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高一下期第1次月考（6-7章）
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022秋·云南楚雄·高二校考阶段练习）复数满足，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由复数除法运算可求得复数，根据虚部定义可得结果.
【详解】，的虚部为.故选：D.
2．（2022春·山东东营·高一统考期中）已知向量，，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】求出，求模即可.
【详解】∵，，∴，∴.故选：C.
3．（2022春·重庆·高一校考期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，．则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】首先由诱导公式求出，再根据正弦定理计算可得；
【详解】解：依题意
由正弦定理，即，解得；故选：B
4．（2022·江西南昌·高一期末）已知两个单位向量，的夹角为，则下列结论不正确的是（ ）
A．在方向上的投影为 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量数量积公式以及模长公式分别分析选项即可．
【详解】解：因为两个单位向量，的夹角为，所以在方向上的投影为；故正确；；故正确；；故错误；
；故正确；故选：．
5．（2022春·山东菏泽·高一校考期中）2022年北京冬奥会，首钢滑雪大跳台（如图1）是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．某校研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A（如图2）距离地面的高度AB（AB与地面垂直），在赛道一侧找到一座建筑物PQ，测得PQ的高度为25.4米，并从P点测得A点的仰角为30°；在赛道与建筑物PQ之间的地面上的点M处测得A点，P点的仰角分别为75°和30°（其中B，M，Q三点共线），该学习小组利用这些数据估算得赛道造型最高点A距离地面的高度约为（ ）（参考数据：，，）
A．58 B．60 C．66 D．68
【答案】B
【分析】在中，求得PM，在中，利用正弦定理求得AM，然后在中，由 求解.
【详解】解：如图所示：
由题意得：，
在中，，
在中，由正弦定理得，所以，
在中， ，故选：B
6．（2022春·山东菏泽·高一校考期中）在中，的面积为，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量运算可得的关系，然后可得三角形与面积之间的关系，结合已知可得.
【详解】因为，所以，即
所以所以故选：D
7．（2022秋·重庆北碚·高三西南大学附中校考阶段练习）已知中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论正确的有（ ）
A．若为等边三角形且边长为2，则 B．若满足，则
C．若，则 D．若，则为锐角三角形
【答案】B
【分析】A.利用平面向量的数量积定义求解判断；利用余弦定理判断B、C； D.由正弦定理将角化边，再利用余弦定理判断.
【详解】解：对于A：因为为等边三角形且边长为2，所以，故A错误；对于B：因为，即，
所以，因为，所以，故B正确；
对于C：因为，可得，当且仅当时取等号，因为，所以，故B错误；
对于D：因为，即，即，
所以，则角为锐角，但角，角不确定，故D错误；故选：B
8．（2022·陕西咸阳·校考模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得到，利用余弦定理和面积公式，化简得到，结合，得到，即可求解.
【详解】由，可得，由余弦定理可得.
因为的面积，所以，
因为，所以，
故当时，取得最大值3，此时.故选：B.
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2022春·山东东营·高一统考期中）在平面直角坐标系中，角的始边为 的正半轴，终边经过点，则下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．若为钝角，则
【答案】CD
【分析】根据终边上的点求出三角函数值进行计算，诱导公式，余弦函数在第二象限单调递减即可解决.
【详解】解：因为角终边经过点，
则
对于 ：，故错误；
对于：，故错误；
对于：，故正确；
对于：因为当，单调递减，而，即，所以，故正确.故选：CD.
10．（2022春·山东·高一校考期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．为钝角三角形 B．
C．周长为 D．的外接圆面积为
【答案】BC
【分析】利用正弦定理可得三边，然后利用余弦定理，正弦定理逐项判断即得.
【详解】因为，
所以，又，∴，
∴，故，，
所以B为锐角，故为锐角三角形，故A错误；
由，，可得，故B正确；
由上可知周长为，故C正确；
由正弦定理可得的外接圆直径为，即，
的外接圆面积为，故D错误.故选：BC.
11．（2022·重庆·统考模拟预测）已知复数（为虚数单位）在复平面内的对应的点为，复数满足在复平面内对应的点为，则下列结论正确的有（ ）
A．复数的虚部为 B．
C．的最大值 D．的最小值为
【答案】BC
【分析】根据复数的概念和几何意义即可求解.
