铜梁中学2025级三月月考试题
一、单选题
1. 已知集合，则下列集合与P相等的是（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】分别判断各选项表示终边的位置即可得出答案.
【详解】集合P表示终边在坐标轴上的角的集合，
A选项，表示终边在轴的角的集合，
B选项，表示终边在轴的角的集合，
C选项，表示终边在轴非负半轴的角的集合，
D选项，表示终边在坐标轴的角的集合，
故选：D.
2. 已知扇形面积为，半径是1，则扇形的圆心角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据扇形面积公式即可求出.
【详解】设扇形圆心角为，
则，即，解得.
故选：C.
3. 如果角的终边过点，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先计算三角函数值得，再根据三角函数的定义求解即可.
【详解】解：由题意得，它与原点的距离，
所以.
故选：C.
4. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为的水车，一个水斗从点，出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过秒后，水斗旋转到点，设的坐标为，其纵坐标满足，，．则下列叙述错误的是（ ）
A.
B. 当，时，点到轴的距离的最大值为6
C. 当，时，函数单调递减
D. 当时，
【答案】C
【解析】
【分析】求出各变量的值得选项A正确；点到轴的距离的最大值为6，故选项B正确；函数在，不是单调递减，故选项C不正确；，故选项D正确.
【详解】对于选项A,由题意，，，，
点，代入可得，，．故选项正确；
对于选项B，，当，时，，，点到轴的距离的最大值为6，故选项B正确；
对于选项C，当，时，，，函数不是单调递减，故选项C不正确；
对于选项D，当时，，的纵坐标为6，，故选项D正确.
故选：C．
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是判断选项C的真假，直接利用复合函数的单调性判断效率比较高. 当，时，，，函数不是单调递减. 如果直接求函数的单调递减区间就比较复杂.
5. 如图是函数的部分图象，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图象确定最小正周期求得，利用点的坐标求得，结合诱导公式及可判断出答案.
【详解】由图像可知,
将代入中得，
因为，故，
所以，
故选：C
6. 若，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意求得和的值，结合两角差的余弦公式，即可求解.
【详解】由题意，可得，，
因为，，可得，，
则
.
故选：C.
7. （ ）
A. 2 B. －2 C. 1 D. －1
【答案】D
【解析】
【分析】利用切化弦，三角恒等变换，逆用两角差的正弦公式，二倍角公式，诱导公式化简求值.
【详解】
故选: D
8. 设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的最小值为（ ）.
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由正弦函数的性质得当区间关于函数的图象对称轴对称时，取得最小值，不妨设y取得最大值，求得，再代入求得函数的最小值，由此可得答案.
【详解】解：因为函数，所以其最小正周期为，而区间的区间长度是该函数的最小正周期的，
因为函数在区间上的最大值为，最小值为，
所以当区间关于它的图象对称轴对称时，取得最小值，对称轴为，此时函数有最值，
不妨设y取得最大值，则有，所以，
解得，得，
所以，
所以的最小值为，
故选：D.
二、多选题
9. 关于函数的下述四个结论正确的是（ ）
A. 是偶函数 B. 在区间单调递增
C. 在有4个零点 D. 的最大值为2
【答案】AD
【解析】
【分析】化简为，由此作出函数的图象，结合图象一一判断各选项，可得答案.
【详解】由题意函数，
作出其图象如图：
由图象可知是偶函数，A正确；
在区间单调递减，B错误；
在有3个零点，C错误；
的最大值为2，D正确；
故选：AD
10. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据三角函数的二倍角的余弦和正切公式计算，即可判断A，C；根据同角的三角函数关系以及诱导公式和二倍角公式化简可判断B；由两角和的正切公式化简可判断D.
【详解】，A正确；
，B正确；
，C错误；
因为，
故，
所以，D正确，
故选：ABD
11. 已知函数的图象是由函数的图象，横坐标缩短为原来的，然后再向右平移个单位得到，则（ ）
A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增
C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称
【答案】AD
【解析】
【分析】根据三角函数的图像变换求得，利用正弦函数的性质一一判断求解即可.
