数列通项公式求法
基本方法
一、定义法
等差数列通项公式：
，
2、等比数列通项公式：
，(a,q≠0).
二、前n项和法
若数列的前n项和为，则，一般先求出，若计算出的中当适合时可以合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。
三、等差型数列(累加法/叠加法)
形如(已知)型的的递推公式均可用累加法求通项公式.
(1)当为常数时，为等差数列，则；
(2)当为的函数时，用累加法.
即：
四、等比型数列(累乘法/叠乘法)
形如(已知)型的的递推公式均可用累乘法求通项公式.
给递推公式中的依次取1,2,3，……，可得到下面n-1个式子：
n-1个式子相乘得
；
五、待定系数法(构造法)
若给出条件直接求较难，可通过整理变形等从中构造出一个等差或等比数列，从而根据等差或者等比数列的定义求出通项，常见的有：
(1)(p、q为常数)构造为等比数列.
(2)(p、q、r为常数)构造为等比数列
(3)(p、t为常数)构造为等差数列
(4)(p、t、q为常数)再参考类型(1)
或(p、t、q为常数)再用累加法
或(p、t、q为常数)构造为等比数列
(5)(p、q为常数)，构造为等比数列
六、倒数法
一般地形如、等形式的递推数列可以用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式。
七、对数法
当数列和的递推关系涉及到高次时，形如：(其中m、p、q为常数)等，我们一般采用对数法，等式两边分别取对数，进行降次即，再重新构造数列进行求解。
题型练习
题型1 定义法
例1-1、已知等差数列的公差不为0，，且，，成等比数列，求数列的通项公式。
解： 设的公差为，由，，成等比数列得，，，，
例1-2 、等差数列的前项和为，已知，为整数，且，求的通项公式。
解： 由，为整数，知等差数列的公差为整数。又因为，所以，且.，解得. ，.
练习1-1、设是公比大于1的等比数列，为的前项和，已知，且，，成等差数列，求数列的通项公式。
解： 由已知得，.
设的公比为，则，，代入，得，
或(舍去)，，.
练习1-2、已知是等比数列的前项和，，， 成等差数列，且，求的通项公式。
解：因为，， 成等差数列，所以 ，，，
又，，
，，
题型二 前n项和法(即根据与的关系求通项公式)
例2-1、 (1)若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则数列的通项公式an＝________.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5
显然当n＝1时，不满足上式，故数列的通项公式
(2)当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋1－3n－1－1＝2·3n－1.
显然当n＝1时，不满足上式，∴
练习1-1、若数列的前项和为，则数列的通项公式
解：当时，，；
当时，. ，两式相减，得，
，，所以是公比，首项的为等比数列.
题型三 累加法求通项公式
例3-1、若a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项公式an＝________.
【解析】由题意得，当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋
＝，又a1＝2，符合上式，因此an＝.
练习3-1、设数列满足，，求数列 的通项公式。
解：因为，，分别令代入上式，得个等式累加，即：
，
又，
练习3-2、(1)数列满足，，则数列的通项公式为 .
解：
(2)数列满足，，则数列的通项公式为 .
解：，累加得，
题型四 累乘法求通项公式
例4-1、a1＝2，，则通项公式 .
【解析】，即
∴an＝··…··a1＝··…··2＝n·2n.
练习4-1、已知数列满足，，求数列的通项公式。
【答案】
【解析】 由已知：，分别令，代入上式得个等式累乘之，即
，
，又，，
练习4-2、 已知数列满足，，则数列的通项公式为 .
【答案】
【解析】由已知得，累乘可得 .
题型五 构造法
例5-1、在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，则通项公式an＝________.
【答案】2n＋1－3
【解析】(1)设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1＋t＝2(an＋t)，即an＋1＝2an＋t，解得t＝3.
故an＋1＋3＝2(an＋3)，令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且＝＝2.
所以{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列，∴bn＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.
练习5-1、已知数列满足，，证明数列 是等比数列，并求数列的通项公式。
【解析】由得：，即
又，所以数列 是首项为，公比为3的等比数列， ，
例5-2、在数列{an}中，a1＝1，an+1＝2an＋n+4，则通项公式an＝ .
【答案】
【解析】设递推公式an+1＝2an＋n+4可以转化为an+1＋t(n+1)+p＝2(an＋tn+p)
即an＋1＝2an＋(2t-t)n+2p-p-t，解得t＝1，p=5
故an+1＋(n+1)+5＝2(an＋n+5)
令bn＝an＋n+5，则b1＝a1＋6＝7，且.
