选项正确.故选：D
3．（2022·高一课时练习）如图，在长方体中，写出满足条件的一个平面：
（1）与平面平行的平面为______；
（2）与平面平行的平面为______；
（3）与平面平行的平面为______．
【答案】 平面 平面 平面
【详解】因为为长方体，所以平面∥平面，平面∥平面，同时∥，∥，
又因为平面，平面，所以∥面，∥平面，因为，所以平面∥平面.
故答案为：①平面；②平面；③平面.
4．（2022·全国·高一专题练习）已知a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面其中正确的命题（ ）
①，；②，；③，；
④，； ⑤，，．
A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤
【答案】A
【详解】①，，由平行公理4得，正确；
②，，则与有可能平行、相交、异面，故错误；
③，则或，故错误；④，；则或，故错误；
⑤，，，由线面平行的判定定理可得．故选：A.
高频考点8. 面面平行的判定（证明类）
【方法点拨】第一步：在一个平面内找出两条相交直线；第二步：证明这两条相交直线分别平行于另一个平面；第三步：利用平面与平面平行的判定定理得出结论.
1．（2022秋·青海海南·高二海南藏族自治州高级中学校考阶段练习）如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点，求证：(1)平面；(2)平面平面.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【详解】（1）如图，连接，∵分别是的中点，∴.
又∵平面，平面，∴直线平面.
（2）连接SD，∵分别是 的中点，
∴.又∵平面，平面，
∴平面，由(1)知，平面，
且平面，平面，，∴平面∥平面.
2．（2022秋·四川眉山·高二仁寿一中统考期中）如图，在四棱柱中，点是线段上的一个动点，，分别是，的中点．
(1)求证：平面；(2)设为棱上的中点，求证：平面平面．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【详解】（1）证明：在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，连接BM，如图，
因E，F分别是BC，CM的中点，则有EFBM，
又EF平面BDD1B1，BM平面BDD1B1，所以EF平面BDD1B1．
（2）证明：取CD的中点G，连接EG，FG，如图，
而E是BC的中点，于是得EGBD，而EG平面BDD1B1，BD平面BDD1B1，
从而得EG平面BDD1B1，由（1）知EF平面BDD1B1，
EFEG＝E，且EF、EG平面GEF，因此，平面GEF平面BDD1B1，
所以当G是DC的中点时，平面GEF平面BDD1B1．
3．（2022秋·四川·高二校考阶段练习）如图所示，在正方体中，，，分别是，，的中点．求证：平面平面．
【答案】证明见解析
【详解】证明：如图，连接．
因为，分别是，的中点，所以．
因为∥，，所以四边形为平行四边形，
所以，所以．因为平面，平面，
所以平面．同理可证平面．
又因为，，平面，所以平面平面．
4．（2022春·新疆塔城·高一校考期中）如图，在正方体中，E，F，H，G分别是棱，，，的中点.求证：平面平面.
【答案】证明见解析
【详解】连接，
因为，，，分别是棱，，，的中点，
所以，，所以，
又平面，平面，所以平面，
连接，连接交于，交于，交于，
则，所以，又，，，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
又平面，平面，，所以平面平面.
高频考点9. 探究面面平行的条件
【方法点拨】
1．（2022·高一单元测试）如图，在三棱柱中，，分别为线段，的中点．
(1)求证：平面．(2)在线段上是否存在一点，使平面平面请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析
【详解】（1）证明：因为，分别为线段的中点所以A.因为，所以B.又因为平面，平面，所以平面．
（2）取的中点，连接，因为为的中点所以．
因为平面，平面，所以平面，
同理可得，平面，又因为，，平面，所以平面平面故在线段上存在一点，使平面平面．
2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，为的中点．(1)求证：平面；(2)上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；(2)存在，理由见解析．
（1）
证明：如图，连接交于，连接.
因为为正方体，底面为正方形，对角线，交于点，
所以为的中点，
又因为为的中点，
所以在中，是的中位线，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）
解：当上的点为中点时，即满足平面平面，理由如下：
连接，，
因为为的中点，为的中点，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
由（１）知平面，
又因为，，平面，
所以平面平面.
