导数切线问题小题专练
一、单选题
1．曲线在点P(1，12)处的切线与两坐标轴围成三角形的面积是（ ）
A．75 B． C．27 D．
2．已知曲线在点处的切线与抛物线相切，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．
3．若直线为曲线的一条切线，则实数k的值是（ ）
A．e B． C． D．
4．已知过点可以作曲线的两条切线，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．过坐标原点作曲线的切线，则切点的纵坐标为（ ）
A．e B．1 C． D．
6．过点作曲线的切线，当时，切线的条数是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，函数，若方程恰有三个实数解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，过点作曲线的切线，当时，可作两条切线，则的取值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
二、多选题
9．已知过点A（a，0）作曲线的切线有且仅有两条，则实数a的值可以是（ ）
A．－2 B．4 C．0 D．6
10．已知函数，其中实数，则下列结论正确的是（ ）
A．必有两个极值点
B．有且仅有3个零点时，的范围是
C．当时，点是曲线的对称中心
D．当时，过点可以作曲线的3条切线
11．若过点可以作出曲线的切线l，且l最多有n条，，则（ ）
A． B．当时，a值唯一
C．当时， D．na的值可以取到﹣4
12．已知，函数，则（ ）
A．对任意，，存在唯一极值点
B．对任意，，曲线过原点的切线有两条
C．当时，存在零点
D．当时，的最小值为1
三、填空题
13．已知抛物线在处的切线过点，则该抛物线的焦点坐标为________．
14．曲线的一条切线过点，则该切线的斜率为_______．
15．已知函数为奇函数，当时，（为自然对数的底数）.则曲线在点处的切线方程为_________.
16．经过原点作函数图像的切线，则切线方程为__________．
参考答案：
1．D
【解析】点P(1，12)处的切线斜率为3，所以在点P处的切线方程为即，令得令得，所以三角形的面积为
2．C
【解析】，当时，切线的斜率，
切线方程为，因为它与抛物线相切，
有唯一解即
故 ，解得，故选C.
3．C
【解析】设直线与曲线相切于点，函数的导函数为，
则，解得.
故选：C
4．B
【解析】设曲线与其切线交于
切线方程l：，
由导数与切线方程斜率关系可得……①
又切线过点
要保证过点可以作曲线的两条切线，可得不能在曲线上
……②
点A在曲线上，故……③
由①②③式可得：
，解得
令
则
令，故
故当时，；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
即在时取得极大值，故
作出草图如下：
得仅在范围内由2个对应的值
即时，有2个解，此时存在2条切线方程
综上所述，的取值范围为
故选：B.
5．B
【解析】设切点，
由，得，所以，
∴曲线在点处的切线方程为，
又过（0，0），∴，解得，
∴切点，纵坐标为1．
故选：B．
6．D
【解析】设切点为，
，切线斜率，
切线方程为：；
又切线过，；
设，则，
当时，；当时，；
在，上单调递减，在上单调递增，
又，，恒成立，可得图象如下图所示，
则当时，与有三个不同的交点，
即当时，方程有三个不同的解，切线的条数为条.
故选：D.
7．D
【解析】依题意，画出的图象，如图所示．直线恒过定点（1，0），
由图象可知，函数的图象与的图象相切时，函数的图象恰有两个交点．
设切点为，其中，由，得，
化简得，解得或（舍去），要使方程恰有三个实数解，
则函数的图象恰有三个交点，结合图象可知，所以实数的取值范围为.
故选：D
8．A
【解析】由，可得，
设切点坐标为，所以，
则切线的斜率为，切线方程为，
当时，由切线方程为得
，则，
设，
则，
因为，所以当时，单调递增，
所以当时，单调递减，
所以当时，单调递减，
时，有极小值为，
时，有极大值为，
可画出函数的大致图象，
结合图象若作两条切线，则的取值为或.
故选：A.
9．AD
【解析】设切点为，则，所以切线方程为：，切线过点A（a，0），代入得：，即方程有两个解，则有或．
故选：AD.