所以{bn}是以7为首项，2为公比的等比数列.
∴，∴.
练习5-2-1、在数列{an}中，a1＝1，an+1＝3an＋2n+1，则通项公式＝ .
【答案】
【解析】设递推公式an+1＝3an＋2n+1可以转化为an+1＋t(n+1)+p＝3(an＋tn+p)
即an＋1＝3an＋(3t-t)n+3p-p-t，解得t＝1，p=1
故an+1＋(n+1)+1＝3(an＋n+1)
令bn＝an＋n+1，则b1＝a1＋2＝3，且.
所以{bn}是以3为首项，3为公比的等比数列.
∴，∴.
练习5-2-2、在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋n2+3n，则通项公式＝ .
【答案】
【解析】设递推公式an＋1＝2an＋n2+3n可以转化为an+1＋t(n+1)2+p(n+1)+q＝2(an＋tn2+pn+q)
即an＋1＝2an＋tn2+(p-2t)n+q-p-t，解得t＝1，p=5，q=6
故an+1＋(n+1)2+5(n+1)+6＝2(an＋n2+5n+6)
令bn＝an＋n2+5n+6，则b1＝a1＋1+5+6＝13，且.
所以{bn}是以13为首项，2为公比的等比数列.
∴，∴.
例5-3、若a1＝1，an＋1＝2an＋2n＋1，则通项公式an＝________.
【答案】
【解析】将式子an＋1＝2an＋2n＋1两边同除以2n+1得，＝＋1，
所以是首项、公差均为1的等差数列，所以，
练习5-3、若a1＝3，，则通项公式an＝________.
【答案】
【解析】将式子两边同除以3n+1，得，
所以是以为首项、2为公差的等差数列，所以，
例5-4、已知数列中，，求数列的通项公式
【答案】
【解析】将式子两边同除以2n+1，得，
分别令得：
，，，
累加得：
，
满足上式，故
题型六 倒数法
例6-1、已知数列中，，，求数列的通项公式
【答案】
【解析】由题意可得，故
即是以为首项，1为公差的等差数列
，
练习6-1-1、已知数列中，，，求数列的通项公式
【答案】
【解析】由题意可得，故
即是以为首项，3为公差的等差数列
，
练习6-1-2、已知数列中，， ，求数列的通项公式.
【答案】
【解析】由题意可得
是以为首项，1为公差的等差数列
，
题型七 对数法
例7-1、已知，点在函数的图象上，其中，证明数列是等比数列，求的通项公式
【答案】
【解析】点在函数的图象上有，
，即
是以为首项，2为公比的等比数列
，
练习7-1、若数列中，且(n是正整数)，则它的通项公式是
【答案】
【解析】由题意：
，即
是以为首项，2为公比的等比数列
，
跟踪练习
1．已知等差数列的前项和为，若，，则( )
A． B．4 C． D．
【答案】C
【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式展开，求解即可.
【详解】由，得，解得.
又，所以，故选：C.
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，考查运算求解能力，属于基础题目.
2．记为等差数列的前项和．已知，，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．
【详解】解：设等差数列的公差为．，，
，，解得：，，
．．故选：．
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．设正项等比数列的前项和为，若，，则公比( )
A． B．3 C． D．2
【答案】D
【分析】分析可得，又由，变形可得的值，即可得答案．
【详解】解：根据题意，正项等比数列中，，
又由，则，
又由，变形可得，
又由数列为正项等比数列，则；故选：．
【点睛】考查等比数列的前项和公式的应用，关键是掌握等比数列前项和公式的形式，属于基础题．
4．已知等比数列的各项都为正数，且当时有，则数列的前20项和为( )
A．190 B．210 C．220 D．420
【答案】B
【详解】解：依题意等比数列的各项都为正数，且当时有
所以，所以，所以
所以数列的前20项和为，故选：B
【点睛】本题考查等比数列的通项公式以及等差数列求和公式的应用，属于基础题.
5．已知等差数列的前三项依次为，，，则数列的通项公式是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：已知等差数列的前三项依次为，，，故数列是以为首项，2为公差的等差数列，
故通项公式，故选：D．
【点睛】本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的通项公式，属于基础题．
6．记为数列的前项和.若，则=( )
A．63 B． C．32 D．
【答案】B
【分析】根据公式得到数列为首项为，公比为的等比数列，计算得到答案.
【详解】，则，；
当时，，即，
数列为首项为，公比为的等比数列，.故选：B.
【点睛】本题考查了等比数列求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用能力.