【详解】对于A，由得，虚部为1，故A错误，
对于B，因为，，在复平面内对应的点为，则，
所以，故B正确，
对于C，由题意知，点B在以为圆心，半径为2的圆周上，
根据复数的几何意义，，所以，，故C正确，
对于D，表示点B与定点的距离，易知点在圆内，所以，故D错误.故选：BC.
12．（2022春·山东·高一统考期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，的面积分别为，则有．设O是锐角内的一点，分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若，则O为的重心
B．若，则
C．若，，则
D．若O为的垂心，则
【答案】ABD
【分析】A若为的中点，连接，由已知得在中线上，同理可得在其它中线上，即可判断；B、C将三角形补成一个以O为重心的三角形，根据向量的线性关系求出相关三角形面积的数量关系，即可得结论；D由垂心的性质、向量数量积的运算律，得到，结合三角形面积公式及角的互补关系得结论.
【详解】A：若为的中点，连接，则，故共线，即在中线上，同理可得在其它两中线上，故O为的重心，正确；
B：若，由题设知，即O为的重心，
所以，，，，
则，正确；
C：由题设，若，
所以，即O为的重心，则，
而，则，故，，
所以，错误；
D：由，则，
同理，，
因为O为的垂心，则，
所以，
同理得：，，
则，
令，
由，则，
同理：，
，
综上，，
由已知可得，正确.故选：ABD
【点睛】关键点点睛：利用三角形重心的性质判断A、B、C，应用向量数量积定义、运算律和垂心性质得到向量模的比例，结合三角形面积公式判断结论.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
11．（2022春·山东·高一校考期中）已知条件“”（i为虚数单位），写出一个满足上述条件的正整数______．
【答案】，（答案不唯一）
【分析】利用复数i的周期性即得.
【详解】利用复数i的周期性可得:,故答案为: ,（答案不唯一）
14．（2022春·广西·高一校考期中）某同学从A点向正前方走了10米到B点，然后左转60°再向前走了x米到C点，此时距离A点米，则x的值为______．
【答案】20
【分析】依题意可得，，，再利用余弦定理计算可得；
【详解】解：依题意，，，
由余弦定理，
即，解得或（舍去）
故答案为：
15．（2022春·江苏·高一校考期中）定义：，两个向量的叉乘的模．若点、，O为坐标原点，则______．
【答案】
【分析】依题意首先求出、根据，求出，再根据所给定义计算可得；
【详解】解：因为、，所以、，
所以，，，所以，
因为，所以，
所以故答案为：
16．（2023·全国·高三专题练习）如图，在菱形中，，，E，F分别为，上的点，，，若线段上存在一点M，使得，则__________，若点N为线段上一个动点，则的取值范围为__________.
【答案】
【分析】以菱形的对角线为在不在建立平面直角坐标系，通过坐标运算先求M坐标然后可得，再用坐标表示出，由二次函数性质可得所求范围.
【详解】因为为菱形，所以，以BD、AC所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，因为，，所以
则，设
因为，所以解得，所以
又所以
因为，所以当时，有最小值，
当时，有最大值，所以的取值范围为故答案为：，
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2022春·山东·高一校考期中）已知复数z1＝4－m2＋（m－2）i，z2＝λ＋2sin θ＋（cos θ－2）i（其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R）.(1)若z1为纯虚数，求实数m的值；(2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围.
【答案】(1)-2；(2)[2，6]
【分析】（1）z1为纯虚数，则其实部为0，虚部不为0，解得参数值；（2）由z1＝z2，实部、虚部分别相等，求得关于的函数表达式，根据的范围求得参数取值范围.
【详解】（1）由z1为纯虚数，则解得m＝－2.
（2）由z1＝z2，得
∴λ＝4－cos2θ－2sin θ＝sin2θ－2sin θ＋3.
∵－1≤sin θ≤1，∴当sin θ＝1时，λmin＝2，
当sin θ＝－1时，λmax＝6，∴实数λ的取值范围是[2，6]
18．（2022·江苏南通·高二校考期末）在①csinA＝acosC；②tan＝2＋；③a2＋b2＝c2＋ab这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.
已知△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若c＝4，B＝105°， ，求a和S.
【答案】选①：，；选②：，；选③：，.
