2.5.1直线与圆的位置关系 教案

《直线与圆的位置关系》教学设计
一、教学目标：
1．知识目标：掌握判断直线与圆的位置关系的两种方法；解决与位置关系相关
的问题，如，弦长、切线方程等；
2．能力目标：能够几何问题代数化，代数问题几何化；
3．情感目标：形成“数学是相互联系、统一的整体”的数学观。
二、教学重点、难点：
重点：掌握几何法和解析法判断直线与圆的位置关系
难点：灵活运用“数形结合”来解决直线与圆的位置关系
三、教学方法
探究式教学法、讲练结合、情景教学
四、学情分析
通过初中的学习，直线与圆的位置关系已有感性认识，学生已经知道直线与
圆有三种位置关系，并且从直线与圆的直观感受上，学生已经懂得“利用直线与
圆的交点的个数及圆心到直线的距离与圆的半径的大小比较”来研究直线与圆的
位置关系。
高中要求学生能够利用直线与圆的方程，定量来进行判断 ，解决问题的主
要方法是解析法,而解析法的思想方法学生不熟悉 。本节课，学生将进一步挖掘
直线与圆的位置关系中的“数”的关系。
五、教学过程
1.情景导入
借用“大漠孤烟直，长河落日圆”引出日落情景，把太阳比做圆，地平面作
为水平线，引出本节课题内容：直线与圆的三种位置关系。
2. 引入课题
引导探究:通过几何画图，观察直线与圆的位置关系，进而引出判断直线与圆
的位置关系。
（1）直线与圆的位置关系
圆与直线的交点个数： 几何判定法：
(1)直线与圆__相交__，有两个公共点； 设 r为圆的半径，d为圆心到直线的距离：
(2)直线与圆__相切__，只有一个公共点； (1)d>r 圆与直线__相离__；
(3)直线与圆__相离__，没有公共点． (2)d＝r 圆与直线__相切__；
(3)dAx＋By＋C＝0
代数判定法： 由 消元，得到一元二次方程的判别式Δ，则
x－a 2＋ y－b 2＝r2
(1)Δ>0 直线与圆__相交__；
(2)Δ＝0 直线与圆__相切__；
(3)Δ<0 直线与圆__相离__．
2
例 1：下列直线方程中，与圆 (x 1) (y 2)2 5 相切的是 （ A ）
A. 2x - y 1 0 B.2x - y -1 0
C. 2x y 1 0 D.2x y -1 0
【2020年真题体验】
20.设直线 y x m 与曲线 x2 y2 1(x 0)有公共点，则实数m 的取值范围（ D ）
A. 2, 2 B. 1,1
C. 1, 2 D. 2,1
(2) 求圆的切线长和弦长
弦长求法：设直线 l的方程为 ax 2 2＋by＋c＝0，圆 O 的方程为(x－x0) ＋(y－y0)
＝r2 由圆的性质知，过圆心 O作 l的垂线，垂足 C为线段 AB 的中点．在 Rt△OCB
2 2 2 2 2
中，|BC| ＝r －d ，则弦长|AB|＝2|BC|＝2 r －d ．
2 2 2
切线长求法：若圆C : (x a) (y b) r ，则过圆外一点 P(x0 , y0 ) 的切线长
d (x0 a)
2 (y0 b)
2 r 2
例2 ：直线 x 2y 5 5 0 2 2被圆 x y 2x 4y 0 截得的弦长为 ( C )
A. 1 B.2
C. 4 D.4 6
【2018年真题体验】
30.(本题 9分）已知圆 (0, 2)的圆与直线 x y 4 0 相切
（1）求圆的标准方程；（4 分）
（2）求 x轴所截得的弦长。（5 分）
(3) 求圆的切线方程
求过某一点的圆的切线方程：
(1)点 (x0 , y0 ) 在圆上.
1
①先求切点与圆心连线的斜率 k，再由垂直关系得切线的斜率为 ，由点斜式
k
可得切线方程.
②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程 y y0 或 x x0 .
(2)点 (x0 , y0 ) 在圆外.
① 设切线方程为 y y0 k (x x0 )，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可
求得 k，也就得切线方程.
②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为 x x0，因为在上面解法中不
包括斜率不存在的情况.
例 3 求经过点 A(5，1)与圆 x2 y2 25 相切的切线方程．
【2018年真题体验】
30.(本题 9分）已知圆，过点 P(0, 4) 的直线 l与圆C相切，求
（1）求圆C的圆心坐标和半径；（3分）
（2）直线 l的方程 。（6分）
五、课堂小结
1.知识清单：
(1)直线与圆的三种位置关系.
(2)弦长和切线长公式.
(3)圆的切线方程.
2.方法归纳：几何法、代数法、弦长公式法.
3.常见误区：求直线方程时忽略直线斜率不存在的情况.
六、课后作业
课后习题
七、板书设计
直线与圆的位置关系
1、如何判断直线与圆的位置关系
（1）几何法
（2）解析法
2、关于直线与圆的一些简单应用
（1）求弦长 （2）求切线 （2）求切线方程