【详解】函数的图象，横坐标缩短为原来的，可得，
然后再向右平移个单位得到，可得，
的最小正周期为,A正确；
令，解得，
所以在区间上单调递增，而，
所以在区间上先减后增，B错误；
，
所以的图象不关于直线对称，C错误；
，所以的图象关于点对称，D正确，
故选:AD.
12. 函数在内有唯一零点的充分条件是（ ）
A. 的最小正周期为π B. 在内单调
C. 在内有且仅有一条对称轴 D. 在内的值域为
【答案】AD
【解析】
【分析】求出在内有唯一零点的的范围，再逐项分析即可判断作答.
【详解】函数，当时，，
依题意，内有唯一零点，当且仅当，解得，
对于A，的最小正周期为π，则，符合题意，A正确；
对于B，当在内单调时，必有，解得，不符合题意，B不正确；
对于C，因在内有且仅有一条对称轴，则，解得，
显然当时，不能确保有，即C不正确；
对于D，因在内的值域为，则必有，解得，符合题意，D正确.
故选：AD
三、填空题
13. 若，则____________.
【答案】##0.6
【解析】
【分析】，根据三角函数诱导公式即可求解.
【详解】＝.
故答案为：.
14. 已知函数满足条件：的最小正周期为，且，则函数的解析式是___________
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的周期和对称轴求得参数，即可得函数解析式.
【详解】由的最小正周期为，即 ，得，
由，得函数关于对称，
则，得，
因为，故取时，，
即，
故答案为：
15. 当时，函数取得最大值，则______.
【答案】0
【解析】
【分析】由辅助角公式得（其中），由此可得当时，函数取得最大值，即，然后将代入中化简可得答案
【详解】解：
（其中），
所以当时，函数取得最大值，
即，
所以，
所以
，
故答案为：0
16. 设函数.
（1）若，则___________
（2）函数的值域为__________
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）利用完全平方公式结合同角的三角函数关系以及二倍角正弦公式化简求值，即可求得答案；
（2）利用完全平方公式结合同角的三角函数关系以及二倍角正弦公式化简，再结合二次函数性质即可求得答案.
【详解】（1）由题意可得，
即，即，
故.
（2）
，
令，则令，
在上单调递减，故，
故.
故答案为：；
四、解答题
17. 已知角的终边上一点，且
（1）求值
（2）化简
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据角的终边上的一点的坐标结合三角函数定义求出m，即可求得答案.
（2）利用三角函数诱导公式化简，可得答案
【小问1详解】
由题意角的终边上一点，且，
则，解得,
故.
【小问2详解】
.
18. 已知 都是锐角
（1）求的值
（2）求的值
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】(1)利用同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式，两角和的正切公式求解即可；
(2) 利用同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式、正切公式求解即可.
【小问1详解】
因为是锐角，，所以，
所以，则，
所以.
【小问2详解】
由（1）可知，，
因为 都是锐角，所以，且，
所以，
因为解得，
所以
.
19. 设函数
（1）解不等式
（2）设函数，求出函数的值域，并指出它的最小正周期
【答案】（1）
（2）函数的值域为，最小正周期为.
【解析】
【分析】（1）根据正弦函数的性质即可求解正弦不等式；
（2）化简，作出其图像，由此可求得答案.
【小问1详解】
不等式即，
则，
即的解集为.
【小问2详解】
由题意得，
,
画出函数图象如图所示：
故该函数的值域为，最小正周期为.
20. 如图，点分别是圆心在原点，半径为和的圆上的动点.动点从初始位置开始，按逆时针方向以角速度做圆周运动，同时点从初始位置开始，按顺时针方向以角速度做圆周运动.记时刻，点的纵坐标分别为.
（Ⅰ）求时刻，两点间的距离；
（Ⅱ）求关于时间的函数关系式，并求当时，这个函数的值域.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】（Ⅰ）首先确定时刻两点的坐标及的长度、夹角，再利用两点距离公式或余弦定理求解；（Ⅱ）根据三角函数的定义先确定与的函数关系式，从而得到所求函数关系式，再利用两角和与差的三角函数公式将函数关系式化成（或）的形式，最后根据三角函数图像确定值域.