3．（2022秋·上海·高二阶段练习）已知正方体中， 分别为对角线 上的点，且.
(1)作出平面和平面的交线（保留作图痕迹），并求证：平面；
(2)若是上的点，当的值为多少时，能使平面平面？请给出证明.
【答案】(1)答案见解析
(2)，证明见解析
【详解】（1）连结CP并延长与DA的延长线交于M点，则平面PQC和平面的线为，
因为四边形ABCD为正方形，所以，
故，所以，
又因为，所以，所以.
又平面，PQ不在平面内，
故平面.
（2）当的值为时，能使平面平面.
证明：因为，即，故，所以.
又平面，PR不在平面内，
所以平面，又，平面.
所以平面平面.
4．（2022春·河南濮阳·高一濮阳一高统考阶段练习）如图，已知P是平行四边形所在平面外一点，M、N分别是的三等分点（M靠近B，N靠近C）；
(1)求证：平面．(2)在上确定一点Q，使平面平面．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
（1）证明：过点作，交于点，连接，因为为的三等分点，可得，又因为为的三等分点，可得，因为且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又由平面，平面，所以平面.
（2）证明：取取一点，使得，即点为上靠近点的三等点，在中，因为分别为的三等分点，可得，所以，因为平面，平面，所以平面；又由（1）知平面，且，平面，所以平面平面，即当点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面．
高频考点10. 面面平行的性质定理
【方法点拨】应用面面平行的性质定理时，找出一个平面中的一条直线，则该直线与另一个平面平行，据此可解题.
1．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知长方体中，为的中点，平面交棱于点，求证：
【答案】证明见解析
【详解】解：由长方体的性质知：平面平面，又面，
所以平面，
又因为面面，且面，所以.
2．（2022秋·湖北荆州·高二荆州中学校考期末）如图，平面，平面，，，，.(1)求证：；
【答案】(1)见解析
【详解】（1）证明：
由题知，，平面，平面,所以平面，
因为平面，平面，所以平面平面，
因为平面平面,平面平面所以.
3．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在正四棱柱中，，，，分别是棱，，，的中点，是的中点，点在四边形及其内部运动，则只需满足条件______时，就有平面．
（注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况）
【答案】点在线段上（答案不唯一）
【详解】取中点，连接，连接，如图，由已知得，与、都平行且相等，因此与平行且相等，从而是平行四边形，，
分别是中点，则，平面，平面，
所以平面，同理平面，
而，平面，所以平面平面，
因此只要，就有平面．故答案为：点在线段上（答案不唯一）．
4．（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体中，，，为的中点，，分别在线段，上，且，求证：平面.
【答案】证明见解析.
【详解】在长方体中，取的中点，连接，如图，
因G为AB的中点，则，而平面，平面，从而平面，
四边形为矩形，而，则有，又，
即有四边形为平行四边形，则，而平面，平面，
从而平面，而，平面，因此平面平面，又平面，从而平面.
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·云南昆明·云南师大附中校考模拟预测）若，是两个不同平面，，是两条不同直线，则下列4个推断中正确的是（ ）
A．，，， B．，，
C．，，， D．，，
【答案】A
【详解】对于A，如图，，，结合，，可知，故A正确；
对于B，如图，，可能异面，故B错误；
对于C，如图，，可能相交，故C错误；
对于D，如图，可能相交，故D错误.
故选：A．
2．（2022·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知是不全平行的直线，是不同的平面，则下列能够得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】对于A，由垂直于同一平面的两个平面可以平行或相交可知，选项A错误；
对于B，由平面与平面平行的判定定理可知，若，则结论不成立，所以选项B错误；
对于C，因为是不全平行的共面直线，即至少两条相交，所以成立.故选C正确；
对于D，由平行于同一直线的两个平面平行或相交可知，选项D错误.故选:C
3．（2022·四川成都·统考一模）在正方体中，P是平面内的一动点，M为线段的中点，则下列说法错误的是（ ）
A．平面内任意一条直线都不与平行
B．平面和平面的交线不与平面平行
C．平面内存在无数条直线与平面平行
D．平面和平面的交线不与平面平行
【答案】B
【详解】对A，因为与在平面内且不平行，故与相交，故与平面相交，若平面内任意一条直线与平行，则平面，矛盾，故A正确；
对B，由平行，平面，平面，故平面.设平面和平面的交线为，由线面平行的性质可得，又平面，平面，故平面，故B错误；
对CD，延长，交于，连接如图.
