雅安中学2022-2023学年下期高2022级高一（下）月考
数学试题
（考试时间：120分钟 试卷总分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知角的终边经过点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角函数的定义即可得解.
【详解】因为角的终边经过点，
所以.
故选：A.
2. 已知在平行四边形中，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由平面向量的线性运算法则求解．
【详解】四边形是平行四边形，
则，，
两式相减除以2得，
故选：C．
3. 下列各式中，值为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二倍角公式和两角和与差的三角函数公式，结合特殊角三角函数值逐项判断即可.
【详解】，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误，
故选:B.
4. 设函数（），则的奇偶性（ ）
A. 与有关，且与有关 B. 与有关，但与无关
C. 与无关，且与无关 D. 与无关，但与有关
【答案】D
【解析】
【分析】可通过特殊值得出函数的奇偶性，从而得正确选项．
【详解】当时，，，是奇函数，
当时，，，是偶函数，
当时，，，不是奇函数，
，，因此不是偶函数，
即此既不奇函数也不是偶函数．
所以奇偶性与有关，与无关，
故选：D．
5. 函数在区间上的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由奇偶性排除AC；由的解判断BD.
【详解】令，，即函数为偶函数，
图象关于轴对称，故AC错误；
令，即，解得，即该函数在区间上由5个零点，故B正确，D错误；
故选：B
6. 下列选项中错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正弦函数的单调性可判断A，由正弦函数的对称轴可判断B，根据余弦函数的单调性可判断C，由正弦函数的周期及单调性可判断D.
【详解】因为，在上单调递增，
所以，故A正确；
因为，所以比1距离正弦函数的对称轴近，
所以，故B正确；
因为，而，函数在上单调递增，
所以，故C正确；
因为，而，由正弦函数单调性可知，故D错误.
故选：D
7. 若将函数的图像向右平移个单位长度后所得图像关于轴对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由图像平移写出解析式，根据新函数的对称性得，，进而求出范围，结合确定其最小值.
【详解】由函数右移，则，
由关于轴对称，故，，
所以，，又，即，故，
所以，当时.
故选：B
8. 的外接圆圆心为，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设是边中点，由，，，再利用数量积运算律计算可得．
【详解】如图，设是边中点，连接，则，
，
．
故选：A．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图．其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则以下结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据正八边形的性质可知每个中心角为、，结合向量的线性运算即可判断AB；根据垂直向量数量积为0即可判断C；根据直角三角形和向量的线性运算即可判断D.
【详解】A：正八边形被分成8个全等的等腰三角形，
所以每个中心角为，由正八边形的性质可知，
设，则，所以，故A错误；
B：如图，
在正方形中，，
所以，故B错误；
C：由，得，
所以，故C正确；
D：如图，在中，由，，得，
所以，故D正确.
故选：CD.
10. 要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）得到.
A. 先将各点横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位
B. 先将各点横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位
C. 先将各点横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位
D. 先向左平移个单位，再将各点横坐标变为原来的倍
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据三角函数图象变换的知识求得正确答案.
【详解】，
（1）函数的图象，将各点横坐标变为原来的倍，
得到，
再向左平移个单位得到，A选项正确，B选项错误;
（2）函数的图象，将各点横坐标变为原来的倍，
得到，
再右平移个单位得到，C选项正确;
（3）函数的图象，向左平移个单位，
得到，
将各点横坐标变为原来的倍得到，D选项正确.
故选：ACD
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 是偶函数 B. 的最大值为2
C. 在区间上有4个零点 D. 在区间上单调递减
【答案】ABD
【解析】
【分析】分析函数的奇偶性、最值、零点、单调性，对各选项进行逐一判断即可.
【详解】定义域为，
且，
所以是偶函数，故A正确.
，且当时取得等号；
，且当时取得等号，
所以，当时取得等号，
即的最大值为，故B正确；
由是偶函数且，可得在区间上的零点个数必为奇数，故C不正确；
当时，单调递增，故D正确.
故选：ABD.
12. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，设置有12个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要．则下列说法正确的是（ ）
A. 游客距离地面的高度与时间的函数为
B. 摩天轮转动一周，游客距离地面的高度不低于的时间为
C. 经过，游客距离地面
D. 甲乙两人分别坐在两个相邻的座舱，在运行一周的过程中，两人距离地面的高度差的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，设出游客距离地面的高度与时间的函数关系式，根据题意可求得参数，可得，结合余弦函数性质可判断A，B，C；表示出两人距离地面的高度差的表达式，结合两角和的余弦公式以及辅助角公式，求得两人距离地面的高度差的最大值，判断D.
【详解】以摩天轮轴心O为原点，水平线为x轴，垂直于底面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图：
由题意可知O离地面，
设游客距离地面的高度与时间的函数为，
设时，游客位于点处，此时可取，
根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动速度约为，
故，A正确；
摩天轮转动一周，游客距离地面的高度不低于，
即令，
由于，则，
即游客距离地面的高度不低于的时间为，B正确；
当时，（m），C错误；
如图，甲，乙两人的位置分别用点表示，则，
经过后，甲距离地面的高度为，
点B相对A始终落后，此时乙距离地面的高度为，
则甲、乙高度差
,
结合辅助角公式可知h最大值为
（m），D正确，
故选：ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数的定义域为_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据正切函数的定义域求解即可.
【详解】
解得:
故函数 的定义域为
【点睛】本题考查了正切函数的定义域，属于基础题.
14. 已知，，，则向量在向量上的投影向量为__________．
【答案】
【解析】
【分析】求出和即得解.
【详解】∵，又，
∴，又，
所以向量在向量方向上的投影向量为.
故答案为：
15. 已知，则的值是__________．
【答案】##－0.6
【解析】
分析】由二倍角公式求得，然后由诱导公式求解．
【详解】，
．
故答案为：．
16. 已知函数，则在区间内的所有零点之和为__________．
【答案】8
【解析】
【分析】利用诱导公式变形，将的零点转化为方程的根的问题，分类讨论再结合函数的对称性计算即可.
【详解】，
则等价于
若显然上面方程不成立；
当，则可化为
易知和都关于中心对称，如下图所示，在上有8个交点，不妨设其横坐标依次为，则，即所有零点之和为8.
故答案为：8
【点睛】本题考察函数与方程零点问题，属于压轴题.关键在于利用函数的性质，找到其对称中心及区间内的零点个数.
四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （1）已知向量，不共线，向量，，，若A，，三点共线，求实数的值；
（2）已知，，，求．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）由向量加法运算求得，然后由向量共线定理得结论；
（2）由已知结合数量积运算求得，再由，转化为数量积运算后可得结论．
【详解】（1）由题意，又，
A，，三点共线，则共线，
所以存在常数，使得，即，
而向量，不共线，所以，解得；
（2）由已知，
故，
所以，
则．
18. 已知．
（1）化简；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的诱导公式结合同角的三角函数关系化简，即可得答案.
（2）利用二倍角正弦公式，结合齐次式法求值，可得答案.
【小问1详解】
由题意得
.
【小问2详解】
由，可得，
则.
19. 已知函数．
（1）求的最小正周期及对称中心；
（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）最小正周期是，对称中心是，；
（2）．
【解析】
【分析】（1）由两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式化简函数式为一个的角一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质得最小正周期和对称中心；
（2）求出在上的最小值，题设不等式化为恒成立，不大于这个最小值，从而可得的范围．
【小问1详解】
，
所以的最小正周期为，
令，则，∴的对称中心为，；
【小问2详解】
时，，
∴，即时，，即，
，则恒成立，∴，∴．
20. 如图，在正中，，分别是，上的一个三等分点，分别靠近点，点，且，交于点．
（1）用，表示；
（2）求证：．
【答案】（1）；
（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）设，用表示出，然后由向量共线得方程组，解之可得．
（2）计算可得证．
【小问1详解】
设，则，同理，
又由已知得，，
因为与不共线，与共线，与共线，所以，解得，
所以；
【小问2详解】
设正边长为，则，
由（1），
所以，即．
21. 某企业一天中不同时刻的用电量（万千瓦时）关于时间（小时）的函数近似满足（，，）．如图是函数的部分图象对应凌晨0点）．
（1）根据图象，求，，，的值；
（2）由于当地冬季雾霾严重，从环保的角度，既要控制火力发电厂的排放量，电力供应有限，又要控制企业的排放量，于是需要对各企业实行分时拉闸限电措施．已知该企业某日前半日能分配到的供电量（万千瓦时）与时间（小时）的关系可用线性函数模型（）拟合．当供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产．初步预计这一时刻处在中午11点到12点间，为保证该企业即可提前准备应对停产，又可尽量减少停产时间，请从这个初步预计的时间段开始，用二分法将这一时刻所处的时间段精确到15分钟．
【答案】（1）,,,
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数图象，结合函数的周期，以及最值即可求得参数；
（2）由（1）可得函数解析式，令，判断其单调性，结合零点存在定理，即可判断停产时刻的范围，利用二分法即可求得答案.