【详解】（Ⅰ）时，，所以，
又，所以，
即两点间的距离为.
（Ⅱ）依题意，，，
所以，
即函数关系为，
当时，，所以，.
【点睛】考查余弦定理、三角函数的定义、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图像，考查函数思想、数形结合思想，突显了数学建模的考查.
21 已知函数，．
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）求方程在内的所有实数根之和．
【答案】（1）最小正周期为，增区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等化简函数解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期，解不等式可得出函数的增区间；
（2），数形结合可知函数与函数在上的图象有个交点，利用对称性可求得这个交点横坐标之和，进而可求得方程在内的所有实数根之和.
【小问1详解】
解：
，
所以，函数的最小正周期为，
由得，
所以，函数的单调递增区间为.
【小问2详解】
解：当时，，令，
作出函数与函数在上的图象如下图所示：
可知函数与函数在上的图象有个交点，
设这四个交点的横坐标由小到大依次为、、、，设，
故方程在内有四个不等的实根、、、，
由图可知，点、关于直线对称，点、关于直线对称，
所以，，
解得.
22. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象.
（1）若为偶函数，，求的取值范围.
（2）若在上是单调函数，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）化简得到，得到，根据偶函数得到，化简得到，代入数据得到答案.
（2）计算，根据单调性得到，计算得到答案.
【详解】解：（1）
∴
又为偶函数，则，∵，∴
∴
∵，∴
又，∴的取值范围为.
（2）∵，∴
∵，∴，
∵在上是单调函数，∴
∴.
【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，单调性，取值范围，意在考查学生的计算能力和对于三角函数公式性质的灵活运用.铜梁中学2025级三月月考试题
一、单选题
1. 已知集合，则下列集合与P相等的是（ ）
A. B.
C. D. 或
2. 已知扇形面积为，半径是1，则扇形的圆心角是（ ）
A. B. C. D.
3. 如果角的终边过点，则的值等于（ ）
A B. C. D.
4. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为的水车，一个水斗从点，出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过秒后，水斗旋转到点，设的坐标为，其纵坐标满足，，．则下列叙述错误的是（ ）
A.
B. 当，时，点到轴的距离的最大值为6
C. 当，时，函数单调递减
D. 当时，
5. 如图是函数的部分图象，则（ ）
A. B.
C D.
6. 若，，，，则（ ）
A. B. C. D.
7. （ ）
A 2 B. －2 C. 1 D. －1
8. 设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的最小值为（ ）.
A. 1 B. C. D.
二、多选题
9. 关于函数的下述四个结论正确的是（ ）
A. 是偶函数 B. 在区间单调递增
C. 在有4个零点 D. 的最大值为2
10. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知函数的图象是由函数的图象，横坐标缩短为原来的，然后再向右平移个单位得到，则（ ）
A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增
C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称
12. 函数在内有唯一零点的充分条件是（ ）
A. 的最小正周期为π B. 在内单调
C. 在内有且仅有一条对称轴 D. 在内的值域为
三、填空题
13. 若，则____________.
14. 已知函数满足条件：的最小正周期为，且，则函数的解析式是___________
15. 当时，函数取得最大值，则______.
16. 设函数.
（1）若，则___________
（2）函数的值域为__________
四、解答题
17. 已知角的终边上一点，且
（1）求的值
（2）化简
18. 已知 都是锐角
（1）求值
（2）求的值
19. 设函数
（1）解不等式
（2）设函数，求出函数的值域，并指出它的最小正周期
20. 如图，点分别是圆心在原点，半径为和的圆上的动点.动点从初始位置开始，按逆时针方向以角速度做圆周运动，同时点从初始位置开始，按顺时针方向以角速度做圆周运动.记时刻，点的纵坐标分别为.
（Ⅰ）求时刻，两点间的距离；
（Ⅱ）求关于时间的函数关系式，并求当时，这个函数的值域.
21. 已知函数，．
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）求方程在内的所有实数根之和．
22. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象.
（1）若为偶函数，，求取值范围.
（2）若在上是单调函数，求的取值范围.