由题意，平面和平面的交线即直线，故当平面内的直线与平行时，与平面也平行，故C正确；
交线与平面交于，故D正确；
故选：B
4．（2022·陕西西安·校考模拟预测）如图，在正方体中，点E，F分别是棱，的中点，点G是棱的中点，则过线段AG且平行于平面的截而图形为（ ）
A．等腰梯形 B．三角形 C．正方形 D．矩形
【答案】A
【详解】取BC中点H，连接AH，GH，，.如下图所示：
由题意得，.又平面，平面，
平面，同理平面.又，平面，平面平面，故过线段且与平面平行的截面为四边形，显然四边形为等腰梯形.
故选：A
5．（2022·四川达州·统考一模）如图所示，设正方体的棱长为，点是棱上一点，且，过，，的平面交平面于，在直线上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】在正方体中，，，
∴四边形是平行四边形，∴，
又∵在正方体中，平面平面，
平面平面，平面平面，
∴，∴，∴，，
又∵，∴，∴，
又∵正方体的棱长为，
∴，，，
∴.故选：A.
6．（2022·广西·高一专题练习）如图，在正方体中，直线平面，且直线与直线不平行，则下列一定不可能的是（ ）
A．与平行 B．与不平行 C．与平行 D．与平行
【答案】A
【详解】假设，则由，知，
这与直线与直线不平行矛盾，所以直线与直线不平行. 故选：A.
7、（2022春·浙江宁波·高一宁波市北仑中学校考期中）若，且，与方向相同，则下列结论正确的有（ ）
A．且方向相同 B．，方向可能不同
C．OB与不平行 D．OB与不一定平行
【答案】D
【解析】如图，
；
当∠AOB=∠A1O1B1时，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，
OB与O1B1是不一定平行． 故选：D．
8．（2023·全国·高三专题练习）在底面为等边三角形的三棱柱中，已知平面ABC，，，D是棱的中点，M是四边形内的动点，若平面ABD，则线段长度的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【详解】取线段的中点为，连接，
因为侧面为矩形，D是棱的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
同理平面，因为，所以平面平面，
因为M是四边形内的动点，平面ABD，所以点的轨迹是线段，
因为，，所以，，
所以线段长度的最小值为.故选：D
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2022春·重庆酉阳·高一校考阶段练习）已知、是两条互相平行的直线，是一个平面．若要使得，则需添加下列哪些条件（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】由，所以需添加，.故选：AC.
10．（2022春·广东广州·高一校考期中）已知直线，和平面，，下列说法中不正确的有（ ）
A．若，，，则
B．若，，则
C．若与为异面直线，且，，，，则
D．若，，则
【答案】BD
【详解】对于A：，，，由线面平行的性质,则；故A正确；
对于B：，，,则，可以平行、相交、或异面；故B错误；
对于C：与为异面直线，且，，，，根据面面平行的判定定理的推论,则；故C正确；对于D:当若，，则或,故D错误；故选：BD
11．（2023·全国·高三专题练习）分别是正方体的棱的中点，则（ ）
A．平面 B．
C．直线与直线相交 D．与平面所成的角大小是
【答案】ABD
【详解】对A，因为正方体中且，故四边形为平行四边形，故.
