导数专项训练十三：双变量问题-2022-2023学年高二下学期数学选修2-2（含解析）
文档属性
| 名称 | 导数专项训练十三：双变量问题-2022-2023学年高二下学期数学选修2-2（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 649.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-04-03 21:23:24 | ||
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文档简介
专题训练：双变量问题
一.主元变更法
1．设函数．
（1）若，讨论函数的单调性；
（2）当时，若不等式对所有的，恒成立，求实数的取值范围．
二.双变量为极值点
2.已知函数.
（1）若函数为函数的导函数，讨论函数的单调性；
（2）若函数的两个极值点分别为且，若不等式恒成立，求实数的取值范围；
3．已知.
（1）讨论函数_f(x)的单调性；
（2）若 ，且有2 个不同的极值点 ，求证：
三、双变量为零点问题
4.已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)若的两个分别为，证明：.
四.可分离的双变量问题
5．已知函数
（I）当时，求函数的单调区间；
（II）当时，若对于区间上的任意两个不相等的实数，都有成立，求实数的取值范围.
五.能化为最值的双变量问题
6．设函数，．
（1）求函数的单调性；
（2）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围．
参考答案
专题训练：双变量问题
参考答案：
一.主元变更法
1．设函数．
（1）若，讨论函数的单调性；
（2）当时，若不等式对所有的，恒成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）求导函数，分和两种情况讨论导函数的符号，从而得原函数的单调性；
（2）由题可得出对所有的的都成立，从而令，根据一次函数的单调性可得，再令，求导，分析其导函数的符号，得出函数的单调性，从而有，得出答案.
【解析】（1）若，，则，
当时，，所以函数在上单调递减，
当时，令，得（负值舍去），当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减；
（2）当时，.若不等式对所有的都成立，则对所有的都成立，即,对所有的都成立，
令，则为一次函数，，
，，在上单调递增，
，对所有的都成立，
令，则，因为，所以，所以函数在单调递减，所以， ，所以实数的取值范围为.
【方法点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.
二.双变量为极值点
2.已知函数.
（1）若函数为函数的导函数，讨论函数的单调性；
（2）若函数的两个极值点分别为且，若不等式恒成立，求实数的取值范围；
【分析】求出函数的导函数，分时，时，两种情况讨论，根据导函数的符号即可得出函数的单调性；
（2）由（1）知的两个极值点是方程的两根，则，则，则可得，令，，得，则等价于对任意的恒成立，令，求出函数的最小值，从而可得答案.
【解析】（1）由题知，则，
当时，对恒成立，∴在上单调递减，
当时，，则，
时，，∴在上单调递增，
时，，∴在上单调递减，
综上：当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）由（1）知的两个极值点是方程的两根，即，
∴，则可得，令，由知道，
∴，，解得，
∴等价于对任意的恒成立，
令，则，
当时，在单调递减，则，
所以在上单调递增，则不成立，舍去.
当时，令，
则，
当时，则，则在上单调递增，所以，
∴在上单调递减，则成立，
当时，时，，时，，
所以在上递增，在上递减，
对任意，，
所以在上单调递增，所以与题设矛盾舍去，
综上：.
3．已知.
（1）讨论函数_f(x)的单调性；
（2）若 ，且有2 个不同的极值点 ，求证：
【解析】（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，即可判断的单调性；
（2）①方法一：根据导数与函数极值的关系，求得和的关系，因此可以求得的取值范围；
方法二：根据方法一求得和的关系，根据函数的零点存在定理求得的取值范围；
②根据①可知，表示出，消元，根据的取值范围和函数的单调性即可求得
【详解】（1），求导，，
①当时，，所以在上单调递增；
②当时，，，单调递减，
当时，，单调递增，
综上可知，时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）①方法一：因为＝，
所以，有个不同的极值点，，
则，是方程＝的两个根，由，得＝，
且＝，＝，结合，可得，由，
得，所以，
方法二：因为＝，
所以，有个不同的极值点，，
则，是方程＝的两个根，由，得＝，
且＝，＝，结合，可得，
设＝＝，因为，＝，
由零点存在定理得；
②，
设，，
求导，，，
故＝在单调递减，，
所以
三、双变量为零点问题
4.已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)若的两个分别为，证明：.
