遂宁中学高一数学月考题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 等于
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】 ，故选B.
2. 的值是
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】分析：首先观察题中所给的式子，结合正弦的倍角公式，可以确定其为的值，借助于特殊角的三角函数值求得结果.
详解：根据正弦的倍角公式可得，
故选C.
点睛：该题考查的是有关三角函数值的求解问题，涉及到的知识点有正弦的倍角公式，以及特殊角的三角函数值，属于简单题目.
3. 计算等于
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据诱导公式结合两角和的余弦公式求解即可
【详解】原式＝．
故选：B．
4. 已知，，，是第三象限角，则的值是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由，利用同角三角函数关系求三角函数值代入求解即可.
【详解】因为，所以，
因为是第三象限角，所以，
所以
【点睛】本题主要考查了两角差的余弦展开及同角三角函数的基本关系，解题的关键是由角所在象限确定三角函数值的正负，属于基础题.
5. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案.
【详解】解：如图，连接，
因为是的中点，
所以，
又，所以三点共线，
即，
又，
所以，
则，故，
所以.
故选：B.
6. 函数的值域（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对函数进行化简，根据正弦函数的性质即可求解
【详解】,
∴函数的值域为
故选:C．
7. 设，则有
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用两角差的正弦公式化简，分子分母同乘以结合二倍角的正弦公式化简，利用降幂公式化简，从而可得结果.
【详解】 ，
，故选A
【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式，两角差的正弦公式，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
8. 记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A. 1 B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图象关于点对称，所以，且，
所以，所以，，
所以.
故选：A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列说法错误的是（ ）
A. 钝角是第二象限角 B. 第二象限角比第一象限角大
C. 大于的角是钝角 D. 是第二象限角
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用象限角的概念可判断ABD选项；取可判断C选项.
【详解】对于A选项，钝角的范围是，
第二象限角的取值范围是，
因为，
所以，钝角是第二象限角，A对；
对于B选项，是第二象限角，是第一象限角，但，B错；
对于C选项，，但不是钝角，C错；
对于D选项，，且，
故第三象限角，D错.
故选：BCD.
10. 给出以下四个命题：
① 若是锐角，则是第一或第二象限角；
② 终边在轴上的角的集合是；
③ 函数在区间上是增函数；
④ 函数不是周期函数；
其中正确的命题是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【答案】CD
【解析】
【分析】对于①，可举例说明①不正确；对于②，可直接求出终边在轴上的角的集合，从而判断出②错误；对于③，利用的单调区间，可以判断③正确；对于④，利用的图像和周期函数的定义，可知④正确.
【详解】对于①，当时，是轴线角，所以①错误；
对于②，终边在轴上的角的集合是，所以②错误；
对于③，当时，，因为在区间上单调递增，所以③正确；
对于④，因为是偶函数，图像关于轴对称，由周期函数的定义知，函数不是周期函数，所以④正确.
故选：CD.
11. 计算下列几个式子，
①；②；③；④ .
结果为的是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用两角和的正切公式可求出①③中代数式的值；利用两角和的正弦公式、诱导公式可计算②中代数式的值；利用二倍角的正切公式可计算④中代数式的值.
【详解】对于①，因为，
所以，
；
对于②，
；
对于③，；
对于④，.
故选：ABC.
12. 关于函数有如下四个命题：
①的图象关于轴对称． ②的图象关于原点对称．
③的图象关于直线对称． ④的最小值为．
其中所有真命题的序号是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【答案】BC
【解析】
【分析】利用函数奇偶性的定义可判断①②；利用函数对称性的定义可判断③；利用基本不等式可判断④.
【详解】对于函数，，可得，
所以，函数的定义域为，函数的定义域关于原点对称，
对于①②，，
所以，函数的图象关于原点对称，①错②对；
对于③，，
所以，函数的图象关于直线对称，③对；
对于④，当时，，
此时，，
当且仅当时，等号成立，④错.
故选：BC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 的值为__________________
【答案】##0.5
【解析】
【分析】利用余弦的和角公式即可求出结果.
【详解】因为.
故答案为：.
14. 已知，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】利用两角和的正切公式化简，即可求解.
【详解】，
即，即
即，解得
故答案为：2
15. 定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，其最小正周期为，当时，=_________
【答案】
【解析】
【分析】
由函数周期性和奇偶性可得，而当时，，从而可求出答案.
【详解】因为的最小正周期是，且为偶函数，
所以，
因为当时，，
所以，
所以
故答案为：
【点睛】本题考查了利用函数的周期性和奇偶性求值，属于基础题.
16. 关于的函数的最大值为，最小值为 ，且 ，则实数的值为____．
【答案】
【解析】
【分析】计算对称，可知函数图象关于点对称，可得出，即可得出实数的值.
【详解】因为
，
设函数的定义域为，
对任意的，，则，即，
所以，函数的定义域关于原点对称，
所以，，
所以，函数的图象关于点对称，
所以，函数图象的最高点和最低点也关于点对称，
所以，，解得.
故答案为：.
第Ⅱ卷（共90分）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知，求值：
（1） ；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据，利用齐次式，，代入即可求出结果.
