重庆市辅仁中学校高2025届高一下第一次质量检测数学试卷
考试时间：120分钟 总分：150分
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知复数z在复平面上对应点为，则（ ）
A. B. C. D. 是纯虚数
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的几何意义可求得复数z，再根据复数的模及减法运算结合纯虚数的定义逐一判断即可.
【详解】因为复数z在复平面上对应的点为，
所以，故AC错误；
，故B错误；
，是纯虚数，故D正确.
故选：D.
2. 在△ABC中，∠C=90°，，则与的夹角是 ( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
【答案】C
【解析】
【详解】如图，
作向量，则是 与 的夹角，
在△ABC中，因为， ，
所以，
所以．选C．
3. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设向量，的夹角为，根据得到，联立，得解.
【详解】解：设向量，的夹角为，
，
，即，
所以①，
，为非零向量，且满足②，
联立①②可得，
，
所以两向量的夹角为.
故选：A
4. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据指数幂运算和对数运算得，，，进而借助中间量比较与的大小即可得答案.
【详解】解：因为，，
所以只需比较与的大小即可.
因为，
所以
故选：C
5. 已知是边长为1的正三角形，，，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意画出图像，即可得出，，再得出，代入计算即可得出答案．
【详解】由，可知E为BC中点，所以，如图所示：
因为，根据上图可知
故选：A
6. 若非零向量的夹角为θ，则“θ∈(0)”是“||>||”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
先转化条件，再判断充分性成立和必要性不成立即可解题.
【详解】由题意：
充分性：向量，夹角为，且“是锐角”“”，所以充分性成立；
必要性：当向量，夹角为时，“”成立，但“是锐角”不成立，所以必要性不成立.
所以设向量，夹角为，则“是锐角”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断，在解题的过程中，注意对充分必要条件的定义的正确把握，属于基础题目.
7. 如图，在的内部，为的中点，且，则的面积与的面积的比值为
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【详解】分析：根据平面向量的几何运算可知O为CD的中点，从而得出答案．
详解：∵D为AB的中点，∴
∵
∴
∴O是CD的中点，
∴S△AOC=S△AOD=S△AOB=S△ABC，
故选B．
点睛：本题考查了平面向量的几何运算，属于中档题．解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底．
8. 已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A. 重心 B. 外心 C. 内心 D. 垂心
【答案】D
【解析】
【分析】计算的值，可得出结论.
【详解】因为，
，
，因此，点的轨迹经过的垂心，
故选：D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求．部分选对得2分，全部选对得5分，选错得0分）
9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 与可以作为一组基底
C. D. 与方向相同
【答案】AC
【解析】
【分析】A.利用共线向量定理判断；B. 利用基底的定义判断；C. 利用向量的线性运算求解判断； D. 利用共线向量定理判断；
【详解】A. 因向量，，所以，则，故正确；
B. 由A知：，所以与不可以作为一组基底，故错误；
C. 因为向量，，所以，故正确；
D. 因为向量，，所以，则，所以与方向相反，故错误；
故选：AC
10. 已知为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ）
A. 复数的模
B. 若复数，则（即复数的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限
C. 若复数是纯虚数，则或
D. 对任意的复数，都有
【答案】AB
【解析】
【分析】求解复数的模判断；由共轭复数的概念判断；由实部为0且虚部不为0求得值判断；举例说明错误．
【详解】解：对于，复数的模，故正确；
对于，若复数，则，在复平面内对应的点的坐标为，在第四象限，故正确；
对于，若复数是纯虚数，
则，解得，故错误；
对于，当时，，故错误．
故选：．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题．
11. 下列说法正确的序号是（ ）
A. 偶函数的定义域为，则
B. 一次函数满足，则函数的解析式为
C. 奇函数在上单调递增，且最大值为8，最小值为，则
D. '若集合中至多有一个元素，则或
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A，由偶函数定义域对称解出参数即可；对B，设，则可得，建立方程组求解即可；对C，由单调性得，，由奇偶性得，，即可求解；对D，分别讨论、解的个数即可.
【详解】对A，偶函数的定义域为，，解得，A对；
对B，设一次函数，
则，
∵，，解得或，
函数的解析式为或，B错；
对C，奇函数在上单调递增，且最大值为8，最小值为，
，，，，
，C对；
对D，集合中至多有一个元素，
方程至多有一个解，
当时，方程只有一个解，符合题意；
当时，由方程至多有一个解，可得，解得，
或，D对.
故选：ACD.