又由中位线性质可得，且平面，平面，故平面.故平面，故A正确；
对B，由A同理可得，，故成立，故B正确；
对C，易得所在的平面为，显然不在平面内，故直线与直线异面，故C错误；
对D，由B，与平面所成的角即与平面所成的角，即，易得为，故D正确；
故选：ABD
12．（2022·湖南常德·校考二模）如图，在正方体中，E为的中点，则下列条件中，能使直线平面的有（ ）
A．F为的中点 B．F为的中点 C．F为的中点 D．F为的中点
【答案】ACD
【详解】如图，分别是棱的中点，易证与共面，由，平面，平面，则平面，同理平面，而是平面内相交直线，则得平面平面，平面，则平面，观察各选项，ACD满足，
故选：ACD．
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022秋·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练面平面，平面平面，平面平面，则直线与的位置关系是______．
【答案】平行
【详解】平面平面，平面平面，平面平面,
由面面平行的性质定理可推出：. 故答案为：平行.
14．（2022·河南·校联考模拟预测）设P，E，F分别是长方体的棱，，的中点，且，M是底面上的一个动点，若平面，则线段长度的最小值为___________.
【答案】##
【详解】解：如图所示，分别取，，的中点Q，R，G，连接，，，，易知E，F，P，G，Q，R六点共面.连接，，，
因为，又平面,平面,
所以平面.同理可证平面,
因为平面，所以平面平面，
故M在线段上运动.要使线段长度最小，需使.
此时，得，所以.故答案为：
15．（2022·安徽·安徽省含山中学校联考三模）三棱锥中，，过线段中点E作平面与直线、都平行，且分别交、、于F、G、H，则四边形的周长为_________．
【答案】2
【详解】因为平面，平面平面，平面ABC，
所以EH，又点E为中点，所以EH为三角形ABC的中位线，故.
同理，所以四边形的周长为2.故答案为：2
16．（2023·安徽淮南·统考一模）在棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是线段的中点，点M在正方形内（含边界），记过E，F，G的平面为，若，则的取值范围是______.
【答案】
【详解】
如图，取中点为，连结.
由已知，且，所以四边形是平行四边形，所以，且.又分别是线段的中点，所以，，所以，所以平面即为平面.
易知，又，所以四边形是平行四边形，所以，又，，所以，
同理由，可得.
因为平面，平面，，所以平面.
则由，平面，可知，平面，平面.
又点M在正方形内，平面平面，所以.
所以的长即为点到线段上点的距离，因为，所以当点为线段的中点时，最小，此时；当点与线段端点重合时，最大，此时.所以的取值范围是. 故答案为：.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2022·上海普陀·统考一模）如图，“复兴”桥为人行天桥，其主体结构是由两根等长的半圆型主梁和四根竖直的立柱吊起一块圆环状的桥面．主梁在桥面上方相交于点S且它们所在的平面互相垂直，S在桥面上的射影为桥面的中心O．主梁连接桥面大圆，立柱连接主梁和桥面小圆，地面有4条可以通往桥面的上行步道．设CD为其中的一根立柱，A为主梁与桥面大圆的连接点．
(1)求证：平面SOA；
(2)设AB为经过A的一条步道，其长度为12米且与地面所成角的大小为30°．桥面小圆与大圆的半径之比为，当桥面大圆半径为20米时，求点C到地面的距离．
【答案】(1)证明过程见详解(2)米
【详解】（1）由题意可知：桥面，桥面，所以，
平面，平面，所以∥平面.
（2）作出其中一个主梁的轴截面，连接，
由题意可知：，因为桥面小圆与大圆的半径之比为，
也即，所以，
在中，，
所以点C到桥面的距离为米，
又因为AB为经过A的一条步道，其长度为12米且与地面所成角的大小为30°，
所以地面到桥面的距离为，
故点C到地面的距离为米.
18．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形.
(1)求证：AB∥平面EFGH；(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)(8，12)
（1）∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.
∵HG 平面ABD，EF 平面ABD，∴EF∥平面ABD.
又∵EF 平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
∴EF∥AB，又∵AB 平面EFGH，EF 平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.
（2）设，∵EF∥AB，FG∥CD，∴，
则＝＝＝1－，∴.
∵四边形EFGH为平行四边形，∴四边形EFGH的周长l＝2＝12－x.
又∵019．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知在三棱柱中，是棱的中点，试问在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】存在点E，E为AB的中点.
