德阳中学校高2022级第二学期第一次月考数学试题
（试卷满分150分 考试时间120分钟）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由特称命题的否定的定义即可得出结果.
【详解】因为，所以其否定为.
故选：B.
2. 设a，，则“”是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用不等式的性质，充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】因为，
所以当时，，
所以即，
当时，取，得不到，
所以是充分不必要条件，
故选:A.
3. 下列函数中最小值为4的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】A、D讨论、为负数即可判断；B、C应用基本不等式求最值，结合根式、正弦函数性质判断等号是否能成立.
【详解】A：当为负数时，不满足；
B：由，仅当时等号成立，满足；
C：由，仅当时等号成立，
显然等号无法成立，故，不满足；
D：当为负值时，不满足.
故选：B
4. 在如图中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可.
【详解】因为为边上的中线，
所以，
因为为的中点，
所以可得，
故选: B.
5. 水滴是刘慈欣的科幻小说《三体II·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴.如图所示，水滴是由线段和圆的优弧围成，其中恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为1，点到圆弧所在圆圆心的距离为2，则该封闭图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由直角三角形的面积及扇形的面积即可得解.
详解】如图，
设圆弧所在圆的圆心为，连接，依题意得，
且，则，
所以，
所以该封闭图形的面积为.
故选：A.
6. 函数的部分图象大致形状是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性、对称性以及函数值的对应性，利用排除法即可得出结果.
【详解】因为的定义域为R.定义域关于原点对称，
，
所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除选项B、D，
当时，令可得或，
所以时，两个相邻的零点为和，当时，，，，故排除选项A，
故选：C.
7. O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（ ）
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
【答案】B
【解析】
【分析】根据是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知点轨迹，据此可求解.
【详解】，
令，
则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，
即在的平分线上，
，共线，
故点P的轨迹一定通过△ABC的内心，
故选：B
8. 2023年1月底，由马斯克、彼得泰尔等人创立的人工智能研究公司openAI发布的名为“ChatGTP”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：）
A. 72 B. 74 C. 76 D. 78
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得出该指数衰减的学习率模型，根据题意列出不等式，求解即可．
【详解】根据题意得该指数衰减的学习率模型为，
当时，，代入得，，解得，
由学习率衰减到以下（不含），得
，
，
，
，
因为，
所以，故G取74，
故选：B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9. 下列命题正确的有（ ）
A. 方向相反的两个非零向量一定共线
B. 单位向量都相等
C. 若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
D. “若是不共线的四点，且'“四边形是平行四边形”
【答案】AD
【解析】
【分析】根据共线向量的定义判断A，根据单位向量的定义判断B，根据相等向量的定义判断C，根据相等向量及平行四边形的性质判断D.
【详解】解：对于A，方向相同或相反的两个非零向量为共线向量，故A正确；
对于B：单位向量的模为，但是方向不一定相同，故B错误；
对于C：若两个向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，故C错误；
对于D：若是不共线的四点，且，则且，所以四边形是平行四边形，故充分性成立，
若四边形是平行四边形，则，故必要性也成立，故D正确.
故选：AD
10. 若向量满足，则（ ）
A. B. 与的夹角为
C. D. 在上的投影向量为
【答案】BC
【解析】
【分析】由模与数量积关系求得，再根据数量积的性质确定与的夹角，判断向量垂直，求解投影向量即可得结论.
【详解】因为，所以，
则，故A不正确；
又，，所以，即与的夹角为，故B正确；
又，所以，故C正确；
又在上的投影向量为，故D不正确.
故选：BC.
11. 要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）得到.
A. 先将各点横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位
B. 先将各点横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位
C. 先将各点横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位
D. 先向左平移个单位，再将各点横坐标变为原来的倍
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据三角函数图象变换的知识求得正确答案.
【详解】，
（1）函数的图象，将各点横坐标变为原来的倍，
得到，
再向左平移个单位得到，A选项正确，B选项错误;
（2）函数的图象，将各点横坐标变为原来的倍，
得到，
再右平移个单位得到，C选项正确;
（3）函数的图象，向左平移个单位，
得到，
将各点横坐标变为原来的倍得到，D选项正确.