【解析】 (1)令，则在上恒成立，
所以在，上单调递增，所以，即在上恒成立.
当时，要证，即证，
又，所以只需证，即.
令，则.
令，解得，令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，故.
所以.
(2)由题意知，两式相加得，
两式相减得，即.
所以，
即.显然，记，
令，则.
所以在上单调递增，则，
所以，则，即.
所以，
所以，
所以，即.
令，则时，，
所以在上单调递增，又，故.
所以，
所以，则，即
四.可分离的双变量问题
5．已知函数
（I）当时，求函数的单调区间；
（II）当时，若对于区间上的任意两个不相等的实数，都有成立，求实数的取值范围.
试卷第1页，共3页
【分析】（I）将代入，求出的解析式，求出，求单调区间（II）求出的单调性，将绝对值去掉后得，构造新函数，这样就知道了函数的单调性，分离参量求导，得实数的取值范围
【详解】（I）当时，，定义域为..
令得，解得，令得，
解得，
因此的单调递增区间是，单调递减区间是.
（II）不妨设.
因为，所以，因此在上单调递增，即.
又因为在上也单调递增，所以.
所以不等式即为，
即，
设，即，
则，因此在上单调递减.
于是在上恒成立，
即在上恒成立.
令，则，
即在上单调递增，因此在上的最小值为，
所以，
故实数的取值范围是.
五.能化为最值的双变量问题
6．设函数，．
（1）求函数的单调性；
（2）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）对函数求导，分类讨论即可求出它的单调性；（2）先求出在上的最大值，则在恒成立，然后可转化为在上恒成立，求出在的最大值，即可求出的取值范围．
【解析】（1）因为，
当时，，函数在上单调递增；
当时，令，得，此时，函数在单调递减，在单调递增.
（2）由 得，由 得或，
因为，所以在单调递减，在单调递增，
又因为，所以，
由题意，可转化为在上恒成立，
即在上恒成立，
设，因为
令，则
显然时，，所以在在单调递减，
又因为，故当时，，时，，
即当时，时，，
所以，函数在区间单调递增，在区间上单调递减
所以，
故时，在上恒成立，
即对任意的，都有成立，实数的取值范围是.
一.主元变更法
1．设函数．
（1）若，讨论函数的单调性；
（2）当时，若不等式对所有的，恒成立，求实数的取值范围．
二.双变量为极值点
2.已知函数.
（1）若函数为函数的导函数，讨论函数的单调性；
（2）若函数的两个极值点分别为且，若不等式恒成立，求实数的取值范围；
3．已知.
（1）讨论函数_f(x)的单调性；
（2）若 ，且有2 个不同的极值点 ，求证：
三、双变量为零点问题
4.已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)若的两个分别为，证明：.
四.可分离的双变量问题
5．已知函数
（I）当时，求函数的单调区间；
（II）当时，若对于区间上的任意两个不相等的实数，都有成立，求实数的取值范围.
五.能化为最值的双变量问题
6．设函数，．
（1）求函数的单调性；
（2）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围．
参考答案
专题训练：双变量问题
参考答案：
一.主元变更法
1．设函数．
（1）若，讨论函数的单调性；
（2）当时，若不等式对所有的，恒成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）求导函数，分和两种情况讨论导函数的符号，从而得原函数的单调性；
（2）由题可得出对所有的的都成立，从而令，根据一次函数的单调性可得，再令，求导，分析其导函数的符号，得出函数的单调性，从而有，得出答案.
【解析】（1）若，，则，
当时，，所以函数在上单调递减，
当时，令，得（负值舍去），当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减；
（2）当时，.若不等式对所有的都成立，则对所有的都成立，即,对所有的都成立，
令，则为一次函数，，
，，在上单调递增，
，对所有的都成立，
令，则，因为，所以，所以函数在单调递减，所以， ，所以实数的取值范围为.
【方法点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.
二.双变量为极值点
2.已知函数.