【详解】存在点E，当E为AB的中点时，DE∥平面AB1C1.
如图，取BB1的中点F，连结DF，则DF∥B1C1.
因为DF 平面AB1C1，B1C1 平面AB1C1，所以DF∥平面AB1C1.
因为AB的中点为E，连结EF，ED，所以EF∥AB1.
因为EF 平面AB1C1，AB1 平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1.
因为DF∩EF＝F，EF，DF 平面DEF，所以平面DEF∥平面AB1C1.
因为DE 平面DEF，所以DE∥平面AB1C1.
20．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，分别为棱的中点.
(1)证明：平面；(2)在底面四边形内部（包括边界）是否存在点，使得平面平面？如果存在求点的位置，并求的最大值，如果不存在请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析，的最大值为2
【详解】（1）证明：取的中点，连接.
中，分别为的中点，，
分别为的中点，，，
故四边形为平行四边形，，
平面平面，平面.
（2）解：取中点为，连接，，
在中，分别为的中点，，
平面平面，平面.
因为且，且、分别为、的中点，所以，且，
所以，四边形为平行四边形，，且，
平面平面，平面.
又，且平面，故平面平面.
所以点存在，且，即点在线段上移动，可使平面平面，
当点运动到时，此时的最大值，最大值为2.
21．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，已知四棱柱的底面为菱形.
（1）证明：平面平面；（2）在直线上是否存在点，使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在；在的延长线上取点，使.
【详解】（1）由棱柱的性质可知，，
∵平面，平面，∴平面，
同理可证平面，而，平面，∴平面平面；
（2）存在这样的点，使平面，
∵，∴四边形为平行四边形，∴，
如图所示：
在的延长线上取点，使，连接，
∵，=，∴，
∴四边形为平行四边形，则，
∴，又平面平面，∴平面.
22．（2022·四川乐山·统考三模）如图，已知在三棱柱中，，，F是线段BC的中点，点O在线段AF上，.D是侧棱中点，.
(1)证明：平面；(2)F，E，三点在同一条直线上吗？说明理由，求的值.
【答案】(1)证明见解析；(2)在；.
（1）连接，并延长交于，连接，
∵，，F是线段BC的中点，∴，又，∴是的重心，∴，又D是侧棱中点，∴，∴，又平面，平面，∴平面；
（2）连接，则，，∴四点共面，又，∴，平面，又平面，∴平面，又平面平面，∴，即三点在一条直线上，所以
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8.5 空间直线、平面的平行
【学习要求】
1.能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题；
2.线线平行的判定（证明）；
3.线面、面面平行的判定定理和性质定理；
【思维导图】
【知识梳理】
1、基本事实4 ：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．
符号表述： a∥c. 作用：证明两条直线平行
2、等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
符号语言：,或
作用：判断和证明两个角相等或互补。
3、线线平行的证明方法：
1）定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；
2）利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；
3）利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．
4、空间直线与平面的位置关系有以下三种：
1）直线在平面内：如果一条直线a与平面α有两个不同的公共点，那么这条直线就在这个平面内，记作a α.
2）直线与平面相交：直线a与平面α只有一个公共点A，叫做直线与平面相交，记作a∩α＝A，公共点A叫做直线a与平面α的交点．
3）直线与平面平行：如果一条直线a与平面α没有公共点，叫做直线与平面平行，记作a∥α.