故选：ACD
12. 给出以下命题正确命题的选项为（ ）
A. 不等式在上有解，则实数m的取值范围是
B. 函数的最大值为2
C. 定义运算：，则且，设，则的值域为
D. 函数，，恒有解，则a的范围是
【答案】BD
【解析】
【分析】对A，分离参数，利用对勾函数的图象与性质即可求出的范围；对B，将函数化简整理得，即可求出其最大值；对C，举反例即可；对D，通过化简，通过换元，利用二次函数单调性即可得到不等式组，解出即可.
【详解】对于A，不等式在上有解，即在上有解，
因为对勾函数在上单调递减，则恒成立，
所以，即，
所以实数m的取值范围是，故A错误．
对于B，，
当时，，所以B正确．
对于C，，
即，
当时，，，，所以C错误．
对于D，
，，令，
，所以在上单调递增，
，，
当时恒有解，则
所以a范围是，所以D正确．
故选：BD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】根据向量的数乘运算法则即可得出结果.
【详解】易知，
故答案为：
14. 已知函数的部分图象如图所示，则f（x）=______.
【答案】
【解析】
【分析】根据对称轴和过点，求出的值，再根据求的范围，确定的具体值.
【详解】根据图像可得函数的对称轴为，并且经过点
所以，所以，又因为
又因为
故答案为：
15. 已知函数，若实数满足，则的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题知满足任意，都有，进而得，再根据基本不等式求解即可.
【详解】解：令，因为，
所以，函数是上的奇函数，
所以函数关于中心对称，
所以，关于中心对称，
所以，满足任意，都有.
因为，
所以，即.
；
当且仅当，即，时取等号，
所以的最大值为，
故答案：.
16. 设函数，其中，若且图象的两条对称轴间的最近距离是．若是的三个内角，且，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用两角差的余弦函数公式及余弦函数的图象和性质可求，，结合范围，可求，由题意可求周期为，利用周期公式可求，从而可得函数解析式，由题意可得，结合范围，可解得，从而，利用三角函数恒等变换的应用可将化为，结合范围，利用正弦函数的图象和性质即可求其取值范围．
【详解】解：由题知，，
，得，，
，取，得，
函数图象的两条对称轴间的最近距离是，
周期为，得，
得．
由，得，
是的内角，，
，得，
，从而．
由
，
，，
，即，，
因此，的取值范围是．
故答案为：.
【点睛】本题考查了两角差的余弦函数公式，正弦函数、余弦函数的图象和性质，周期公式，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，集合或，全集.
（1）若，求;
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题知，再根据集合运算求解即可；
（2）根据题意得或，再解不等式即可得答案.
【小问1详解】
解：当时，，
所以，
又或，
所以.
【小问2详解】
因为，或，，
所以或，解得或，
所以实数的取值范围是.
18. 设两个非零向量，不共线．
（1）若，，，求证：，，三点共线；
（2）若与共线，求的值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）转化为证明向量，共线，即可证明三点共线；
（2）由共线定理可知，存在实数，使，利用向量相等，即可求解的值.
【小问1详解】
因为，
又，有公共点，
，，三点共线；
【小问2详解】
因为和共线，两个非零向量，不共线，
存在实数，使得，
，
解得．
19. 已知定义在上的函数为偶函数，且．
（1）求的解析式；
（2）判断并用单调性定义证明在的单调性．
【答案】（1）
（2）在单调递减，证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用偶函数的定义和即可求解；
（2）单调递减，利用函数单调性定义，设，作差，整理变形即可证明.
【小问1详解】
由题意，，∴，∴a＝0，
∵，∴b＝1，∴．
【小问2详解】
在单调递减，证明如下
设，，
∵，∴，，，，
∴，即，∴在单调递减．
20. 设函数．
（1）求的最小正周期及单调递增区间；
（2）若且，求的值．
【答案】（1）最小正周期为；单增区间为：
（2）
【解析】
【分析】（1）利用倍角公式与辅助角公式化简，整体法代入性质即可求出最小正周期及单调递增区间；
（2）由，可先分别求出，，代入和差的余弦公式即可求解.