12. 给出下列命题，其中错误的选项有（ ）
A. 非零向量，满足且与同向，则
B. 已知且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
C. 若单位向量的夹角为，则当取最小值时，
D. 在中，若，则为等腰三角形
【答案】ABC
【解析】
【分析】A选项，向量具有大小和方向的量，无法比较大小，A错误；B选项，向量夹角为锐角，要满足夹角的余弦大于0且夹角余弦值不等于1，求出且，B错误；C选项，利用向量的数量积运算法则计算得到，得到时，取得最小值，C错误；D选项，从向量的几何意义得到表示的平分线方向上的向量，由三线合一得到是等腰三角形.
【详解】向量无法比较大小，故A错误；
，要想与的夹角为锐角，
则，且，
，且，解得：且，B错误；
，
当时，取得最小值，C错误；
在中，表示方向上的单位向量，表示方向上的单位向量，
则表示的平分线方向上的向量，
由得：的平分线方向上的向量与垂直，
由三线合一可知：，则为等腰三角形，D正确.
故选：ABC
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若正实数满足则的最小值为________________________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用基本不等式即可求解.
【详解】，
，
又，，
，
当且仅当即，等号成立，
.
故答案为：
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
14. 化简________.
【答案】4
【解析】
【详解】，
故答案为4
15. 复数满足：，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】令，，根据条件等式可得且求x，写出复数即可.
【详解】令，，
∴，
∴且，则，故.
故答案为：
16. 如图，在中，已知，点D，E分别在边AB，AC上，且 ，点F为线段DE上的动点，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】设，以为基底，将分别用表示，再结合数量积的运算律把用表示，再结合二次函数的性质即可得解.
【详解】因为，
所以，
设，
则
，
，
则
，
对于，其开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得最大值，
当时，取得最小值，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查了平面向量的线性运算及数量积的运算，以为基底，将分别用表示，是解决本题的关键.
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知向量与的夹角，且．
（1）求
（2）在上的投影向量；
（3）求向量与夹角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出，可求得;
（2）根据投影向量的计算公式计算即可；
（3）利用向量的夹角公式求解即可.
【小问1详解】
，
， 所以；
【小问2详解】
在上的投影向量为∶；
【小问3详解】
，
则，
即向量与夹角的余弦值为．
18. 已知点，且．试问：
（1）t为何值时，点P在坐标轴上
（2）四点O、A、B、P能否成为平行四边形 若能，求出相应的t值，若不能，请说明理由．
【答案】（1）或
（2）不能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据平面向量坐标运算求解，再根据坐标轴的性质列式求解即可；
（2）分四边形OABP，四边形，四边形为平行四边形三种情况讨论，再根据坐标运算判断解的情况即可.
【小问1详解】
由，
得，
则，
若点P在x轴上，则2＋3t＝0，解得，
若点P在y轴上，则1＋3t＝0，解得，
综上，当或时，点P在坐标轴上；
【小问2详解】
若四边形为平行四边形，则，
∴，
∵该方程组无解，
∴四边形OABP不能成平行四边形，
若四边形为平行四边形，则，
，
所以，该方程组无解，
所以四边形不是平行四边形，
若四边形为平行四边形，则，
∴，
∵该方程组无解，
∴四边形OPAB不能成为平行四边形，
综上所述，四点O、A、B、P不能成为平行四边形.
19. 在中，角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若，且的面积为，求的值
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】对问题（1）根据题目条件结合三角形的正弦定理以及，即可求出的值；对问题（2），根据（1）的结论，再结合三角形的面积公式以及余弦定理，即可求出的值．
【详解】（1）∵，
∴，．．
即，
∵，∴ ，则，
（2）∵的面积为，
∴，得
∵，∴ ，
∴，即 ，
∵，∴ ，
20. 如图，在中，，，与交于点.
（1）若，求的值；
（2）设的面积为，的面积为，求的值.
【答案】（1） ；（2）.
【解析】
【分析】（1）由，，三点共线，结合已知条件可得，同理由，，三点共线，可得，从而可得，解方程组可求出的值，进而可求得答案；
（2）延长与交于点，由，，三点共线，可得，由，得，结合（1）可得，所以，求出的值，从而可求出的值.
【详解】（1），
因为，，三点共线，所以，
又因为，则，
同理，因为，，三点共线，所以，
又因为，则，
根据平面向量基本定理，，解得，
所以.
（2）延长与交于点，因为，，三点共线，
所以，
又因为，且，所以，
即，
所以，即，所以，
则.