5、直线与平面平行的判定定理：
1）文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，该直线与此平面平行。
2）符号语言： l∥α 3）图形语言：
6、直线与平面平行的性质定理
1）文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．
2）符号语言：l∥α，l β，β∩α＝m l∥m. 3）图形语言：
7、平面与平面平行的判定定理
1）文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
(简记为“线面平行 面面平行”)
2）符号语言：∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a α，b α∴α∥β 3）图形语言：
4）判定定理推论：如果一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．
8、平面与平面平行的性质定理
1）文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
2）符号语言：∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b。 3）图形语言：
4）性质定理推论：推论1：如果两个平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面．
推论2：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例。
【高频考点】
高频考点1. 基本事实4的辨析及应用
【方法点拨】基本事实4 ：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．
1.（2022秋·四川乐山·高二校考阶段练习）如图，正方体中，分别是的中点，则下列结论正解的是（ ）
A． B． C．与相交 D．与相交
2.（2022·山东·高一课时练习）如图，把一张长方形的纸对折两次，然后打开，得到三条折痕，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．，且与相交 C．，且与相交 D．，，两两相交
3．（2022春·湖南·高二校联考阶段练习）已知三条不同的直线，，，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中分别是边的中点，且，则四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
5．（2022秋·陕西西安·高二西安中学校考阶段练习）如图所示，在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且＝＝，则下列说法正确的是（ ）
A．与平行 B．与异面
C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上
D．与的交点一定在直线上
高频考点2 . 等角定理的辨析及应用
【方法点拨】等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
1．（2022秋·山东潍坊·高二校考开学考试）若，且与的方向相同，则与（ ）
A．一定平行且方向相同 B．一定平行且方向相反
C．一定不平行 D．不一定平行
2．（2022·全国·高一专题练习）在三棱锥中，，，，分别是，，的中点，则＝（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·上海浦东新·高二校考阶段）已知，，，则_________.
4．（2022·高二课时练习）如图，在棱长为a的正方体中，M、N分别是棱CD、AD的中点．(1)判断四边形的形状，并说明理由；(2)证明：．
高频考点3 . 判断线面平行（选填类）
【方法点拨】掌握线线平行的判定方法，结合题目条件，进行求解，即可证明线线平行.
1．（2022春·山东聊城·高一校考期中）已知为三条不重合的直线，是两个不重合的平面，给出下列四个说法：①，则；②，则；
③，则；④，则.其中正确的是（ ）
A．①④ B．①② C．②④ D．③④
2．（2023秋·陕西咸阳·高三校考阶段练习）已知点E，F，G，H分别是四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，则四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3.直线是平面外的一条直线，下列条件中可推出的是（ ）
A．与内的一条直线不相交 B．与内的两条直线不相交
C．与内的无数条直线不相交 D．与内的任意一条直线不相交
4.已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m，n，有下列四个说法：
（1）若m∥α，n∥α，则m∥n；（2）若m∥α，n∥α，m，n β，则α∥β；
（3）若m∥n，n α，则m∥α；（4）若α∥β，m α，则m∥β.其中正确说法的个数为________个.
高频考点4. 线面平行的判定（证明类）
【方法点拨】使用直线与平面平行的判定定理时，关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线，具体操作中，我们可以利用几何体的特征，合理利用中位线定理，或者构造平行四边形等证明两直线平行.
1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面是正方形，与交于点，为的中点，求证：平面
2．（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱中，E，F分别是，的中点，求证：平面.
3.如图，已知四棱锥的底面为直角梯形， 且，是的中点，证明: 平面
4.如图，四棱锥中，底面为矩形，是的中点，是的中点，平面
5.如图，在四面体中，是的中点，是的中点，点在线段上，且求证：平面.
高频考点5 . 探究线面平行的条件
【方法点拨】
1．（2022春·山东淄博·高二校考开学考试）如图，已知正方体，，分别为，的中点，点在上底面（含边界）上运动.请补充一个恰当条件，当点满足___________时，有平面.
2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是上一点，当点满足条件：________时，平面.
3．（2022·全国·高三专题练习）在直三棱柱中，为中点，点在侧面上运动，当点满足条件_________时，平面(答案不唯一，填一个满足题意的条件即可)
4．（2022春·河南焦作·高一统考期末）在正三棱柱中，，过且与平行的平面交直线于点，则＝______．
5．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二校考开学考试）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点是上一点，当________时，平面.
高频考点6. 线面平行的性质及其应用
【方法点拨】应用线面平行的性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线与已知直线平行.还可以利用交线判断已知平面内任意一条直线与已知直线的位置关系，即在已知平面内，所有与交线平行的直线都与已知直线平行，所有与交线相交的直线都与已知直线异面.