（1）若函数为函数的导函数，讨论函数的单调性；
（2）若函数的两个极值点分别为且，若不等式恒成立，求实数的取值范围；
【分析】求出函数的导函数，分时，时，两种情况讨论，根据导函数的符号即可得出函数的单调性；
（2）由（1）知的两个极值点是方程的两根，则，则，则可得，令，，得，则等价于对任意的恒成立，令，求出函数的最小值，从而可得答案.
【解析】（1）由题知，则，
当时，对恒成立，∴在上单调递减，
当时，，则，
时，，∴在上单调递增，
时，，∴在上单调递减，
综上：当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）由（1）知的两个极值点是方程的两根，即，
∴，则可得，令，由知道，
∴，，解得，
∴等价于对任意的恒成立，
令，则，
当时，在单调递减，则，
所以在上单调递增，则不成立，舍去.
当时，令，
则，
当时，则，则在上单调递增，所以，
∴在上单调递减，则成立，
当时，时，，时，，
所以在上递增，在上递减，
对任意，，
所以在上单调递增，所以与题设矛盾舍去，
综上：.
3．已知.
（1）讨论函数_f(x)的单调性；
（2）若 ，且有2 个不同的极值点 ，求证：
【解析】（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，即可判断的单调性；
（2）①方法一：根据导数与函数极值的关系，求得和的关系，因此可以求得的取值范围；
方法二：根据方法一求得和的关系，根据函数的零点存在定理求得的取值范围；
②根据①可知，表示出，消元，根据的取值范围和函数的单调性即可求得
【详解】（1），求导，，
①当时，，所以在上单调递增；
②当时，，，单调递减，
当时，，单调递增，
综上可知，时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）①方法一：因为＝，
所以，有个不同的极值点，，
则，是方程＝的两个根，由，得＝，
且＝，＝，结合，可得，由，
得，所以，
方法二：因为＝，
所以，有个不同的极值点，，
则，是方程＝的两个根，由，得＝，
且＝，＝，结合，可得，
设＝＝，因为，＝，
由零点存在定理得；
②，
设，，
求导，，，
故＝在单调递减，，
所以
三、双变量为零点问题
4.已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)若的两个分别为，证明：.
【解析】 (1)令，则在上恒成立，
所以在，上单调递增，所以，即在上恒成立.
当时，要证，即证，
又，所以只需证，即.
令，则.
令，解得，令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，故.
所以.
(2)由题意知，两式相加得，
两式相减得，即.
所以，
即.显然，记，
令，则.
所以在上单调递增，则，
所以，则，即.
所以，
所以，
所以，即.
令，则时，，
所以在上单调递增，又，故.
所以，
所以，则，即
四.可分离的双变量问题
5．已知函数
（I）当时，求函数的单调区间；
（II）当时，若对于区间上的任意两个不相等的实数，都有成立，求实数的取值范围.
试卷第1页，共3页
【分析】（I）将代入，求出的解析式，求出，求单调区间（II）求出的单调性，将绝对值去掉后得，构造新函数，这样就知道了函数的单调性，分离参量求导，得实数的取值范围
【详解】（I）当时，，定义域为..
令得，解得，令得，
解得，
因此的单调递增区间是，单调递减区间是.
（II）不妨设.
因为，所以，因此在上单调递增，即.
又因为在上也单调递增，所以.
所以不等式即为，
即，
设，即，
则，因此在上单调递减.
于是在上恒成立，
即在上恒成立.
令，则，
即在上单调递增，因此在上的最小值为，
所以，
故实数的取值范围是.
五.能化为最值的双变量问题
6．设函数，．
（1）求函数的单调性；
（2）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）对函数求导，分类讨论即可求出它的单调性；（2）先求出在上的最大值，则在恒成立，然后可转化为在上恒成立，求出在的最大值，即可求出的取值范围．
【解析】（1）因为，
当时，，函数在上单调递增；
当时，令，得，此时，函数在单调递减，在单调递增.
（2）由 得，由 得或，
因为，所以在单调递减，在单调递增，
又因为，所以，
由题意，可转化为在上恒成立，
即在上恒成立，
设，因为
令，则
显然时，，所以在在单调递减，
又因为，故当时，，时，，
即当时，时，，
所以，函数在区间单调递增，在区间上单调递减
所以，
故时，在上恒成立，
即对任意的，都有成立，实数的取值范围是.