【解析】选①由csinA＝acosC，利用正弦定理得到，求得角C;选②由tan(C＋)＝2＋，利用两角和的正切公式得到求得角C；选③由a2＋b2＝c2＋ab，利用余弦定理求得角C；然后利用正弦定理求得a，再利用三角形面积公式求解.,
【详解】选①∵正弦定理且csinA＝acosC；∴，
∵在△ABC中，，∴sinA≠0，
∴，∴,
选②∵tan(C＋)＝2＋，
∴，即，则，
选③∵a2＋b2＝c2＋ab，
∴由余弦定理得：，
∵在△ABC中，C(0，)，∴C＝，
∵在△ABC中，A＋B＋C＝，且B＝105°，∴A＝，
∵正弦定理且，∴，则，
, ,,
∴.
【点睛】（1）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．（2）解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．
19．（2022春·海南·高一统考期中）已知点，，，，且点满足，其中，(1)若，点P在直线上，求实数；
(2)若，求点P的坐标x，y满足的关系式.
【答案】(1)(2)
【分析】(1)根据向量的坐标运算化简条件求出点的坐标，结合点在直线上，列方程求；(2)根据向量坐标运算化简条件，消去，可得，满足的关系式.
【详解】（1）由题意可知：，，，
因为，
故，即，化简可得，
因为点P在直线上，故，解得：
（2）由，得：，
代入，得：，消去，得：
20．（2022春·重庆·高一统考期中）如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，M为BO中点.设向量，
(1)用，表示(2)建立适当的坐标系，使得点C的坐标为，求点M的坐标.
【答案】(1)(2)
【分析】(1)根据平行四边形的性质以及平面向量的线性运算法则.
(2) 以A为坐标原点，AD所在的直线为x轴，建立直角坐标系，满足题意,可求出各点的坐标.
【详解】（1）由四边形ABCD是平行四边形，BD，AC相交于点O
所以，
因为M为BO中点，
（2）如图，以A为坐标原点，AD所在的直线为x轴，建立直角坐标系，由，，，可求得点C的坐标为，
所以，，，
根据中点坐标公式，可求得点M的坐标为
21．（2022春·福建·高一校考期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知且，．
(1)求；(2)求的余弦值；(3)设点E，F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于G，且△AEF的面积为△ABC面积的一半，求向量的最小值．
【答案】(1)4(2)(3)2
【分析】（1）对已知的式子利用正弦定理和余弦定理化简可求得，从而可求出的值，
（2）由于D为的中点，所以，设，从而可表示，，再利用向量的夹角公式列方程可求出的余弦值，
（3）设，，由△AEF的面积为△ABC面积的一半，可得，设，则可得，再由E，G，F共线，可设，即，从而可得，得，，然后用表示出，则可表示出，进而可求出其最小值
【详解】（1）∵，∴由正弦定理得
由余弦定理得，整理得 又，∴．
（2）因为D为的中点，所以，设，
∴，
又，
∴，即，
解得或，又，所以，∴∠BAC的余弦值为．
（3）设，，∵△AEF的面积为△ABC面积的一半，
∴，即
设，则，
又E，G，F共线，所以设，则，
∴，解得，
，
又，
∴，
又，则，
∵，，，∴当时，的最小值为2．
22．（2022春·山东济宁·高一统考期中）我市某旅游区有一个人工湖，如图所示，它的边界是由圆O的半个圆弧（P为此圆弧的中点）和直径MN构成．已知圆O的半径为1千米．为增加旅游收入，现在该人工湖上规划建造两个观景区：其中荷花池观景区的形状为矩形ABCD；喷泉观景区的形状为．要求端点A，B均在直径MN上，端点C，D均在圆弧上．设OC与直径MN所成的角为．(1)试用分别表示矩形ABCD和的面积；
(2)若在矩形ABCD两侧线段AD，BC的位置架起两座观景桥，已知建造观景桥的费用每千米8万元（包含桥的宽度费用），建造喷泉观景区费用每平方千米16万元，建造荷花池的总费用为5万元．问：的角度为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用值．（结果保留整数）
【答案】(1)矩形ABCD的面积为，的面积为；(2)当时，建造该观景区总费用最低，且最低费用约为20万元.
【分析】（1）由题图知，根据矩形、三角形面积公式写出矩形ABCD和的面积；（2）由已知可得，，利用、关系，换元法及正弦型函数、二次函数性质求的最小值及其对应的值.