【小问1详解】
依题意，
因为
，
即，所以的最小正周期为．
由，可得
∴的单增区间为：.
【小问2详解】
因为，即，
所以，
因为，所以，
所以，
所以
．
21. 已知函数，其中a、b、．
（1）当时，求的值域；
（2）当，时，设，且关于直线对称，如果当时，方程恰有两个不等实根，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）把代入，利用换元法结合二次函数求解作答.
（2）把，代入，利用辅助角公式结合正弦函数最值求出b，再利用正弦函数图象列式求解作答.
【小问1详解】
当时，，
令，有，
因此，当时，，当时，，
所以的值域为．
【小问2详解】
当，时，，又关于直线对称，
于是
则，，令，
依题意，在上有两个不等实根在上有两个不等实根
，的图象如下，其中点，，
观察图象知，或，解得或，
所以实数m的取值范围是或.
22. 人脸识别就是利用计算机分析人脸视须或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.已知二维空间两个点、，则其曼哈顿距离为，余弦相似度为，余弦距离：.
（1）若、，求、之间的余弦距离；
（2）已知，、,，若,，求、之间的曼哈顿距离.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用题中定义可求得点、间的余弦距离；
（2）利用两角和与差的正弦、余弦公式可求出点、的坐标，结合题中定义可求得、之间的曼哈顿距离.
【小问1详解】
解：因为、，所以，
所以、间的余弦距离为.
【小问2详解】
解：因为，，
所以.
因为，所以.
因为，
所以.
因为，则，
所以.
因为，
，所以.
因为，
，
所以.
因为，
所以、之间的曼哈顿距离是.德阳中学校高2022级第二学期第一次月考数学试题
（试卷满分150分 考试时间120分钟）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1. 命题“”的否定是（ ）
A B.
C. D.
2. 设a，，则“”是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 下列函数中最小值为4的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 在如图中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 水滴是刘慈欣的科幻小说《三体II·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴.如图所示，水滴是由线段和圆的优弧围成，其中恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为1，点到圆弧所在圆圆心的距离为2，则该封闭图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 函数的部分图象大致形状是（ ）
A B.
C. D.
7. O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（ ）
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
8. 2023年1月底，由马斯克、彼得泰尔等人创立的人工智能研究公司openAI发布的名为“ChatGTP”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：）
A. 72 B. 74 C. 76 D. 78
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9. 下列命题正确的有（ ）
A. 方向相反的两个非零向量一定共线
B. 单位向量都相等
C. 若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
D. “若是不共线的四点，且'“四边形是平行四边形”
10. 若向量满足，则（ ）
A. B. 与的夹角为
C. D. 在上的投影向量为
11. 要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）得到.
A. 先将各点横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位
B. 先将各点横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位
C. 先将各点横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位
D. 先向左平移个单位，再将各点横坐标变为原来的倍
12. 给出以下命题正确命题的选项为（ ）
A. 不等式在上有解，则实数m的取值范围是
B. 函数的最大值为2
C. 定义运算：，则且，设，则的值域为
D. 函数，，恒有解，则a的范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13 计算：______．
14. 已知函数的部分图象如图所示，则f（x）=______.
15. 已知函数，若实数满足，则最大值为__________.
16. 设函数，其中，若且图象的两条对称轴间的最近距离是．若是的三个内角，且，则的取值范围为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，集合或，全集.
（1）若，求;
（2）若，求实数的取值范围.
18. 设两个非零向量，不共线．
（1）若，，，求证：，，三点共线；
（2）若与共线，求的值．
19. 已知定义在上的函数为偶函数，且．
（1）求的解析式；
（2）判断并用单调性定义证明在的单调性．
20. 设函数．
（1）求的最小正周期及单调递增区间；
（2）若且，求的值．
21. 已知函数，其中a、b、．
（1）当时，求的值域；
（2）当，时，设，且关于直线对称，如果当时，方程恰有两个不等实根，求实数m的取值范围．
22. 人脸识别就是利用计算机分析人脸视须或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.已知二维空间两个点、，则其曼哈顿距离为，余弦相似度为，余弦距离：.
（1）若、，求、之间的余弦距离；
（2）已知，、,，若,，求、之间的曼哈顿距离.