（2）根据，，利用齐次式，
，代入即可求出结果.
【小问1详解】
因为，
所以．,
【小问2详解】
，
．
18. 已知，且有意义．
（1）试判断角是第几象限角；
（2）若角的终边上有一点，且（O为坐标原点），求实数m的值及的值．
【答案】（1）角第四象限角
（2），
【解析】
【分析】（1）根据已知分别确定的正负，再三角函数值符号得象限角的结论
（2）由余弦函数定义求出，再由正弦函数定义求得结论．
【小问1详解】
∵，∴，
∴角是第三或第四象限角或终边在y轴的负半轴上的角．
由有意义，可知，
∴角是第一或第四象限角或终边在x轴的正半轴上的角．
综上，角是第四象限角
【小问2详解】
∵，∴，解得．
又角是第四象限角，故，∴．
∴．
19. 已知为第二象限角，且，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】利用同角三角函数的平方关系可求得的值，然后利用三角恒等变换化简可得所求代数式的值.
【详解】解：因为为第二象限角，且，则，
原式.
20. 已知函数
（1）用“五点法”作出在上的简图;
（2）写出的对称中心以及单调递增区间;
（3）求的最大值以及取得最大值时的集合.
【答案】（1）作图见解析；
（2）对称中心，增区间为；
（3）最大值为2, .
【解析】
【分析】（1）根据的范围求出的取值范围，然后按照“列表、描点、连线”的步骤画出函数的图象．
（2）将作为一个整体，并结合正弦函数的相应性质求解．
（3）根据给定条件，结合正弦函数的性质求出函数的最大值作答．
【小问1详解】
由，得，
列表如下：
0
1 2 1 0 1
画出函数的图象，如图：
【小问2详解】
由，得，
因此函数图象的对称中心为，
由，得，
所以函数的递增区间为．
【小问3详解】
当，即时，，
所以函数的最大值为2，此时的集合为．
21. 已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先把函数的关系式通过恒等变换，变形成正弦型函数，进一步利用正弦函数的性质求出结果；
（2）利用函数的关系式，通过三角恒等变换，进一步求出函数的值.
【小问1详解】
令，
所以的单调递增区间为，.
【小问2详解】
，
∵，∴，∴，
∴
.
22. 如图，墙上有一壁画，最高点离地面4米，最低点离地面2米，观察者从距离墙米，离地面高米的处观赏该壁画，设观赏视角
（1）若问：观察者离墙多远时，视角最大？
（2）若当变化时，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）3≤x≤4．
【解析】
【详解】试题分析：（1）利用两角差的正切公式建立函数关系式，根据基本不等式求最值，最后根据正切函数单调性确定最大时取法，（2）利用两角差的正切公式建立等量关系式，进行参变分离得，再根据a的范围确定范围，最后解不等式得的取值范围.
试题解析：（1）当时，过作的垂线，垂足为，
则，且，
由已知观察者离墙米，且，
则，
所以， ，
当且仅当时，取“”．
又因为在上单调增，所以，当观察者离墙米时，视角最大．
（2）由题意得，，又，
所以，
所以，
当时，，所以，
即，解得或，
又因为，所以，
所以的取值范围为．遂宁中学高一数学月考题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 等于
A. B. C. D.
2. 的值是
A. B. C. D.
3. 计算等于
A B. C. D.
4. 已知，，，是第三象限角，则的值是
A. B. C. D.
5. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A. B. C. D.
6. 函数的值域（ ）
A. B. C. D.
7 设，则有
A. B. C. D.
8. 记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A. 1 B. C. D. 3
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列说法错误的是（ ）
A. 钝角是第二象限角 B. 第二象限角比第一象限角大
C. 大于的角是钝角 D. 是第二象限角
10. 给出以下四个命题：
① 若是锐角，则是第一或第二象限角；
② 终边在轴上的角的集合是；
③ 函数在区间上是增函数；
④ 函数不是周期函数；
其中正确的命题是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
11. 计算下列几个式子，
①；②；③；④
结果为的是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
12. 关于函数有如下四个命题：
①的图象关于轴对称． ②的图象关于原点对称．
③图象关于直线对称． ④的最小值为．
其中所有真命题的序号是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 的值为__________________
14. 已知，则______．
15. 定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，其最小正周期为，当时，=_________
16. 关于的函数的最大值为，最小值为 ，且 ，则实数的值为____．
第Ⅱ卷（共90分）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知，求值：
（1） ；
（2）
18. 已知，且有意义．
（1）试判断角是第几象限角；
（2）若角的终边上有一点，且（O为坐标原点），求实数m的值及的值．
19. 已知为第二象限角，且，求的值．
20. 已知函数
（1）用“五点法”作出在上的简图;
（2）写出的对称中心以及单调递增区间;
（3）求的最大值以及取得最大值时的集合.
21. 已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）若，，求的值.
22. 如图，墙上有一壁画，最高点离地面4米，最低点离地面2米，观察者从距离墙米，离地面高米的处观赏该壁画，设观赏视角
（1）若问：观察者离墙多远时，视角最大？
（2）若当变化时，求的取值范围.