【详解】（1）由题意，，易得：．
所以矩形ABCD的面积为，
的面积为．
（2）设建造观景区所需总费用为，
由题意，，，
即，，令，，
设，则，由，
从而．当，即时，有．
所以最小值为（万元）．
故当时，建造该观该景区总费用最低，且最低费用约为20万元．
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高一下期第1次月考（6-7章）
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022秋·云南楚雄·高二校考阶段练习）复数满足，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春·山东东营·高一统考期中）已知向量，，则（ ）
A． B．2 C． D．
3．（2022春·重庆·高一校考期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，．则（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2022·江西南昌·高一期末）已知两个单位向量，的夹角为，则下列结论不正确的是（ ）
A．在方向上的投影为 B． C． D．
5．（2022春·山东菏泽·高一校考期中）2022年北京冬奥会，首钢滑雪大跳台（如图1）是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．某校研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A（如图2）距离地面的高度AB（AB与地面垂直），在赛道一侧找到一座建筑物PQ，测得PQ的高度为25.4米，并从P点测得A点的仰角为30°；在赛道与建筑物PQ之间的地面上的点M处测得A点，P点的仰角分别为75°和30°（其中B，M，Q三点共线），该学习小组利用这些数据估算得赛道造型最高点A距离地面的高度约为（ ）（参考数据：，，）
A．58 B．60 C．66 D．68
6．（2022春·山东菏泽·高一校考期中）在中，的面积为，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·重庆北碚·高三西南大学附中校考阶段练习）已知中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论正确的有（ ）
A．若为等边三角形且边长为2，则 B．若满足，则
C．若，则 D．若，则为锐角三角形
8．（2022·陕西咸阳·校考模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2022春·山东东营·高一统考期中）在平面直角坐标系中，角的始边为 的正半轴，终边经过点，则下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．若为钝角，则
10．（2022春·山东·高一校考期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．为钝角三角形 B．
C．周长为 D．的外接圆面积为
11．（2022·重庆·统考模拟预测）已知复数（为虚数单位）在复平面内的对应的点为，复数满足在复平面内对应的点为，则下列结论正确的有（ ）
A．复数的虚部为 B．
C．的最大值 D．的最小值为
12．（2022春·山东·高一统考期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，的面积分别为，则有．设O是锐角内的一点，分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若，则O为的重心
B．若，则
C．若，，则
D．若O为的垂心，则
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
11．（2022春·山东·高一校考期中）已知条件“”（i为虚数单位），写出一个满足上述条件的正整数______．
14．（2022春·广西·高一校考期中）某同学从A点向正前方走了10米到B点，然后左转60°再向前走了x米到C点，此时距离A点米，则x的值为______．
15．（2022春·江苏·高一校考期中）定义：，两个向量的叉乘的模．若点、，O为坐标原点，则______．
16．（2023·全国·高三专题练习）如图，在菱形中，，，E，F分别为，上的点，，，若线段上存在一点M，使得，则__________，若点N为线段上一个动点，则的取值范围为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2022春·山东·高一校考期中）已知复数z1＝4－m2＋（m－2）i，z2＝λ＋2sin θ＋（cos θ－2）i（其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R）.(1)若z1为纯虚数，求实数m的值；(2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围.
18．（2022·江苏南通·高二校考期末）在①csinA＝acosC；②tan＝2＋；③a2＋b2＝c2＋ab这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.
已知△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若c＝4，B＝105°， ，求a和S.
19．（2022春·海南·高一统考期中）已知点，，，，且点满足，其中，(1)若，点P在直线上，求实数；
(2)若，求点P的坐标x，y满足的关系式.
20．（2022春·重庆·高一统考期中）如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，M为BO中点.设向量，
(1)用，表示(2)建立适当的坐标系，使得点C的坐标为，求点M的坐标.
21．（2022春·福建·高一校考期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知且，．
(1)求；(2)求的余弦值；(3)设点E，F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于G，且△AEF的面积为△ABC面积的一半，求向量的最小值．
22．（2022春·山东济宁·高一统考期中）我市某旅游区有一个人工湖，如图所示，它的边界是由圆O的半个圆弧（P为此圆弧的中点）和直径MN构成．已知圆O的半径为1千米．为增加旅游收入，现在该人工湖上规划建造两个观景区：其中荷花池观景区的形状为矩形ABCD；喷泉观景区的形状为．要求端点A，B均在直径MN上，端点C，D均在圆弧上．设OC与直径MN所成的角为．(1)试用分别表示矩形ABCD和的面积；
(2)若在矩形ABCD两侧线段AD，BC的位置架起两座观景桥，已知建造观景桥的费用每千米8万元（包含桥的宽度费用），建造喷泉观景区费用每平方千米16万元，建造荷花池的总费用为5万元．问：的角度为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用值．（结果保留整数）
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