7．已知数列的前项和为，若，则( )
A．1 B．-1 C．0 D．2
【答案】D
【分析】由题意利用数列的前项和与第项之间的关系，求得的值.
【详解】因为，所以，故选：D.
【点睛】本题主要考查数列的前项和与第项之间的关系，属于基础题.
8．已知数列中，若，，则_______________.
【答案】
【分析】由已知递推关系用累乘法求数列的通项公式，然后利用等差数列求和．
【详解】∵，∴，∴，
，，，故答案为：．
【点睛】本题考查由数列的递推公式求通项公式，考查等差数列的求和公式．
9．已知数列的前项和为，若，，则______．
【答案】
【分析】由题意利用数列与的关系可转化条件为，进而可得，利用等比数列的通项公式即可得解.
【详解】，，，,
即，
又，数列是首项为，公比为3的等比数列，
，.故答案为：.
【点睛】本题考查了数列与关系的应用，考查了通过构造新数列求数列的通项，属于中档题.
10、设数列的前项和为，已知，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足：，的前项和为，求的值.
【答案】(1)；(2).
【分析】(1)由得：，两式相减可得的递推关系，从而证明是等比数列，得其通项公式；
(2)求出，由等差数列的前项和公式得，然后用裂项相消法求和．
【详解】解：(1)由得：，
相减得，，.又，即，可得.
是以1为首项3为公比的等比数列，..
(2)由(1)知，，则，
.
真题演练
1．【2020年高考山东】已知公比大于的等比数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
【解析】(1)设的公比为．由题设得，．
解得(舍去)，．由题设得．
所以的通项公式为．
(2)由题设及(1)知，且当时，．
所以
．
2．【2020年高考天津】已知为等差数列，为等比数列，．
求和的通项公式；
【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为．由，，可得，从而的通项公式为．由，又，可得，解得，从而的通项公式为．
3．【2020年高考浙江】已知数列{an}，{bn}，{cn}满足．
若{bn}为等比数列，公比，且，求q的值及数列{an}的通项公式；
【解析】由得，解得．
由得．
由得．
4．【2019年高考全国II卷理数】已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，，.
(1)证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
(2)求{an}和{bn}的通项公式.
【答案】(1)见解析；(2)，.
【解析】(1)由题设得，即．
又因为a1+b1=l，所以是首项为1，公比为的等比数列．
由题设得，即．
又因为a1–b1=l，所以是首项为1，公差为2的等差数列．
(2)由(1)知，，．
所以，．
5．【2019年高考天津卷理数】设是等差数列，是等比数列．已知．
(1)求和的通项公式；
(2)设数列满足其中．
(i)求数列的通项公式；
(ii)求．
【答案】(1)， (2)(i) (ii)
【解析】(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为．依题意得解得故．
所以的通项公式为的通项公式为．
(2)(i)．
所以，数列的通项公式为．
(ii)
．
【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前项和公式等基础知识．考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力．
6．【2019年高考浙江卷】设等差数列的前n项和为，，，数列满足：对每个成等比数列．
求数列的通项公式；
【答案】，
【解析】设数列的公差为d，由题意得
，解得．
从而，所以，
由成等比数列得
．
解得，所以．
7.【2018年浙江卷】已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列
{bn}满足b1=1，数列{(bn+1 bn)an}的前n项和为2n2+n．
(1)求q的值；
(2)求数列{bn}的通项公式．
【答案】(1) (2)
【解析】分析：(1)根据条件、等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解公比，(Ⅱ)先根据数列前n项和求通项，解得，再通过叠加法以及错位相减法求.
详解：(1)由是的等差中项得，所以，
解得.由得，因为，所以.
(2)设，数列前n项和为.由解得.
由(1)可知，所以，故，
.
设，
所以，
因此，
又，所以.
点睛：用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.数列通项公式求法
基本方法
一、定义法
等差数列通项公式：
，
2、等比数列通项公式：
，(a,q≠0).
二、前n项和法
若数列的前n项和为，则，一般先求出，若计算出的中当适合时可以合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。
三、等差型数列(累加法/叠加法)
形如(已知)型的的递推公式均可用累加法求通项公式.
(1)当为常数时，为等差数列，则；
(2)当为的函数时，用累加法.
四、等比型数列(累乘法/叠乘法)
形如(已知)型的的递推公式均可用累乘法求通项公式.
五、待定系数法（构造法）
若给出条件直接求较难，可通过整理变形等从中构造出一个等差或等比数列，从而根据等差或者等比数列的定义求出通项，常见的有：
(1)(p、q为常数)构造为等比数列.