10．ABD
【解析】选项A：由题意可得，
令解得或，
因为，所以令解得或，令解得，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，故A正确；
选项B：要使有且仅有3个零点，只需，即，
解得，故B正确；
选项C：当时，，
，
，所以点不是曲线的对称中心，C错误；
选项D：，设切点为，
所以在点处的切线方程为：，
又因为切线过点，所以，
解得，令，，
所以过点可以作曲线切线条数可转化为与图像的交点个数，
，
令解得或，
因为，所以令解得或，
令解得，
则在，上单调递增，在上单调递减，且，，
图像如图所示，
所以当时，与图像有3个交点，即过点可以作曲线的3条切线，故D正确；
故选：ABD
11．ABD
【解析】由题得，
设切线的切点为，所以切线的斜率，
所以切线方程为，
因为，所以，
化简得，
令，所以，
令令或，
所以函数在单调递增，在，单调递减，
，当时，，当时，，
函数的图象如图所示，
过点可以作出曲线的切线l，所以,所以选项A正确；
当时，与图象有两个交点，，取值唯一，所以选项B正确；
当时，或，所以选项C不正确；
由于时，，所以的值可以取到﹣4，所以选项D正确.
故选：ABD
12．ABD
【解析】对于A，由已知，函数，可得，
令，
则即在R上单调递增，
令，则，
当时，作出函数的大致图象如图：
当时，作出函数的大致图象如图：
可知的图象总有一个交点，即总有一个根，
当时，；当时，，
此时存在唯一极小值点，A正确；
对于B，由于，故原点不在曲线上，且，
设切点为，则，
即，即，
令，，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故，
当时，的值趋近于0，趋近于无穷大，故趋近于正无穷大，
当时，的值趋近于正无穷大，趋近于无穷大，故趋近于正无穷大，
故在和上各有一个零点，即有两个解，
故对任意，，曲线过原点的切线有两条，B正确；
对于C，当时，，，
故，该函数为R上单调增函数，，
故，使得，即，
结合A的分析可知，的极小值也即最小值为，
令，则，且为增函数，
当时， ，当且仅当时取等号，
故当时，，则在上单调递增，
故，令，则，
此时的最小值为，无零点，C错误；
对于D，当时，为偶函数，考虑视情况；
此时，，
结合A的分析可知在R上单调递增，，
故时，，则在上单调递增，
故在上单调递减，为偶函数，
故，D正确，
故选：ABD
13．
【解析】由题意得：
由可得，求导可得，故切线斜率为
故切线方程为
又因为该切线过点，所以，解得
抛物线方程为，焦点坐标为．
故答案为：
14．
【解析】由，设切线斜率为，切点横坐标为，则，得，所以
故答案为：
15．
【解析】令，则，因为为奇函数，所以，所以（），则，则，，所以切线方程为，即.
故答案为：.
16．y=0或9x+4y=0
【解析】∵f′（x）＝3x2+6x，
①若原点（0，0）是切点，则切线的斜率为f′（0）＝0，则切线方程为y＝0；
②若原点（0，0）不是切点，设切点为P（x0，y0），
则切线的斜率为，因此切线方程为，
因为切线经过原点（0，0），∴，∵x0≠0，解得．
∴切线方程为，化为9x+4y＝0．
∴切线方程为y＝0或9x+4y＝0．
故答案为y＝0或9x+4y＝0．导数切线问题小题专练
一、单选题
1．曲线在点P(1，12)处的切线与两坐标轴围成三角形的面积是
A．75 B． C．27 D．
2．已知曲线在点处的切线与抛物线相切，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．
3．若直线为曲线的一条切线，则实数k的值是（ ）
A．e B． C． D．
4．已知过点可以作曲线的两条切线，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．过坐标原点作曲线的切线，则切点的纵坐标为（ ）
A．e B．1 C． D．
6．过点作曲线的切线，当时，切线的条数是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，函数，若方程恰有三个实数解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，过点作曲线的切线，当时，可作两条切线，则的取值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
二、多选题
9．已知过点A（a，0）作曲线的切线有且仅有两条，则实数a的值可以是（ ）
A．－2 B．4 C．0 D．6
10．已知函数，其中实数，则下列结论正确的是（ ）
A．必有两个极值点
B．有且仅有3个零点时，的范围是
C．当时，点是曲线的对称中心
D．当时，过点可以作曲线的3条切线
11．若过点可以作出曲线的切线l，且l最多有n条，，则（ ）
A． B．当时，a值唯一
C．当时， D．na的值可以取到﹣4
12．已知，函数，则（ ）
A．对任意，，存在唯一极值点
B．对任意，，曲线过原点的切线有两条
C．当时，存在零点
D．当时，的最小值为1
三、填空题
13．已知抛物线在处的切线过点，则该抛物线的焦点坐标为________．
14．曲线的一条切线过点，则该切线的斜率为_______．
15．已知函数为奇函数，当时，（为自然对数的底数）.则曲线在点处的切线方程为_________.
16．经过原点作函数图像的切线，则切线方程为__________．