1.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，N是PB的中点，过A、N、D三点的平面交PC于点M，求证：AD ∥MN.
2.如图所示，三棱锥A BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH.求证：CD∥EF.
3．（2022秋·河北衡水·高二校考开学考试）长方体的底面是正方形，，分别是侧棱，上的动点，，在棱上，且.若平面，则_________.
4．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形ABCD为长方形，平面ABCD，，，点E、F分别为AD、PC的中点．设平面平面．(1)证明：平面PBE；(2)证明：；(3)求三棱锥的体积．
5．（2022秋·河北衡水·高二校考开学考试）已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
高频考点7 . 判定面面平行（选填题）
【方法点拨】
1．（2023·全国·高三专题练习）在下列判断两个平面与平行的4个命题中，真命题的个数是（ ）．
①都垂直于平面，那么；②都平行于平面，那么；③都垂直于直线，那么；④如果，是两条异面直线，且，，，，那么
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2023·全国·高三专题练习）设为两个不同的平面，则的充要条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行 B．垂直于同一平面
C．平行于同一条直线 D．内的任何直线都与平行
3．（2022·高一课时练习）如图，在长方体中，写出满足条件的一个平面：
（1）与平面平行的平面为______；
（2）与平面平行的平面为______；
（3）与平面平行的平面为______．
4．（2022·全国·高一专题练习）已知a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面其中正确的命题（ ）
①，；②，；③，；
④，； ⑤，，．
A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤
高频考点8. 面面平行的判定（证明类）
【方法点拨】第一步：在一个平面内找出两条相交直线；第二步：证明这两条相交直线分别平行于另一个平面；第三步：利用平面与平面平行的判定定理得出结论.
1．（2022秋·青海海南·高二海南藏族自治州高级中学校考阶段练习）如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点，求证：(1)平面；(2)平面平面.
2．（2022秋·四川眉山·高二仁寿一中统考期中）如图，在四棱柱中，点是线段上的一个动点，，分别是，的中点．
(1)求证：平面；(2)设为棱上的中点，求证：平面平面．
3．（2022秋·四川·高二校考阶段练习）如图所示，在正方体中，，，分别是，，的中点．求证：平面平面．
4．（2022春·新疆塔城·高一校考期中）如图，在正方体中，E，F，H，G分别是棱，，，的中点.求证：平面平面.
高频考点9. 探究面面平行的条件
【方法点拨】
1．（2022·高一单元测试）如图，在三棱柱中，，分别为线段，的中点．
(1)求证：平面．(2)在线段上是否存在一点，使平面平面请说明理由．
2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，为的中点．(1)求证：平面；(2)上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由．
3．（2022秋·上海·高二阶段练习）已知正方体中， 分别为对角线 上的点，且.(1)作出平面和平面的交线（保留作图痕迹），并求证：平面；(2)若是上的点，当的值为多少时，能使平面平面？请给出证明.
4．（2022春·河南濮阳·高一濮阳一高统考阶段练习）如图，已知P是平行四边形所在平面外一点，M、N分别是的三等分点（M靠近B，N靠近C）；
(1)求证：平面．(2)在上确定一点Q，使平面平面．
高频考点10. 面面平行的性质定理
【方法点拨】应用面面平行的性质定理时，找出一个平面中的一条直线，则该直线与另一个平面平行，据此可解题.
1．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知长方体中，为的中点，平面交棱于点，求证：
2．（2022秋·湖北荆州·高二荆州中学校考期末）如图，平面，平面，，，，.(1)求证：；
3．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在正四棱柱中，，，，分别是棱，，，的中点，是的中点，点在四边形及其内部运动，则只需满足条件______时，就有平面．
（注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况）
4．（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体中，，，为的中点，，分别在线段，上，且，求证：平面.