21. 为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD．其中AB＝3百米，AD＝百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设∠BAD＝，(，)．
（1）当cos＝时，求小路AC的长度；
（2）当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）在△ABD中，由余弦定理可求BD的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinθ，根据正弦定理可求sin∠ADB，进而可求cos∠ADC的值，在△ACD中，利用余弦定理可求AC的值．
（2）由（1）得：BD2＝14﹣6cosθ，根据三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求．SABCD＝7sin（θ﹣φ），结合题意当θ﹣φ时，四边形ABCD的面积最大，即θ＝φ，此时cosφ，sinφ，从而可求BD的值．
【详解】（1）在中，由，
得，又，∴．
∵ ∴
由得：，解得：，
∵是以为直角顶点的等腰直角三角形 ∴且
∴
在中， ，
解得：
（2）由（1）得：，
，此时，，且
当时，四边形的面积最大，即，此时，
∴，即
答：当时，小路的长度为百米；草坪的面积最大时，小路的长度为百米．
【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
22. 已知函数，是函数图象上的一点，M，N是函数图象上一组相邻的最高点和最低点，在x轴上存在点T，使得，且四边形PMTN的面积的最小值为
（1）求函数的解析式;
（2）若，，求；
（3）已知，过点H的直线交PM于点Q，交PN于点K，，，问是否是定值？若是，求出定值，若不是，说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）是定值，
【解析】
【分析】（1）先求得的最小正周期，由此求得，根据点坐标求得，从而求得的解析式.
（2）通过化简来求得的值.
（3）以为平面一组基底表示向量，根据和共线列方程，化简求得.
【小问1详解】
因为M，N是函数图象上一组相邻最高点和最低点，
故MN的中点在x轴上，且为函数的一个零点，因为，
故四边形PMTN为平行四边形，
平行四边形PMTN的面积最小时，为一个周期长度，
平行四边形PMTN的面积，所以，
故，解得.
所以，
，，
所以，所以.
【小问2详解】
由，得：，
即，因为，
所以.
小问3详解】
存在定值3，使得，原因如下：
因为，，
，
因为和共线，所以，
即，
，整理得，即重庆市辅仁中学校高2025届高一下第一次质量检测数学试卷
考试时间：120分钟 总分：150分
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知复数z在复平面上对应点为，则（ ）
A. B. C. D. 是纯虚数
2. 在△ABC中，∠C=90°，，则与夹角是 ( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
3. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知是边长为1的正三角形，，，则（ ）
A. B. C. D. 1
6. 若非零向量的夹角为θ，则“θ∈(0)”是“||>||”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 如图，在的内部，为的中点，且，则的面积与的面积的比值为
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8. 已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A. 重心 B. 外心 C. 内心 D. 垂心
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求．部分选对得2分，全部选对得5分，选错得0分）
9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 与可以作为一组基底
C D. 与方向相同
10. 已知为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ）
A. 复数的模
B. 若复数，则（即复数的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限
C. 若复数是纯虚数，则或
D. 对任意的复数，都有
11. 下列说法正确的序号是（ ）
A. 偶函数的定义域为，则
B. 一次函数满足，则函数的解析式为
C. 奇函数在上单调递增，且最大值为8，最小值为，则
D. '若集合中至多有一个元素，则或
12. 给出下列命题，其中错误的选项有（ ）
A 非零向量，满足且与同向，则
B. 已知且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
C. 若单位向量的夹角为，则当取最小值时，
D. 在中，若，则等腰三角形
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若正实数满足则的最小值为________________________．
14. 化简________.
15. 复数满足：，则__________.
16. 如图，在中，已知，点D，E分别在边AB，AC上，且 ，点F为线段DE上的动点，则的取值范围是________．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知向量与的夹角，且．
（1）求
（2）在上的投影向量；
（3）求向量与夹角的余弦值．
18. 已知点，且．试问：
（1）t为何值时，点P在坐标轴上
（2）四点O、A、B、P能否成为平行四边形 若能，求出相应的t值，若不能，请说明理由．
19. 在中，角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若，且的面积为，求的值
20. 如图，在中，，，与交于点.
（1）若，求的值；
（2）设的面积为，的面积为，求的值.
21. 为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD．其中AB＝3百米，AD＝百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设∠BAD＝，(，)．
（1）当cos＝时，求小路AC的长度；
（2）当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度．
22. 已知函数，是函数图象上的一点，M，N是函数图象上一组相邻的最高点和最低点，在x轴上存在点T，使得，且四边形PMTN的面积的最小值为
（1）求函数的解析式;
（2）若，，求；
（3）已知，过点H的直线交PM于点Q，交PN于点K，，，问是否是定值？若是，求出定值，若不是，说明理由.
