导数专项训练三：利用导数求函数的极值-2022-2023学年高二下学期数学选修2-2（含答案）

导数专项训练三：利用导数求函数的极值
1、求下列函数的极值
（1）
（2）
（3）
2、函数的极大值为，则
3.设 ，若为函数的极小值点，则（ ）
A． B． C． D．
4、已知在时取得极值，且
（1）求常数的值. (2)试判断是函数的极大值点还是极小值点。
5、已知，函数有极大值 ,求
6、设函数（其中为常数）在定义域内既有极大值，又有极小值，求的取值范围．
7、若函数在处取得极小值，求的取值范围．
8、设函数在处取得极值，则的值为（ ）
A、1 B、3 C、0 D、2
9.在①，；②，；③在处的切线方程为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中求解．
已知函数，且______．
（1）求、的值；
（2）求函数的极小值．
10.处于信息化时代的现代社会，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”是数学中的正弦型函数.已知某一类型信号的波形可以用和进行叠加生成，即生成的波形对应函数解析式为.若，讨论在上的单调性，并判断其极值点的个数（提示：）；
11.讨论函数的极值点个数．
参考答案
导数专项训练三：利用导数求函数的极值
1、求下列函数的极值
（1）
答案:极大值57 极小值-7
（2）
答案:极大值 极小值0
（3）
答案:极大值1 极小值-1
2、函数的极大值为，则
【分析】令f′（x）＝0，可得 x＝0 或 x＝6，根据导数在 x＝0和 x＝6两侧的符号，判断故f（0）为极大值，从而得到 f（0）＝a＝6．
【解析】∵函数f（x）＝2x3﹣3x2+a，导数f′（x）＝6x2﹣6x，令f′（x）＝0，可得 x＝0 或 x＝1，
导数在 x＝1 的左侧小于0，右侧大于0，故f（1）为极小值．
导数在 x＝0 的左侧大于0，右侧小于0，故f（0）为极大值．f（0）＝a＝6．
3.设 ，若为函数的极小值点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，
若 ， 是开口向下的抛物线，x=m是极小值点，
必有 ，即 ，
若 ， 是开口向上的抛物线，x=m是极小值点，
必有，即；故选：C.
4、已知在时取得极值，且
（1）求常数的值. (2)试判断是函数的极大值点还是极小值点。
【分析】（1）结合列方程组，由此求得的值.
（2）利用导数研究的单调性、极值点、极值.
【解析】（1）＝3ax2＋2bx＋c.∵x＝±1是函数f(x)的极值点，∴x＝±1是方程＝3ax2＋2bx＋c＝0的两根，
由根与系数的关系，得，又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.③
由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.
（2）f(x)＝x3－x，∴＝x2－＝(x－1)(x＋1)，当x<－1或x>1时，>0，当－1∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1，1)上是减函数，
∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1，当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.
5、已知，函数有极大值 ,求
【解析】
当时,,
当时,,
不合题意,故
6、设函数（其中为常数）在定义域内既有极大值，又有极小值，求的取值范围．
【解析】，
∵函数在定义域内既有极大值，又有极小值，∴有两个正根，
即有两个正根、，
所以，，解得，
∴的取值范围为．
7、若函数在处取得极小值，求的取值范围．
【解析】．
若，则当时，；
当时，．所以在处取得极小值．
若，则当时，，，
所以．所以2不是的极小值点．
综上可知，的取值范围是．
8、设函数在处取得极值，则的值为（ ）
A、1 B、3 C、0 D、2
【详解】由题意可得：f′(x)=sinx+xcosx；∵f(x)在x=x0处取得极值；
∴f′(x0)=sinx0+x0cosx0=0；∴，
则：.本题选择D选项.
点睛：处理三角函数问题时要注意公式的变形应用，如sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α及sin α＝tan α·cos α等．这是解题中常用到的变形，也是解决问题时简化解题过程的关键所在
9.在①，；②，；③在处的切线方程为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中求解．
已知函数，且______．
（1）求、的值；
（2）求函数的极小值．
【解析】（1）方案一：选择①，，则，
由已知可得，解得；
方案二：选择②，，则，
由已知可得，解得；
方案三：选择③，，则，
因为函数在处的切线方程为，
所以，，解得；
（2）由（1）得，，
由得：，，列表如下：
极大值 极小值
所以，函数的极小值为.
10.处于信息化时代的现代社会，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”是数学中的正弦型函数.已知某一类型信号的波形可以用和进行叠加生成，即生成的波形对应函数解析式为.若，讨论在上的单调性，并判断其极值点的个数（提示：）；
【解析】因为，所以，
因此，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
因此是函数的极大值点，是函数的极小值点，
综上所述：函数的单调递增区间为，，单调递增区间为，，有三个极值点；
11.讨论函数的极值点个数．
【解析】 (1)，
①当时，，所以在上单调递增，无极值．
②当时，令，得，
当时，；当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
此时只有一个极值点，
综上所述，当时，在上无极值点；
当时，函数在上只有一个极值点．