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·云南昆明·云南师大附中校考模拟预测）若，是两个不同平面，，是两条不同直线，则下列4个推断中正确的是（ ）
A．，，， B．，，
C．，，， D．，，
2．（2022·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知是不全平行的直线，是不同的平面，则下列能够得到的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·四川成都·统考一模）在正方体中，P是平面内的一动点，M为线段的中点，则下列说法错误的是（ ）
A．平面内任意一条直线都不与平行
B．平面和平面的交线不与平面平行
C．平面内存在无数条直线与平面平行
D．平面和平面的交线不与平面平行
4．（2022·陕西西安·校考模拟预测）如图，在正方体中，点E，F分别是棱，的中点，点G是棱的中点，则过线段AG且平行于平面的截而图形为（ ）
A．等腰梯形 B．三角形 C．正方形 D．矩形
5．（2022·四川达州·统考一模）如图所示，设正方体的棱长为，点是棱上一点，且，过，，的平面交平面于，在直线上，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·广西·高一专题练习）如图，在正方体中，直线平面，且直线与直线不平行，则下列一定不可能的是（ ）
A．与平行 B．与不平行 C．与平行 D．与平行
7、（2022春·浙江宁波·高一宁波市北仑中学校考期中）若，且，与方向相同，则下列结论正确的有（ ）
A．且方向相同 B．，方向可能不同
C．OB与不平行 D．OB与不一定平行
8．（2023·全国·高三专题练习）在底面为等边三角形的三棱柱中，已知平面ABC，，，D是棱的中点，M是四边形内的动点，若平面ABD，则线段长度的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2022春·重庆酉阳·高一校考阶段练习）已知、是两条互相平行的直线，是一个平面．若要使得，则需添加下列哪些条件（ ）
A． B． C． D．
10．（2022春·广东广州·高一校考期中）已知直线，和平面，，下列说法中不正确的有（ ）
A．若，，，则 B．若，，则
C．若与为异面直线，且，，，，则 D．若，，则
11．（2023·全国·高三专题练习）分别是正方体的棱的中点，则（ ）
A．平面 B．
C．直线与直线相交 D．与平面所成的角大小是
12．（2022·湖南常德·校考二模）如图，在正方体中，E为的中点，则下列条件中，能使直线平面的有（ ）
A．F为的中点 B．F为的中点 C．F为的中点 D．F为的中点
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022秋·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练面平面，平面平面，平面平面，则直线与的位置关系是______．
14．（2022·河南·校联考模拟预测）设P，E，F分别是长方体的棱，，的中点，且，M是底面上的一个动点，若平面，则线段长度的最小值为___________.
15．（2022·安徽·安徽省含山中学校联考三模）三棱锥中，，过线段中点E作平面与直线、都平行，且分别交、、于F、G、H，则四边形的周长为_________．
16．（2023·安徽淮南·统考一模）在棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是线段的中点，点M在正方形内（含边界），记过E，F，G的平面为，若，则的取值范围是______.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2022·上海普陀·统考一模）如图，“复兴”桥为人行天桥，其主体结构是由两根等长的半圆型主梁和四根竖直的立柱吊起一块圆环状的桥面．主梁在桥面上方相交于点S且它们所在的平面互相垂直，S在桥面上的射影为桥面的中心O．主梁连接桥面大圆，立柱连接主梁和桥面小圆，地面有4条可以通往桥面的上行步道．设CD为其中的一根立柱，A为主梁与桥面大圆的连接点．
(1)求证：平面SOA；(2)设AB为经过A的一条步道，其长度为12米且与地面所成角的大小为30°．桥面小圆与大圆的半径之比为，当桥面大圆半径为20米时，求点C到地面的距离．
18．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形.(1)求证：AB∥平面EFGH；(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围.
19．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知在三棱柱中，是棱的中点，试问在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．
20．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，分别为棱的中点.
(1)证明：平面；(2)在底面四边形内部（包括边界）是否存在点，使得平面平面？如果存在求点的位置，并求的最大值，如果不存在请说明理由.
21．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，已知四棱柱的底面为菱形.
（1）证明：平面平面；（2）在直线上是否存在点，使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.
22．（2022·四川乐山·统考三模）如图，已知在三棱柱中，，，F是线段BC的中点，点O在线段AF上，.D是侧棱中点，.
(1)证明：平面；(2)F，E，三点在同一条直线上吗？说明理由，求的值.
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