导数专题二：利用导数求函数的单调性
1、求下列函数的单调区间。
（1）
(2)
(3) f (x)＝x2e－x.
（4）函数f(x)＝x＋2
（5）函数f(x)＝x2－5x＋2ln 2x
2、已知函数f(x)＝aln x－x－(a∈R)．求函数f(x)的单调区间．
3.讨论函数f(x)＝x3－aln x(a∈R)的单调性．
4、试求函数f (x)＝kx－ln x的单调区间．
5.求函数g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)＋(1－a)x＋2－a的单调区间．
6、已知函数f (x)＝ae2x＋(a－2)ex－x，讨论f (x)的单调性．
7.已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，
讨论f(x)的单调性．导数专题二：利用导数求函数的单调性
1、求下列函数的单调区间。
（1）
解析：函数的定义域为D＝(0，＋∞)．
，f(x)在（0，1）上单调递减，（1，＋∞)上单调递增。
(2)
解析：，
函数在 上单调递减，
(3) f (x)＝x2e－x.
函数的定义域为D＝(－∞，＋∞)．
∵f ′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)，令f ′(x)＝0，
由于e－x＞0，∴x1＝0，x2＝2，得下表：
x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞)
f ′(x) － 0 ＋ 0 －
f (x) ↘ f (0)＝0 ↗ f (2)＝ ↘
∴f (x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0，2)．
（4）函数f(x)＝x＋2
解析：f(x)的定义域为{x|x≤1}，f′(x)＝1－.
令f′(x)＝0，得x＝0.当0当x<0时，f′(x)>0.
所以函数f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，单调递减区间是(0，1)．
（5）已知函数f(x)＝x2－5x＋2ln 2x，则f(x)的单调递增区间为________．
解析：f′(x)＝2x－5＋＝(x＞0)．
由f′(x)>0可得(2x－1)(x－2)>0，
所以x>2或0即f(x)的单调递增区间为（0，），(2，＋∞)．单调递减区间是(，2)．
2、已知函数f(x)＝aln x－x－(a∈R)．求函数f(x)的单调区间．
解：由题知，f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－1＋＝，
①当a＋1>0，即a>－1时，在(0，1＋a)上f′(x)>0，在(1＋a，＋∞)上，f′(x)<0，
所以f(x)的单调递增区间是(0，1＋a)，单调递减区间是(1＋a，＋∞)；
②当1＋a≤0，即a≤－1时，在(0，＋∞)上，f′(x)<0，
所以函数f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)，无单调递增区间．
3.讨论函数f(x)＝x3－aln x(a∈R)的单调性．
解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝3x2－＝(x>0)，
①若a≤0时，f′(x)>0，此时函数在(0，＋∞)上单调递增；
②若a>0时，令f′(x)>0，可得x>，f′(x)<0，可得0所以函数在（0，）上单调递减，在（，＋∞）上单调递增．
4、试求函数f (x)＝kx－ln x的单调区间．
[解析] 函数f (x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝k－＝.
当k≤0时，kx－1＜0，
∴f ′(x)＜0，则f (x)在(0，＋∞)上单调递减．
当k＞0时，由f ′(x)＜0，得＜0，解得0＜x＜；
由f ′(x)＞0，得＞0，解得x＞.
∴当k＞0时，f (x)的单调递减区间为(0,)，
单调递增区间为(,＋∞).
综上所述，当k≤0时，f (x)的单调递减区间为(0，＋∞)；
5.求函数g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)＋(1－a)x＋2－a的单调区间．
解：∵g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)＋(1－a)x＋2－a(x>0)，
∴g′(x)＝ln(x＋1)＋2－a.
∴当2－a≥0，即a≤2时，g′(x)>0对x∈(0，＋∞)恒成立．
此时，g(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间．
当2－a<0，即a>2时，令g′(x)＝0，得x＝ea－2－1，
由g′(x)>0，得x>ea－2－1；由g′(x)<0，得0此时，g(x)的单调递减区间为(0，ea－2－1)，单调递增区间为(ea－2－1，＋∞)．
综上所述，当a≤2时，g(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；
当a>2时，g(x)的单调递减区间为(0，ea－2－1)，单调递增区间为(ea－2－1，＋∞)．
6、已知函数f (x)＝ae2x＋(a－2)ex－x，讨论f (x)的单调性．
[解] f (x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f ′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1)．
①若a≤0，则f ′(x)＜0，所以f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减．
②若a＞0，则由f ′(x)＝0，得x＝－ln a.
当x∈(－∞，－ln a)时，f ′(x)＜0；
当x∈(－ln a，＋∞)时，f ′(x)＞0.
所以f (x)在(－∞，－ln a)上单调递减，
在(－ln a，＋∞)上单调递增．
当a＞0时，f (x)在(－∞，－ln a)上单调递减
综上，当a≤0时，f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减；
当a＞0时，f (x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增
7.已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，
讨论f(x)的单调性．
解：函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)．
①若a＝0，则f(x)＝e2x在(－∞，＋∞)上单调递增．
②若a＞0，则由f′(x)＝0，得x＝ln a.
当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0.
故f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
③若a＜0，则由f′(x)＝0，得.
当x∈时，f′(x)＜0；
当x∈时，f′(x)＞0.
故f(x)在上单调递减，在上单调递增．
综上，当a＝0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
当a>0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
当a<0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增．