(2)(p、q、r为常数)构造为等比数列
(3)(p、t为常数)构造为等差数列
(4)(p、t、q为常数)再参考类型(1)
或(p、t、q为常数)再用累加法
或(p、t、q为常数)构造为等比数列
(5)(p、q为常数)，构造为等比数列
六、倒数法
一般地形如、等形式的递推数列可以用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式。
七、对数法
当数列和的递推关系涉及到高次时，形如：(其中m、p、q为常数)等，我们一般采用对数法，等式两边分别取对数，进行降次即，再重新构造数列进行求解。
题型练习
题型1 定义法
例1-1、已知等差数列的公差不为0，，且，，成等比数列，求数列的通项公式。
例1-2 、等差数列的前项和为，已知，为整数，且，求的通项公式。
练习1-1、设是公比大于1的等比数列，为的前项和，已知，且，，成等差数列，求数列的通项公式。
练习1-2、已知是等比数列的前项和，，， 成等差数列，且，求的通项公式。
题型二 前n项和法(即根据与的关系求通项公式)
例2-1、 (1)若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝ .
(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则数列的通项公式an＝ .
练习1-1、若数列的前项和为，则数列的通项公式
题型三 累加法求通项公式
例3-1、若a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项公式an＝ .
练习3-1、设数列满足，，求数列 的通项公式。
练习3-2、(1)数列满足，，则数列的通项公式为 .
(2)数列满足，，则数列的通项公式为 .
题型四 累乘法求通项公式
例4-1、a1＝2，，则通项公式 .
练习4-1、已知数列满足，，求数列的通项公式。
练习4-2、 已知数列满足，，则数列的通项公式为 .
题型五 构造法
例5-1、在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，则通项公式an＝________.
练习5-1、已知数列满足，，证明数列 是等比数列，并求数列的通项公式。
例5-2、在数列{an}中，a1＝1，an+1＝2an＋n+4，则通项公式an＝ .
练习5-2-1、在数列{an}中，a1＝1，an+1＝3an＋2n+1，则通项公式＝ .
练习5-2-2、在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋n2+3n，则通项公式＝ .
例5-3、若a1＝1，an＋1＝2an＋2n＋1，则通项公式an＝________.
练习5-3、若a1＝3，，则通项公式an＝________.
例5-4、已知数列中，，求数列的通项公式
题型六 倒数法
例6-1、已知数列中，，，求数列的通项公式
练习6-1-1、已知数列中，，，求数列的通项公式
练习6-1-2、已知数列中，， ，求数列的通项公式.
题型七 对数法
例7-1、已知，点在函数的图象上，其中，证明数列是等比数列，求的通项公式
练习7-1、若数列中，且(n是正整数)，则它的通项公式是
跟踪练习
1．已知等差数列的前项和为，若，，则( )
A． B．4 C． D．
2．记为等差数列的前项和．已知，，则( )
A． B． C． D．
3．设正项等比数列的前项和为，若，，则公比( )
A． B．3 C． D．2
4．已知等比数列的各项都为正数，且当时有，则数列的前20项和为( )
A．190 B．210 C．220 D．420
5．已知等差数列的前三项依次为，，，则数列的通项公式是( )
A． B． C． D．
6．记为数列的前项和.若，则=( )
A．63 B． C．32 D．
7．已知数列的前项和为，若，则( )
A．1 B．-1 C．0 D．2
8．已知数列中，若，，则_______________.
9．已知数列的前项和为，若，，则______．
10、设数列的前项和为，已知，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足：，的前项和为，求的值.
真题演练
1．【2020年高考山东】已知公比大于的等比数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
2．【2020年高考天津】已知为等差数列，为等比数列，．
求和的通项公式；
3．【2020年高考浙江】已知数列{an}，{bn}，{cn}满足．
若{bn}为等比数列，公比，且，求q的值及数列{an}的通项公式；
4．【2019年高考全国II卷理数】已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，，.
(1)证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
(2)求{an}和{bn}的通项公式.
5．【2019年高考天津卷理数】设是等差数列，是等比数列．已知．
(1)求和的通项公式；
(2)设数列满足其中．
(i)求数列的通项公式；
(ii)求．
6．【2019年高考浙江卷】设等差数列的前n项和为，，，数列满足：对每个成等比数列，求数列的通项公式；
7.【2018年浙江卷】已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列
{bn}满足b1=1，数列{(bn+1 bn)an}的前n项和为2n2+n．
(1)求q的值；
(2)求数列{bn}的通项公式．