【小问1详解】
由函数图象知，∴，
，
，代入，得，
则,又,
综上，,,, .
【小问2详解】
由（1）知,
令，
设，则为该企业的停产时间．
当时，，则在上单调递增，
而（）为减函数，
故在上是单调递增函数．
由，
又，
则，即11点到11点30分之间（大于15分钟），
又，
则，即11点15分到1点30分之间（正好15分钟），
故估计在11点15分到11点30分之间的时间段停产．
22. 已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）当时，关于的方程有实根，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角余弦公式集合辅助角公式化简可得的表达式，根据正弦函数性质即可求得答案；
（2）将原问题转化为当时，或有实根问题，结合x的范围，确定的范围，解不等式即可得答案.
【小问1详解】
由题意得，
由，得，
故的单调递增区间为．
【小问2详解】
∵当时，有实根，
∴当时有实根，
所以或有实根，
因为，
则，故，
故或，
故m的取值范围为.雅安中学2022-2023学年下期高2022级高一（下）月考
数学试题
（考试时间：120分钟 试卷总分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知角的终边经过点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知平行四边形中，若，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 下列各式中，值为的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 设函数（），则的奇偶性（ ）
A. 与有关，且与有关 B. 与有关，但与无关
C. 与无关，且与无关 D. 与无关，但与有关
5. 函数在区间上的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
6. 下列选项中错误是（ ）
A. B.
C. D.
7. 若将函数的图像向右平移个单位长度后所得图像关于轴对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 的外接圆圆心为，，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图．其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则以下结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）得到.
A. 先将各点横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位
B. 先将各点横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位
C. 先将各点横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位
D. 先向左平移个单位，再将各点横坐标变为原来倍
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 是偶函数 B. 最大值为2
C. 在区间上有4个零点 D. 在区间上单调递减
12. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，设置有12个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要．则下列说法正确的是（ ）
A. 游客距离地面的高度与时间的函数为
B. 摩天轮转动一周，游客距离地面的高度不低于的时间为
C. 经过，游客距离地面
D. 甲乙两人分别坐在两个相邻的座舱，在运行一周的过程中，两人距离地面的高度差的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数的定义域为_________.
14. 已知，，，则向量在向量上的投影向量为__________．
15. 已知，则的值是__________．
16. 已知函数，则在区间内的所有零点之和为__________．
四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （1）已知向量，不共线，向量，，，若A，，三点共线，求实数的值；
（2）已知，，，求．
18 已知．
（1）化简；
（2）已知，求的值．
19. 已知函数．
（1）求的最小正周期及对称中心；
（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围．
20. 如图，在正中，，分别是，上的一个三等分点，分别靠近点，点，且，交于点．
（1）用，表示；
（2）求证：．
21. 某企业一天中不同时刻的用电量（万千瓦时）关于时间（小时）的函数近似满足（，，）．如图是函数的部分图象对应凌晨0点）．
（1）根据图象，求，，，的值；
（2）由于当地冬季雾霾严重，从环保的角度，既要控制火力发电厂的排放量，电力供应有限，又要控制企业的排放量，于是需要对各企业实行分时拉闸限电措施．已知该企业某日前半日能分配到的供电量（万千瓦时）与时间（小时）的关系可用线性函数模型（）拟合．当供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产．初步预计这一时刻处在中午11点到12点间，为保证该企业即可提前准备应对停产，又可尽量减少停产时间，请从这个初步预计的时间段开始，用二分法将这一时刻所处的时间段精确到15分钟．
22. 已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）当时，关于的方程有实根，求实数的取值范围．
